专题05 一次函数与实际问题（压轴题专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题05 一次函数与实际问题 目录 2 类型一、行程问题 2 类型二、工程问题 8 类型三、调运问题 13 类型四、计时问题 17 类型五、分配问题 22 类型六、体积问题 26 类型七、最大利润问题 32 类型八、阶梯计费问题 37 类型九、方案选择问题 43 类型十、新情境问题 49 55 一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 求最值的本质为求最优方案，解法有两种： 1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； 2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 类型一、行程问题 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）国庆假期，某出租车司机将3名游客从高铁站送往景点甲地，到达后立刻返回．出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系如图所示． (1)求出与之间的函数关系式； (2)求出租车出发4小时后距离景点甲地多远？ (3)在高铁站与景点甲地之间有一服务区乙地，出租车从去时途经乙地，到返回时再经过乙地，共用1小时50分钟，求高铁站与服务区乙地相距多远？ 【答案】(1) (2)出租车出发4小时后距离景点甲地60千米 (3)高铁站与服务区乙地相距100千米． 【分析】（1）根据题意分和两种情况，然后分别利用待定系数法求解即可； （2）首先求出出租车出发4小时后距离高铁站的距离，然后列式求解即可； （3）首先求出去时的速度为，返回时的速度为，设去时从乙地到景点的时间为x小时，则返回时从景点到乙地的时间为小时，然后根据去时和返回时乙地到景点的距离相等列出方程求出，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：当时，设出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系式为 将代入得， 解得 ∴； 当时，设出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系式为 将，代入得， 解得 ∴ 综上所述，； （2）解：将代入 ∴（千米） ∴出租车出发4小时后距离景点甲地60千米； （3）解：1小时50分钟（分钟）（小时） ∵去时的速度为，返回时的速度为， ∴设去时从乙地到景点的时间为x小时，则返回时从景点到乙地的时间为小时 根据题意得， 解得 ∴（千米） ∴高铁站与服务区乙地相距100千米． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 2．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）2024年宣州区第一届龙舟邀请赛在水阳江开桨。甲乙两支龙舟队在赛前进行了备战训练，甲乙两队均从起点驶向终点，在整个行程中，龙舟离开起点的距离（米）与时间（分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)分别求出甲、乙两支龙舟队的与函数关系式； (2)甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距180米？（直接写出答案） 【答案】(1)甲龙舟队的与函数关系式为；乙龙舟队的与函数关系式为 (2)甲龙舟队出发或或或，两支龙舟队相距180米 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据速度路程时间分别求出甲、乙两支龙舟队的速度，再根据路程速度时间分别求出甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式即可； （2）根据的取值范围，当两支龙舟队相距180米时分别列关于的方程并求解即可． 【详解】（1）解：设甲龙舟队的与函数关系式为， 把（25，3000）代入，可得，解得， ∴甲龙舟队的与函数关系式为， 设乙龙舟队的与函数关系式为， 把代入，可得：， 解得：， 乙龙舟队的与x函数关系式为； （2）解：由（1）中得到函数关系式可知， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得或； 当时，得， 解得． 综上所述，或或或． 答：甲龙舟队出发分或分或分或分时两支龙舟队相距180米． 3．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）小张和妈妈同时从家沿同一直道骑自行车去公园．妈妈先以150米/分钟的速度骑行一段时间后，休息了5分钟，再以m米/分钟的速度到达公园，小张始终以同一速度骑行，两人离家的距离y（米）与时间x（分钟）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)______，______，______； (2)若小张的速度为120米/分钟，妈妈自第二次出发至到达公园前，何时与小张相距200米？ 【答案】(1)10，15，200 (2)16.25分钟时和21.25分钟 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，从函数图象中准确获取信息是解答的关键． （1）根据路程、时间、速度关系，结合图象中数据求解即可； （2）根据图象，先分别求出段的函数表达式为，段的函数表达式为，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，，， 故答案为：10；15；200． （2）解：由题意得：段的函数表达式为． 设段的函数表达式为， 将和代入，得 解得， ∴段的函数表达式为； 或 解得：或． ∴在16.25分钟时和21.25分钟时，妈妈与小张相距200米． 4．（22-23八年级·全国·假期作业）甲车从地出发匀速向地行驶，同时乙车从地出发匀速向地行驶，甲车行驶速度比乙车快，甲、乙两车距地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示： (1)甲车速度为_____，乙车速度为_____； (2)分别求出行驶过程中，甲乙两车的与的函数关系式； (3)在行驶过程中，两车出发多长时间，两车相距80千米？ 【答案】(1)100，60 (2)甲车：，乙车： (3)2.5小时或3.5小时 【分析】本题考查一次函数的应用，读懂图象中的信息，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式和行程问题的数量关系是解题的关键． （1）根据图象信息，甲车的时间为4.8小时，乙车的时间为8小时，路程都为千米，利用速度等于路程除以时间可得结果； （2）利用图中信息用待定系数法列方程可得解析式； （3）有两种情况，一种情况是两车相遇之前相距80千米，一种情况是两车相遇之后相距80千米，利用路程相等列方程可得结果． 【详解】（1）解：甲车速度为，乙车的速度为． 故答案为：100，60； （2）解：设甲车y与x的关系式为，将代入得： ，解得， ； 设乙车与的关系式为，则 ，解得：， 与的函数关系式为； （3）解：当两车相距80千米时，则 或， 解得：或 答：在行驶过程中，两车出发小时或小时时，两车相距80千米． 类型二、工程问题 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）2023年暑期某地发生水灾，防洪救援部门准备安排30辆货车装运甲、乙、丙三种物资共150吨前往灾区救援，按计划30辆货车都要装运，每辆货车只能装运同一种物资且必须装满．已知每辆货车单独装甲种物资可装8吨，单独装乙种物资可装6吨，单独装丙种物资可装4吨． (1)设装运甲种物资的车辆数为x辆，装运乙种物资的车辆数为y辆，求y与x之间的函数关系式； (2)如果装运每种物资的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有哪几种？ (3)若购买甲种物资需每吨3万元，乙种物资每吨4万元，丙种物资每吨5万元，在（2）的条件下，该公司此次购买捐赠物资至少花费多少万元？ 【答案】(1) (2)安排方案有4种：①装运甲种物资的车辆数为3辆，装运乙种物资的车辆数为9辆，则装运丙种物资的车辆为18辆；②装运甲种物资的车辆数为4辆，装运乙种物资的车辆数为7辆，则装运丙种物资的车辆为19辆；③装运甲种物资的车辆数为5辆，装运乙种物资的车辆数为5辆，则装运丙种物资的车辆为20辆；③装运甲种物资的车辆数为6辆，装运乙种物资的车辆数为3辆，则装运丙种物资的车辆为21辆； (3)该公司此次购买捐赠物资花费万元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的关键． （1）设装运甲种物资的车辆数为辆，装运乙种物资的车辆数为辆，则装运丙种物资的车辆为辆，根据“甲、乙、丙三种共150吨救援物资前往灾区”得出，整理即可得到答案； （2）根据装运每种物资的车辆都不少于3辆，可得一元一次不等式，解不等即可得到答案； （3）设该公司此次购买捐赠物资花费万元，由题意得：，再根据一次函数的性质进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：设装运甲种物资的车辆数为辆，装运乙种物资的车辆数为辆，则装运丙种物资的车辆为辆， 根据题意得：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； （2）解：由（1）得：装运甲种物资的车辆数为辆，装运乙种物资的车辆数为辆，则装运丙种物资的车辆为辆， 由题意得：， 解得：， 为整数， 的值为，，， 安排方案有4种：①装运甲种物资的车辆数为3辆，装运乙种物资的车辆数为9辆，则装运丙种物资的车辆为18辆；②装运甲种物资的车辆数为4辆，装运乙种物资的车辆数为7辆，则装运丙种物资的车辆为19辆；③装运甲种物资的车辆数为5辆，装运乙种物资的车辆数为5辆，则装运丙种物资的车辆为20辆；③装运甲种物资的车辆数为6辆，装运乙种物资的车辆数为3辆，则装运丙种物资的车辆为21辆； （3）解：设该公司此次购买捐赠物资花费万元， 由题意得： ， ， 随着的增大而减小， 又， 当时，最小（万元）， 该公司此次购买捐赠物资至少花费万元． 6．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． (1)甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； (2)当时，求第20天时整个工程已完成多少米； (3)已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 【答案】(1)9；40 (2)第20天时整个工程已完成580米 (3)完成这次任务的工期范围是27天至35天 【分析】（1）根据图象信息得出甲、乙合作时，共施工的天数，再运用工作量除以时间，即可作答． （2）先求出直线的解析式，再令，则即可作答． （3）根据图象信息得甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天），因为乙工程队的施工效率不超过甲工程队，得出解得，然后分类讨论，即当时或当时，再求出直线的解析式，当时，则，解得，即，进行作答即可． 本题考查了一次函数的行程问题，求一次函数的解析式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，根据图象可得，甲、乙合作时，共施工的天数为：（天） 每天挖隧道：（米）， 故答案为:9，40． （2）解：由题意，当时 ∴点的坐标A的坐标为，B的坐标为 ∴（米/天），（米/天）， 又设直线的解析式为 把点B坐标代入解析式得 解得 ∴直线的解析式为 令，则 ∴第20天时整个工程已完成580米； （3）解：由题意得，甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天）， ∵乙工程队的施工效率不超过甲工程队， ∴， 解得， ∵， ∴， 当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得； 当时， 依题意，则， ∴（米/天），（米/天）， 设直线的解析式为 把代入得 解得， ∴直线的解析式为 ∴当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得， 即 ∴完成这次任务的工期范围是27天至35天． 7．（2024·吉林·二模）甲、乙两个机器臂在生产流水线上组装零件，两个机器臂在正常工作中的各自工作效率均始终保持不变．甲、乙两个机器臂同时开始工作一段时间后，甲机器臂出现故障，只有乙机器臂在工作，当甲机器臂故障排除后，甲、乙两个机器臂共同完成剩下的组装工作．如图是两个机器臂组装零件的总量y(个)与乙机器臂在甲机器臂出现故障后工作的时间x(分)之间的函数图象． (1)在正常工作中，甲机器臂的工作效率是每分钟组装 个零件，乙机器臂的工作效率是每分钟组装 个零件． (2)求甲机器臂故障排除后，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)本次工作中，甲、乙两个机器臂组装完成全部550个零件，一共用了 分钟． 【答案】(1)8，6 (2) (3)45 【分析】本题考查函数图像和一次函数的图象，能正确识图，找到想关信息是解题的关键． （1）先计算乙的工作效率，然后计算甲乙两人工作效率之和解题即可； （2）根据图像列出函数关系式解题即可； （3）计算出甲故障前的工作时间于故障后的时间和解题． 【详解】（1）解：乙的工作效率是每分钟组装个数为：个， 甲的工作效率是每分钟组装个数为：个； （2）解：设， 把，代入，得， 解得， ∴， 自变量x的取值范围为：； （3）甲、乙两个机器臂组装完成全部550个零件一共用时为：分． 类型三、调运问题 8．（24-25八年级上·安徽池州·期末）为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【答案】(1) (2)总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 【分析】（1）设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨，再根据每吨的运费列出总运费y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围即可； （2）根据一次函数的性质和x的取值范围，求出最低的调运方案及最低运费即可； 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组的实际应用问题，用x表示运往各地的吨数是解决本题的关键． 【详解】（1）解：设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨， 则总费用 整理得： ∵， 解得， 即总运费y关于x的函数关系式为； （2）∵ ， ∴ y随x的增大而减小 ∵， ∴当时，最低运费为：， 此时从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨． 答：总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 9．（23-24八年级上·安徽淮北·阶段练习）某超市鸡蛋供成紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲，乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调出900斤，从甲，乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如下表： 到超市的路程 运费 甲养殖场 200千米 0.012元/（斤·千米） 乙养殖场 140千米 0.015元/（斤·千米） 设从甲养殖场调运鸡蛋x斤，总运费为y元． (1)试写出y与x的函数关系式； (2)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？最少运费为多少元？ 【答案】(1) (2)当从甲养殖场调运300斤鸡蛋，从乙养殖场调运900斤鸡蛋时，每天的总运费最省，总运费最低是2610元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式和不等式组，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意和表格中的数据，可以得到与的函数关系式； （2）根据（1）中的函数关系式和的取值范围，利用一次函数的性质，即可得到怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省，总运费最低是多少． 【详解】（1）解：由题意可得， 即y与的函数关系式是； （2）由（1）知，， ∴随的增大而增大， 当时，y取得最小值， 此时 答：当从甲养殖场调运300斤鸡蛋，从乙养殖场调运900斤鸡蛋时，每天的总运费最省，总运费最低是2610元． 10．（22-23八年级上·安徽池州·期末）预防新型冠状病毒期间，某种消毒液甲城需要7吨，乙城需要8吨，正好A地储备有10吨，B地储备有5吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将A、B两地储备的这15吨消毒液全部调往甲城和乙城，消毒液的运费价格如下表（单位：元/吨），设从A地调运x吨消毒液给甲城. 甲城 乙城 A地 100 120 B地 110 95 (1)根据题意，应从B地调运 吨消毒液给甲城，从B地调运 吨消毒液给乙城.（结果请用含x的代数式表示） (2)求调运这15吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围． (3)求出总运费最低的调运方案，并算出最低运费． 【答案】(1)，； (2)； (3)从A地调运7吨消毒液给甲城，调运3吨消毒液给乙城，从B地调运5吨消毒液给乙城时，总运费最低，运费最低为1535元． 【分析】（1）根据已知可得应从B地调运吨消毒液给甲城，从B地调运吨消毒液给乙城； （2）由表格可得，，根据运往两地的消毒液吨数是非负数列不等式组可求x的取值范围； （3）由一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 从A地调运x吨消毒液给甲城，则调运吨消毒液给乙城，从B地调运吨消毒液给甲城，调运吨消毒液给乙城， 故答案为：，； （2）解：由题意可得， ， ∵ ， ∴， 即总运费y关于x的函数关系式是； （3）解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y取得最小值，此时， 即从A地调运7吨消毒液给甲城，调运3吨消毒液给乙城，从B地调运5吨消毒液给乙城时，总运费最低，运费最低为1535元． 【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 11．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）县和县分别有某种库存机器台和台，现决定支援村台，村台，已知从县调运一台机器到村和村的运费分别是元和元；从县调运一台机器到村和村的运费分别是元和元． (1)设县运往村机器台，求总运费关于的函数关系式； (2)若要求总运费不超过元，共有几种调运方案？哪种调运方案运费最低？ 【答案】(1) (2)有三种调运方案，县运至村台，运至村台，县运往市台，运往村台，最低总运费为元． 【分析】（1）给出A市运往C村机器x台，根据总运费=A运往C的钱+A运往D的钱+B运往C的钱+B运往D的钱，可得函数关系式； （2）根据总运费不超过元，列不等式即可求解； 【详解】（1）解：根据题意得：． （2）解：因运费不超过元 ， 解得． ， ． 则，所以有三种调运方案． ， 随着的增大而增大， 当时调运方案运费最低． 此时的调运方案是： 县运至村台，运至村台，县运往市台，运往村台，最低总运费为元． 【点睛】此题考查一次函数的应用，一次函数的性质，一次函数的综合应用题常出现于销售、收费、行程等实际问题当中，通常是以图象信息的形式出现． 类型四、计时问题 12．（24-25八年级下·福建厦门·期末）综合实践小组模拟“刻漏”原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了简易计时装置如图所示，现需要在甲容器外壁标记刻度，以便通过刻度直接读取时间． 为此，综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 水面高度（观察值） 30 29 27 其中“，”是初始状态下的准确数据，后续数据测量可能存在误差． 任务1利用“，；，”这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 任务2利用任务1所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ 经检验，发现有一组表中观察值不满足原任务中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的绝对值之和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键； 任务1：先判断是一次函数，再利用待定系数法求解即可； 任务2：把代入函数关系式求出t，再进一步求解即可； 任务3：设经过的函数解析式为，根据题意得到w关于a的绝对值式子，再分类讨论求解． 【详解】解：任务1： 由表中数据可得：约过10分钟，水面高度h减少约1cm， 所以水面高度h是流水时间t的一次函数，设， 把，；，代入，得 ，解得， ∴水面高度h与流水时间t的函数关系式是； 任务2：当水面高度为时，即，， 解得， 分钟小时， ∴当甲容器中的水面高度为时是小时，即； 任务3： 设经过的函数解析式为， 则 当时，， 当时，， 则当时，， 当时，， 综上，当时，w最小，此时函数的解析式是． 13．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）两个透明的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图2）．在甲容器里加满水，此时水面高度为．若由于装置的原因，甲容器内的水无法全部流出，当水面高度刚好是1cm时，停止流水，此时停止计时．上午8：00开始放水后，甲容器的水面高度y(cm)和流水时间x(min)的部分数据如表： 记录时间 8：00 8：10 8：25 8：30 8：40 流水时间x(min) 0 10 25 30 40 水面高度y(cm) 30 28 25 24 22 (1)综合实践小组在平面直角坐标系中描出了以表中各组对应值为坐标的点，并用光滑的曲线（包括直线）把描出的点连接起来（如图3），发现可以用一次函数近似地刻画甲容器的水面高度y(cm)与流水时间x(min)的关系，根据以上信息，求y关于x的函数解析式． (2)当时间正好是时，甲容器的水面高度是多少厘米？ (3)刚好停止流水时是几时几分？ 【答案】(1) (2)甲容器中水面的高度是14厘米 (3)刚好停止流水时是 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法．掌握待定系数法，理解、表示的实际意义是解题的关键． （1）设函数解析式是，把、代入解析式，即可求解； （2）从到共80分钟，，代入解析式，即可求解； （3）当时，求出时间，即可求解； 【详解】（1）设函数解析式是， 把、代入，      得， ， ； （2）解：从8：00到9：20共80分钟， ，， 答：甲容器中水面的高度是14厘米 ． （3）当时， ，           解得：， 即为2小时25分钟，时间为            答：刚好停止流水时是． 14．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具、据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如表是小明记录的部分数据． 0 1 2 3 5 … 2 2.4 2.8 3.2 4 … (1)求水位与时间的函数表达式； (2)当时间为10min时，求水位的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意，求得一次函数解析式． （1）由题意可得，设，求得一次函数解析式，即可求解； （2）把代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：设函数表达式为，把和代入得： ， 解得：， ∴水位与时间的函数表达式为； （2）当时，． 15．（2025·陕西西安·二模）某餐厅为了追求顾客的消费满意度，推出一种“沙漏计时”单方案，即点餐完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免单．某数学小组观察发现：该沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间3分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为84克，当流入时间10分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为35克． (1)求沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）之间的函数解析式； (2)求客人点餐完成后，最晚多长时间菜全部上桌． 【答案】(1) (2)15分钟 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出一次函数关系式是解题的关键． （1）设上面玻璃球所剩沙子质量克与流入时间分钟之间的函数解析式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，沙漏恰好完成第一次倒置，令，即可求解． 【详解】（1）解：设上面玻璃球所剩沙子质量克与流入时间分钟之间的函数解析式为， 由题知当时，；时，， ， 解得：， 与x的函数解析式为； （2）解：当时，， 解得：， 答：最晚15分钟菜全部上桌． 类型五、分配问题 16．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）城有肥料，城有肥料，现要把这些肥料全部运往、两乡，从城往、两乡运肥料的费用分别为20元/t和25元/t：从城往、两乡运肥料分别为15元/t和24元/t．现乡需要肥料，乡需要肥料，设城运往乡的肥料为吨，运往乡肥料的总运费为，运往乡肥料的总运费为． (1)写出关于的函数关系式以及关于的函数关系式并指出自变量的取值范围； (2)怎么样调度使得该过程的总运费最少并求出最少的运输费以及最少的运输方案． 【答案】(1)，； (2)从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元． 【分析】此题考查了一次函数的应用，根据已知得出城和城运往各地的肥料吨数是解题的关键． （）根据题意即可得出之间的函数关系式； （）设总运费为元，根据题意得，与之间的函数关系式，再利用一次函数的增减性即可求解； 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解：设总运费为元， 根据题意得，与之间的函数关系式为， ∵，随的增大而增大， ∴当时，， ∴从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，最少的运输费用是10040元． 17．（23-24八年级上·安徽淮北·期中）在渠县中学新校区建设中，需要甲、乙两种钢材，现计划把甲种钢材吨和乙种钢材吨用一列火车运往渠县，已知这列火车接挂有两种不同规格的车厢共节，使用型车厢每节费用为元，使用型车厢每节费用元． (1)设运送这批钢材的总费用为元，这列货车挂型车厢节，试写出用车厢节数表示总费用的公式． (2)如果每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，装货时按此要求安排两种车厢的节数，那么共有几种安排车厢的方案？ (3)在（）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？ 【答案】(1)； (2)种； (3)安排型车厢节，型车厢节运输运费最少，最少运费为元 【分析】（）根据题意列出函数解析式即可； （）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （）根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出一次函数解析式和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 即； （2）解：由题意可得，， 解得， ∵为整数， ∴或或或或或， ∴共有种安排车厢的方案； （3）解：∵，， ∴的值随的增大而减小， ∴当时的值最小，即安排型车厢节，型车厢节运输运费最少， 此时，最少运费元． 18．（23-24八年级上·安徽池州·期末）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表： 型 型 价格（万元/辆） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求，的值； (2)计划购买型和型两种公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案? (3)在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少?最少费用是多少万元? 【答案】(1)的值为100，的值为150； (2)有4购买方案 (3)购车总费用最少的方案是购买型公交车9辆，购买型公交车1辆，购车总费用为1050万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；正确列出函数解析式． （1）利用总价单价数量，结合“购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，根据“购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出的值，得出购买方案； （3）设购车总费用为万元，根据总费用=购买两种公交车费用之和列出函数解析式，由函数的性质得出最值． 【详解】（1）解：依题意得：，解得：， 答：的值为100，的值为150； （2）解：设购买型公交车辆，则购买型公交车辆， 依题意得： 解得： 又为整数 有4购买方案； （3）解：设购车总费用为万元， 则，（且为整数） ， 随的增大而减小 当时，最小，最小值为（元）， 购车总费用最少的方案是购买型公交车9辆，购买型公交车1辆，购车总费用为1050万元． 19．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）合肥某校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，野生动物园的门票价格为教师票每张36元，学生票半价，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二，按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．假如学生人数为x（人），师生门票总金额为y（元）． (1)分别写出两种优惠方案中y与x的函数表达式； (2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少； (3)若选择最优惠的方案后，共付款288元，则学生有多少人？ 【答案】(1)方案一：；方案二： (2)当时，两种方案一样多；当时，方案一更优惠；当时，方案二更优惠 (3)学生人数为14人 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由（1）中函数关系式及一次函数的性质可进行求解； （3）由（2）可进行求解． 【详解】（1）解：方案一：； 方案二：； （2）解：由（1）可知： 当两种方案的费用一样多时，则有： ， 解得：， ∴当时，两种方案一样多；当时，方案一更优惠；当时，方案二更优惠； （3）解：由（2）可知：当学生人数为9人时，方案一和方案二的费用一样多，费用即为（元）， ∵， ∴应选择方案二更优惠， ∴， 解得：； 答：学生人数为14人． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 类型六、体积问题 20．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）爱好数学研究的依依同学受《乌鸦喝水》故事的启发，在学习完一次函数后，利用未装满水的容器和体积相同的小球（实心小铁球）进行了一次小游戏，她发现壁厚均匀的圆柱形容器的总高度为，里面装有一定量的水，未放小球前测得水面高度为，她将这些体积相同的小球逐个放入容器中，观察发现容器中水面高度y（）与她放入容器中的小球个数x（个）之间的关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量x的取值范围） (2)当水面高度为时，求依依放入容器中的小球个数． 【答案】(1) (2)10个 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）设出解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，求出函数值为40时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设图中段y与x之间的函数关系式为， ∴， ∴， ∴图中段y与x之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，， ∴依依放入容器中的小球个数为10个． 21．（23-24七年级下·四川成都·期末）图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．    (1)甲水槽中水的下降速度为 厘米/分钟，铁块高度为 厘米； (2)求出注水第几分钟时，甲、乙水槽中水的深度相差1厘米？ (3)若甲槽底面积为56平方厘米，乙槽底面积为42平方厘米（壁厚不计），乙槽中铁块的体积多少立方厘米？ 【答案】(1)2，14 (2)和分钟 (3)立方厘米 【分析】本题主要考查的是用一次函数解决实际问题注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质和列出体积变化方程． （1）根据函数图象12厘米深的水6分钟放完，便可求得甲水槽的下降速度，根据折线，4分钟前上升速度慢，4分钟后上升速度快，便可4分钟时水的高度便是铁块高度； （2）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式令相差1厘米即可得到水位相差1厘米的时间即可． （3）设铁块的底面积为，求得甲水槽内第4分时还剩水高度，乙水槽中4分钟内上升的高度，根据体积相等列方程解得，结合（1）可知铁块高度为14厘米，即可求得乙槽中铁块的体积． 【详解】（1）解：根据题意得，甲水槽的下降速度为∶(厘米/分钟)， 折线上，点前后变化不同 ∴铁块高度是． 故答案为∶2，14； （2）设线段、的解析式分别为∶ ，，      ∵经过点和，经过和， ∴，， ∴， ∴的解析式为和的解析式分别为， 令， 解得：和分钟． ∴当和分钟．时甲、乙水槽中水的深度相差1厘米． （3）设铁块的底面积为，则甲水槽内第4分时还剩水高度为，乙水槽中4分钟内上升的高度为， 根据体积相等，，解得， 由（1）可知铁块高度为14厘米，则乙槽中铁块的体积立方厘米， 答∶槽中铁块的体积为立方厘米． 22．（23-24八年级上·广东佛山·期中）受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水桶和体积相同的小球进行了如图操作： (1)已知放入小球后量筒中水面的高度是放入小球个数(个)的一次函数，从图中可以看出函数经过点与点，试确定该函数表达式； (2)当水桶中至少放入_______个小球时，有水溢出． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查一次函数实际应用问题，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用． （1）利用待定系数法即可得到y与x的一次函数关系式； （2）根据（1）可以得出，再进行求解即可得出答案． 【详解】（1）设， 把，，代入得：， 解得， 即； （2）由， 得， 即至少放入个小球时有水溢出． 23．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）聪明的你一定知道乌鸦喝水的故事吧！如图一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不到瓶中的水．于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随着石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是还没解渴，瓶中的水面就下降到乌鸦够不着的高度．乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，呱呱地飞走了． (1)如果设衔入瓶中的石子的体积为x，瓶中的水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是（）； A．B．C．D． (2)小明受到这个故事的启发，利用量筒和若干个体积相同的小球进行了如下操作．请根据图中所给出的信息，解答下列问题： a.放入一个小球后，量筒中的水面升高多少cm； b.求放入小球后，量筒中水面高度y与小球的个数之间的一次函数关系式. c.量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ 【答案】(1)C (2)2，，15 【分析】（1）根据瓶子的形状，瓶中水位上升速度应该是：快-慢-快-直线上升； （2）根据中间量筒可知，放入一个小球后，量筒中的水面升高，由此可列出量筒中水面高度y与小球的个数之间的一次函数关系式；列不等式可求有水溢出量筒中小球的最少个数． 【详解】（1）由容器的形状可知，水位上升速度应该是：快-慢-快-直线上升， 故选C； （2）a.2； b.无小球时，水位每增加一个小球，水位上升，故函数关系式为：， c.解不等式：，得，故至少放入11个小球时会溢出． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题意图意，找到相应的变化规律，是解决本题的关键． 类型七、最大利润问题 24．（24-25八年级下·吉林·期中）某商店决定购买，两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件种纪念品的进价比每件种纪念品的进价高30元．用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同． 售价元/件 销售量（件） 100 (1)请直接写出，两种纪念品每件的进价； (2)该商场通过市场调查，整理出型纪念品的售价与数量的关系如表，求当为何值时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ 【答案】(1)，两种纪念品每件的进价分别是元和元； (2)当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数与二次函数的应用． （）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用元购进A种纪念品的数量和用元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可； （）设利润为元，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可； 【详解】（1）解：设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程得解， ∴纪念品每件的进价是元， 答：， 两种纪念品每件的进价分别是和元． （2）解：设利润为元，由表格，得： 当时，， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当售价为元时，利润最大为：元； 当时， ， ∵， ∴当时，利润最大为：元， 答：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元． 25．（24-25八年级下·广西南宁·期末）2025年1月上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发了国风手办收藏热潮．李老板从某网店购买，两款风火轮手办并进行销售．两款风火轮的进货价和销售价如下表： (1)第一次李老板用元购进了，两款风火轮共个，求两款风火轮各购进多少个． (2)第二次李老板进货时，网店规定款风火轮进货数量不得超过款风火轮进货数量的一半，他计划购进两款风火轮共个，其中款风火轮个，设第二次购进的风火轮全部卖完所获得的利润为元． 类别价格 款 款 进价（元/个） 售价（元/个） ①请用含的代数式表示； ②应如何设计第二次进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A款风火轮购进个，款风火轮购进个； (2)①；②按照A款风火轮购进个，款风火轮购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元． 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用以及一次函数的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键． （1）根据第一次购进个，设款风火轮购进个，则款风火轮购进个，再由用元购进了，两款风火轮建立方程求出其解即可； （2）①根据第二次购进两款风火轮个，设款风火轮购进个，则款风火轮购进个，获利元，根据题意可以得到利润与款风火轮数量的函数关系， ②根据款风火轮进货数量不得超过款风火轮进货数量的一半，可以求得款风火轮数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得如何设计进货方案才能获得最大利润． 【详解】（1）解：设款风火轮购进个，款风火轮购进个， 由题意可得， 解得， 款风火轮购进：（个） 答：款风火轮购进个，款风火轮购进个． （2）解：①设款风火轮购进个，款风火轮购进个，获利元， 由题意可得， 即 ②款风火轮进货数量不得超过款风火轮进货数量的一半 随的增大而增大 时， 款风火轮有（个） 答：按照款风火轮购进个，款风火轮购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元． 26．（24-25八年级下·江西吉安·期末）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等． (1)问篮球和足球的进价各是多少元？ (2)若篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元，商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于40个，问商场有几种进货方案？哪种方案商场获利最大？最大是多少？ 【答案】(1)足球单价为90元，则篮球单价为120元 (2)商场的6种进货方案，购买篮球45个，购买足球55个，商场获利最大，最大利润为2450元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． （1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据“用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．”列出方程，即可求解； （2）设购买篮球个，则购买足球个，根据题意，列出不等式，可得，再设商场获利W元，根据题意，列出关于W与n的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设足球单价为元，则篮球单价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 则， 答：足球单价为90元，则篮球单价为120元； （2）解：设购买篮球个，则购买足球个， 由题意得：， 解得：， ∵篮球不少于40个， ∴， ∴有6种方案； 设商场获利元， 由题意得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴时，有最大值， （个）， 答：商场的6种进货方案，购买篮球45个，购买足球55个，商场获利最大，最大利润为2450元． 27．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）某单位对两种农产品A，B联系超市助销，该超市购买A产品进价为28元/kg；B产品的进货量超过500kg的部分有优惠，且B产品的付款金额（单位：元）与进货量（单位：kg）之间都是一次函数关系，下表所示部分付款情况，该超市对A产品的售价定为35元/kg，B产品的售价定为20元/kg． B产品进货量kg 0 100 300 500 700 900 1000 付款金额元 0 1500 4500 7500 9900 12300 13500 (1)求出和时，与之间的函数关系式． (2)若该超市购进A，B两种产品共1200kg，并全部售出，但超市要求B产品的进货量不低于300kg，且不高于1000kg，设销售完A，B两种产品所获总利润为元（利润销售额成本），请求出（单位：元）与B种产品进货量（单位：kg）之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的进货方案． (3)在（2）中获得最大利润的进货方案下，售出A或B产品每千克都提出元返给农户，全部售出后所获总利润不低于元，求的最大值． 【答案】(1)， (2)当时，；当时，；当产品进货量为kg，产品进货量为kg时，可获得最大利润 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意利用分类讨论的思想求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）分当时，当时，两种情况根据利润（售价进价）销售量列出关于的一次函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可； （3）根据（2）所求，根据利润（售价进价）销售量，结合总利润不低于元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由表中可知，当时，是的正比例函数， 设， 由题可知，， 解得， ∴； 当时，设， 由题可知，， 解得， ∴； （2）解：当时， 由题意得：． ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取最小值时，有最大值为元； 当时， ， ∵， ∴随的增大而增大． ∴当取最大值时，有最大值为元； ∵， ∴当时，； ∴当产品进货量为kg，产品进货量为kg时，可获得最大利润． （3）解：由题意得， ， 解得， ∴的最大值为． 类型八、阶梯计费问题 28．（24-25八年级上·北京·期末）春节期间，某移动公司推出三种手机流量套餐的优惠方案，具体如下表所示： 每月基本 费用（元） 每月免费 使用流量（） 超出流量 每收费（元） 套餐 20 10 套餐 56 30 套餐 188 无限 其中，，，三种套餐每月所需的费用、、（元）与每月使用的流量之间的函数关系如图所示． (1)写出表中的值_________； (2)在套餐中，若每月使用的流量不少于，直接写出每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式___________； (3)如果从节省费用的角度考虑，根据图象与表达式可知：当且时，每月使用的流量的取值范围是__________． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，涉及求一次函数表达式、由函数图象解不等式等知识，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）由（元）与每月使用的流量之间的函数图象可知，当流量从增加到时，费用从增加到，列式计算可得的值； （2）由超出流量每收费3元，可得出，化简即可得到每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式； （3）先求出套餐每月使用的流量不少于，每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式，再求出当套餐的收费等于套餐收费时的值，结合图象可得答案． 【详解】（1）解：由（元）与每月使用的流量之间的函数图象可知，当流量从增加到时，费用从增加到，则超出流量每收费， ∴， 故答案为：3； （2）解：由（1）知，在套餐中，若每月使用的流量不少于，超出流量每收费3元， ∴， ∴每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式为， 故答案为：； （3）解：由（1）知，在套餐中，若每月使用的流量不少于，超出流量每收费3元， ∴， 当套餐的收费等于套餐收费时，， 解得， ∴结合函数图象知，当且时，每月使用的流量的取值范围是， 故答案为：． 29．（24-25八年级下·福建漳州·期末）为响应绿色出行号召，漳州市某新能源充电站采用“峰谷电价+阶梯服务费”的收费模式．已知充电时段分为峰时（8：00-22：00）、谷时（22：00-次日8：00），其基础电价和阶梯服务费标准如下： 收费项目 收费标准 基础电价 峰时：元/度；谷时：元/度． 阶梯服务费 充电量不超过度时，服务费为元/度；超过度后，超出部分的服务费提升至元/度． 问题解决： (1)设充电量为度，总费用为元．请写出在峰时充电时，关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (2)若陈先生某次谷时充电支付了元，试问他此次充了多少度电？ (3)为推广谷时充电，该充电站推出以下优惠政策：谷时充电量超过20度的部分，基础电价降低．请问推出优惠政策后，陈先生在谷时充电度能节省多少费用？ 【答案】(1) (2)若陈先生某次谷时充电支付了元，他此次充了度电 (3)推出优惠政策后，陈先生在谷时充电度能节省元． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求一次函数的解析式，一元一次方程的应用，根据题意获取信息是解题关键． （1）根据题意，可得总费用与充电量的函数表达式为分段函数，且总费用为基础电费与服务费之和，按充电量和分别列出函数式即可； （2）先求出若陈先生某次谷时充电支付了元，其充电量，根据题意，求得当充电量时，谷时充电的总费用，令，解一元一次方程，即可求解； （3）先分别计算原谷时充电度的总费用和优惠政策后，充电度的总费用，再进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得： 当充电量度时，， 当充电量度时，， 在峰时充电时，关于的函数表达式为． （2）解：当充电量度时，最大总费用为元元， 陈先生某次谷时充电支付了元，其充电量， 在谷时充电时，当时，总费用， 令，得：，解得：． 答：若陈先生某次谷时充电支付了元，他此次充了度电． （3）解：原谷时充电度的总费用为：元， 优惠政策后，充电度的总费用为：元， 元． 答：推出优惠政策后，陈先生在谷时充电度能节省元． 30．（24-25七年级上·山东东营·期末）我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨1.5元，超过6吨时，超过的部分按每吨2.2元收费．该市某户居民10月份用水吨，应交水费元． (1)若，请写出与的函数关系式． (2)若，请写出与的函数关系式． (3)如果该户居民这个月交水费20元，那么这个月该户用了多少吨水？ 【答案】(1) (2) (3)这个月该户用了11吨水 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据数量关系找出函数关系式是解题关键． （1）当时，根据水费=用水量，即可求出y与x的函数关系式； （2）当时，根据“每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨1.5元，超过6吨时，超过的部分按每吨2.2元收费”，把两部分费用相加即可求出y与x的函数关系式； （3）当时，，由此可知这个月该户用水量超过6吨，将代入（2）中所求的关系式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可知： 当时，； （2）解：根据题意可知： 当时，； （3）解：∵当时，， 的最大值为（元），， 该户当月用水超过6吨． 令中，则， 解得：． 答：这个月该户用了11吨水． 31．（24-25八年级上·山东济南·期末）某学校社团开展了《哪一款手机资费套餐更合适》学习活动．下表是调查的有关信息： 项目主题 哪一款手机资费套餐更合适 调查方式 资料查阅，实际访谈 调查内容 请根据表中的信息完成下列问题： (1)根据调查内容，某用户使用流量为，使用语音分钟，按A套餐月资费为______元，按B套餐月资费为______元； (2)根据访谈内容，小明妈妈每月语音通话不超过分钟，设她每月使用流量为，每月的手机资费为元． ①若她使用的是A套餐，与的函数关系为：当时，；时，．如图为与的函数图象．若她使用套餐，请求出与之间的函数关系式，并在坐标系中画出它的图象； ②若她某月使用流量为，则使用______（填：A或B）套餐月资费更少； ③若她某月的月资费为元，请判断使用哪种套餐流量更多，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①,图象见解析；②B；③使用B种套餐流量更多，理由见解析 【分析】此题考查了一次函数的实际应用， （1）分别根据两种套餐求出费用即可； （2）①分两种情况求出函数解析式，画出函数图象即可；②根据图象回答问题即可；③分别求出当时，A套餐的流量为，B套餐，比较后后即可得到答案． 【详解】（1）按A套餐：（元）， 按B套餐：元， 故答案为：， （2）解：当时，； 当时，； ∴ B套餐的大致图象如图； ； ②由图象可知，若她某月使用流量为，则使用B套餐月资费更少； 故答案为：B ③使用B种套餐流量更多，理由： 当时，A套餐，，， B套餐，，， ∴使用B种套餐流量更多 类型九、方案选择问题 方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题. 32．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）某经销商从市场得知如下信息： 类别 A品牌计算器 B品牌计算器 进价（元／台） 200 100 售价（元／台） 300 160 他计划用1.5万元资金一次性购进这两种品牌计算器共100台，设该经销商购进A品牌计算器台，这两种品牌计算器全部销售完后获得的利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若要求全部销售完后获得的利润不少于7900元，该经销商有哪几种进货方案？ (3)选择哪种进货方案，该经销商获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)经销商有以下三种进货方案：方案一、A品牌购进48台，B品牌购进52台；方案二、A品牌购进49台，B品牌购进51台；方案三、A品牌和B品牌各购进50台 (3)选择“A品牌和B品牌各购进50台”的方案，该经销商获利最大，最大利润是8000元 【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的实际应用，难度适中，得出商场获得的利润 y与购进空调x的函数关系式是解题的关键，在解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义． （1）根据利润（售价进价）乘品牌计算器的数量（售价进价）乘品牌计算器的数量，即可列出关系式，再根据总资金万元得出的取值范围即可； （2）全部销售后利润不少于元，得到一元一次不等式，求出满足题意的的正整数值即可； （3）利用与的函数关系式的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可． 【详解】（1）解：， 其中，得， 即的取值范围是， 则与之间的函数关系式为； （2）解：令， 解得，， 又， ， 经销商有以下三种进货方案： 方案一、A品牌购进48台，B品牌购进52台； 方案二、A品牌购进49台，B品牌购进51台； 方案三、A品牌和B品牌各购进50台． （3）解：∵对于，随的增大而增大， ∴当时，取最大值，且最大值为（元）． ∴选择“A品牌和B品牌各购进50台”的方案，该经销商获利最大，最大利润是8000元． 33．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就是金山银山”理念，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． 设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元． (1)求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过20000元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求出最低费用． 【答案】(1)且为整数) (2)共有种方案，当型租辆，型租辆时，最省钱，最低费用为元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题． （1）根据租车总费用、两种车的费用之和，列出函数关系式即可； （2）列出不等式，求出自变量的取值范围，利用函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解： ； ∵，， ∴； 函数解析式为，自变量取值范围为：且为整数； （2）解：， ， ， 因为取整数， 所以x可取20，21，22，23，24，25，26， 所以有种方案. 在中， 随的增大而增大， 所以当时，最省钱，费用元， 答：共有种方案，当型租辆，型租辆时，最省钱，最低费用为元． 34．（24-25八年级上·安徽六安·期中）太湖山景区有三处景点，三处景点门票价格如下： 票种 类型一 类型二 类型三 景点 月亮湖 动物园 真人CS游戏 单价（元） 20 30 60 某地方企业家支持地方经济和教育事业的发展，购买以上三处景点的门票90张用来奖励某校优秀学生，其中购买类型一票数x张，类型二票数是类型一票数的3倍少20张票，类型三票数y张． (1)求y与x之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (2)设购买90张票总费用为w元，求w（元）与x（张）之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (3)若计划每种票至少购买20张，请你列出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元． 【答案】(1)； (2)； (3)方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张；方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张；方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张；购买总费用最少是3140元． 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数表达式； （2）根据题意和（1）中的结果，可以写出w（元）与x（张）之间的函数表达式； （3）根据计划每种票至少购买20张，可以求得x的取值范围，然后即可写出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即y与x之间的函数表达式为； （2）解：由题意可得， ， 即w（元）与x（张）之间的函数表达式为； （3）解：∵计划每种票至少购买20张， ∴， 解得， ∵x为整数， ∴，21，22， ∴共有三种购票方案， 方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张； 方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张； 方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张； 当时，w取得最小值，此时， 答：方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张；方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张；方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张；购买总费用最少是3140元． 35．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）某中学计划购买型和型课桌凳共200套，经招标，购买一套型课桌凳比购买一套型课桌凳少用40元，且购买4套型和5套型课桌凳共需1820元． (1)求购买一套型课桌凳和一套型课桌凳各需多少元？ (2)学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买型课桌凳的数量不能超过型课桌凳数量的，学校购买型课桌凳x套，总费用为元． ①求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． ②该校本次购买型和型课桌凳共有几种购买方案？怎样的方案使总费用最低？并求出最低消费． 【答案】(1)购买一套型课桌凳180元，一套B型课桌凳220元 (2)①（，且为整数）；②该校本次购买型和型课桌凳共有3种购买方案．当购买型课桌凳80套，型课桌凳120套时，总费用最低，最低消费为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和不等式组的应用，一次函数的增减性质，根据已知得出不等式组，求出的值是解答关键． （1）设购买一套型课桌凳元，则一套型课桌凳元，根据题意列出方程求解； （2）①设型桌套，则型桌套，购买桌凳总费用为元，根据题意列出方程和不等式求解； ②利用要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买型课桌凳的数量不能超过型课桌凳数量的，列出不等式组求解． 【详解】（1）解：设购买一套型课桌凳元，则一套型课桌凳元， 由题意得， 解得， 则． 答：购买一套型课桌凳180元，一套型课桌凳220元． （2）解：设型桌套，则型桌套，购买桌凳总费用为元， 根据题意得， 且 ， 解得， （，且为整数）． ，为整数， ∴，，， ∴共套方案． ∵，随的增大而减小， ∴时，总费用最低，有最小值（元）， 此时． 即当总费用最低的方案是：购买型课桌凳80套，型课桌凳120套时． 答：该校本次购买型和型课桌凳共有3种购买方案．当购买型课桌凳80套，型课桌凳120套时，总费用最低，最低消费为40800元． 类型十、新情境问题 36．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元． (1)求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？ (2)该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9、8元 (2)当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用．解决本题的关键是列出利润与购买“哪吒”书签的数量之间的函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案． （1）设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元，根据两种不同的购买方案所需要的费用列方程组求解即可； （2）设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张，设这批书签全部售出后获利W元，可以得到所获利润与购买“哪吒”书签的数量之间的一次函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案即可． 【详解】（1）解：设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元， 由题意知： ， 解得， 答：“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9元，8元． （2）解：设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张， 由题意知：， 解得：， 设这批书签全部售出后获利W元， 则， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，，W有最大值，元． 答：当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元． 37．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）落实《健康中国行动（2019-2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 如何确定排球和足球购买方案？ 素材1 某体育器材店排球的售价为80元/个，足球的售价为100元/个． 素材2 某学校购买排球和足球的总费用不超过3000元，且购买排球15个． 素材3 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供折优惠，足球提供8折优惠． 问题解决 任务1 利用素材2，请运用适当的方法，求出该校最多可以购买多少个足球？ 任务2 利用素材3，运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少？ 【答案】任务1：18个；任务2：购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确理解题意列出函数关系和不等式是解题的关键． （1）设购买足球x个，根据购买排球和足球的总费用不超过3000元，且购买排球15个建立不等式求解即可； （2）设排球购买m个，则足球购买了个，根据，设总费用为w元，根据题意，根据一次函数的性质，解答即可． 【详解】解：任务1：设购买足球x个， 由题意得，， 解得， ∴x的最大值为18， 答：该校最多可以购买18个足球； 任务2：设排球购买m个，则足球购买了个， 根据题意，得， 解得， 设总费用为w元， 根据题意， 故y随x的增大而减小， ∴时，w最小，最小为4000元， 故方案为购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元． 38．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）2024年6月25日，我国“嫦娥六号”携克的月球背面土壤样品荣耀归来，为激发学生对航天事业的兴趣，学校组织航天知识问答活动，并打算购买“嫦娥六号”装饰挂件和限量航天印章送给参加活动的学生作为纪念（给每位学生分发1个挂件和1个印章）．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170元可以买2盒挂件和3盒印章． (1)求每盒挂件和每盒印章的价格； (2)如果购买挂件盒，则购买印章_______盒（用含有的式子表示）恰好能够配套分发； (3)累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折优惠，学校以（2）中配套的方式购买，共花费元，求关于的函数关系式．若有660名学生参加活动，共需要多少费用？ 【答案】(1)40元，30元 (2) (3)，元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分段函数及一次函数的应用，能够根据题意列出准确的方程组，求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键． （1）设每盒挂件 元，每盒印章 元，根据每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170元可以买2盒挂件和3盒印章，再建立方程组解题即可； （2）根据给每位学生分发1个挂件和1个印章再列式计算即可； （3）根据累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折的优惠，分段可求得解析式，据此即可解答． 【详解】（1）解：设每盒挂件 元，每盒印章 元． 根据题意得： ， 解得 ． 答：每盒挂件 40 元，每盒印章 30 元． （2）解：∵给每位学生分发1个挂件和1个印章， ∴购买挂件盒，则购买印章盒恰好能够配套分发； （3）解：当，即 解得：， ∴． 当，即时， ． 当有660名学生参加活动，则需购买挂件（盒）． 当时， ∴（元）． 39．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）如图1，这是某款新能源汽车用充电器给汽车充电时，其屏幕的起始画面.经测试，在用快速充电器和普通充电器对该汽车充电时，其电量E（）与充电时间t（h）的函数图象分别为图 2中的线段．根据以上信息，回答下列问题： (1)在目前电量为的情况下，用充电器给该汽车充满电时，快速充电器比普通充电器少用　　　　h． (2)求线段的函数表达式． (3)已知该汽车在高速公路上正常行驶时，一般情况下耗电量为每小时．若该汽车目前电量为，在用快速充电器将其充满电后，正常行驶，接着用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是，求a的值． 【答案】(1)8 (2)， (3)4 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键： （1）根据点的横坐标计算即可； （2）利用待定系数法求解； （3）根据图象，得到用快速充电器将其充满电所用的时间；根据图象，求出普通充电器的充电速度，由内消耗的电量计算用普通充电器将其充满电所用的时间，根据“充电一耗电一充电”三段时间之和为14h列方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：8； （2）解：设线段的函数表达式为，将，代入， ， ， 线段的函数表达式为：； 设线段的函数表达式为，将，代入， ， ， 线段的函数表达式为：； （3）解：根据图象可得，用快速充电器将其充满电用时1小时，正常行驶小时后耗电，普通充电器的充电速度为：， ∴用普通充电器再次充满用时：， 由题意得：， 解得：． 40．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）自我县推进“四个蹄子赶超四个轮子”工程以来，某养牛基地的规模逐渐扩大．为将优质牛肉销售至更广泛的市场，养牛基地通过东方甄选等直播平台，将优质牛肉快递至全国各地．养牛基地现与甲、乙两家快递公司合作： 甲公司：快递物品不超过1千克的，按每千克18元收费；超过1千克，超过的部分按每千克12元收费． 乙公司：按每千克14元收费，另加包装费3元．设小明的快递物品x千克． (1)当时，请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式； (2)当x为何值时，两家公司收费相同． (3)现有4500千克牛肉，养牛基地决定同时与甲、乙两公司合作．甲、乙两公司都由于人手不足，每家公司最多可快递3000千克牛肉．养牛基地怎样与两家快递公司合作更省钱？最低运费是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)养牛基地在甲公司快递3000千克牛肉，乙公司快递1500千克牛肉时，运费最低，最低运费是57009元 【分析】本题考查一次函数的实际应用． （1）根据题意，列出关系式即可； （2）由（1）知甲、乙两家快递公司快递该物品的费用的关系式，令列式解答即可； （3）设在甲公司快递m千克牛肉，则在乙公司快递（）千克牛肉，运费为W，根据题意列出关系式，由一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：当时： 解得： 当时，两家公司收费相同； （3）解：设在甲公司快递m千克牛肉，则在乙公司快递（）千克牛肉，运费为W， 随m的增大而减小 每家公司最多可快递3000千克牛肉 当时，元 养牛基地在甲公司快递3000千克牛肉，乙公司快递1500千克牛肉时，运费最低，最低运费是57009元． 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系，数据记录如表1：实验二：探究充满电量状态下，电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示电量 100 60 50 30 表1 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 30 60 增加的电量 0 10 30 60 表2 (1)【建立模型】观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出关于的函数表达式和关于的函数表达式． (2)【解决问题】某电动汽车在直满电量的状态下出发，若电动汽车行驶320千米后，此时电动汽车仪表盘显示电量为多少？ (3)在（2）的条件下，若电动汽车要继续行驶到达目的地，此时需要在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶200千米到达目的地，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电______分钟． 【答案】(1)， (2) (3)55 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，掌握运用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）分别运用待定系数法求出两个直线解析式即可； （2）依据题意，把代入求值即可； （3）依据题意，假设充电分钟，应增加电量为，可计算出从服务区出发时电量为，走完剩余路程应耗电量为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，两个函数都为一次函数，设，， 将，代入得： ，解得：． 函数解析式为：， 将，代入得： ，解得：． 函数解析式为：． （2）解：根据题意，满电状态下电动汽车行驶320千米， 当时，． 电动汽车仪表盘显示电量为． （3）解：假设充电分钟，应增加电量， 充完电出发时电量为， 走完剩余路程应耗电量为：，根据题意得：,解得：． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某网店在30天内销售一种产品．图1是该产品日销售量y（件）与时间t（天）之间的函数关系图象，图2是一件产品的销售利润z（元）与时间t（天）之间的函数关系图象．（注：日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润．） (1)第18天的日销售量为______件． (2)求第15天销售一件产品的利润是多少元？ (3)求第15天的日销售利润比第25天的日销售利润多多少元？ 【答案】(1)190 (2)元 (3)875元 【分析】本题考查的是一次函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，从函数图象中获取信息． （1）先当时，设与之间的函数关系式为，再分别把代入进行计算，即可作答； （2）求解一件产品的销售利润（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系式，计算当时，，可得解； （3）先求解当时，得，再求出第15天的日销售利润，然后求出当时，得产品日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的函数关系式：再求出第25天的日销售利润，则即可得解． 【详解】（1）解：依题意，当时，设与之间的函数关系式为， 把代入，得 ， 解得， ∴当时，设与之间的函数关系式为， 把代入，得． 故答案为：190． （2）解：根据图，当时，设与之间的函数关系式为． 将坐标，分别代入， 得 解得 ∴与之间的函数关系式为． 当时，， ∴第天销售一件产品的利润是元； （3）解：依题意，把代入，得． 由（2）得第天销售一件产品的利润是元； 第15天的日销售利润（元）； 根据图，当时，设与之间的函数关系式为． 将坐标，分别代入， 得 解得， ∴与之间的函数关系式为． 当时，． 由图2得， 当时，（元）， ∴（元）， ∴第15天的日销售利润比第25天的日销售利润多875元． 3．（24-25八年级上·安徽·期末）元月份新华商场进了一批保暖裤，正好15天内销完．保暖裤每日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数表达式为，下图是保暖裤销售单价w（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系（x是整数）． (1)第5天的销售量为 件，第5天的销售单价为 元； (2)计算第10天的销售额（日销售额=日销售量×日销售单价）； (3)哪几天日销售量为18件？销售量同为18件，哪一天日销售金额较高？ 【答案】(1)15，64 (2)第10天销售额为1620元 (3)第6天和第12天日销售量为18件，第6天销售金额较高 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键． （1）把代入可得销售量，求解w与x的函数关系，可得销售单价； （2）先再计算当时的销售量与销售单价可得答案； （3）把代入，可得销售时间，再计算销售单价，可得结论． 【详解】（1）解：当时，销售量（件）； 设保暖裤销售单价w（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系为， ， 解得：， ， 5天的销售单价为（元）； 故答案为：15；64； （2）解：∵ ∴当时，， ∴第10天销售额为（元）； （3）解：， 当，则， 当，则， ∴第6天和第12天日销售量为18件， 当时，销售额为， 当时，， ∴销售额为900（元）， ∴第6天销售金额较高． 4．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）为了准备中考体育考试中的跳绳项目，某校计划购买一批考试跳绳，有甲、乙两家体育专卖店推出各自的优惠方案： 商店甲：若购买超过20根，超过部分按每根考试跳绳标价的八折出售． 商店乙：若购买超过15根，超过部分按每根考试跳绳标价的九折出售，然后每根再优惠10元． 若用字母x表示购买考试跳绳的数量，字母y表示购买考试跳绳的价格，其函数图象如图所示． (1)求甲、乙两家体育专卖店每根考试跳绳的标价． (2)求y甲与数量x之间的函数表达式； (3)根据图象直接写出选择哪家专卖店购买考试跳绳更优惠． 【答案】(1)120元/根 (2)当时，，当时，； (3)当或时，在两家商店商店购买所付的钱数相同；当时，选择乙商店更优惠；当时，选择甲商店更优惠． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意或图象找出等量关系列出函数关系式或方程，利用图象确定自变量的取值范围以解决方案问题． （1）根据函数图象可知：甲商店：购买20根跳绳的总价为2400元；乙商店：购买15根跳绳的总价为1800元，根据“单价=总价÷数量”即可得解； （2）根据甲商店推出的优惠方案并根据“总价=单价×数量”即可得出函数关系式； （3）观察图象可知：当或时，在两家商店所付的钱数相同；当时，选择乙商店更优惠；当时，选择甲商店更合优惠． 【详解】（1）解：甲商店：购买20根跳绳的总价为2400元， ∴标价为：（元/根）； 乙商店：购买15根跳绳的总价为1800元， ∴标价为：（元/根）； 则两个商店跳绳的标价是一样的， ∴每根跳绳的标价是120元； （2）解：当时，， 当时，； （3）观察图象可知： 当或时，在两家商店商店购买所付的钱数相同； 当时，选择乙商店更优惠； 当时，选择甲商店更优惠． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究.研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的_______函数，请结合表格数据，求出该函数解析式； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是什么时候？ 【答案】(1)见解析 (2)一次， (3)下午 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）根据画出的图象特征判断即可，运用待定系数法求出函数解析式； （3）将代入函数解析式，求出的值，并根据本次实验记录的开始时间计算当箭尺读数为时的时间即可． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： （2）解：观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的一次函数． 故答案为：一次． 设与之间的函数解析式为、为常数，且． 将，和，分别代入， 得， 解得， 与之间的函数解析式为． （3）解：当时，得， 解得， 上午经过12.5小时是，即下午． 答：当箭尺读数为时是下午． 6．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）综合与实践 杆秤是我国传统的计重工具，也可算作华夏“国粹”．它制作轻巧、经典，使用也极为便利，作为商品流通的度量工具，活跃在大江南北，代代相传．天地间有杆秤，人们不断赋予秤的文化内涵，公平公正的象征，天地良心的标尺，一桩桩交易就在秤砣与秤盘的此起彼伏间完成． 【查阅资料】 自制杆秤 原理 杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，称重时根据被称物的轻重，使砣与砣绳在秤杆上移动以保持平衡．根据平衡时砣绳所对应的秤杆上的刻度，即可读出被称物的质量示值．精确的杆秤必须满足秤砣的质量×每增加1千克的刻度间的距离=提纽与秤盘悬挂点的距离． 制作步骤 步骤1准备材料 秤杆、秤砣、秤盘、秤纽、刻度标记 步骤2制作秤杆 根据需要称量的最大重量和精度，选择合适的秤杆长度和直径．在秤杆上确定支点位置，通常位于秤杆的中间或稍偏一端．在秤杆上刻制刻度，根据杠杆原理，确定每个刻度的位置． 步骤3安装秤盘和秤纽 在秤杆的一端安装秤盘，确保秤盘稳固且能自由摆动．在秤杆的另一端或适当位置安装秤纽． 步骤4校准秤杆 使用已知重量的物体进行校准，确保秤杆在不同重量下的读数准确．根据校准结果调整秤砣的重量或刻度标记的位置，以达到所需的精度． 【建立模型】如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数，表中为校准秤杆时若干次称重所记录的一些数据． （厘米） （斤）   【解决问题】 （1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对数是错误的？以坐标的形式表达出来．______； （2）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤钩所挂物重y增加______斤； （3）根据表格和图象的发现，通过计算回答下列问题． ①y与x之间的函数表达式； ②当秤钩所挂物重是6.2斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？ 【答案】（1）画图见解析，；（2）0.7；（3）①与之间的函数表达式为；②秤钩所挂物重是6.2斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为9厘米． 【分析】本题主要考查一次函数的应用； （1）根据数据描点即可判断； （2）根据表中数据当时，，当时，，由此即可求解； （3）①设与的函数关系式为根据表中数据有当时，，当时，，代入即可得到二元一次方程组，求解即可得到函数解析式； ②把代入函数解析式，求解的值即可解答． 【详解】解：（1）把表中数据描点如下： 观察图象可知：由于是的一次函数，没有位于直线上，所以，这组数据错误， 故答案为：； （2）根据表中数据当时，，当时，，由此可得： 当每增加厘米时，秤杆所挂物重增加了斤． 故答案为： （3）①是的一次函数， 设与的函数关系式为 根据表中数据有当时，，当时，， ， 解得， 与的函数关系式为． ②当时，， 解得． 答：秤钩所挂物重是9斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米． 7．（21-22八年级上·安徽马鞍山·期末）马鞍山金鹰酒店游泳馆推出了两种收费方式． 方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元． 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元． 设小亮在一年内来此游泳馆的次数为次，选择方式一的总费用为（元），选择方式二的总费用为（元） (1)请分别写出，与之间的函数表达式． (2)若小亮计划拿出1400元用于在此游泳馆游泳，采用哪种付费方式更划算？ 【答案】(1)，； (2)方案一 【分析】本题考查了一次函数方案类问题，合理列出函数表达式是解题的关键． （1）根据方案内容列出函数表达式即可； （2）把总费用分别代入方案方程，求出次数进行对比即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：把代入可得：， 解得：， 把代入可得：， 解得：， ∵ ∴选择方式一次数会比较多， 答：采用方案一付费方式更划算． 8．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读理解】一次函数在实际生活中有着广泛的应用．在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市场的供给量和需求量与价格之间的关系，可以帮助我们分析和解决与经济相关的问题． 如图1为市场均衡模型，为需求量，为供给量，P为商品价格．当商品价格P上涨时需求量会随之减少，而供给量却随之增加，当需求等于供给（）时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格就会下降． 【解决问题】 任务1：根据市场调查，某种商品在市场上的需求量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，其中与p的几组对应数据如下表： 价格p/（万元） 1 2 3 4 5 需求量/（万件） 22 20 18 16 14 求出与p的函数表达式； 任务2：该商品的市场供给量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，如图2，试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格； 任务3：依据以上信息和函数图象分析，当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是______． 【答案】任务1：；任务2：达到市场供需平衡时该商品的均衡价格为3万元；任务3：． 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，根据函数图象信息解决问题，理解题意构建方程是解答本题的关键． 任务1：设，找到两组表格数据，代入求解即可； 任务2：根据题意可知，当时，市场达到均衡，构建方程即可解决问题； 任务3：首先求出与p轴的交点，利用图象法即可求决问题． 【详解】解：任务1：设， 由表格可知，一次函数经过，两个点， ， 解得：， 关于的函数关系式为； 任务2：由题意得， 解得， 达到市场供需平衡时该商品的均衡价格为3万元； 任务3：当时，， 解得， 当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是． 9．（24-25八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … 【问题解决】 (1)请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； (2)根据以上判断，求关于的函数关系式； (3)一个人一天大约饮用1600毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数） 【答案】(1)图象见解析，一次 (2)； (3)这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用约81天． 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求出一次函数解析式是关键． （1）根据表格数据，画出函数图象，从图象观察符合一次函数图象特征即可； （2）待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）先计算出一天的漏水量，再计算出一月的漏水量，最后与1600作除法运算即可． 【详解】（1）解：关于的函数图象如图所示： 从所画图象看，符合一次函数的特征． 故答案为：一次； （2）解：设一次函数解析式为，将点，代入解析式得： ，解得， 一次函数解析式为； （3）解：一天， 一天的盛水量， 一月的盛水量， 可供一人饮用（天， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用约81天． 10．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A镇；二分队因疲劳可在营地休息小时再往A镇参加救灾．一分队出发了后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为千米/时． (1)若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？ (2)下列图象中①②分别描述了一分队和二分队离A镇的距离y（千米）和时间x（小时）的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并据图象直接指出甲乙谁先到达终点． 【答案】(1)8小时 (2)（b）、（d） 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图像中获得信息，树形结合熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键． （1）根据题意先分别求出二分队行至塌方处需时间，一分队到塌方处并打通道路需要的时间，从而得出二分队在塌方处需要停留小时，再列式求出结果即可； （2）先分别求出一分队到达A镇的时间，再根据a的取值，求出一分队与二分队同时到达A镇时的值，最后根据函数图像进行讨论即可． 【详解】（1）解：若二分队在营地不休息，则，速度为4千米/时，行至塌方处需（小时）， ∵一分队到塌方处并打通道路需要（小时）， ∴二分队在塌方处需要停留小时， ∴二分队在营地不休息赶到镇需（小时）． （2）解：一分队赶到镇共需（小时）， 当时，二分队速度为5千米/时，行至塌方处需（小时），此时一分队正好打通道路，即二分队在塌方处追赶上一分队，然后与一分队一起赶到镇； 当时，二分队速度为6千米/时，行至塌方处需（小时）， ， ∴此时二分队在塌方处不需停留， 此时二分队到达A镇需要的时间为：（小时）， ∵， ∴此时与一分队一起到达A镇， 当时，二分队速度为7千米/时，行至塌方处需小时， ∵， ∴比一分队晚到达A镇， ∴当时，二分队在塌方处需停留，时，二分队在塌方处不需停留，且比一分队早到达A镇，时，二分队在塌方处不需停留，且比一分队晚到达A镇； （a）此图中一分队没有停留，故（a）不合理； （b）此图中，二分队在塌方处不需停留，且比一分队晚到达A镇，故（b）合理； （c）此图中二分队到达塌方处，一分队没有打通，但二分队没有停留，不合理，故（c）不合理； （d）此图中，二分队在塌方处不需停留，且比一分队早到达A镇，故（d）合理； 综上分析可知，合理的是（b）、（d）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一次函数与实际问题 目录 1 类型一、行程问题 2 类型二、工程问题 3 类型三、调运问题 4 类型四、计时问题 6 类型五、分配问题 8 类型六、体积问题 9 类型七、最大利润问题 11 类型八、阶梯计费问题 13 类型九、方案选择问题 15 类型十、新情境问题 16 18 一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 求最值的本质为求最优方案，解法有两种： 1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； 2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 类型一、行程问题 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）国庆假期，某出租车司机将3名游客从高铁站送往景点甲地，到达后立刻返回．出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系如图所示． (1)求出与之间的函数关系式； (2)求出租车出发4小时后距离景点甲地多远？ (3)在高铁站与景点甲地之间有一服务区乙地，出租车从去时途经乙地，到返回时再经过乙地，共用1小时50分钟，求高铁站与服务区乙地相距多远？ 2．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）2024年宣州区第一届龙舟邀请赛在水阳江开桨。甲乙两支龙舟队在赛前进行了备战训练，甲乙两队均从起点驶向终点，在整个行程中，龙舟离开起点的距离（米）与时间（分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)分别求出甲、乙两支龙舟队的与函数关系式； (2)甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距180米？（直接写出答案） 3．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）小张和妈妈同时从家沿同一直道骑自行车去公园．妈妈先以150米/分钟的速度骑行一段时间后，休息了5分钟，再以m米/分钟的速度到达公园，小张始终以同一速度骑行，两人离家的距离y（米）与时间x（分钟）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)______，______，______； (2)若小张的速度为120米/分钟，妈妈自第二次出发至到达公园前，何时与小张相距200米？ 4．（22-23八年级·全国·假期作业）甲车从地出发匀速向地行驶，同时乙车从地出发匀速向地行驶，甲车行驶速度比乙车快，甲、乙两车距地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示： (1)甲车速度为_____，乙车速度为_____； (2)分别求出行驶过程中，甲乙两车的与的函数关系式； (3)在行驶过程中，两车出发多长时间，两车相距80千米？ 类型二、工程问题 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）2023年暑期某地发生水灾，防洪救援部门准备安排30辆货车装运甲、乙、丙三种物资共150吨前往灾区救援，按计划30辆货车都要装运，每辆货车只能装运同一种物资且必须装满．已知每辆货车单独装甲种物资可装8吨，单独装乙种物资可装6吨，单独装丙种物资可装4吨． (1)设装运甲种物资的车辆数为x辆，装运乙种物资的车辆数为y辆，求y与x之间的函数关系式； (2)如果装运每种物资的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有哪几种？ (3)若购买甲种物资需每吨3万元，乙种物资每吨4万元，丙种物资每吨5万元，在（2）的条件下，该公司此次购买捐赠物资至少花费多少万元？ 6．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． (1)甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； (2)当时，求第20天时整个工程已完成多少米； (3)已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 7．（2024·吉林·二模）甲、乙两个机器臂在生产流水线上组装零件，两个机器臂在正常工作中的各自工作效率均始终保持不变．甲、乙两个机器臂同时开始工作一段时间后，甲机器臂出现故障，只有乙机器臂在工作，当甲机器臂故障排除后，甲、乙两个机器臂共同完成剩下的组装工作．如图是两个机器臂组装零件的总量y(个)与乙机器臂在甲机器臂出现故障后工作的时间x(分)之间的函数图象． (1)在正常工作中，甲机器臂的工作效率是每分钟组装 个零件，乙机器臂的工作效率是每分钟组装 个零件． (2)求甲机器臂故障排除后，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)本次工作中，甲、乙两个机器臂组装完成全部550个零件，一共用了 分钟． 类型三、调运问题 8．（24-25八年级上·安徽池州·期末）为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 9．（23-24八年级上·安徽淮北·阶段练习）某超市鸡蛋供成紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲，乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调出900斤，从甲，乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如下表： 到超市的路程 运费 甲养殖场 200千米 0.012元/（斤·千米） 乙养殖场 140千米 0.015元/（斤·千米） 设从甲养殖场调运鸡蛋x斤，总运费为y元． (1)试写出y与x的函数关系式； (2)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？最少运费为多少元？ 10．（22-23八年级上·安徽池州·期末）预防新型冠状病毒期间，某种消毒液甲城需要7吨，乙城需要8吨，正好A地储备有10吨，B地储备有5吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将A、B两地储备的这15吨消毒液全部调往甲城和乙城，消毒液的运费价格如下表（单位：元/吨），设从A地调运x吨消毒液给甲城. 甲城 乙城 A地 100 120 B地 110 95 (1)根据题意，应从B地调运 吨消毒液给甲城，从B地调运 吨消毒液给乙城.（结果请用含x的代数式表示） (2)求调运这15吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围． (3)求出总运费最低的调运方案，并算出最低运费． 11．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）县和县分别有某种库存机器台和台，现决定支援村台，村台，已知从县调运一台机器到村和村的运费分别是元和元；从县调运一台机器到村和村的运费分别是元和元． (1)设县运往村机器台，求总运费关于的函数关系式； (2)若要求总运费不超过元，共有几种调运方案？哪种调运方案运费最低？ 类型四、计时问题 12．（24-25八年级下·福建厦门·期末）综合实践小组模拟“刻漏”原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了简易计时装置如图所示，现需要在甲容器外壁标记刻度，以便通过刻度直接读取时间． 为此，综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 水面高度（观察值） 30 29 27 其中“，”是初始状态下的准确数据，后续数据测量可能存在误差． 任务1利用“，；，”这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 任务2利用任务1所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ 经检验，发现有一组表中观察值不满足原任务中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的绝对值之和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 13．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）两个透明的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图2）．在甲容器里加满水，此时水面高度为．若由于装置的原因，甲容器内的水无法全部流出，当水面高度刚好是1cm时，停止流水，此时停止计时．上午8：00开始放水后，甲容器的水面高度y(cm)和流水时间x(min)的部分数据如表： 记录时间 8：00 8：10 8：25 8：30 8：40 流水时间x(min) 0 10 25 30 40 水面高度y(cm) 30 28 25 24 22 (1)综合实践小组在平面直角坐标系中描出了以表中各组对应值为坐标的点，并用光滑的曲线（包括直线）把描出的点连接起来（如图3），发现可以用一次函数近似地刻画甲容器的水面高度y(cm)与流水时间x(min)的关系，根据以上信息，求y关于x的函数解析式． (2)当时间正好是时，甲容器的水面高度是多少厘米？ (3)刚好停止流水时是几时几分？ 14．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具、据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如表是小明记录的部分数据． 0 1 2 3 5 … 2 2.4 2.8 3.2 4 … (1)求水位与时间的函数表达式； (2)当时间为10min时，求水位的高度． 15．（2025·陕西西安·二模）某餐厅为了追求顾客的消费满意度，推出一种“沙漏计时”单方案，即点餐完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免单．某数学小组观察发现：该沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间3分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为84克，当流入时间10分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为35克． (1)求沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）之间的函数解析式； (2)求客人点餐完成后，最晚多长时间菜全部上桌． 类型五、分配问题 16．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）城有肥料，城有肥料，现要把这些肥料全部运往、两乡，从城往、两乡运肥料的费用分别为20元/t和25元/t：从城往、两乡运肥料分别为15元/t和24元/t．现乡需要肥料，乡需要肥料，设城运往乡的肥料为吨，运往乡肥料的总运费为，运往乡肥料的总运费为． (1)写出关于的函数关系式以及关于的函数关系式并指出自变量的取值范围； (2)怎么样调度使得该过程的总运费最少并求出最少的运输费以及最少的运输方案． 17．（23-24八年级上·安徽淮北·期中）在渠县中学新校区建设中，需要甲、乙两种钢材，现计划把甲种钢材吨和乙种钢材吨用一列火车运往渠县，已知这列火车接挂有两种不同规格的车厢共节，使用型车厢每节费用为元，使用型车厢每节费用元． (1)设运送这批钢材的总费用为元，这列货车挂型车厢节，试写出用车厢节数表示总费用的公式． (2)如果每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，装货时按此要求安排两种车厢的节数，那么共有几种安排车厢的方案？ (3)在（）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？ 18．（23-24八年级上·安徽池州·期末）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表： 型 型 价格（万元/辆） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求，的值； (2)计划购买型和型两种公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案? (3)在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少?最少费用是多少万元? 19．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）合肥某校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，野生动物园的门票价格为教师票每张36元，学生票半价，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二，按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．假如学生人数为x（人），师生门票总金额为y（元）． (1)分别写出两种优惠方案中y与x的函数表达式； (2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少； (3)若选择最优惠的方案后，共付款288元，则学生有多少人？ 类型六、体积问题 20．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）爱好数学研究的依依同学受《乌鸦喝水》故事的启发，在学习完一次函数后，利用未装满水的容器和体积相同的小球（实心小铁球）进行了一次小游戏，她发现壁厚均匀的圆柱形容器的总高度为，里面装有一定量的水，未放小球前测得水面高度为，她将这些体积相同的小球逐个放入容器中，观察发现容器中水面高度y（）与她放入容器中的小球个数x（个）之间的关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量x的取值范围） (2)当水面高度为时，求依依放入容器中的小球个数． 21．（23-24七年级下·四川成都·期末）图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．    (1)甲水槽中水的下降速度为 厘米/分钟，铁块高度为 厘米； (2)求出注水第几分钟时，甲、乙水槽中水的深度相差1厘米？ (3)若甲槽底面积为56平方厘米，乙槽底面积为42平方厘米（壁厚不计），乙槽中铁块的体积多少立方厘米？ 22．（23-24八年级上·广东佛山·期中）受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水桶和体积相同的小球进行了如图操作： (1)已知放入小球后量筒中水面的高度是放入小球个数(个)的一次函数，从图中可以看出函数经过点与点，试确定该函数表达式； (2)当水桶中至少放入_______个小球时，有水溢出． 23．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）聪明的你一定知道乌鸦喝水的故事吧！如图一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不到瓶中的水．于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随着石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是还没解渴，瓶中的水面就下降到乌鸦够不着的高度．乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，呱呱地飞走了． (1)如果设衔入瓶中的石子的体积为x，瓶中的水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是（）； A．B．C．D． (2)小明受到这个故事的启发，利用量筒和若干个体积相同的小球进行了如下操作．请根据图中所给出的信息，解答下列问题： a.放入一个小球后，量筒中的水面升高多少cm； b.求放入小球后，量筒中水面高度y与小球的个数之间的一次函数关系式. c.量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ 类型七、最大利润问题 24．（24-25八年级下·吉林·期中）某商店决定购买，两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件种纪念品的进价比每件种纪念品的进价高30元．用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同． 售价元/件 销售量（件） 100 (1)请直接写出，两种纪念品每件的进价； (2)该商场通过市场调查，整理出型纪念品的售价与数量的关系如表，求当为何值时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ 25．（24-25八年级下·广西南宁·期末）2025年1月上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发了国风手办收藏热潮．李老板从某网店购买，两款风火轮手办并进行销售．两款风火轮的进货价和销售价如下表： (1)第一次李老板用元购进了，两款风火轮共个，求两款风火轮各购进多少个． (2)第二次李老板进货时，网店规定款风火轮进货数量不得超过款风火轮进货数量的一半，他计划购进两款风火轮共个，其中款风火轮个，设第二次购进的风火轮全部卖完所获得的利润为元． 类别价格 款 款 进价（元/个） 售价（元/个） ①请用含的代数式表示； ②应如何设计第二次进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 26．（24-25八年级下·江西吉安·期末）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等． (1)问篮球和足球的进价各是多少元？ (2)若篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元，商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于40个，问商场有几种进货方案？哪种方案商场获利最大？最大是多少？ 27．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）某单位对两种农产品A，B联系超市助销，该超市购买A产品进价为28元/kg；B产品的进货量超过500kg的部分有优惠，且B产品的付款金额（单位：元）与进货量（单位：kg）之间都是一次函数关系，下表所示部分付款情况，该超市对A产品的售价定为35元/kg，B产品的售价定为20元/kg． B产品进货量kg 0 100 300 500 700 900 1000 付款金额元 0 1500 4500 7500 9900 12300 13500 (1)求出和时，与之间的函数关系式． (2)若该超市购进A，B两种产品共1200kg，并全部售出，但超市要求B产品的进货量不低于300kg，且不高于1000kg，设销售完A，B两种产品所获总利润为元（利润销售额成本），请求出（单位：元）与B种产品进货量（单位：kg）之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的进货方案． (3)在（2）中获得最大利润的进货方案下，售出A或B产品每千克都提出元返给农户，全部售出后所获总利润不低于元，求的最大值． 类型八、阶梯计费问题 28．（24-25八年级上·北京·期末）春节期间，某移动公司推出三种手机流量套餐的优惠方案，具体如下表所示： 每月基本 费用（元） 每月免费 使用流量（） 超出流量 每收费（元） 套餐 20 10 套餐 56 30 套餐 188 无限 其中，，，三种套餐每月所需的费用、、（元）与每月使用的流量之间的函数关系如图所示． (1)写出表中的值_________； (2)在套餐中，若每月使用的流量不少于，直接写出每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式___________； (3)如果从节省费用的角度考虑，根据图象与表达式可知：当且时，每月使用的流量的取值范围是__________． 29．（24-25八年级下·福建漳州·期末）为响应绿色出行号召，漳州市某新能源充电站采用“峰谷电价+阶梯服务费”的收费模式．已知充电时段分为峰时（8：00-22：00）、谷时（22：00-次日8：00），其基础电价和阶梯服务费标准如下： 收费项目 收费标准 基础电价 峰时：元/度；谷时：元/度． 阶梯服务费 充电量不超过度时，服务费为元/度；超过度后，超出部分的服务费提升至元/度． 问题解决： (1)设充电量为度，总费用为元．请写出在峰时充电时，关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (2)若陈先生某次谷时充电支付了元，试问他此次充了多少度电？ (3)为推广谷时充电，该充电站推出以下优惠政策：谷时充电量超过20度的部分，基础电价降低．请问推出优惠政策后，陈先生在谷时充电度能节省多少费用？ 30．（24-25七年级上·山东东营·期末）我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨1.5元，超过6吨时，超过的部分按每吨2.2元收费．该市某户居民10月份用水吨，应交水费元． (1)若，请写出与的函数关系式． (2)若，请写出与的函数关系式． (3)如果该户居民这个月交水费20元，那么这个月该户用了多少吨水？ 31．（24-25八年级上·山东济南·期末）某学校社团开展了《哪一款手机资费套餐更合适》学习活动．下表是调查的有关信息： 项目主题 哪一款手机资费套餐更合适 调查方式 资料查阅，实际访谈 调查内容 请根据表中的信息完成下列问题： (1)根据调查内容，某用户使用流量为，使用语音分钟，按A套餐月资费为______元，按B套餐月资费为______元； (2)根据访谈内容，小明妈妈每月语音通话不超过分钟，设她每月使用流量为，每月的手机资费为元． ①若她使用的是A套餐，与的函数关系为：当时，；时，．如图为与的函数图象．若她使用套餐，请求出与之间的函数关系式，并在坐标系中画出它的图象； ②若她某月使用流量为，则使用______（填：A或B）套餐月资费更少； ③若她某月的月资费为元，请判断使用哪种套餐流量更多，并说明理由． 类型九、方案选择问题 方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题. 32．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）某经销商从市场得知如下信息： 类别 A品牌计算器 B品牌计算器 进价（元／台） 200 100 售价（元／台） 300 160 他计划用1.5万元资金一次性购进这两种品牌计算器共100台，设该经销商购进A品牌计算器台，这两种品牌计算器全部销售完后获得的利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若要求全部销售完后获得的利润不少于7900元，该经销商有哪几种进货方案？ (3)选择哪种进货方案，该经销商获利最大？最大利润是多少元？ 33．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就是金山银山”理念，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． 设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元． (1)求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过20000元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求出最低费用． 34．（24-25八年级上·安徽六安·期中）太湖山景区有三处景点，三处景点门票价格如下： 票种 类型一 类型二 类型三 景点 月亮湖 动物园 真人CS游戏 单价（元） 20 30 60 某地方企业家支持地方经济和教育事业的发展，购买以上三处景点的门票90张用来奖励某校优秀学生，其中购买类型一票数x张，类型二票数是类型一票数的3倍少20张票，类型三票数y张． (1)求y与x之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (2)设购买90张票总费用为w元，求w（元）与x（张）之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (3)若计划每种票至少购买20张，请你列出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元． 35．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）某中学计划购买型和型课桌凳共200套，经招标，购买一套型课桌凳比购买一套型课桌凳少用40元，且购买4套型和5套型课桌凳共需1820元． (1)求购买一套型课桌凳和一套型课桌凳各需多少元？ (2)学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买型课桌凳的数量不能超过型课桌凳数量的，学校购买型课桌凳x套，总费用为元． ①求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． ②该校本次购买型和型课桌凳共有几种购买方案？怎样的方案使总费用最低？并求出最低消费． 类型十、新情境问题 36．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元． (1)求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？ (2)该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 37．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）落实《健康中国行动（2019-2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 如何确定排球和足球购买方案？ 素材1 某体育器材店排球的售价为80元/个，足球的售价为100元/个． 素材2 某学校购买排球和足球的总费用不超过3000元，且购买排球15个． 素材3 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供折优惠，足球提供8折优惠． 问题解决 任务1 利用素材2，请运用适当的方法，求出该校最多可以购买多少个足球？ 任务2 利用素材3，运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少？ 38．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）2024年6月25日，我国“嫦娥六号”携克的月球背面土壤样品荣耀归来，为激发学生对航天事业的兴趣，学校组织航天知识问答活动，并打算购买“嫦娥六号”装饰挂件和限量航天印章送给参加活动的学生作为纪念（给每位学生分发1个挂件和1个印章）．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170元可以买2盒挂件和3盒印章． (1)求每盒挂件和每盒印章的价格； (2)如果购买挂件盒，则购买印章_______盒（用含有的式子表示）恰好能够配套分发； (3)累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折优惠，学校以（2）中配套的方式购买，共花费元，求关于的函数关系式．若有660名学生参加活动，共需要多少费用？ 39．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）如图1，这是某款新能源汽车用充电器给汽车充电时，其屏幕的起始画面.经测试，在用快速充电器和普通充电器对该汽车充电时，其电量E（）与充电时间t（h）的函数图象分别为图 2中的线段．根据以上信息，回答下列问题： (1)在目前电量为的情况下，用充电器给该汽车充满电时，快速充电器比普通充电器少用　　　　h． (2)求线段的函数表达式． (3)已知该汽车在高速公路上正常行驶时，一般情况下耗电量为每小时．若该汽车目前电量为，在用快速充电器将其充满电后，正常行驶，接着用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是，求a的值． 40．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）自我县推进“四个蹄子赶超四个轮子”工程以来，某养牛基地的规模逐渐扩大．为将优质牛肉销售至更广泛的市场，养牛基地通过东方甄选等直播平台，将优质牛肉快递至全国各地．养牛基地现与甲、乙两家快递公司合作： 甲公司：快递物品不超过1千克的，按每千克18元收费；超过1千克，超过的部分按每千克12元收费． 乙公司：按每千克14元收费，另加包装费3元．设小明的快递物品x千克． (1)当时，请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式； (2)当x为何值时，两家公司收费相同． (3)现有4500千克牛肉，养牛基地决定同时与甲、乙两公司合作．甲、乙两公司都由于人手不足，每家公司最多可快递3000千克牛肉．养牛基地怎样与两家快递公司合作更省钱？最低运费是多少？ 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系，数据记录如表1：实验二：探究充满电量状态下，电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示电量 100 60 50 30 表1 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 30 60 增加的电量 0 10 30 60 表2 (1)【建立模型】观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出关于的函数表达式和关于的函数表达式． (2)【解决问题】某电动汽车在直满电量的状态下出发，若电动汽车行驶320千米后，此时电动汽车仪表盘显示电量为多少？ (3)在（2）的条件下，若电动汽车要继续行驶到达目的地，此时需要在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶200千米到达目的地，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电______分钟． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某网店在30天内销售一种产品．图1是该产品日销售量y（件）与时间t（天）之间的函数关系图象，图2是一件产品的销售利润z（元）与时间t（天）之间的函数关系图象．（注：日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润．） (1)第18天的日销售量为______件． (2)求第15天销售一件产品的利润是多少元？ (3)求第15天的日销售利润比第25天的日销售利润多多少元？ 3．（24-25八年级上·安徽·期末）元月份新华商场进了一批保暖裤，正好15天内销完．保暖裤每日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数表达式为，下图是保暖裤销售单价w（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系（x是整数）． (1)第5天的销售量为 件，第5天的销售单价为 元； (2)计算第10天的销售额（日销售额=日销售量×日销售单价）； (3)哪几天日销售量为18件？销售量同为18件，哪一天日销售金额较高？ 4．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）为了准备中考体育考试中的跳绳项目，某校计划购买一批考试跳绳，有甲、乙两家体育专卖店推出各自的优惠方案： 商店甲：若购买超过20根，超过部分按每根考试跳绳标价的八折出售． 商店乙：若购买超过15根，超过部分按每根考试跳绳标价的九折出售，然后每根再优惠10元． 若用字母x表示购买考试跳绳的数量，字母y表示购买考试跳绳的价格，其函数图象如图所示． (1)求甲、乙两家体育专卖店每根考试跳绳的标价． (2)求y甲与数量x之间的函数表达式； (3)根据图象直接写出选择哪家专卖店购买考试跳绳更优惠． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究.研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的_______函数，请结合表格数据，求出该函数解析式； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是什么时候？ 6．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）综合与实践 杆秤是我国传统的计重工具，也可算作华夏“国粹”．它制作轻巧、经典，使用也极为便利，作为商品流通的度量工具，活跃在大江南北，代代相传．天地间有杆秤，人们不断赋予秤的文化内涵，公平公正的象征，天地良心的标尺，一桩桩交易就在秤砣与秤盘的此起彼伏间完成． 【查阅资料】 自制杆秤 原理 杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，称重时根据被称物的轻重，使砣与砣绳在秤杆上移动以保持平衡．根据平衡时砣绳所对应的秤杆上的刻度，即可读出被称物的质量示值．精确的杆秤必须满足秤砣的质量×每增加1千克的刻度间的距离=提纽与秤盘悬挂点的距离． 制作步骤 步骤1准备材料 秤杆、秤砣、秤盘、秤纽、刻度标记 步骤2制作秤杆 根据需要称量的最大重量和精度，选择合适的秤杆长度和直径．在秤杆上确定支点位置，通常位于秤杆的中间或稍偏一端．在秤杆上刻制刻度，根据杠杆原理，确定每个刻度的位置． 步骤3安装秤盘和秤纽 在秤杆的一端安装秤盘，确保秤盘稳固且能自由摆动．在秤杆的另一端或适当位置安装秤纽． 步骤4校准秤杆 使用已知重量的物体进行校准，确保秤杆在不同重量下的读数准确．根据校准结果调整秤砣的重量或刻度标记的位置，以达到所需的精度． 【建立模型】如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数，表中为校准秤杆时若干次称重所记录的一些数据． （厘米） （斤）   【解决问题】 （1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对数是错误的？以坐标的形式表达出来．______； （2）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤钩所挂物重y增加______斤； （3）根据表格和图象的发现，通过计算回答下列问题． ①y与x之间的函数表达式； ②当秤钩所挂物重是6.2斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？ 7．（21-22八年级上·安徽马鞍山·期末）马鞍山金鹰酒店游泳馆推出了两种收费方式． 方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元． 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元． 设小亮在一年内来此游泳馆的次数为次，选择方式一的总费用为（元），选择方式二的总费用为（元） (1)请分别写出，与之间的函数表达式． (2)若小亮计划拿出1400元用于在此游泳馆游泳，采用哪种付费方式更划算？ 8．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读理解】一次函数在实际生活中有着广泛的应用．在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市场的供给量和需求量与价格之间的关系，可以帮助我们分析和解决与经济相关的问题． 如图1为市场均衡模型，为需求量，为供给量，P为商品价格．当商品价格P上涨时需求量会随之减少，而供给量却随之增加，当需求等于供给（）时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格就会下降． 【解决问题】 任务1：根据市场调查，某种商品在市场上的需求量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，其中与p的几组对应数据如下表： 价格p/（万元） 1 2 3 4 5 需求量/（万件） 22 20 18 16 14 求出与p的函数表达式； 任务2：该商品的市场供给量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，如图2，试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格； 任务3：依据以上信息和函数图象分析，当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是______． 9．（24-25八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … 【问题解决】(1)请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； (2)根据以上判断，求关于的函数关系式； (3)一个人一天大约饮用1600毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数） 10．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A镇；二分队因疲劳可在营地休息小时再往A镇参加救灾．一分队出发了后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为千米/时． (1)若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？ (2)下列图象中①②分别描述了一分队和二分队离A镇的距离y（千米）和时间x（小时）的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并据图象直接指出甲乙谁先到达终点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$