四川省广安市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

广安市2025年春季高一期末考试 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.在复平面内，复数对应的向量，则（ ） A. B.4 C. D.1 2.广安市某单位有员工1200人，其中岁的有400人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取120名员工，则在岁抽取的人数为（ ） A.40 B.20 C.60 D.44 3.已知函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 4.下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 5.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6.己知，则的值是（ ） A.-5 B. C.5 D. 11.我们称底面直径与高相等的圆柱为等边圆柱，如图，在等边圆柱内有一个正三棱锥，正三棱锥的底面在圆柱底面圆周上，顶点是圆柱的上底面中心，是底面三角形边的中点，连接是上底面的一条直径且不平行于，若圆柱的高为2，则下列说法中，正确的是（ ） A.中的长为 B.三棱锥的外接球的体积与圆柱的外接球的体积之比为 C.四面体的体积最大值为1 D.半平面与半平面所成二面角的余弦值的取值范围是 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量，若，则__________. 13.水平放置的的直观图如图所示，其中，那么原面积为__________. 14.已知是正整数，且，则满足方程的有__________个. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.在中，是边上的中点，且平分， （1）求的长； （2）求的面积； （3）求的长. 16.为了迎接2026年四川省第十五届运动会，某市积极开展体育竞赛，对甲､乙两支运动队进行7次初测，成绩统计如图所示： （1）求甲和乙的测试成绩的平均数和方差； （2）从下列两个不同的角度分别对甲､乙两队结果进行分析： （i）从平均数和方差相结合分析哪支队伍的成绩更好； （ii）从折线图走势分析哪支队伍更具有潜力. 17.如图，在边长为2的正方体中，为中点， （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求三棱锥的体积. 18.已知函数. （1）求函数的对称中心； （2）先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象， （i）求函数的单调递增区间； （ii）若将函数图像所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得函数图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，求的范围及在区间上的最值. 19.如图，四棱台中，下底面是边长为2的正方形，上底面是边长为1的正方形，平面，动点在棱上移动，连接. （1）证明：平面平面； （2）若点为的中点，平面平面 （i）与所成的最小角为，求； （ii）设平面平面与所成角的最小值为，当最小时，求的值. 广安市2025年春季高一期末考试 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C B D D B D 题号 9 10 11 答案 ACD BCD BC 12.-3 13. 14.11 15.解：（1）在中，是边上的中点，且平分 为等腰三角形， 又， ， 在中，由正弦定理； （2）由（1）可知， （3）， ， 两端平方 ， 由数量积的定义 ， ， 的长为. 16.【解】（1）由表格中的数据可得 甲的平均数为， 乙的平均数为， 甲的方差为， 乙的方差为； （2）（i）甲，乙两支队伍平均数相等，且，乙队发挥更稳定； （ii）从折线图的走势上看甲队更有潜力，甲队成绩稳步提高， 17.解（1）在边长为2的正方体中，设交于点，连结，是中点，而为中点，则， 又平面平面，所以平面 （2）在边长为2的正方体中，平面， 平面， 底面为正方形，， 平面平面， 由线面垂直判定定理 平面 平面 （3）在边长为2的正方体中，平面， 所以三棱锥的体积为 18.解（1） ， 由，得， 所以的对称中心为 （2）将的图象向右平移个单位长度，得上的图象， 再将该图象所有点的横坐标缩短为原来的2（纵坐标不变），得到的图象， 故. （i）由可得， 所以函数的单调减区间为. （ii）将函数图像所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得函数，由，设，则，由在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，结合正弦曲线可知直线在线段之间，不含点，可以含， 所以，得. 又因为，令，又 在区间上的最大值为1，无最小值. 【建议：若学生求的是的最值且正确也给分，参考步骤为：由在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，结合正弦曲线可知，这条对称轴正好取到最大值为1，无最小值.】 19.【解】（1）连接， 因为底面是边长为2的正方形，所以， 因为平面平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）（i）设，则为中点，连接， 因为点为棱的中点，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，故当在直线上时，与所成的角最小， 即， 因为，所以， 因为底面是边长为2的正方形，所以， 故，由勾股定理得， 所以； （ii）设， 若，即为中点，此时， 平面平面，显然此时， 取中点，连接，则， 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以，即， ，故， 与所成角的最小值为，即与所成角的最小值为， 由于与平面上的直线的夹角最小， 故当与点重合时，，此时与所成角最小，最小值为， 其中，故； 若时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，则， 过点作于点，连接， 因为平面平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，故， 与所成角的最小值为，即与所成角的最小值为 故当，此时与所成角最小，最小值为， 其中， 由于，故，故 ； 若时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，则 ， 过点作于点，连接， 同理可证， 与所成角的最小值为，即与所成角的最小值为， 故当，此时与所成角最小，最小值为， 其中， 当时，为等腰直角三角形，， 此时重合，取得最大值，最大值为， 故取得最小值，最小值为， 由于，故当时，满足要求， 此时，过点作，交于点，则， 即，故， 又，故，故， 因为点为棱的中点，所以 其中，故，即，解得， 综上，. 学科网（北京）股份有限公司 $$