专题09函数综合（8题型）（山东专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题02 函数综合 题型概览 题型01 函数与几何动点问题 题型02 有关函数的新定义问题 题型03 二次函数中的最值与范围问题 题型04 二次函数中的线段问题 题型05 二次函数中的角度问题 题型06 二次函数中的面积问题 题型07 二次函数中特殊三角形的存在性问题 题型08 二次函数中特殊四边形的存在性问题 01函数与几何动点问题 1．（2025·山东烟台·二模）在中，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，图像如图2所示，则线段的长是 ． 【答案】 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，观察图象可得结论． 【详解】解：由图2可得：当点P运动到点A处时，， ∴． 故答案为：． 2．（2025·山东威海·二模）如图，在菱形中，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动到点，同时动点从点出发，以相同速度沿折线运动到点，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设的面积为，运动时间为秒．则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于分情况讨论：当P，Q分别在，上运动时，，当P，Q分别在，上运动时，同理可得：，即可求解． 【详解】解：（1）当P，Q分别在，上运动时， ∵是菱形，，则为边长为2的等边三角形，过点作于点， ，， 函数最大值为，符合条件的A，B，C，D， （2）当P，Q分别在，上运动时： 同理可得：， 符合条件的有A， 故选A． 3．（2025·山东潍坊·二模）如图1，在中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4.8 D．4.4 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点运动规律，结合函数图象解题是解题关键．根据平行四边形的性质，再结合运动时随的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图1，过点作于，连接， 根据图2知：当点与点重合时，， 当与重合时，， ， ， 当点到达点时，， ， ． 故选：B． 4．（2025·山东东营·二模）如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（    ）    A．  B．  C．  D．   【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接，过点作于点，根据已知条件得出是等边三角形，进而证明得出，当时，在上，当时，在上，根据三角形的面积公式得到函数关系式， 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， 当时，在上，      菱形中，，， ∴，则是等边三角形， ∴， ∵， ∴，又 ∴ ∴ ∴， ∴ 当时，在上，    ∴， 综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（2025·山东滨州·二模）如图所示，菱形ABCD的边长是2厘米，∠BAD＝120°，动点M以1厘米/秒的速度自A点出发向B移动，动点N以2厘米/移的速度自B点出发向D移动，两点中任一个到达线段端点移动便告结束．若点M、N同时出发运动了t秒，记△BMN的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)、解直角三角形的相关计算 【分析】连接AC与BD交于点O，作MH⊥BD，垂足为H，根据菱形的性质以及题目给出的条件可得BO＝cm，进而得出BD＝cm，根据题意可知AM＝tcm，BN＝2tcm，根据题意得出t的取值范围，再根据三角形的面积公式得出S与t之间的函数关系式即可得出正确选项． 【详解】解：如图，连接AC与BD交于点O，作MH⊥BD，垂足为H， ∵ABCD是菱形，∠BAD＝120°， ∴∠BAC＝60°，∠ABO＝30°， ∴BO＝AB•cos30°＝＝（cm）， ∴BD＝（cm）， 根据s＝vt可知，AM＝t（cm），BN＝2t（cm）， ∵0≤AM≤2，得0≤t≤2，， ∴， ∵在△BMH中，BN＝2t，MH＝BM•sin30°＝， ∴＝＝（）， 此函数的图象为开口方向向下的抛物线的一部分，且图象两个端点的横坐标分别为0，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键． 6．（2025·山东日照·二模）如图，为矩形ABCD的边AD上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿BC运动到点停止，它们的速度都是．若点P、Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知与之间的函数图象如图所示．给出下列结论：①；②当时，；③在运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有3个；④与相似时，．以上结论正确个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由图2可知，整个运动过程分为段，故点到达时，点同时到达，由此可知，，，由勾股定理求得，由此分别分析各命题的正误． 【详解】解：由图可知，，，， 四边形是矩形， ，． ， ，①正确； 当时，点在上，点在处， ，②正确； 如图，以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形； 以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形； 作的垂直平分线，交于，交于，当点位于或处时，是等腰三角形． 综上，运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有个，③错误； 是直角三角形， 当且仅当点在上时，与相似，此时，，，且， 或， 即或， 解得或（舍去）． 当与相似时，，④正确． 综上可得，正确的有：①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，函数图象与动点问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，一次函数的应用，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 7．（2025·山东枣庄·二模）如图1，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图2所示，则的值为（    ） A．54 B．52 C．50 D．48 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、三角形的面积计算公式，根据相似三角形的性质求出的底和高是解题的关键． 分为点在和上两种情况进行讨论，再利用相似三角形求出对应情况下的底和高进而求出面积的表达式，即可求出结果． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， 当点在上时， ，， ， 又， ， ， 即， ， ， ， 当时，， 如图，当点在上时， ，， ， 又， ， ， 即， ， ， 当时，， ． 故选：B． 8．（2025·山东聊城·二模）如图，已知的顶点坐标分别为，，．动点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接EF．当点E，F移动时，记在直线EF右侧部分的面积为S，则S关于时间t的函数图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、根据动点运动过程求图形面积并确定函数图象．掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． 先根据坐标求出、等边长，分时，证明与相似，求出，进而得到关于的表达式；时，证明与相似，求出，通过得出关于的表达式，根据两个阶段的函数表达式确定函数图象． 【详解】，， ，，， ，， ∵， ∴， ∵E以每秒1个单位长度的速度沿运动， ∴， 当时，此时F在上运动， 在直线右侧部分为， 过F作轴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动，均以每秒1个单位长度的速度移动， ∴，， ∴ ∴ ， ∴一个二次函数，二次项系数，图象开口向上． 当时，此时F在上运动， 在直线右侧部分为四边形 ∴点F运动的距离为t，， ∴，， 过F作轴， ∴ ∵， ∴， ∴， ， ， ． 这是一个二次函数，二次项系数，图象开口向下． 综合以上两种情况，函数图象先为开口向上的二次函数，再为开口向下的二次函数． 故选：A． 02有关函数的新定义问题 9．（2023·山东济南·二模）对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】符号的含义是取较大的值．则本题实为函数比较大小的问题． 【详解】解：令， 如图所示，则的值为函数较大的值， ∴比较两个函数的交点，较大的y值即为最大值． 联立方程     解得 ∴时，解得，， 当时，解得： ∴当时，或 故选：A 【点睛】本题主要考查函数比较大小的问题，正确画出函数图象是解答本题的关键． 10．（2025·山东济南·二模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“叠梦点”，例如就是“叠梦点”，若二次函数图象的顶点为“叠梦点”，则我们称这个二次函数为“叠梦二次函数”，例如二次函数就是“叠梦二次函数”，若“叠梦二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，过点，的线段与这个“叠梦二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查“叠梦点”的新定义，函数图象上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与直线的交点等知识点．掌握新定义是解题的关键． 设“叠梦二次函数”的解析式为，且图象过点，确定“叠梦二次函数”的解析式为，确定，当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点；当点在点时，线段与抛物线有且只有一个交点， 【详解】解：设“叠梦二次函数”的解析式为，且图象过点， ， 解得：， ∵这个“叠梦二次函数”的图象顶点在第一象限， ∴， ， ， ， ∴点在直线上运动， 设直线与“叠梦二次函数”交于点， 当时，， ， 二次函数的顶点为， ， ∴当点的坐标为时，此时点与抛物线顶点共线且与二次函数的图象只有一个交点，即；当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点，即； ∴当线段与这个“叠梦二次函数”的图象有且只有一个公共点时，的取值范围为或． 故选：B． 11．（2025·山东济南·二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等：当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的综合应用，根据新定义，求出二次函数的相关函数为，根据的函数值小于，得到与线段没有交点，进而得到与线段有两个交点，求出恰好过和的顶点恰好在线段上，两种临界情况，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：二次函数的相关函数为， ∵的对称轴为，当时，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴， ∵， ∴的函数值小于0， ∵点M，N的坐标分别为，， ∴轴，且在直线上， ∴与线段没有交点， ∵线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点， ∴抛物线与线段有两个交点， ①当恰好过点时，如图： 则：，此时抛物线与线段有两个交点， ②当抛物线的顶点坐标恰好在线段上时，如图，此时，抛物线与线段恰好有1个交点， ∵， ∴， ∴； ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点； 故选A． 