专题 1.4 线段垂直平分线与角平分线基础题 2025--2026学年苏科版八年级数学上册

专题 1.4 线段垂直平分线与角平分线 （一）线段的垂直平分线 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称为中垂线）； 2.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，​ 3.判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. （二）角平分线 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线; 2.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 3.判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上; 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（   ） A．24 B．22 C．20 D．18 2．（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，在直角三角形中，，根据尺规作图的痕迹，以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 5.点O是内一点，连接，连接并延长交于点D，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．2 D．6 6．（2025·陕西西安·二模）如图，是的边上的一点，经过的中点且垂直于．若，，则的长为（   ） A．27 B．12 C．7 D．5 二、填空题 7．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ． 8．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，是的角平分线，是的高线，于点，于点，若，，，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，，是的中点，平分，若，则 ． 10．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，的垂直平分线与，分别交于点，，的垂直平分线与，分别交于点，，已知，，则的周长为 ． 11．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ． 12.（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 三、解答题 13．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求证： 14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．求证：． 15．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点E，于点F，且． （1）求证：． （2）若．求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.4 线段垂直平分线与角平分线 （一）线段的垂直平分线 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称为中垂线）； 2.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，​ 3.判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. （二）角平分线 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线; 2.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 3.判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上; 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（   ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】B 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，，，进而求解即可． 解：∵垂直平分， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 2．（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，在直角三角形中，，根据尺规作图的痕迹，以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，得到是的角平分线，，根据角平分线的性质，，再逐项判断即可． 解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∴，A不符合题意；C不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，D不符合题意； 无法证明，B符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线之间的距离， 作，可知点F，O，G三点共线，再根据角平分线的性质得，可得答案． 解：过点O作，分别交于点F，G， ∴， ∴点F，O，G三点共线． ∵分别是的平分线，且， ∴， ∴， ∴与两平行线之间的距离是6． 故选：C． 4．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 5.如图，在中，，点O是内一点，连接，连接并延长交于点D，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，解题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的判定定理解答问题． 根据，可知直线是线段的垂直平分线，由与交于点，从而可以得到的长，本题得以解决． 解：∵， ∴点，点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∵与交于点， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6．（2025·陕西西安·二模）如图，是的边上的一点，经过的中点且垂直于．若，，则的长为（   ） A．27 B．12 C．7 D．5 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线得到，然后根据线段的和差解题即可． 解：∵垂直平分， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D是的中点，，推出是的垂直平分线，得到，再根据点D是的中点，得到，进而得到，即可求解． 解：∵在中，点D是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，是的角平分线，是的高线，于点，于点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形高的计算，根据角平分线的性质得到，根据面积的计算得到，由此即可求解． 解：∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∵是的高线，， ∴， 故答案为： ． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，，是的中点，平分，若，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据平行线的性质求出，根据角平分线的判定定理得到，计算即可． 解：作于． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分，，， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴， 又，， ∴． 故答案为:． 10．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，的垂直平分线与，分别交于点，，的垂直平分线与，分别交于点，，已知，，则的周长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．先根据线段的垂直平分线的性质得到、，根据三角形的周长，代入数据计算即可． 解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， ，， 的周长， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质及其尺规作图， 过点作于点，根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积计算公式求解即可． 解：过点作于点， 根据作图可知为的角平分线， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：。 12.（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可． 解：因为， 所以， 根据题意得：平分， 所以， 因为为高， 所以， 所以, 所以， 故答案为：． 三、解答题 13．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求证： 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 解：（1）证明：为的中点， ．            ；                              在和中，       ； （2）证明： 垂直平分， ． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，连接，，由线段垂直平分线的性质得到，由角平分线的性质得到，据此可证明，则可证明． 解：证明：如图所示，连接，， 垂直平分， ， ，，平分， ，， ， ． 15．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点E，于点F，且． （1）求证：． （2）若．求的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键． （1）先根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据线段的和差即可得． 解：（1）证明：平分，，， ． 在和中， ∵ ． （2）解：由（1），得， ． ，， ． 在和中， ∵ ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$