精品解析：山东省东营市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题

2024-2025学年第二学期期末质量调研 七年级数学试题 （总分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共8页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学校、准考证号等填写在试题和答题卡上． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，将含角的直角三角板如图放置，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以构酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油的技艺之高超.如图，若铜钱半径为，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，若直线与直线交于一点，则关于不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计，甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊一样多．”请问甲乙各有多少只羊呢？两个人在沟两边闲坐，心里很烦躁，因为在地上画了半晌，也没算出来．设甲有羊x只，乙有羊y只，则得合题意的方程组是( ) A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，则的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，，，垂足分别是点、，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知：如图，中，点是边上一点，，，平分，且于，与相交于点，若于，交于点．有以下结论： ①；②；③若连接，则；④点是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是（ ） A. ①③⑤ B. ①④⑤ C. ①②③⑤ D. ①③④⑤ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么a的值是______． 12. 一只不透明口袋中装有若干个白球，再将8个红球放入袋中，这些球除颜色外都相同．每次摸出一个球，记录颜色、放回搅匀后再摸，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率在附近摆动，根据频率的稳定性，估计袋中的白球有__________个． 13. 不等式组的整数解为_____． 14. 如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知，则点的坐标是__________． 15. 2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB//CD，当人脚与地面的夹角∠CDE=60°时，求出此时头顶A与水平线的夹角∠BAF的度数为_______． 16. “三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一，如图所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动、若，则______°． 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于A、B两点，若是等腰直角三角形，求点C的坐标__________． 18. 如图，点是的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么___________． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）解方程组：； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 20. 某超市购入“郁金香”“桔梗”“蔷薇”“银叶菊”四种盆栽共200株用于出售，根据购入时每种盆栽的数量比例绘制成扇形统计图．每种盆栽中均有少数不良品相的植株，现将四种盆栽的良品植株数量绘制成条形统计图，已知“郁金香”的良品率为95%． （1）求四种盆栽中“郁金香”的数量及其良品数量，并补全条形统计图； （2）如果从这200株盆栽中随机抽选1株，求它为良品的概率： （3）根据市场调查，这四种盆栽进价和售价如下： 盆栽品种 郁金香 桔梗 蔷薇 银叶菊 每株进价（元） 30 30 20 30 每株售价（元） 60 50 40 50 为了尽快卖出这批盆栽，超市对不良品相的植株在售价基础上进行8折促销．请你从四种盆栽中选择一种你喜欢的盆栽，计算这种盆栽全部售完后超市获得的利润是多少？ 21. 如图所示是超市购物车的侧面示意图，扶手框顶框底，车轮两支脚架． （1）求的度数． （2）若支脚架所在的直线垂直于，试判断与支脚架的位置关系，并说明理由． 22 根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒3斤，每盒售价35元 每盒2斤，每盒售价25元 问题解决 任务一 在活动中，学生共卖出了700斤草莓，销售总收入为8500元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ 任务二 根据客户要求，农场现在需要分装100盒草莓，既有精包装也有简包装，分装草莓总重量不少于260斤．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为元．若要将购买包装盒的成本控制在88元以内，怎么样确定分装方案才能让农场总收入最大，最大值为多少，并说明理由． 23. 如图，在中，点为上一点，，点是延长线上一点，连接，点恰好在的垂直平分线上，过点作，过点作． （1）试说明：； （2）若，求的度数． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为A，且与正比例函数的图象交于点C． （1）求m 的值及一次函数 的表达式； （2）根据图象，直接的解集是： ． （3）若P是x轴上一点，且，求点P的坐标． 25. 已知在和中，，，，点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），连接． （1）在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等） （2）在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由； （3）在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期期末质量调研 七年级数学试题 （总分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共8页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学校、准考证号等填写在试题和答题卡上． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程．两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组． 【详解】A选项中最高次数为2次，则不是； B选项中第二个方程不是整式方程，则不是； C选项中含有3个未知数，则不是； 故选：D． 【点睛】本题主要考查的就是二元一次方程组的定义问题．在解决定义问题的时候特别要注意所有方程都必须是整式方程，否则就不是二元一次方程组． 2. 已知，将含角的直角三角板如图放置，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行线性质得∠AEF=∠1=106°，再根据三角形外角性质可得答案． 【详解】解：如图所示 ，， ， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和三角形的外角性质． 3. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】、∵，∴，原选项不成立，此选项不符合题意； 、∵，∴，原选项不成立，此选项不符合题意； 、∵，∴或，原选项不成立，此选项不符合题意； 、∵，∴，原选项成立，此选项符合题意； 故选：． 4. 欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以构酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油的技艺之高超.如图，若铜钱半径为，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用中间正方形小孔的面积除以圆的总面积即可得． 【详解】∵铜钱的面积为4π，而中间正方形小孔的面积为1， ∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是 ， 故选D． 【点睛】考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 5. 5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点D， 中,，， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半． 6. 如图，若直线与直线交于一点，则关于的不等式的解集是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象在上方的函数值比函数图象在下方的函数值大，利用数形结合求解是解题的关键．根据图形，找出直线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】解：由图形可知，交点 当时，， 关于的不等式的解集是：， 故选：A． 7. 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计，甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊一样多．”请问甲乙各有多少只羊呢？两个人在沟两边闲坐，心里很烦躁，因为在地上画了半晌，也没算出来．设甲有羊x只，乙有羊y只，则得合题意的方程组是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“甲得到乙的九只羊，甲的羊就比乙的羊多一倍；乙得到甲的九只羊，甲、乙两家的羊一样多”，即可列出关于的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲有羊只，乙有羊只， 甲得到乙的九只羊，甲的羊就比乙的羊多一倍， ； 乙得到甲的九只羊，甲、乙两家的羊一样多， ． 根据题意可得， 故选：D． 8. 如图，在中，，，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于，由作图可知是的角平分线，可证，得到，，即得，利用勾股定理得，设，则，在中，利用勾股定理求得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， 由作图可知，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，，，，，垂足分别是点、，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，余角性质，由已知可得，进而由余角性质得到，即可得到，得到，，再根据线段的和差关系可求出的值，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ． ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故选：． 10. 已知：如图，中，点是边上一点，，，平分，且于，与相交于点，若于，交于点．有以下结论： ①；②；③若连接，则；④点是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是（ ） A. ①③⑤ B. ①④⑤ C. ①②③⑤ D. ①③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】证明，判断①，角平分线结合全等三角形的性质，判断②，连接，三线合一，全等三角形的性质，结合等边对等角，得到，判断③，中垂线的性质，结合斜边大于直角边，判断④，证明，得到垂直平分，判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∴；故②错误； 连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴垂直平分，， ∴，，故③正确； 在中，， ∴，故④错误； ∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴与成轴对称，故⑤正确； 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，成轴对称等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么a的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解掌握二元一次方程的解是解题的关键．把代入方程得到关于a的一元一次方程，解之即可． 【详解】解： 是关于x，y的二元一次方程的一个解， ， 解得． 故答案为：3. 12. 一只不透明的口袋中装有若干个白球，再将8个红球放入袋中，这些球除颜色外都相同．每次摸出一个球，记录颜色、放回搅匀后再摸，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率在附近摆动，根据频率的稳定性，估计袋中的白球有__________个． 【答案】42 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，分式的运用，掌握概率公式的计算方法是关键，根据题意设白球有个，根据概率公式列式求解即可． 【详解】解：设白球有个， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程的分母不为零， ∴是原分式方程的解， ∴白球有个， 故答案为：42 ． 13. 不等式组的整数解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为， 则不等式组的整数解为， 故答案为：． 14. 如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知，则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设长方形纸片的长和宽分别为x、y，先根据点B的坐标求出x、y的值，进而求出点A的坐标即可． 【详解】解：设长方形纸片的长和宽分别为x、y， 由题意得， 解得， ∴， ∴， 故答案为；． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，二元一次方程组的应用，正确求出长方形的长和宽是解题的关键． 15. 2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB//CD，当人脚与地面的夹角∠CDE=60°时，求出此时头顶A与水平线的夹角∠BAF的度数为_______． 【答案】60°##60度 【解析】 【分析】延长AB交直线ED于点H，利用平行线的性质得出∠CDE=∠DHA=60°，再由两直线平行，内错角相等即可得出结果． 【详解】解：延长AB交直线ED于点H， ∵AH∥CD， ∴∠CDE=∠DHA=60°， ∵根据题意得AF∥EH， ∴∠FAB=∠DHA=60°， 故答案为：60°． 【点睛】题目主要考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键． 16. “三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一，如图所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动、若，则______°． 【答案】52 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：52． 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于A、B两点，若是等腰直角三角形，求点C的坐标__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数求交点坐标，全等三角形的判定和性质．通过一次函数解析式能求出、两点的坐标，也就是，的长，由等腰直角可以得出，作垂直于轴，构造，从而求出、的长，得到点的坐标． 【详解】解：当时，，解得，即点坐标为， 当时，，则点坐标为， 作垂直于轴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ， ∴点的坐标是． 故答案为：． 18. 如图，点是的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，平分线的定义等知识，根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知，，…，依此类推可知的度数，即可求解． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴ ； 同理可得，， …， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）解方程组：； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），数轴见解析． 【解析】 【分析】本题考查知识点为，二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的解法．熟练掌握二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，是解决本题的关键． （1）运用加减消元法解二元一次方程组，即可得出答案． （2）先求出两个不等式的解集，再“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则求出不等式组的解集，最后把解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：， 得：， 得：， 解得， 把代入②：， 原方程组的解为：； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：． 不等式组的解集在数轴上表示为： 20. 某超市购入“郁金香”“桔梗”“蔷薇”“银叶菊”四种盆栽共200株用于出售，根据购入时每种盆栽的数量比例绘制成扇形统计图．每种盆栽中均有少数不良品相的植株，现将四种盆栽的良品植株数量绘制成条形统计图，已知“郁金香”的良品率为95%． （1）求四种盆栽中“郁金香”的数量及其良品数量，并补全条形统计图； （2）如果从这200株盆栽中随机抽选1株，求它为良品的概率： （3）根据市场调查，这四种盆栽的进价和售价如下： 盆栽品种 郁金香 桔梗 蔷薇 银叶菊 每株进价（元） 30 30 20 30 每株售价（元） 60 50 40 50 为了尽快卖出这批盆栽，超市对不良品相植株在售价基础上进行8折促销．请你从四种盆栽中选择一种你喜欢的盆栽，计算这种盆栽全部售完后超市获得的利润是多少？ 【答案】（1）40；38；见解析 （2） （3）郁金香全部售完获得利润1176元；（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图，条形统计图，概率计算，读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）先求出总数量，然后求出“郁金香”的数量，再根据“郁金香”的良品率为95%求出良品数量即可； （2）用良品数量除以总数量即可得出从这200株盆栽中随机抽选1株，求它为良品的概率即可； （3）根据利润售价进价求出结果即可． 【小问1详解】 解：四种盆栽中“郁金香”的数量为： （株）， 良品数量掌握（株）， 补全条形统计图，如图所示： 【小问2详解】 解：从这200株盆栽中随机抽选1株，它为良品的概率为： ． 【小问3详解】 解：郁金香全部售完后超市获得的利润为： （元）； 桔梗全部售完后超市获得的利润为： （元）； 蔷薇全部售完后超市获得的利润为： （元）； 银叶菊全部售完后超市获得的利润为： （元）． 21. 如图所示是超市购物车的侧面示意图，扶手框顶框底，车轮两支脚架． （1）求的度数． （2）若支脚架所在的直线垂直于，试判断与支脚架的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）平行，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行性的性质可得，再由，即可求解； （2）根据题意可得， 从而得到，再由，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ， 又∵ ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒3斤，每盒售价35元 每盒2斤，每盒售价25元 问题解决 任务一 在活动中，学生共卖出了700斤草莓，销售总收入为8500元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ 任务二 根据客户要求，农场现在需要分装100盒草莓，既有精包装也有简包装，分装草莓总重量不少于260斤．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为元．若要将购买包装盒的成本控制在88元以内，怎么样确定分装方案才能让农场总收入最大，最大值为多少，并说明理由． 【答案】（1）100,200（2）精包装75盒，简包装25盒，收入最大，最大值为元． 【解析】 【分析】（1）设精包装卖出x盒，简包装卖出y盒，销售收入＝销售价×销售数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设精包装草莓盒，则简包装草莓盒；根据题意建立不等式组，解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【详解】（1）解：设精包装卖出x盒，简包装卖出y盒， 根据题意得：， 解得：． 答：精包装卖出100盒，简包装卖出200盒； （2）解；设精包装草莓盒，则简包装草莓盒； 根据题意，得， 解得， 设总收入为y元，根据题意，得 ， 又y随a的增大而增大，且a为正整数， 故时，y取得最大值，此时 故精包装75盒，简包装25盒，收入最大，最大值为元． 23. 如图，在中，点为上一点，，点是延长线上一点，连接，点恰好在的垂直平分线上，过点作，过点作． （1）试说明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 分析】（1）由线段垂直平分线得到，然后证明，再由平行线得到同位角相等，即可由证明； （2）先根据全等三角形的性质得到，然后通过三角形内角和定理求出，由等腰三角形的性质以及三角形的外角性质求出的度数，再由平行线的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵点恰好在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理和外角性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为A，且与正比例函数的图象交于点C． （1）求m 的值及一次函数 的表达式； （2）根据图象，直接的解集是： ． （3）若P是x轴上一点，且，求点P的坐标． 【答案】（1）2， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据点在正比例函数的图象上，得到关于的方程求解，求得点的坐标，再将，两点坐标代入一次函数，求出其解析式； （2）根据不等式，结合函数图象的位置求出不等式的解集； （3）设点坐标为，根据三角形面积关于列出关于的方程求解． 【小问1详解】 解：∵在正比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴， ∵一次函数的图象与x轴交点为，且与正比例函数的图象交于点， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 由图象可知，位于轴的右侧，在点的左侧， ∵C， ∴的解集是； 【小问3详解】 设点坐标为， ∵， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，求点的坐标，三角形的面积等知识，解题关键是利用待定系数法求出一次函数解析式． 25. 已知在和中，，，，点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），连接． （1）在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等） （2）在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由； （3）在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2）不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由见解析 （3）图见解析，或 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）求出，证明，根据全等三角形的性质可得，，即可得，然后由是等腰直角三角形可得，，进而求出即可得出结论； （3）分两种情况：①当E在下方时，如图3，求出，证明，根据全等三角形的性质可得出结论；②当E在上方时，如图4，得，证明，则有，，从而可得；在中，由勾股定理得三线段间的数量关系． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当E在下方时，如图3， 存在的数量关系为， 理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． ②当E在上方时，如图4， 存在的数量关系为， ∵，， ∴； 又∵，， ∴， ∴，， ∴； 在中，由勾股定理得, ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$