2.1认识实数第2课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第二章 实数 第1课 认识实数 第2课时 2024版北师大数学八年级数学上册 学习目标 1.了解无理数、实数的定义，会对实数进行分类，了解数域扩充后的变与不变. 2.能在数轴上表示一个无理数，理解数轴上的点与实数一一对应的关系，感受数域扩充的必要性. 教学设计的基本环节： 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 问题:不是有理数的数都可以用无限不循环小数来表示吗？ 两千多年前的古希腊，毕达哥拉斯学派坚信 “万物皆数”—— 他们认为，世间所有量都能表示为整数或整数的比值（分数）.学派门徒希伯索斯研究 “边长为 1 的正方形对角线”不能用已有的数来表示,希伯索斯的发现彻底动摇了学派的理论根基，众人陷入恐慌.为维护 “万物皆数” 的信仰，学派严令封锁秘密，甚至规定 “泄密者处死”.但真理无法被禁锢：希伯索斯最终还是透露了这个发现.学派追随者追捕到他后，残忍地将他扔进地中海. 真理或许会遭遇阻力，但终将推动人类进步 第一个思考上述问题的人 4 问题构建 问题1：观察下面一组小组，说说你的发现？ 有限小数和无限循环小数都是有理数.而不是有理数的数只能用无限不循环小数来表示. 无理数的定义 无限不循环小数叫作无理数. 常见的无理数有：π，像的数，无限不循环小数. 问题构建 例：下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 3.14，，2π，-10，0.1010001000001……(相邻两个1之间0的个数逐次加2)，面积为2的正方形边长 解：有理数有： 3.14(有限小数） （分数） （无限循环小数） -10（整数） 无理数有： 0.1010001000001……(相邻两个1之间0的个数逐次加2)：无限不循环小数 2π（关联π的数） 面积为2的正方形边长 问题构建 问题2：有理数有正负之分，无理数有没有呢？ 正数集合 负数集合 3.14， ，2π， 0.1010001000001……(相邻两个1之间0的个数逐次加2)，面积为2的正方形边长 -10， 数域扩充到实数后，负数的定义不变. 无理数： 无限不循环小数 有理数： 有限小数或无限循环小数 实 数 （1）按定义分 分数 整数 含开方开不尽的数 有规律但不循环的小数 含有π的数 问题构建 实数的定义： 有理数和无理数统称为实数，即实数可以分为有理数和无理数. 问题构建 实数的定义： 有理数和无理数统称为实数，即实数可以分为有理数和无理数. （2）按性质分 协作破冰 问题3：实数域内，相反数、倒数、绝对值的相关知识是否成立呢？找几个数试一试. 实数 相反数 倒数 绝对值 变化情况 π -π π 不变 -π π - π 不变 0.1010001000001…… -0.1010001000001…… 0.1010001000001…… 不变 - 不变 实数域内，相反数、倒数、绝对值相关概念不变，仍然成立. 协作破冰 问题4：有理数可以用数轴上的一个点来表示，无理数能否表示在数轴上？应该如何表示？ 上节课研究了两个正方形，边长分别为满足 追问1：如图，OA=OB，数轴上的点A对应中的哪个数？ 显然，点A表示 教师示范 追问2：如图，OA=OB，数轴上的点A对应你是怎样判断的？ 理由如下：在Rt△ABC中，由勾股定理得： =1+1=2 OA=OB 的点A对应 教师示范 追问3：你能在数轴上找到另一个数对应的点吗？与同伴交流. 理由如下：在Rt△ODE中，由勾股定理得： =4+1=5 OD=OF 的点F对应 教师示范 数轴上表示无理数的一般方法 1.将要表示的数拆分为2个或多组完全平方数，例如1,4,9,16，…… 2.构造以所拆解数为平方的长方形或直接三角形 3.连接对角线 4.以原点为圆心，以对角线长为半径画弧交数轴于一点即为所求. 结论：事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说，实数和数轴上的点是一一对应的. 思考：表示负无理数数时如何操作？ 巩固拓展 结论：操作方式不变，在数轴负半轴进行即可，如图所示点G表示点F的相反数. 例：观察右图所示的海螺型图案，分别计算从平方，判断哪些结果是无理数，哪些是有理数？. C和有理数，其他字母表示的数是无理数 巩固拓展 巩固拓展 问题5：同一个正方形的边长和对角线的长度可能都是整数吗？ 分析：不可能，理由如下： 步骤 1：设定变量 设正方形的边长为，对角线长度为，其中均为正整数 步骤 2：依据勾股定理建立等式 根据正方形的性质，由勾股定理可知，正方形的对角线的平方等于两条边长的平方和，即，化简可得 ，这表明是2的倍数  巩固拓展 问题5：同一个正方形的边长和对角线的长度可能都是整数吗？ 步骤 3：分析,b的性质 因为一个整数的平方是2的倍数，那么这个整数本身也必然是2的倍数（整数可分为奇数和偶数，奇数的平方是奇数，不可能是2的倍数；只有偶数的平方是偶数，才可能是2的倍数 ）,所以可设b=2k（k为正整数）,将其代入 中，得到 ,同理，这说明是2的倍数，那么也必然是2的倍数 .因为两个数都是2的倍数，又都是正整数.两个数无限被2整除，不成立. 当堂检测 1.判断下列说法是否正确： （1）所有无限小数都是无理数； （ ） （2）所有无理数都是无限小数； （ ） （3）有理数都是有限小数； （ ） （4）不是有限小数的数不是有理数 （ ） 对 错 错 错 当堂检测 2.下列各数： 1， (相邻两个3之间0的个数逐次加1)中，无理数的个数是（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【解析】无限不循环小数是无理数，其中 (相邻两个3之间0的个数逐次加1)是无理数，其他是有理数. A 当堂检测 3.已知某个长方体的体积是 ，它的长、宽、高之比是 ，则该长方体的长、宽、高是有理数还是无理数？为什么？ 解：该长方体的长、宽、高都是无理数.理由如下： 设长方体的长、宽、高分别为，， . 根据题意，得 ，则 . 不存在一个有理数的立方为30， 是无理数. ，， 均为无理数， 即该长方体的长、宽、高都是无理数. 反思总结 1.实数的分类是怎样分的？ 2.如何在数轴上表示一个无理数？ 3.边长平方等于2,3,5这样的数是否有其他的表示方法呢？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本P29 第1题，P30 第5题. 二、素养类作业 课本P30页 第7题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $$