精品解析：云南省丽江市第一高级中学2024-2025学年高三上学期期末质量检测数学试卷

丽江市第一高级中学2024-2025学年高三上学期期末质量检测 数学考试 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填 写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规 定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳 素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本题共计8题，共计40分） 1. 设复数满足,则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，所以，选C. 2. 已知集合，集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先分别算出集合A，B，再利用并集运算即可得到答案. 【详解】因为，所以， 故选：B. 【点睛】本题考查集合的并集运算，涉及了解绝对值不等式、对数不等式，是一道基础题. 3. 函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，研究的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性解不等式即可求解. 【详解】令， 则 ， 所以是奇函数，且在上单调递增， 又，所以， 所以，即，即. 故选：A. 4. 在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的外接球体积为　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据面面垂直性质定理得平面，再根据正弦定理求的外接圆的直径，最后根据球心位置列式求半径，即得结果. 【详解】平面平面，平面平面，，平面，平面， ，所以，是边长为的等边三角形， 由正弦定理得的外接圆的直径为， 所以，该球的直径为，则， 因此，三棱锥的外接球体积为． 故选． 【点睛】本题考查面面垂直性质定理、正弦定理以及外接球体积，考查综合分析求解能力，属中档题. 5. 已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上.若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的半径为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1， 设圆C的圆心为C（﹣1，h），则圆C的半径r=， ∵直线x+y﹣3=0与圆C相切， ∴圆心C到直线的距离d=r，即=， 解得h=0（舍）或h=﹣8． ∴r==14． 故选D 6. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,,结合等比数列的性质可求出答案. 【详解】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,,. 故选:D. 【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 7. 若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵，∴，当且仅当时，取得最大值为，∵不等式恒成立，∴，解得 故选C 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值. 【详解】由题意可得：， 则：，， 从而有：， 即. 故选：B. 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题. 二、多选题（本题共计3题，共计18分） 9. 已知由样本数据（）组成的一个样本，得到经验回归方程为且，去除两个异常数据和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则（ ） A. 相关变量，具有正相关关系 B. 去除异常数据后，新的平均数 C. 去除异常数据后的经验回归方程为 D. 去除异常数据后，随值增加，的值增加速度变小 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据正相关的定义得到A正确；B选项，根据得到B错误；C选项，先求出，进而得到，结合新的经验回归直线的斜率得到新的经验回归方程；D选项，去除异常数据后，斜率由增大到3，故D错误. 【详解】A选项，因为回归方程的斜率为正，所以相关变量，具有正相关关系，所以A正确； B选项，因为，所以去除两个异常数据和后， 得到新的，所以B错误； C选项，由代入得， 故去除两个异常数据和后，， 因为得到的新的经验回归直线的斜率为3， 所以， 所以去除异常数据后的经验回归方程为，故C正确； D选项，因为经验回归直线的斜率为正数，所以变量，具有正相关关系， 且去除异常数据后，斜率由增大到3，故值增加的速度变大，D错误. 故选：AC． 10. 下列四个条件中，能成为的充分不必要条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据选项是的充分不必要条件，选项所给的不等式可以推出，但推不出选项所给的不等式即可． 【详解】对于选项：若 ，则，则， 反之，当时得不出， 所以是的充分不必要条件，故正确； 对于B选项：由可得，即能推出； 但不能推出因为的正负不确定) ， 所以是的充分不必要条件，故B正确； 对于C选项：由可得，则，不能推出； 由也不能推出(如) ， 所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D选项:若，则，反之得不出， 所以是的充分不必要条件，故选项D正确． 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 11. 设定义在上的函数满足：①；②；③存任大于零的常数，使得，且当时，.则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 函数在上没有最值 【答案】AC 【解析】 【分析】方法1：取特殊函数，取，满足条件，逐项验证即可； 方法2：对于A赋值令和即可判断，对于B令得，利用不等式性质即可判断，对于C令代入②即可判断，对于D利用基本不等式即可判断. 【详解】方法1：取特殊函数，取， 满足， ，所以，故A正确； 当时，所以，所以，故B错误， 由，故C正确； 由，所以函数在上最大值为，故D错误 方法2：对于A，令，由②； 令，故A正确； 对于，令， 结合③得，故B错误； 对于C，令，由②，故正确； 对于，由选项有， 当且仅当，等号可取到，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（本题共计3题，共计15分） 12. 已知向量在向量方向上的投影为，且|，则_____ 【答案】2 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的几何意义即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故答案为：2. 13. 若命题“存在实数,使得”是假命题,则实数的取值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据命题与特称命题的否定真假不一致原则，可转化为求m的最值；根据导数判断单调性，进而求得m的取值范围． 【详解】因为命题“存在实数x0∈[1,2],使得ex+x2+3-m<0”是假命题 所以命题的否定形式为“对于任意实数x0∈[1,2],使得ex+x2+3-m0”恒成立是真命题 由ex+x2+3-m0可得 在[1,2]上恒成立 设 在[1,2]上大于0恒成立， 所以在[1,2]为单调递增函数 所以 所以 即m的取值范围为 【点睛】本题考查了特称命题的否定形式和恒成立问题，导数在研究最值问题中的应用，属于中档题． 14. 已知四面体，，为边长为的等边三角形，若顶点在平面的投影是的垂心，则四面体的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由是的垂心，可证明，，进一步证明，进一步证明在平面的射影是的中心，所以三棱锥是正三棱锥，其体积可求. 【详解】解： 作平面，垂足为，是的垂心， 连结交于，连结交于，则， 因为，所以，所以是边的中点，是边的垂直平分线， 所以， 平面，平面， 所以，， 平面，平面， 所以平面，平面，所以 平面，所以平面平面， 在平面内作，垂足为，平面平面， 所以平面，平面，所以 连结交于 平面，平面， 所以平面，平面，所以， 平面，平面，， 所以平面， 平面，所以， 由等边三角形的高线、中线、角平分线合一， 所以是的中心，所以三棱锥是正三棱锥， 所以， ，， ， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中熟记三棱锥的几何结构特征，利用体积公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，中档题. 四、解答题（本题共计5题，共计60分） 15. 已知函数， (I)求最小正周期； (II)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ） ,. 【解析】 【详解】（Ⅰ） 由已知，有 . 所以的最小正周期. （Ⅱ）因为在区间上是减函数，在区间上是增函数， ，所以在区间上的最大值为，最小值为. 考点：三角恒等变形、三角函数的图象与性质. 16. 如图，在直三棱柱中，平面侧面，且， （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若直线与平面所成角的大小为，求锐二面角的大小． 【答案】（Ⅰ）如图，取的中点，连接. 因为，所以. 由平面侧面，且平面侧面， 得平面. 又平面，所以， 因为三棱柱是直三棱柱，则底面，所以 又，从而侧面， 又侧面，故． （Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先取的中点，连接，根据线面垂直的判定定理，证明侧面，进而可得出； (Ⅱ)根据（Ⅰ）的结果，得到且底面，以点为原点，以所在直线分别为， ，轴建立空间直角坐标系，设，表示出，再求出平面的一个法向量，根据直线与平面所成角的大小为，求出，再求出平面的一个法向量，由向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】（Ⅰ）略 (Ⅱ)由（1）知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为， ，轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，，，，，. 设平面的一个法向量，由，，得. 令，得，则. 设直线与平面所成的角为，则， 所以， 解得， 即. 又设平面的一个法向量为，同理可得. 设锐二面角的大小为，则， 由，得. ∴锐二面角的大小为. 【点睛】本题主要考查证明线线垂直、以及已知线面角求其它量和求二面角的问题，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，灵活运用向量的方法求空间角即可，属于常考题型. 17. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列满足，求数列前项和． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）设公差为，根据题意列方程组可得，由此可得； （Ⅱ）使用裂项相消求和可得． 【详解】（Ⅰ）设的公差为，则，， ， 又，， ， ． （Ⅱ）， ． 【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，考查了数列求和，属中档题． 18. 已知函数的定义域为R，，且. （1）求的值 （2）若为一次函数，且在内单调递增，求的取值范围. 【答案】（1）11 （2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法即可求解； （2）利用待定系数法求，再利用导数研究单调性即可求解. 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 由为一次函数，设，由，， 所以， 所以，所以， 因为在内单调递增，所以在内恒成立， 所以在内恒成立， 所以，又在内恒有， 所以， 所以的取值范围为. 19. 已知分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，点在椭圆上，且当直线垂直于轴时，. （1）求椭圆C的标准方程； （2）是否存在实数t，使得恒成立.若存在，求出的值；若不存在，说明理由 【答案】（1）；（2）存在；. 【解析】 【分析】 （1）根据题意得到关于的方程组，求解出的值，则椭圆方程可求； （2）根据条件可得，当直线的斜率不存在时，直接计算即可；当直线的斜率存在时，设，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理形式表示出，由此确定出是否存在满足条件. 【详解】解：（1）由题意可得， 解得. 故椭圆C的标准方程为. （2）由（1）可知. 当直线l的斜率不存在时，，则. 当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则直线l的方程为. 联立，整理得， 则，从而 故 由题意可得. 则. 因为，所以. 综上，存在实数，使得恒成立. 【点睛】易错点睛：利用直线与圆锥曲线联立求解相关问题的易错点： （1）假设直线方程的时候，要注意分析直线的斜率是否存在； （2）利用公式或不仅可以求解弦长，同时还可以求解两点之间的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丽江市第一高级中学2024-2025学年高三上学期期末质量检测 数学考试 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填 写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规 定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳 素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本题共计8题，共计40分） 1. 设复数满足,则 A. B. C. D. 2. 已知集合，集合则（ ） A. B. C. D. 3. 函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的外接球体积为　　 A. B. C. D. 5. 已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上.若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的半径为 A. B. C. D. 6. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A. B. C. D. 7. 若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共计3题，共计18分） 9. 已知由样本数据（）组成的一个样本，得到经验回归方程为且，去除两个异常数据和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则（ ） A. 相关变量，具有正相关关系 B. 去除异常数据后，新的平均数 C. 去除异常数据后的经验回归方程为 D. 去除异常数据后，随值增加，的值增加速度变小 10. 下列四个条件中，能成为的充分不必要条件的是（ ） A. B. C. D. 11. 设定义在上的函数满足：①；②；③存任大于零的常数，使得，且当时，.则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 函数在上没有最值 三、填空题（本题共计3题，共计15分） 12. 已知向量在向量方向上的投影为，且|，则_____ 13. 若命题“存在实数,使得”是假命题,则实数的取值为______ 14. 已知四面体，，为边长为的等边三角形，若顶点在平面的投影是的垂心，则四面体的体积为________. 四、解答题（本题共计5题，共计60分） 15. 已知函数， (I)求最小正周期； (II)求在区间上的最大值和最小值. 16. 如图，在直三棱柱中，平面侧面，且， （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若直线与平面所成角的大小为，求锐二面角的大小． 17. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列满足，求数列前项和． 18. 已知函数的定义域为R，，且. （1）求的值 （2）若为一次函数，且在内单调递增，求的取值范围. 19. 已知分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，点在椭圆上，且当直线垂直于轴时，. （1）求椭圆C的标准方程； （2）是否存在实数t，使得恒成立.若存在，求出的值；若不存在，说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $