精品解析：广东省中山市杨仙逸中学2023-2024学年高一下学期第2次段考数学试题

2024年广东省中山市杨仙逸中学高一下数第2次段考 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 2或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答. 【详解】因为复数为纯虚数，则有，解得， 所以实数的值为. 故选：C 2. 已知中，点M是线段的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理，画出图形，再进行分析即可． 【详解】解：已知中，点是线段的中点，， 作图，如图所示： 则 ， 故选：A． 3. 要得到的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】将整理成，然后利用平移变换即可求解. 【详解】由于函数， 故只需将函数的图象向右平移可得函数的图象. 故选：D． 4. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个边长为1的正方形，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图还原平面图，再求出相应的线段的长度，即可求出面积. 【详解】如图，不妨令直观图中正方形为，则， 所以， 由直观图可得如下平面图形，则，， 所以. 故选：A 5. 在矩形ABCD中，，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形法则化简为，然后可得. 【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知， 所以. 故选：C 6. 已知向量，若，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，，，求得，，再根据投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得，所以， 又，，所以，解得，所以， 所以，， 故向量在方向上的投影向量为. 故选：A． 7. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆面积公式求出圆锥的底面面积，再由扇形侧面积公式求出圆锥侧面积，即可得到圆锥的表面积. 【详解】因为底面半径，所以底面积，底面周长，圆锥母线长，圆锥侧面积，故圆锥的表面积为． 故选：C. 8. 如图所示，已知正六边形，下列给出的向量的数量积中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正六边形的性质及数量积的定义计算可得； 【详解】解：根据正六边形的几何性质，可知，，，． ，，， ．比较得最大， 故选：A. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 设复数，其中是虚数单位，下列判断中正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第一象限 C. 是方程的一个根 D. 若复数z满足，则最大值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的运算律即可判断A选项，根据复数在复平面内的性质即可判断B选项，将代入方程即可判断C选项，先设出，根据圆的相关知识即可判断D选项. 【详解】因为，所以，故A错误； 在复平面内对应的点在第一象限，故B正确； 因为，所以， 是方程的一个根，故C正确； 设，则， 则， 所以，所以复数可看做复平面内的点， 该点在圆心为，半径的圆上， 连接原点与圆心并延长，与圆的交点即为的最大值， 此时. 故D正确. 故选：BCD. 10. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ） A. 直线与为异面直线 B 平面 C. 正方体的外接球的表面积为 D. 三棱锥的体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据异面直线定义即可判断A；根据题意得到，再利用线面平行的判定定理即可判断B；首先求出正方体外接球半径，再计算表面积即可判断C；计算三棱锥的体积即可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对选项A，因为平面，平面，面， ，所以直线与为异面直线.故选项A正确； 对选项B，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，故选项B正确； 对选项C，正方体外接球半径， 所以球体表面积，故选项C正确； 对选项D，，故选项D错误. 故选：ABC 11. 以下说法正确的是（    ） A. 若的外心为，且，则 B. 已知向量，且与的夹角为锐角，则且 C. 若中，且只有一解，则的取值范围为 D. 若为锐角三角形，且，则得取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，作交于点点，则点为的中点，设，可得，利用的数量积公式计算可判断A；B选项，根据向量夹角的计算可判断B，注意共线这一特殊情况；C选项，由正弦定理得，因为，所以，可判断C；D选项，根据求出，利用为锐角三角形，得的范围，由正弦定理得，求出的范围可判断D. 【详解】对于A：如图作交于点点， 则点为的中点，且， 设，所以， 所以， 故A正确； 对于B：因为，且与的夹角为锐角， 所以且不可以与同向， 所以，解得， 当时，，解得， 综上所述，当与的夹角为锐角时，且， 故B正确； 对于C：若，且， 由正弦定理得，即， 所以时，三角形才有解， 故C错误； 对于D：因为， 所以，且为锐角三角形， 所以，解得，所以， 由正弦定理得， 所以，故D正确； 故选：ABD． 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：， 解方程可得：. 故答案为：. 13. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再利用面积求出关系，再结合求出，最后利用余弦定理求出. 【详解】， ， ， ，又， ， . 故答案为：. 14. 已知函数的部分图象如图所示，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】先结合图象求出的解析式，再代入计算即可. 【详解】由题意知：，则，解得，即，又， 又，则，即，则. 故答案为：1. 四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17小题各15分，第18、19小题各17分） 15. 已知 （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正切公式求出，然后根据两角的取值范围即可求解； （2）利用同角三角函数的基本关系得到，然后结合（1）的结论和两角和的正弦公式即可求解. 【小问1详解】 ， ，，. 【小问2详解】 由， 求得， . 16. 如图，在平面四边形中，，，，. （1）求线段的长度； （2）求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）在△ABC中，利用正弦定理求出，再利用， 在中根据正弦定理即可求解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得： ， . 故线段长度. 【小问2详解】 由（1）知，， 在中，由正弦定理可得：， 即， 得， 又，所以， 在中，由正弦定理可得：， 即， . 所以的值为. 17. 如图，是圆柱的一条母线，过底面圆的圆心是圆上异于点的一点. 已知. （1）求该圆柱的体积； （2）求证：平面； （3）将四面体绕母线所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的体积公式，准确计算，即可求解； （2）根据题意，分别证得，，结合线面垂直的判定定理，即可得证； （3）根据旋转体的概念，结合圆锥的体积公式，即可求解. 【小问1详解】 设圆柱的底面半径为，因为过底面圆的圆心，且，可得， 又由圆柱的母线长为，即圆柱的高为， 所以则圆柱的体积. 【小问2详解】 因为是圆的直径，是圆上的一点，可得， 又因为平面，且平面，所以， 因为平面，且，所以平面. 【小问3详解】 由线段绕旋转一周所得的几何体为以为底面半径，为高的圆锥， 线段绕旋转一周所得的几何体为以为底面半径，为高的圆锥， 所以绕旋转一周而成的封闭几何体的体积为： . 18. 如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为． （1）求证：平面平面； （2）求证：； （3）若，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据面面平行判定定理，即可证明； （2）根据线面平行的性质，即可证明； （3）根据几何体特征，可求得正四棱锥的高为，再根据锥体的体积公式即可求解. 【小问1详解】 因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形， 所以，， 又平面，平面， 则平面， 同理平面，平面， 可得平面， 又，平面， 所以平面平面． 小问2详解】 因为底面为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. 【小问3详解】 因为四棱锥是正四棱锥， 所以底面是正方形，在底面上的投影是底面的中心， 又，所以， 又， 所以四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积． 19. 如图，在中，，点是线段上一点． （1）若点是线段的中点，试用和表示向量； （2）若，求实数的值； （3）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求解； （2）根据向量线性运算利用表示，结合平面向量基本定理列方程求的值； （3）由条件，可得，由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值. 【小问1详解】 点是线段的中点，且， ， ， . 【小问2详解】 三点共线，设， 所以，又， ， ， ， . 【小问3详解】 ， ， ， ， ， ，当且仅当，即时，取等号， 的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年广东省中山市杨仙逸中学高一下数第2次段考 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 2或 C. D. 2. 已知中，点M是线段的中点，，则（ ） A. B. C. D. 3. 要得到图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个边长为1的正方形，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 1 5. 在矩形ABCD中，，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 已知向量，若，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，已知正六边形，下列给出的向量的数量积中最大的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 设复数，其中是虚数单位，下列判断中正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第一象限 C. 是方程一个根 D. 若复数z满足，则最大值为2 10. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ） A. 直线与为异面直线 B. 平面 C. 正方体的外接球的表面积为 D. 三棱锥的体积为 11. 以下说法正确的是（    ） A. 若外心为，且，则 B. 已知向量，且与的夹角为锐角，则且 C. 若中，且只有一解，则的取值范围为 D. 若为锐角三角形，且，则得取值范围为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12 已知向量，若，则_________． 13. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，，，则的值为________． 14. 已知函数的部分图象如图所示，则__________． 四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17小题各15分，第18、19小题各17分） 15. 已知 （1）求的值； （2）求的值. 16. 如图，在平面四边形中，，，，. （1）求线段的长度； （2）求的值. 17. 如图，是圆柱的一条母线，过底面圆的圆心是圆上异于点的一点. 已知. （1）求该圆柱体积； （2）求证：平面； （3）将四面体绕母线所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积. 18. 如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为． （1）求证：平面平面； （2）求证：； （3）若，求四棱锥的体积． 19. 如图，在中，，点是线段上一点． （1）若点是线段的中点，试用和表示向量； （2）若，求实数的值； （3）若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $