精品解析：北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高二下学期期末练习数学试题（Ⅱ卷）

人大附中2024~2025学年度第二学期高二年级数学期末练习 2025年7月 Ⅱ卷（共10道题，满分50分） 制卷人：宁少华 王鼎 审卷人：吴中才 说明：Ⅰ卷（海淀区期末练习）及Ⅱ卷合计150分，考试时间共120分钟． 一、选择题（共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 若等差数列满足，，则（ ） A. 5 B. 7 C. D. 2. 在展开式中的系数为（ ） A. 10 B. 15 C. D. 3. 一家制造厂有条生产线，每条生产线每天生产一件产品，每个产品是“良品”的概率为，否则为“次品”，每条生产线的生产过程相互独立．每天生产结束后对所有产品进行检测，“良品”被误检测为“次品”的概率（即漏检率）为，“次品”被误检测为“良品”的概率（即误接受率）为．被检测为“良品”的产品出货，否则报废．则该制造厂每天出货的产品件数平均为（ ） A. B. C. D. 4. 奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 5. 设无穷等比数列的前和为，则“为递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上的相应位置．） 7. 随机变量，则_________． 8. 某街区的交通道路如图中实线所示，它们恰好构成正方形网格．某人从处出发，沿道路以最短路径到达处， ①若从可选线路中随机选一条，则经过点的概率为__________； ②若在分叉路口有多个方向可选时随机选择方向，则经过点的概率为__________． 9. 已知是抛物线上的不同的点，则__________． 10. 已知，函数有且只有一个零点，给出下列四个结论：①；②；③是递减数列；④是递减数列．其中所有正确结论的序号是__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人大附中2024~2025学年度第二学期高二年级数学期末练习 2025年7月 Ⅱ卷（共10道题，满分50分） 制卷人：宁少华 王鼎 审卷人：吴中才 说明：Ⅰ卷（海淀区期末练习）及Ⅱ卷合计150分，考试时间共120分钟． 一、选择题（共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 若等差数列满足，，则（ ） A. 5 B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由由求得，再由即可求解. 【详解】设等差数列公差为d，则由得即， 所以由得. 故选：C 2. 在展开式中的系数为（ ） A. 10 B. 15 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据乘法法则求出展开式中含的项即可得解. 【详解】展开式中含的项为： . 所以在展开式中的系数为. 故选：C 3. 一家制造厂有条生产线，每条生产线每天生产一件产品，每个产品是“良品”的概率为，否则为“次品”，每条生产线的生产过程相互独立．每天生产结束后对所有产品进行检测，“良品”被误检测为“次品”的概率（即漏检率）为，“次品”被误检测为“良品”的概率（即误接受率）为．被检测为“良品”的产品出货，否则报废．则该制造厂每天出货的产品件数平均为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全概率求出该制造厂每天每条生产线的产品被检测为“良品”的概率即可结合二项分布的期望公式求解. 【详解】由题可得该制造厂每天每条生产线的产品被检测为“良品”的概率为， 设该制造厂每天可出货的产品件数为X，则， 则该制造厂每天出货的产品件数平均为. 故选：D 4. 奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，根据函数的奇偶性和导数情况得出该函数的单调性，再结合即可分析求解. 【详解】令, 则， 所以为奇函数，故. 因为当时，， 所以当时，， 故在上单调递增. 因为为奇函数，所以在上也单调递增. 又， 所以当时， 当时， 所以不等式的解集为. 故选：A. 5. 设无穷等比数列的前和为，则“为递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的单调性性质得到且，或且，进而结合等比数列前n项和公式比较的大小即可得到充分性情况，再分析必要性情况即可得解. 【详解】设无穷等比数列的公比为， 则，， 若“为递增数列”，则且，或且， 当且时，即； 当且时，即. 所以充分性成立； 若“”，则恒成立， 当时，得恒成立，则且，此时为递减数列； 当时，得恒成立，则且，此时为递增数列； 当时，得即恒成立， 则，此时不具有单调性. 所以必要性不成立. 所以“为递增数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意得在上有解，进而得到在上有解，再利用导数工具求出函数的最小值即可得解. 【详解】由题得在上有解， 即在上有解， 因为， 所以当时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围是. 故选：A 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上的相应位置．） 7. 随机变量，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布、二项分布的期望公式求出，进而求出方差. 【详解】由，得，由，得， 而，即，解得， 所以. 故答案为： 8. 某街区的交通道路如图中实线所示，它们恰好构成正方形网格．某人从处出发，沿道路以最短路径到达处， ①若从可选线路中随机选一条，则经过点的概率为__________； ②若在分叉路口有多个方向可选时随机选择方向，则经过点的概率为__________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】先求出不经过C点和经过C点两种情形可选路线数即可求解空①；明确在分叉路口有多个方向可选时随机选择方向时经过点的情形即可求解空②. 【详解】由图可知从处出发沿道路以最短路径到达处的路线有两种情形： 第一种情形不经过C点，此情况可选路线有2条； 第二种情形经过C点，此情况可选路线有条； 所以从处出发沿道路以最短路径到达处的路线共有6条； 对于①，从可选线路中随机选一条，则经过点的概率为； 对于②，在分叉路口有多个方向可选时随机选择方向，则经过点有两种情形， 第一种是从A出发第一步向右，第二步有可能选择经过C；第二种是从A出发第一步向上，第二步有可能选择经过C， 所以所求概率为. 故答案为：；. 9. 已知是抛物线上的不同的点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由题设结合两点间斜率公式得到，进而推出即可分析求解. 【详解】由题可得，且， 又，且随着n逐渐增大逐渐减小，所以在第一象限，如图， 所以，即， 所以当为偶数时，则 ， 当为奇数时，则 ， 综上. 故答案为： 10. 已知，函数有且只有一个零点，给出下列四个结论：①；②；③是递减数列；④是递减数列．其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】先由题设得到与图象只有一个交点，利用导数研究函数单调性情况得到.对于①直接由求解即可判断；对于②，由即可求解判断；对于③，计算即可判断；对于④，研究得即即可得解判断. 【详解】因为函数有且只有一个零点， 所以方程有且只有一个根，所以与图象只有一个交点， 因为，所以时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又时，时，， 所以. 对于①，由上可得，故①正确； 对于②，由上可得即，所以，故②正确； 对于③，因为且， 所以即， 所以即是递减数列，故③正确； 对于④，因为， 又 ， 所以 ， 又， 所以，所以， 所以是递减数列，故④正确. 故答案为：①②③④ 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $