2.1全等三角形（教学课件）数学青岛版2024八年级上册

青岛版2024·八年级上册 2.1全等三角形 第二章 全等三角形 章节导读 2.1全等三角形 2.1三角形全等的判定 2.3尺规作图 定义 性质 三边相等判定全等 基本作图的意义与实践 两边及夹角判定全等 两角及一边判定全等 斜边及一条直角边判定直角三角形全等 平行线与垂线的作法 学 习 目 标 1 2 理解全等形与全等三角形的定义 识别全等三角形的对应元素（准确找出两个全等三角形的对应顶点、对应边和对应角） 3 掌握全等三角形的性质 情境导入 郑和宝船的“龙骨魔法”——全等三角形如何征服海洋？ 💥 历史年表 1405-1433 郑和七下西洋 携62艘宝船27000船员 15世纪中国造船奇迹！ ⚓ 船长达126米 🌊 抗12级风浪 ❓ 不沉没的奥秘 ⬇ 藏在船底几何中！ 情境导入 破解「全等三角形」的航海密码 💥 龙江船厂志中记载 造舰之法，首重底骨 三角相较，力均乃固 液化天然气船(LNG)的横向肋骨框架系统 由20组激光切割钢制全等三角形单元重复排列 而在现代制造业中 📋全等三角形中究竟蕴含何种秘密，为何能在古代造船业大放异彩？又为何能在科技发达的今天依旧经久不衰？ ➡️接下来，我们一起进入今天的学习，探索全等三角形的秘密 新知探究 💥 观察与发现——全等形的概念引入 本节我们从形状和大小两个方面来研究两个三角形之间的特殊关系。 📋 北京冬奥会花样滑冰图标 同一印章印制 一张正方形纸片对折后得到的一对三角形 观察①②中的每对图形，都具有什么关系？ 每对图形，彼此完全一样，能够完全重合 新知探究 💥 生活中的“完全重合”——全等形的拓展探究 从郑和宝船的对称龙骨，奥运印章，再到数学中的全等形，‘完全重合’的图形无处不在，下面我们一起来看看生活中的全等形。 你还能举出能够完全重合的平面图形的例子吗? ❓ 🚢 剪纸艺术✂️ 活字印刷🔤 双胞胎手印👐 机械齿轮⚙️ 7 新知探究 💥 概念奠基——全等形与全等三角形的定义 🔍 观察→发现→定义 ① 全等形的定义 能够完全重合的两个平面图形叫作全等形 。 全等形的形状相同、大小相等。 形状相同但大小不同（相似形） ② 全等三角形的定义 🔑能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 新知探究 💥 从“工匠样板”到“几何作图”——全等三角形的手工复制法 ✂️ 思考与交流 💭 现在我们已经了解了什么是全等三角形，如何用最简便的方法画出全等的三角形？ ✍ 1️⃣用硬纸片剪出△ABC，边缘修剪整齐，作为三角形板块 动手实践 2️⃣ 将△ABC样板边缘与纸张对齐，用手压住 3️⃣ 沿样板边缘用铅笔描出△A'B'C'轮廓； 三角形板块 A B C A` B` C` 沿着板块描绘出的图形 △ABC与△A`B`C`是全等三角形 除了以上方法，你还能想到其他方法画出全等三角形吗？ 新知探究 💥 核心要素——全等三角形的对应顶点、边与角 三大对应元素定义 📋 当两个全等三角形能完全重合时 ➡️ 1. ▶ **对应顶点**：互相重合的顶点（如点A与点A'） 2. ▶ **对应边**：互相重合的边（如AB与A'B'） 3. ▶ **对应角**：互相重合的角（如∠A与∠A'） ✍ **符号规范**： △ABC ≌ △A'B'C'（对应顶点字母写在对应位置） 读作：“△ABC全等于△A'B'C'” A C B A` C` B` 情境化图示标注 10 新知探究 💥 核心性质——全等三角形的对应边与对应角关系 两个全等三角形 的对应边有什么关系？ 📐 ➤ 对应边（AB与A'B'，BC与B'C'，AC与A'C'）长度是否相等？ ➤ 对应角（∠A与∠A'，∠B与∠B'，∠C与∠C'）度数是否相等？ 如图，全等三角形(△ABC≌△A'B'C’) 📏 ⛵ A B C A` B` C` 全等三角形可以完全重合，因此必有以下性质 **全等三角形的性质** 几何语言： 因为 △ABC ≌ △A'B‘C’ 所以AB = A'B'，BC = B'C'，AC = A'C' ▶ **性质1：对应边相等** ▶ **性质2：对应角相等** 几何语言： 因为△ABC ≌ △A'B'C’ 所以∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C' 例题讲解 💥 例题实战——全等三角形性质的应用 如图，△ABC≌△DEF。写出这两个三角形中相等的边和角。 【解】 因为△ABC ≌ △DEF（已知） 【分析】对应顶点：A↔D，B↔E，C↔F（根据全等符号字母顺序） 所以AB=DE，AC=DF，BC=EF │（全等三角形的对应边相等） 所以 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F （全等三角形的对应角相等） A B C D E F 解决全等三角形的对应边、对应角问题，第一步必须确认对应顶点顺序，这是避免错误的关键。 📜 即时训练 💥 题型一：平移变换中的全等关系 1.如图，将△ABC沿竖直向下的方向平移，得到△DEF。 ① △ABC和△DEF全等吗？ ② 若全等，用符号表示并指出对应边和对应角。 📜 【解】 ① △ABC 和 △DEF 全等（平移的性质） ② 用符号表示：△ABC ≌ △DEF ▶ 对应边：AB=DE，AC=DF，BC=EF （全等三角形对应边相等） ▶ 对应角：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F （全等三角形对应角相等） ▶ 对应顶点：A↔D，B↔E，C↔F （平移方向与顶点顺序） A B C D E F 平移保持以下几何属性：长度、面积、体积。 直线性：直线平移后仍为直线。 平行性：平行线平移后仍平行。 角度：线段夹角不变。 知识补充 即时训练 💥 题型二：翻折变换中的全等关系 📜 2.已知：将△ABC沿直线BC翻转180°，得到△DBC。 ① △ABC和△DBC全等吗？ ② 若全等，用符号表示并指出对应边和对应角。 【解】 A B C D ① △ABC 和 △DBC 全等（依据：翻折的性质） ② 用符号表示：△ABC ≌ △DBC ▶ 对应顶点：A↔D，B↔B，C↔C （翻折后重合的顶点) ▶ 对应角：∠A=∠D，∠ABC=∠DBC，∠ACB=∠DCB （全等三角形对应角相等） ▶ 对应边：AB=DB，AC=DC，BC=BC （全等三角形对应边相等 翻折的核心性质 全等性：形状与大小不变 不变性：周长、面积不变 知识补充 即时训练 💥 题型三：翻旋转变换中的全等关系 【解】 3.已知：将△AOC绕点O旋转180°，得到△BOD。 ① △AOC和△BOD全等吗？ ② 若全等，用符号表示并指出对应边和对应角。 📜 A C O B D ① △AOC 和 △BOD 全等（旋转的性质） ② 用符号表示：△AOC ≌ △BOD ▶ 对应顶点：A↔B，O↔O，C↔D （旋转后重合的顶点） ▶ 对应边：AO=BO，CO=DO，AC=BD （全等三角形对应边相等） ▶ 对应角：∠A=∠B，∠C=∠D，∠AOC=∠BOD （全等三角形对应角相等） 知识补充 旋转的核心性质 旋转保持图形的某些几何属性不变，如：长度、面积、体积 课堂练习 💥 基础巩固 📜 A B C D F E 1.如图，点B，F，C，E在同一直线上，△ABC≌△DEF。请写出这两个三角形的对应边和对应角。 【分析】△ABC ≌ △DEF ，由图可知对应顶点：A↔D，B↔E，C↔F 【解】 所以 AB=DE，AC=DF，BC=EF （全等三角形对应边相等） 因为△ABC ≌ △DEF（已知） 所以∠A=∠D，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE （全等三角形对应角相等） 知识补充 避免混淆： 对应边≠对边， 对应角≠对角 对边：三角形中一个角的对边； 对应边：两个三角形中对应角的对边 课堂练习 💥 基础巩固 📜 如图，点A，B，C在同一直线上，△ABD≌△BCE，∠A=80°，∠E=40°。求∠C的度数。 A B C D E 因为 △ABD ≌ △BCE （已知） 所以 ∠EBC=∠A=80° （全等三角形对应角相等） 在△BCE中，∠EBC+∠E+∠C=180° （ 三角形内角和定理） 因为 ∠EBC=80°，∠E=40° （已知） 所以 80°+40°+∠C=180° （等量代换） 所以∠C=180°-80°-40°=60° （等式性质） 【解】 方法技巧 要解决△ABD≌△BCE中的∠C度数问题，核心是利用全等三角形的对应角相等性质，结合三角形内角和定理计算 课堂练习 综合训练 💥 📜 如图，点A，D，E在同一直线上且△BAD≌△ACE。 （1）BD，DE，CE之间有什么数量关系？证明你的结论； （2）当BD//CE时，求∠BAC的度数。 A B C D E （1）结论：BD = DE + CE 【证明】 因为 △BAD ≌ △ACE （已知全等） 所以BD = AE，AD = CE （ 全等三角形对应边相等） 因为AE = AD + DE（已知） 所以BD = CE + DE （等量代换） （2）结论：∠BAC = 90° 证明：因为 △BAD ≌ △ACE （已知全等） 所以 ∠ADB = ∠E （全等三角形对应角相等） 因为 BD//CE （已知平行） 所以 ∠BDE = ∠E （两直线平行，内错角相等） 所以∠ADB = ∠BDE=90° （等量代换/平角定义） 在△BAD中，∠BAD+∠B+∠ADB=180° 同理，△ACE中∠CAE+∠C+∠E=180°，且∠B=∠CAE，∠BAD=∠C（全等对应角） 所以 ∠BAC = ∠BAD+∠CAE = 180°-∠ADB = 90° 课堂总结 全等形 全等三角形 1.定义：能够完全重合的两个平面图形 2.关键特征：形状相同、大小相等（区别于相似形） 定义：能够完全重合的两个三角形 符号规范：△ABC≅△DEF△ABC≅△DEF（顶点严格对应书写） 对应元素识别 对应顶点 重合的顶点 对应边 重合边（长度必相等） 对应角 重合角（角度必相等） 核心性质  性质2：对应角相等  性质1：对应边相等 感谢聆听! $$