03二次函数中的最值与范围问题 12．（2025·山东济南·二模）抛物线（是常数，）经过两点，且．点，在抛物线上，当且时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题意可知抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小，离对称远，离对称近，则点一定在对称轴右侧，由，即，可知对称轴直线，即可求解．利用对称性求出对称轴从而得出对称轴直线是解题关键． 【详解】解：∵抛物线（是常数，）经过两点， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小， ∵，总有， ∴离对称远，离对称近，则点一定在对称轴右侧， 又∵，即， ∴对称轴直线，可得， ∵， ∴， 故选：B． 13．（2025·山东威海·二模）二次函数图象与轴有两个不同的交点和，对于下列说法：①若函数图象开口向下，则的取值范围为；②函数图象过点；③当时，函数图象与坐标轴的交点构成的三角形面积是；④当，且时，的最大值为．正确的是（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由函数图象开口向下，且与轴有两个不同的交点，利用开口方向与的关系和判别式即可判断①；把点代入函数即可判断②；当时，，然后求出此时与坐标轴的交点，计算面积即可判断③；当，且时，可知该函数的图象开口向上，且对称轴，从而得到当时，函数取得最大值，即可判断④． 【详解】解：①因为该函数图象开口向下，且与轴有两个不同的交点， 则，且， 解得，故①错误； ②当时，， 所以函数图象过点，故②正确； ③当时，， 此时当时，，即与轴的交点为和； 当时，，即与轴的交点为； 所以函数图象与坐标轴的交点构成的三角形面积为，故③正确； ④该函数图象的对称轴为直线， 所以当时，该函数的图象开口向上，且对称轴， 所以当时，函数在时取得最大值， 最大值为，故④正确； 综上所示，②③④正确． 故选：A． 14．（2025·山东青岛·二模）在平面直角坐标系中，抛物线 过点 (1)请用含 的代数式表示 ． (2)若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点，求该抛物线的函数表达式． (3)当 时，对于每一个 的值， 始终成立，试求 的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图像的性质， （1）将两个点的坐标代入关系式，整理可得答案； （2）先求出对称前该抛物线经过点，再设抛物线的关系式为，然后将点代入可得答案； （3）由（1）可得，进而得出 ，接下来求出抛物线的对称轴，再分两种情况：当 时，当 时，随的增大而增大，再将时代入关系式，可得答案；当时，当时，随的增大而减小，将代入关系式，可得答案. 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得， ∴； （2）解：该抛物线关于y轴对称后的图象经过，则对称前该抛物线经过点． 设 ， 将代入，得 ， 解得, 该抛物线的函数表达式为； （3）解：由（1），得， ∴． 由，得，记作 ， 抛物线的对称轴为直线 . 当 时，如图 1，当 时，随的增大而增大． 当时，，则 成立， 即 ， 解得， 所以． 当时，如图2，当时，随的增大而减小， 当时，，则成立， 即 恒成立． 所以或时，始终成立．          15．（2025·山东潍坊·二模）已知关于x的二次函数 (1)若时，求该函数的解析式； (2)当时，该函数的最大值与最小值的差为18，求a的值； (3)若是该函数图象上的两点，且对于都有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把，分别代入，得出，即可作答． （2）先整理，故图象的对称轴为直线，结合．故当时，最小，当时，，列式，即可作答． （3）进行分类讨论，即①若，则函数图象开口向上．②若，则函数图象开口向下，再结合二次函数的图象性质，进行分析列式，即可作答． 【详解】（1）解： ， 当时，， ， ． 该函数的解析式为． （2）解：依题意，， 图象的对称轴为直线． 又． 当时，最小， ∵ ∴当时，， ∴． ． ； （3）解：①若，则函数图象开口向上． 又对称轴为直线， 当时，随的增大而增大． ∴点在对称轴的右侧． 又对于，都有， ， ． ②若，则函数图象开口向下， ∴点在对称轴的左侧． 对称轴为直线 当或时函数值相等． 又对于，都有， ， ． 综上：或． 16．（2025·山东菏泽·二模）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：直线与该抛物线没有交点， (3)若，为抛物线上两点，为抛物线上点和点之间的动点（含点，），点的纵坐标的取值范围为，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知二次函数的函数值求自变量的值、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数解析式和性质，根的判别式．在解题时要注意二次函数的增减性，“开口向下，对称轴左侧，随的增大而增大，对称轴右侧，随的增大而减小． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）联立直线与抛物线解析式可得，利用根的判别式即可得出答案； （3）利用点纵坐标的取值范围，反推出的值，进而得到的值． 【详解】（1）解：由题意可知： ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）证明：联立直线与抛物线解析式可得： ， ， ， 方程无实根，即直线与该抛物线没有交点； （3）解：点纵坐标的取值范围为， 当时，， 解得：，， 得点，， 当时，， 解得：，， 得点，， 如图， ， ，， ， 如图，， ，， ， 综上所述：或． 17．（2025·山东泰安·二模）已知抛物线的对称轴为直线． (1)若， ①求的值； ②若抛物线与轴相交于点、两点，与轴相交于点，求的长； (2)当时，函数最大值与最小值的差为3，求出的值； (3)若，平面内有两个点、，抛物线与线段有且只有一个公共点，求出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①根据的值，结合对称轴公式，进行求解即可；②求出函数解析式，进而求出时的自变量的值，即可得出结果； （2）分和两种情况，根据二次函数的性质，进行求解即可； （3）分有两个相等实根和有两个不相等实根，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：①， ； ②抛物线与轴交于点      抛物线关系式为： 当时， 解得：     ； （2）解：当时， 对称轴为直线，     ， 当时函数有最大值为， 当时函数有最小值为， 由题意得 ； 当时， 对称轴为直线， ， 当时函数有最小值为， 当时函数有最大值为， 由题意得 ； 综上：； （3）解：当时，抛物线为， ∵、， ∴直线为：； ①当有两个相等实根时，抛物线与线段有一个公共点， ， ； ②当有两个不相等实根时，由题意得 ， 解得； 因此，当或时抛物线与线段有一个公共点． 04二次函数中的线段问题 18．（2025·山东淄博·二模）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F．    (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长是线段长度的2倍时，求点P的坐标； (3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接，过点B作直线，连接并延长交直线于点M．当时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求一次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据直角三角形三角函数值可得，，进而可得的周长，结合已知条件可得，设，则，，从而可得方程，解方程即可； （3）先求出，，设，过点M作轴于点N，通过证明，求出，再求出直线的解析式为，将点代入解析式求出n的值即可． 【详解】（1）解：将，代入， 可得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：，， ，， ， ，， 的周长， 的周长是线段长度的2倍， ， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，， ， 解得，（舍）， ， ； （3）解：， 当时，y取最大值， ， 直线的解析式为， 当时，， ， 设，过点M作轴于点N，    由题意知， ， ， ， 又，， ， ，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 将点代入，得， 解得或， 或． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等，综合性较强，难度较大，熟练运用数形结合思想，正确作出辅助线是解题的关键． 19．（2025·山东聊城·二模）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． (3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2)四边形是平行四边形，理由见解析 (3) 【知识点】其他问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、用勾股定理解三角形、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）作交抛物线于点，垂足为，连接，，由点在上，可知，，连接，得出，则，当时，，进而得出，然后证明，即可得出结论； （3）由题意得，，连接．在上方作，使得，，证明，根据得出的最小值为，利用勾股定理求得，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； （2）四边形是平行四边形． 理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，． ∵点在上， ∴，， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）如图2，由题意得，，连接． 在上方作，使得，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴（当，，三点共线时最短）， ∴的最小值为， ∵， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 20．（2025·山东淄博·二模）如图1，抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点，经过点B的直线交该抛物线于另一点E． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图2，当点E与点C重合时，在直线上方的抛物线上任意取一点D，连接，交直线于点P．设，当t取得最大值时，求点D的坐标及此时t的最大值； (3)如图3，经过点B不同于的另一直线交该抛物线于另一点F．当均为x轴上方抛物线上的两点（点E在点F的左边）时，直线与y轴分别相交于点．若，试探究是否存在定点Q在直线上，若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，即点D的坐标为时，t取得最大值 (3)直线过定点Q的坐标为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）将，代入，再建立方程组求解即可； （2）求解直线的表达式为，设点D的坐标为，过点D作轴交于点H，可得点H的坐标为，求解，证明，，进一步可得答案； （3）如图，设点E的坐标为，点F的坐标为，设直线的表达式为，直线的表达式为，求解直线的表达式为，直线的表达式为，可得，设直线的表达式为，求解直线的表达式为，进一步求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得，， 解得，， 所以，抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， 将代入中， 得，， 解得，， 所以，直线的表达式为， 设点D的坐标为，过点D作轴交于点H， ∴点H的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即点D的坐标为时，t取得最大值； （3）解：如图，设点E的坐标为，点F的坐标为， 设直线的表达式为，直线的表达式为， 将代入中， 得，， 解得，， ∴直线的表达式为， 将代入中， 得，， 解得，， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将代入中， 得，， 解得，， ∴直线的表达式为， ∵， ∴， ∴ ∴直线过定点， ∴直线过定点Q的坐标为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合，本题的难度大，细心的计算，选择合适的方法解题是关键． 21．（2025·山东济南·二模）在平面直角坐标系内，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点平行于轴的直线交该抛物线于点． (1)求抛物线的对称轴及点的坐标； (2)设直线与抛物线对称轴的交点为，若，求的值； (3)坐标平面内有两点，且点在点左侧，以线段为边向上作正方形． ①若，求正方形的边与抛物线的交点坐标； ②当时，若正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到轴的距离之差为时，求的值． 【答案】(1)对称轴为直线， (2) (3)①；② 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、特殊四边形(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据抛物线对称轴公式，对于抛物线，其中，，可求出对称轴．因为点与点关于对称轴对称，先求出点坐标（令），再根据对称性求出点坐标． （2）通过作辅助线平行于轴，利用平行线分线段成比例得到，进而求出的值，确定点坐标，最后将点坐标代入抛物线解析式求出． （3）①当时，先确定抛物线、、点坐标，进而得到正方形顶点坐标，判断是否在抛物线上，再求出所在直线解析式，联立抛物线方程求出交点坐标．②当时，根据与横坐标相同及确定是抛物线与交点，结合时情况判断、与抛物线无交点，设出抛物线与、交点、，根据两个交点到轴距离之差求解． 【详解】（1）解：抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ， 过点作轴的平行线交该抛物线于点， 关于抛物线对称轴对称， ； （2）解：过点作平行于轴，交轴于点，则与对称轴平行， 设对称轴与轴交点为 点， 将点代入中，得 ，解得， （3）解：①当时，抛物线解析式为， ， ， 将代入得 点落在抛物线上 所在直线解析式为， 令， 解得或， 正方形的边与抛物线的交点坐标为 ②点与点横坐标都为，且 抛物线与的交点为； 由①知，当时，边与抛物线的交点为，当时，抛物线开口变大，正方形边长变小， 边与抛物线没有交点． 当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点时，设抛物线与分别交于，如图， 与这两个交点到轴的距离之差为， 点的纵坐标为， ， ， 解得（舍去）或； 综上所述， 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，包括对称轴公式的应用，函数与坐标轴交点坐标的求法．同时涉及到平行线分线段成比例定理，以及利用点的坐标求解函数解析式中的参数．解题关键在于熟练运用二次函数的基本性质，通过合理作辅助线构建比例关系，结合图形特点分析点与函数的位置关系，准确求解坐标及参数值． 22．（2025·山东聊城·二模）如图，抛物线经过点，并交轴于另一点，点在第一象限的抛物线上，交直线于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点为抛物线的顶点，求四边形的面积； (3)当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）把分别代入抛物线解答即可； （2）根据解析式得，对称轴为直线，结合点A，点B是对称点，可以确定点B的坐标，设直线的解析式为，与对称轴的交点为M，解得，得到直线的解析式为，故点，． 结合解答即可． （3）不妨设，过点P作交的延长线于点N， 故，解得，得到， 确定，，根据， 得到，构造二次函数，利用二次函数的最值解答即可． 【详解】（1）解：把分别代入抛物线， ∴， 解得， ∴． （2）解：， ∴， ∴，对称轴为直线． ∵点A，点B是对称点， ∴， ∴，    ∴， 设直线的解析式为，与对称轴的交点为M， 故， 解得， ∴直线的解析式为， ∴时，， 故点， ∴． ∴ ． （3）解：∵抛物线的解析式为，不妨设， 过点P作交的延长线于点N，    故， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，构造二次函数求最值，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 23．（2025·山东烟台·二模）已知：抛物线与轴交于、两点(点在点左侧)，对称轴为直线，抛物线的顶点为，与轴的交点为，点、都在直线上，为抛物线上第二象限内一动点且不与点重合． (1)求该抛物线的关系式； (2)如图，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线交于点，若，直线是否过一定点？若过定点，请直接写出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的横坐标为或； (3)直线过定点． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出点坐标，再求出点坐标，设抛物线解析式为顶点式，再代入点，解得，从而可得抛物线解析式； （2）先求出抛物线与 轴交点，，直线的解析式为，直线的解析式为，接下来分两种情况讨论以、、为顶点的三角形与相似，即①和②，再分别求解即可； （3）由，可设直线解析式为，直线解析式为，令直线与抛物线联立可得，由根与系数的关系可得，即，从而可得；同理可得，根据待定系数法可得直线的表达式，再构造一线三垂直模型，如图所示，则，，，，易证，由相似三角形性质推得，把代入中，即，故直线过定点． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为，与轴的交点为，点、都在直线上， 当，则，， ，则，， 设抛物线解析式为顶点式， 代入点，可得， 解得， 故该抛物线的解析式为； （2）解：令， 可解得或， 即，， 由待定系数法可得直线的解析式为，直线的解析式为， ， 可能存在两种情况： ①， ， ，，， ，是等腰直角三角形， 可得，， 作轴于点，如图所示， ，进而可得， 则直线的解析式为， 联立与，整理得， 解得， 又为抛物线上第二象限内点， ； ②， 此时， 则直线的解析式为， 联立和，整理得， 解得（正值舍去）， 则． 综上，点的横坐标为或． （3）解：直线过定点，理由如下： ，设直线解析式为， 直线解析式为， 令直线与抛物线联立可得， 由根与系数的关系可得，即， 从而可得， 令直线与抛物线联立，同理可得，即， 从而可得， 根据待定系数法可得直线的表达式为， 过点作轴，于，于， 如图所示， 则，， ，， ， ， ， ， ， ，即， 整理可得， 把代入中， 即， 令，即，此时， 故直线过定点． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的交点问题、求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、根与系数的关系，解题关键是分类讨论及构造一线三等角模型帮助解题． 05二次函数中的角度问题 24．（2025·山东济南·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C，顶点为D．          (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点E，满足，求点E的坐标； (3)如图3，点F为x轴上一动点，连接，当最大时，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1)，顶点 (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、一次函数、二次函数图象综合判断、切线的应用、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，再将抛物线一般式化成顶点式即可得出点D的坐标． （2）分两种情况，当点E在x轴上方的抛物线上，和点E在x轴下方的抛物线上，画出图形，根据分解求解即可． （3）延长到点M，利用待定系数法求出的解析式，进而可得出点M的坐标，根据题意可知，当点C，D，F所在的圆与x轴相切时，取得最大值，再证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴ 解得 ∴抛物线 ∴顶点 （2）解：如图， ∵ ∴， 设直线的解析式为，将点D的坐标代入得： ， ∴直线的解析式为 联立， 解得：（舍）或 ∴； ②∵ ∴当时， ∴ ∵ ∴直线 如图，设交于点G ∵ ∴， 设 解得 解得 设直线的解析式为， 则， 解得： ∴直线的解析式为， 联立 解得：（舍）或 ∴； （3）解：延长到点M， ，， ∴设的解析式为： 把代入，可得出， ∴的解析式为：， 当时，则， ∴， ∴， 根据题意可知，当点C，D，F所在的圆与x轴相切时，取得最大值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数角度综合题，相似三角形的判定和性质等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 25．（2025·山东威海·二模）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图2，直线：经过点A，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值； （3）如图3，设抛物线的顶点为，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或． 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形性质理解、三角函数综合、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）直接将，两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点的坐标，接着表示出Q点和M点的坐标后，求出线段PQ和QM的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求出其最小值； （3）先利用锐角三角函数证明出，进而得到F点的其中一个位置，在BC另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程组，即可求出BF与y轴的交点，进而求出BF的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定F点的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：； （2）∵经过点A， ∴， ∴， ∴直线：； 设，则， ∵抛物线对称轴为：，且Q点和M点关于对称轴对称， ∴M点横坐标为， ∴； 又∵， ∴， 当时，的值最小，为； ∴该矩形周长的最小值为； （3）存在，或； 由（2）可知，， ∵抛物线的函数表达式为：； 且， ∴顶点D坐标为， 如图4，作DE⊥QM， 因为，， ∴； 又∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B， ∴ 令，解得：，； ∴,, ∴, ∴， ∴当F点在点A处时，能使得，此时; 如图5，在BC另一侧，当时，， 过C点作CN⊥BH，垂足为点N， 由角平分线的性质可得：CN=CO=2， ∴BN=BO=4， 由勾股定理可得：且, 即，且； 解得：，; ∴ 设直线BH的函数解析式为：， ∴， ∴， ∴直线BH的函数解析式为：， 联立抛物线解析式与直线BH的函数解析式，得： 解得：（与B点重合，故舍去），或， ∴， 综上可得，抛物线上存在点，使得，或． 【点睛】本题综合考查了待定系数法求函数解析式、平面直角坐标系中两点之间的距离、求函数的最大或最小值、勾股定理、三角函数等内容，解决本题的关键是能结合图形理解题意，能牢记和熟练运用相关公式进行计算等，本题计算量较大，对学生的综合分析思维能力要求也较高，属于压轴题类型，本题蕴含的思想有分类讨论的思想和数形结合的思想等． 26．（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2) (3)存在，点或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； （2）解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； （3）解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 27．（2025·山东日照·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交轴于点，轴交直线于点，求当的值最大时点的坐标； (3)如图2，点在抛物线上，连接，点是线段上一点，且满足，将抛物线沿射线方向平移，得到过点的新抛物线，点是新抛物线上一点，且，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的横坐标或 【知识点】二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）直接将点A，B的坐标代入关系式得出二元一次方程组求出解即可； （2）设点，再求出直线的关系式，进而表示出点E，即可得，作，交于点F，然后根据，可表示出，接下来得出二次函数讨论极值可得答案； （3）根据平移的特征将原抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得，然后结合题意画出图形，当在上方时，过点N作轴，交x轴于点，过点N作轴，则，作关于直线的对称点，交于点G，连接交抛物线于，求出直线的关系式再联立解方程；当在下方时，取点，连接，则，右边作，交轴于，交抛物线于，证明，得到，设，即可求出，再求出直线的关系式最后联立抛物线解方程即可．即可求出直线的关系式，最后将两个函数关系式联立得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：当时，， ∴点． 设点，直线的关系式为， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的关系式为． ∵轴， ∴点， ∴． 过点P作，交于点F，则， ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ， 当时，有最大值， 即点； （3）解：过点Q作于点K，则， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴将抛物线向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，可得关系式为． 如图所示，当在上方时，过点N作轴，交x轴于点，过点N作轴，则，作关于直线的对称点，交于点G，则，连接交抛物线于， 把代入得． ∵点 ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴设直线的关系式为， ∴， 解得， ∴直线的关系式为， 联立，解得， 由在上方，结合图形可得点M的横坐标； 当在下方时，取点，连接，则，， ， ∴， ∴， 右边作，交轴于，交抛物线于，此时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 设，则，，， ∴中，， ∴代入得， 解得， ∴， ∴设直线的关系式为， ∴， 解得， ∴直线的关系式为， 联立，解得， 由在下方，结合图形可得， 此时点M的横坐标． 综上所述，有符合条件的点M的横坐标或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，相似三角形的判定，求二次函数的极值，二次函数的平移，解直角三角形，准确的作出辅助线是解题的关键． 06二次函数中的面积问题 28．（2025·山东淄博·二模）已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连结，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点，若满足为直角三角形，求点的坐标； (3)如图2，点为线段上一动点（不与端点重合），连结并延长交抛物线于点，连结并延长交抛物线于点，设面积为，面积为，求的值． 【答案】(1) (2)点为或． (3)9 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）已知抛物线与轴两个交点坐标，将其代入抛物线一般式，通过解方程组求出系数和，进而确定抛物线解析式. （2）先得出抛物线顶点坐标及直线上点的纵坐标，因为为直角三角形，直角不确定，所以分、、三种情况．每种情况都通过角之间的等量关系证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例列方程求解点坐标． （3）设出点坐标，分别求出直线、解析式，然后与抛物线方程联立，求出点、坐标．通过用含的式子表示和的面积、，最后求的值． 【详解】（1）解：将，分别代入， 得 解得 抛物线的解析式为 （2）解： 顶点 设 为直角三角形 ①当时，作轴 ， 又 ②当时，作，直线与轴交于点． ， 又 方程无解 此时不存在 ③当时， ， 又 满足条件的点为或． （3）解：设，直线的解析式为 将代入，得 直线的解析式为 联立方程，得 即 整理得， 解得， 当时， 点的坐标为 设直线的解析式为 将代入， 得 直线的解析式为 联立方程，得 即 整理得， 解得，， 当时， 点的坐标为 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，包括用待定系数法求抛物线解析式；相似三角形的判定与性质；直线解析式的求解及直线与抛物线交点坐标的求法；三角形面积的计算．解题关键在于：第（1）问准确代入求解系数；第（2）问全面分类讨论直角情况，利用角的关系找相似三角形；第（3）问正确求出直线解析式并与抛物线联立求交点，再用合适方法表示三角形面积并化简求值． 29．（2025·山东聊城·二模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线，经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，设点P的横坐标为m，的长为l，请写出l关于m的表达式，当l取最大值时，求出点P的坐标； (3)若点P为抛物线上y轴右侧的一点，连接，是否存在点P使得，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，，或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意得：，，从而得到，即可求解； （3）分两种情况讨论：若点P在x轴上方时，若点P在x轴下方时，即可求解． 【详解】（1）解：直线，当时，． 当时，． ，， 将，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：根据题意得：，， ∴， ， 开口向下，有最大值． 当时，l取最大值．   此时； （3）解：分两种情况讨论： ①若点P在x轴上方时，如图1，    根据题意得：，， ∴， ， ， 解得：，， ②若点P在x轴下方，如图2，    ， 解得：，（舍） 的值为或或． 07二次函数中特殊三角形的存在性问题 30．（2025·山东青岛·二模）已知平面直角坐标系的原点为O，抛物线的顶点为C，该抛物线与x轴的正半轴交于点B，若为等腰直角三角形，则b的值为 ． 【答案】2 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、等腰三角形的性质和判定、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】考查了二次函数的图象和性质、等腰直角三角形的性质等知识．画出图象，抛物线的对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D，开口向下，顶点坐标为，得到，进一步求出，由等腰直角三角形的性质得到，则，解方程并检验即可． 【详解】解：如图，抛物线的对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D，开口向下，顶点坐标为， ∴， 当时，， 解得或， ∴点B的坐标为， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴ 解得，或， 经检验，或是方程的解， 当时，顶点为原点，不合题意； ∴， 故答案为： 31．（2025·山东烟台·二模）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6． (1)求b，c； (2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值； (3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据点，得到，由几何面积得到，即点，将点的坐标代入二次函数表达式即可求解； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到点，，如图所示，过点作轴于点，设点M的坐标为，则，，，，根据，代入，结合二次函数求最值的计算方法即可求解； （3）设点P的坐标为，则，，，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当时，即；当时，则；当时，则；由此解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点， ∴， ∵的面积， ∴，即点， 将点的坐标代入二次函数表达式得：， 解得． （2）解：由（1）得抛物线的表达式为， 令，即， 解的，或， ∴点，， 如图所示，过点作轴于点， 设点M的坐标为， ∴，，，， ∵ ∴ ， ∵， ∴当时，S最大值， 答：四边形的面积S的最大值为． （3）解：设点P的坐标为，则，，， 当时，即， 解得（舍去）或3，即点P的坐标为； 当时，则， 解得或，即点P的坐标为或； 当时，则， 解得，即点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数几何图形的综合，掌握二次函数图象与坐标轴的交点的计算，二次函数图象与几何图形面积的计算，等腰三角形的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键． 32．（2025·山东泰安·二模）如图1，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，是第一象限内二次函数图象上的动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）过点作轴于点，若以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； （3）如图2．连接，交直线于点，当时，求的正切值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）以点、、为顶点的三角形与相似，则或，进而求解； （3）证明、，进而求解． 【详解】解：（1）将、代入函数表达式， 得，解得， ∴所求二次函数的表达式为； （2）∵以点、、为顶点的三角形与相似，如图所示: ∴或， 而， 故或， 设点的坐标为，则， 故或， 解得（不合题意的值已舍去）， 检验:把代入原方程的分母，分母不等于0， ∴是原方程的根， 故点的坐标为； （3）过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示: ∴, ∴，, ∴, ∴, ∴, ∵，， ∴, ∴, 设，则，, ∵， ∴时，点, ∴，, ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法，与几何图形结合的综合题，要学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 33．（2025·山东济南·二模）综合应用：如图1，顶点为的抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)求的度数； (3)如图2，动点从点出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向匀速运动，同时动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向匀速运动，各设运动时间为秒，轴交于，轴交抛物线于，连接、． ①当时，求点的坐标； ②直接写出在运动过程中，使得与相似的的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一次函数与几何综合、判断三边能否构成直角三角形、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解b、c值即可； （2）先求得点P、B的坐标，利用两点坐标距离公式和勾股定理的逆定理判断出即可； （3）①如图2，延长交x轴于G，先根据等腰直角三角形的判定与性质推导出，，进而得到，再证明四边形是平行四边形得到，然后解方程求解即可； ②如图3，连接，，过N作轴于G，根据题意分两种情况：和，利用相似三角形的判定与性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴，解得； ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴， 在中，当时，，则， ∵，，， ∴， ∴； （3）解：①如图2，延长交x轴于G， 由题意，，，， ∴是等腰直角三角形，则， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∵当时，， ∴，则， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，则，即， 解得，， 当时，，此时M与A重合，不合题意，舍去， ∴； ②如图3，连接，，过N作轴于G， 由①知，，则， ∵,， ∴要使与相似，分两种情况： 当时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴（不合题意，舍去）； 当时，则，又， ∴是等腰直角三角形， ∴，, ∴，则， 此时， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 综上，当时，与相似． 【点睛】本题考查二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 08二次函数中特殊四边形的存在性问题 34．（2025·山东菏泽·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，且．    (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，m取得最大值，此时点P的坐标为 (3)存在，或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）先求出点，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点P作轴交直线于E，连接，先求出直线的解析式为，设，则，，由得出，因此，最后根据二次函数的性质即可求出m最大值及此时点P的坐标； （3）分两类进行讨论：①当是矩形的边时，有两种情形，当四边形为矩形时，如图2，连接，过点作轴于M，证明，，求出，，，从而得出满足条件的Q点和N点的坐标；当四边形是矩形时，如图2，过点作轴交的延长线于，过点作轴于T，证明，，求出，，，从而得出满足条件的Q点和N点的坐标；②当是对角线时，设，由Q是直角顶点，根据勾股定理得出方程，此方程无解，此种情形不存在． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线经过点，，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）如图1，过点P作轴交直线于E，连接，    设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵直线与y轴交于点D， ∴， ∴， ∵轴，即， ∴， ∴， ∵，   ∴， ∵， ∴当时，m取得最大值，此时点P的坐标为； （3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形． 由（2）知：， ①当是矩形的边时，有两种情形，    当四边形为矩形时，如图2，连接，过点作轴于M， 则， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，   ∴， ∴， ∴； 当四边形是矩形时，如图2，过点作轴交的延长线于，过点作轴于T， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当是对角线时，设，则，，， ∵Q是直角顶点， ∴， ∴，   整理得，此方程无解，此种情形不存在； 综上所述， 或． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象与性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，综合性较强，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据题意正确作出图形，进行分类讨论是解题的关键． 35．（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在， (4)存在，点的坐标为：或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）由对称轴为，计算得到，将点D的坐标代入抛物线表达式求出，计算即可； （2）求出，当时，，即可判断点D在抛物线上 （3）设点关于抛物线对称轴的对称点为点，可知，连接并延长交直线于点，此时最大，设直线的表达式为：，求出直线的表达式为：，即可得到 （4）连接，勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，进而得到当于点重合时，满足题意，作关于点得对称点，易得为等腰直角三角形，且点在抛物线上，得到点于点重合时满足题意，过点作的平行线交抛物线于点，求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标，求出，满足题意，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得：， 当时，， 故点D在抛物线上； （3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴ 连接并延长交直线于点，此时最大， 令，解得：， ∴， 设直线的表达式为：，将、两点坐标代入， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得， ∴ （4）存在，理由如下： 连接， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，存在正方形， 作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形， 当点与重合时，存在正方形， 对于，当时，， 故，在抛物线上，满足题意； 过点作的平行线交抛物线于点，则：， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故存在正方形； 综上：存在，点的坐标为或或 1．（2025·山东济南·二模）已知二次函数（是实数）．对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数函数值的计算，函数值比较大小的方法是关键． 根据题意得到，根据成立，得到，，整理得，，令，所以，结合题意即可求解． 【详解】解：二次函数（是实数）化为一般式得， ， ∵函数图象上的两点，， ∴当时，， 当时，， ∵当时，始终有成立， ∴， ∴，整理得，， 令， ∵， ∴关于的二次函数图象开口向上，对称轴为直线； 当时，，当时，， ∵， 即， ∴， 解得，， ∵， ∴， 故选：C ． 2．（2025·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、解直角三角形的相关计算、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了平移变换的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的应用，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握次函数的性质，三角形的面积的知识点是解题的关键. 根据已知条件求出和的相关边长和角度等信息．然后，分不同阶段分析沿x轴平移过程中与重叠部分的形状和面积计算方法，进而得到S与x的函数关系，最后根据函数关系判断函数图象． 【详解】解：①当时，与重叠部分为，如图1， 由平移得：， ， ， 图像为开口向上的抛物线，A选项不符合题意； ②当时，与重叠部分为四边形，如图2， 由平移得：，，， ， ， ， 在中，， ； 图像为开口向下的抛物线；C选项不符合题意； ③当时，与重叠部分为，如图3， 则，且， 是等边三角形，作于， ， ， ， 图像为开口向上的抛物线，B选项符合题意； 故答案为：B． 3．（2025·山东济南·二模）新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”． 如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的 “永恒点”．点P和点B分别为抛物线的顶点和x轴正半轴上的“永恒点”，设点B到直线 的距离为d1，设点P到直线 的距离为d2，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一次函数自变量或函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，构造相似三角形是解题的关键；过点P作轴交直线于点E，过点B作轴交直线于点F，分别过点B、P作直线的垂线，垂足分别为C、Q，则可得，得；求出“永恒点”B及点P的坐标，从而可求得点E、F的坐标，则可求得，即可求得结果． 【详解】解：如图，过点P作轴交直线于点E，过点B作轴交直线于点F， 则； 分别过点B、P作直线的垂线，垂足分别为C、Q， 则，， ∴， ∴， 即； 令，解得：， ∴； 当时，，即； ∴； 而抛物线的对称轴为直线， 当时，，即；当时，，即； ∴； ∴； 故选：D． 4．（2025·山东济南·二模）如图1，在中，，，动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，为中点．设时间为，为，关于的函数图象如图2所示，有下列结论： ①当时，； ②； ③连接，有最小值为； ④若点是边的中点，则的最小值为．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、图形运动问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离 【分析】从图2可知，当时，，，即可判断①；不妨设，由时，，，根据，可得到此时的长度，从而算得，判断②；由，可知最小值，最小，根据，可得到，利用二次函数，可求得的最值，判断③；以点为原点，建立平面直角坐标系，表示出和的坐标，利用两点距离公式，表示出，利用二次函数，可求得的最值，判断④，最后得到答案． 【详解】解：从图2可知，当时，， 为 当时，，故①错误； 动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，设时间为， 当时，， 在中，， ，当时，， ，故②正确； 中，是斜边上的中点， 时，取最小值，此时最小值为2 的最小值为， 有最小值为，故③正确； 以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系： 那么，，，， 和分别为和的中点 ， 时，取最小值，此时最小值为，故④正确； 正确的有②③④，三个 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的图象与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点距离公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 5．（2025·山东菏泽·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)①抛物线的对称轴为直线_____； ②求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)当时，函数值的取值范围是． ①求和的值； ②将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变．得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，求的取值范围． 【答案】(1)①；②见解析 (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式组、二次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，根据函数的对称轴是直线，进而可以得解； （2）①依据题意，由函数对称轴为直线，当时，函数值y的取值范围是，故是函数的最小值，即抛物线的顶点为，进而可以计算得解； ②依据题意，分在点H下方、上方两种情况分别求解即可． 【详解】（1）①由题意得，函数的对称轴是直线． 故答案为： ②令，则， ， 该函数的图象与轴总有两个公共点． （2）①由题意，函数对称轴为直线，当时，函数值的取值范围是， 是函数的最小值，即抛物线的顶点为． ． ． 抛物线的表达式为：． ， 当时，取最大值． ． ②设图象折叠后顶点的对应点为，点是函数所处的位置，图象为区域， 点，点，则点， 当点在点下方时，． 函数的最高点为，最低点为， ． ． ． 当点在点上方时，同理可得：； ． 6．（2025·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，设抛物线的对称轴为直线，点为抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在直线右侧，且点的纵坐标大于，连接，过点作交直线于点．若，求点的坐标． (3)如图2，连接，，若点在抛物线上，两点之间，过点作的平行线交于点，求最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知两点坐标求两点距离、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用待定系数法解题即可； （2）过点作轴的平行线，过点作于，过点作于点，交轴于点，设，先求得点，表示出二次函数的对称轴，根据对称性，可求得也在该二次函数上，根据点的纵坐标大于，可得点横坐标大于2，接着证明，利用对应边成比例，得到，即，列出方程求得，得到坐标； （3）先分别利用待定系数法求得直线，的解析式，借助和平行，不妨设直线为：，代入，那么直线为：，联立直线和，得到点坐标，利用两点距公式，可得，最后利用二次函数的性质，得到的最大值，并求得点坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， ， ； （2）解： 当时，， ， ， 其对称轴为， 时，， 点在直线右侧，且点的纵坐标大于， 点横坐标大于2， 过点作轴的平行线，过点作于，过点作于点，交轴于点，如图所示： ， ， ， ， ， ，， ， ， 设， 那么， 点在对称轴上， 点横坐标为1， ， ， ， ，即 ， 点纵坐标为， ， ，， 点横坐标大于2，即， ， ， ； （3）解：不妨设， 点在抛物线上，两点之间，，， ， 设直线为，代入，， ， ， 直线为， 设直线为，代入，， ， ， 直线为， 直线平行于直线， 那么设直线为：，代入， ， ， 直线为：， 联立直线和直线， ， ， ， ， ， ， 时，取最大值，此时最大值为， ， ， 的最大值为，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，解直线三角函数，三角形相似的判定与性质，两点距离公式，熟练掌握以上知识点数形结合是解题的关键． 7．（2025·山东聊城·二模）如图，抛物线经过点和点，与轴相交于点，点，在抛物线上，其横坐标分别为，（），连接，． (1)求，的值； (2)当轴时，求直线的函数表达式； (3)设抛物线在点与点之间部分（包括点与点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点与点）的最高点与最低点的纵坐标的差为． 当点在抛物线的顶点左侧时，若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解； (2)化为顶点式，求得顶点坐标，进而可求点P，Q的坐标，待定系数法即可求解； (3)分两种情况讨论，①当P，Q都在对称轴的左侧时，②当P，Q在对称轴两侧时，分别求得，，根据建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ， 解得； （2）解：， 抛物线即为， 对称轴为直线， 当轴时，点与点关于直线对称， 对于抛物线，当时，， ， ， ∴， 设直线的函数表达式为， 得， 解得， 直线的函数表达式为； （3）解：①如图所示，当P，Q都在对称轴的左侧时， 则， ， ， ， ， ， ， 即， 解得或（舍去）； 当P，Q在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时， 则，， 即， 对于抛物线，顶点坐标为 则 ，， ， 解得 (舍去)或 （舍去）； 综上所述，当点在抛物线的顶点左侧时，若，的值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．（2025·山东滨州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． (3)如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】由平行判断成比例的线段、解直角三角形的相关计算、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）根据抛物线的交点式直接得出结果； （2）作于，作于，交于，先求出抛物线的对称轴，进而求得，坐标及的长，从而得出过的直线与抛物线相切时，的面积最大，根据的△求得的值，进而求得的坐标，进一步求得上的高的值，进一步得出结果； （3）分两种情形：当点在线段上时，连接，交于，设，根据求得的值，可推出四边形是平行四边形，进而求得点坐标；当点在的延长线上时，同样方法得出结果． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：如图1， 作于，作于，交于， ，， ， ， 抛物线的对称轴是直线：， ， ， ， ， 故只需的边上的高最大时，的面积最大， 设过点与平行的直线的解析式为：， 当直线与抛物线相切时，的面积最大， 由得， ， 由△得， 得， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图2， 当点在线段上时，连接，交于， 点和点关于对称， ， 设， 由得，， ，（舍去）， ， ∵， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ∴； 如图3， 当点在的延长线上时，由上可知：， 同理可得：， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 9．（2025·山东淄博·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点． (1)求拋物线的解析式； (2)当点P在直线上方的拋物线上时，连接交于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)过点P作x轴的垂线交直线于点M，连结，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，求点M的坐标． 【答案】(1)该抛物线的解析式为； (2)点P的坐标为，的最大值为； (3)点M的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式； （2）过点P作轴交直线于点E，设，进而表示出点的坐标，证明，列出比例式，将转化为二次函数求最值即可； （3）设，则，根据折叠的性质，平行线的性质，推出，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵拋物线与x轴交于点，两点 ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）当时， ∴ 设直线的解析式为，把A，C两点代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交直线于点E，如图，设， ∵轴， ∴点E的纵坐标为 则 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为， 此时点P的坐标为， （3）如图，设，则 ∴，， ∵沿直线翻折，M的对应点为点，落在y轴上，而轴 ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∴ 当时，解得：（舍去），， 此时点 当时，解得：（舍去），， 此时点， 综上，点M的坐标为或． 10．（2025·山东枣庄·二模）已知二次函数（为常数，且）． (1)求该二次函数图象的顶点坐标以及抛物线与轴的交点坐标； (2)当时，的最大值与最小值的差为，求该二次函数的表达式； (3)若，对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为，与轴的交点为， (2) (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】（1）取，得，消去解一元二次方程求得的值，即可求得抛物线与轴的交点坐标，求出对称轴为，再将代入二次函数求出，即可求得抛物线的顶点坐标； （2）根据开口方向分情况讨论，确定区间内的最大值与最小值，建立方程求解参数即可； （3）分析函数的单调性，找到满足条件的区间关系，建立不等式求解参数范围即可． 【详解】（1）解：取，得， 解得：或， 抛物线与轴的交点为，； 对称轴为，代入得， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：当时，在中， 最大值是当时的值，即，最小值是当时的值，即， ， ， 该二次函数的解析式为； 当时，在中， 最大值是当时的值，即，最小值是当时的值，即， ， ， 该二次函数的表达式为； 综上，该二次函数的解析式为或； （3）解：抛物线的对称轴为， 当时，， 由抛物线的对称性知时，， 又，时，， ， 由得且， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点坐标，二次函数的在特定区间内的最值问题，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 11．（2025·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线与y轴交于，且过点， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，函数有最大值6，求a的值； (2)如图，若正方形的顶点A，B在x轴上，，．抛物线与x轴交于点和点F．若抛物与正方形恰有两个交点，求a的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识， （1）①利用待定系数法求出之间的关系即可解答；②分时，时，两种情况结合二次函数的性质即可解答； （2）先求出二次函数顶点坐标为，分当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，当抛物线与直线交点在点C上方，且与直线交点在点D下方时，与正方形有两个交点，两种情况建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：①：把，分别代入抛物线中得： 解得： 对称轴为直线； ②当时，此时时，y有最大值即：解得： 当时，此时时，y有最大值即： 解得： 综上所述：或． （2）解：四边形是正方形，， ，，， 点A为，点B为 将代入，得：， 顶点坐标为 ①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， ，解得： ②如图，当抛物线与直线交点在点C上方，且与直线交点在点D下方时，与正方形有两个交点， ， 解得： 综上所述，a的取值范围为或． 12．（2025·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接，点P为线段上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接AP交抛物线于点D，连接，的面积记为，的面积记为，当取得最大值时，求点D的坐标； (3)如图2，连接，在线段上取点F，使，连接，当取最小值时，请求出此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、全等的性质和SAS综合（SAS）、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点D作轴，交于点E，过点A作轴，交延长线于点F，证明得出，待定系数法求出直线的解析式为，设，则，求出得出，再由二次函数的性质即可得解； （3）过点C作轴，且，连接，由勾股定理可得，证明，得出，从而可得，当O、P、M三点共线时，取最小值，最后由正切的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，，即， 过点D作轴，交于点E，过点A作轴，交延长线于点F， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ 设直线解析式为， 把，代入解析式得： 解得， ∴的解析式为 ∵， ∴， ∴， 设，则 ∴ ∴， ∴时，取得最大值，此时点D的坐标为 （3）解：过点C作轴，且，连接，如图 ∵，， ∴， ∵轴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， 当O、P、M三点共线时，取最小值， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，正切的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 13．（2025·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点． (1)如图，若抛物线过点，求抛物线的表达式； (2)如图，在（）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标； (3)若抛物线与正方形恰有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（）运用待定系数法进行解二次函数的解析式，得，再令，即可作答； （）运用待定系数法得到直线CE的表达式为 设点，则点，依题意把点代入，即可作答； （）分类讨论，如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，或如图，当抛物线与直线交点在点下方，且与直线交点在点上方时，与正方形有两个交点，联立不等式组， 即可作答． 【详解】（1）解：把，代入得： ，得， ∴， 令，则， 整理得：，解得：，， ∴； （2）解：如图所示： 设直线的表达式为过点，， ∴， 解得：， ∴， 设点，则点， 把点代入得，， 整理得：，解得：，， ∴； （3）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴点和点的横坐标为，点和点的横坐标为， 将代入得， ∴， ∴顶点坐标为， 当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， ∴， ∴； 如图，当抛物线与直线交点在点下方，且与直线交点在点上方时，与正方形有两个交点， ， ∴， 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，解一元二次方程，解一元一次不等式组等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 14．（2024·山东东营·二模）如图，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第四象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，若，求出点的坐标． (3)为拋物线上一动点，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请直接写出两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)存在，或、． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（）利用交点式假设出抛物线的解析式为 ，把代入计算即可求解； （）利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，，求出，，由得，即，解之即可求解； （）设与的交点为，由菱形的性质得点为和的中点，，设，由勾股定理得，即有，解得或，设点的坐标为，再利用中点坐标公式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线为 经过两点， ， 把代入得，， ∴， 抛物线的解析式为， 即； （2）解：设直线的解析式为， 把、代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，， ∴，， ， ， ， 解得(不合，舍去)，， 点的坐标为； （3）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形． 如图，设与的交点为， ∵四边形为菱形， ∴点为和的中点，， ∵，， ∴， ∵点为拋物线上一动点， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∴或， ∴或， 设点的坐标为， 当点的坐标为时，有，， ∴，， ∴； 当点的坐标为时，有，， ∴，， ∴； 综上，存在或、，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，菱形的性质，平面直角坐标系两点间距离公式，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．（2025·山东济南·二模）如图所示，二次函数图象的对称轴为直线，顶点为A，与y轴相交于点B，且经过点，直线l：与y轴交于点D，P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，连接，过点P作直线轴，与直线l交于点M． (1)求二次函数的表达式； (2)如图 1，过点P作，垂足为Q，连接，当与面积相等时，求m的值； (3)如图 2，当时，连接，直线与相交于点N，连接，求的最小值并直接写出此时m的值． 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值为； 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、由平移方式确定点的坐标、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，求得，把代入，得，即可求解； （2）过点Q作于G，过点A作于H，当与面积相等时，则，求得，，，然后利用勾股定理求解即可； （3）先用待定系数法求出直线解析式为，从而求得．把把向下移动4个单位，得到，连接，当、N、B三点共线时，最小，最小值为，则最小值为，求出的长即可；再用待定系数法求出直线解析式，把代入求出值即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴，解得：， 把代入，得， 解得：， ∴二次函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴， 设， 过点Q作于G，过点A作于H， 如图1， 当与面积相等时，则， ∴， ∵P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，与直线l交于点M． ∴， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，，， ∵P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m， ∴， ∴或． （3）解：把代入，得， ∴， 设直线解析式为，把代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， ∴， ∴， 把代入 ，得， ∴， ∴， 把向下移动4个单位，得到，连接，如图2， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴当、N、B三点共线时，最小，最小值为， ∴的最小值为2； 设直线解析式为， 把、分别 代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， 把代入，得 ， 解得：． 【点睛】本题考查等定系数法求函数解析式，二次函数的图象性质，勾股定理，一次函数图象性质，直线的平移，两点间线段最短，此题属二次函数综合题目，熟练掌握相关性质是解题的关键． 16．（2025·山东淄博·二模）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点是第三象限内的抛物线上的动点，过作轴，交轴于点，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由； (3)如图2，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点，已知点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，最大值是6 (3)存在，或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可； （2）设，则，则， 则 ，根据抛物线的性质解答即可． (3) 取点，过点Q作轴，交于点M，确定，连接并延长交对称轴直线于点，确定一个位置；过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G，则四边形是矩形，在上取一点，使得，则，连接并延长交对称轴直线于点，确定第二个位置，解答即可． 【详解】（1）解：把，分别代入抛物线，得 解得 抛物线的解析式为. （2）解：根据抛物线的解析式为， ∴，，， 设，则，则， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且最大值为6． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将代入直线的解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， 取点，过点Q作轴，交于点M， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G， 则四边形是矩形， ∴,，， ∴， 在上取一点，使得， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 综上所述，符合题意的点H坐标有，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形全等的判定和性质，构造二次函数求最值，角的和计算，平行线的函数思想判定，平行线的性质，一次函数解析式确定，解方程组，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数综合 题型概览 题型01 函数与几何动点问题 题型02 有关函数的新定义问题 题型03 二次函数中的最值与范围问题 题型04 二次函数中的线段问题 题型05 二次函数中的角度问题 题型06 二次函数中的面积问题 题型07 二次函数中特殊三角形的存在性问题 题型08 二次函数中特殊四边形的存在性问题 01函数与几何动点问题 1．（2025·山东烟台·二模）在中，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，图像如图2所示，则线段的长是 ． 2．（2025·山东威海·二模）如图，在菱形中，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动到点，同时动点从点出发，以相同速度沿折线运动到点，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设的面积为，运动时间为秒．则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东潍坊·二模）如图1，在中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4.8 D．4.4 4．（2025·山东东营·二模）如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   5．（2025·山东滨州·二模）如图所示，菱形ABCD的边长是2厘米，∠BAD＝120°，动点M以1厘米/秒的速度自A点出发向B移动，动点N以2厘米/移的速度自B点出发向D移动，两点中任一个到达线段端点移动便告结束．若点M、N同时出发运动了t秒，记△BMN的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·山东日照·二模）如图，为矩形ABCD的边AD上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿BC运动到点停止，它们的速度都是．若点P、Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知与之间的函数图象如图所示．给出下列结论：①；②当时，；③在运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有3个；④与相似时，．以上结论正确个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2025·山东枣庄·二模）如图1，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图2所示，则的值为（    ） A．54 B．52 C．50 D．48 8．（2025·山东聊城·二模）如图，已知的顶点坐标分别为，，．动点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接EF．当点E，F移动时，记在直线EF右侧部分的面积为S，则S关于时间t的函数图像为（    ） A． B． C． D． 02有关函数的新定义问题 9．（2023·山东济南·二模）对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D．或 10．（2025·山东济南·二模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“叠梦点”，例如就是“叠梦点”，若二次函数图象的顶点为“叠梦点”，则我们称这个二次函数为“叠梦二次函数”，例如二次函数就是“叠梦二次函数”，若“叠梦二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，过点，的线段与这个“叠梦二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 11．（2025·山东济南·二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等：当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（   ） A． B． C． D． 03二次函数中的最值与范围问题 12．（2025·山东济南·二模）抛物线（是常数，）经过两点，且．点，在抛物线上，当且时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 13．（2025·山东威海·二模）二次函数图象与轴有两个不同的交点和，对于下列说法：①若函数图象开口向下，则的取值范围为；②函数图象过点；③当时，函数图象与坐标轴的交点构成的三角形面积是；④当，且时，的最大值为．正确的是（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 14．（2025·山东青岛·二模）在平面直角坐标系中，抛物线 过点 (1)请用含 的代数式表示 ． (2)若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点，求该抛物线的函数表达式． (3)当 时，对于每一个 的值， 始终成立，试求 的取值范围． 15．（2025·山东潍坊·二模）已知关于x的二次函数 (1)若时，求该函数的解析式； (2)当时，该函数的最大值与最小值的差为18，求a的值； (3)若是该函数图象上的两点，且对于都有，求a的取值范围． 16．（2025·山东菏泽·二模）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：直线与该抛物线没有交点， (3)若，为抛物线上两点，为抛物线上点和点之间的动点（含点，），点的纵坐标的取值范围为，求的值． 17．（2025·山东泰安·二模）已知抛物线的对称轴为直线． (1)若， ①求的值； ②若抛物线与轴相交于点、两点，与轴相交于点，求的长； (2)当时，函数最大值与最小值的差为3，求出的值； (3)若，平面内有两个点、，抛物线与线段有且只有一个公共点，求出的取值范围． 04二次函数中的线段问题 18．（2025·山东淄博·二模）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F．    (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长是线段长度的2倍时，求点P的坐标； (3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接，过点B作直线，连接并延长交直线于点M．当时，请直接写出点Q的坐标． 19．（2025·山东聊城·二模）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． (3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值． 20．（2025·山东淄博·二模）如图1，抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点，经过点B的直线交该抛物线于另一点E． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图2，当点E与点C重合时，在直线上方的抛物线上任意取一点D，连接，交直线于点P．设，当t取得最大值时，求点D的坐标及此时t的最大值； (3)如图3，经过点B不同于的另一直线交该抛物线于另一点F．当均为x轴上方抛物线上的两点（点E在点F的左边）时，直线与y轴分别相交于点．若，试探究是否存在定点Q在直线上，若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（2025·山东济南·二模）在平面直角坐标系内，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点平行于轴的直线交该抛物线于点． (1)求抛物线的对称轴及点的坐标； (2)设直线与抛物线对称轴的交点为，若，求的值； (3)坐标平面内有两点，且点在点左侧，以线段为边向上作正方形． ①若，求正方形的边与抛物线的交点坐标； ②当时，若正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到轴的距离之差为时，求的值． 22．（2025·山东聊城·二模）如图，抛物线经过点，并交轴于另一点，点在第一象限的抛物线上，交直线于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点为抛物线的顶点，求四边形的面积； (3)当的值最大时，求点的坐标． 23．（2025·山东烟台·二模）已知：抛物线与轴交于、两点(点在点左侧)，对称轴为直线，抛物线的顶点为，与轴的交点为，点、都在直线上，为抛物线上第二象限内一动点且不与点重合． (1)求该抛物线的关系式； (2)如图，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线交于点，若，直线是否过一定点？若过定点，请直接写出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 05二次函数中的角度问题 24．（2025·山东济南·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C，顶点为D．          (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点E，满足，求点E的坐标； (3)如图3，点F为x轴上一动点，连接，当最大时，请直接写出点F的坐标． 25．（2025·山东威海·二模）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图2，直线：经过点A，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值； （3）如图3，设抛物线的顶点为，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（2025·山东日照·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交轴于点，轴交直线于点，求当的值最大时点的坐标； (3)如图2，点在抛物线上，连接，点是线段上一点，且满足，将抛物线沿射线方向平移，得到过点的新抛物线，点是新抛物线上一点，且，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 06二次函数中的面积问题 28．（2025·山东淄博·二模）已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连结，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点，若满足为直角三角形，求点的坐标； (3)如图2，点为线段上一动点（不与端点重合），连结并延长交抛物线于点，连结并延长交抛物线于点，设面积为，面积为，求的值． 29．（2025·山东聊城·二模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线，经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，设点P的横坐标为m，的长为l，请写出l关于m的表达式，当l取最大值时，求出点P的坐标； (3)若点P为抛物线上y轴右侧的一点，连接，是否存在点P使得，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，说明理由． 07二次函数中特殊三角形的存在性问题 30．（2025·山东青岛·二模）已知平面直角坐标系的原点为O，抛物线的顶点为C，该抛物线与x轴的正半轴交于点B，若为等腰直角三角形，则b的值为 ． 31．（2025·山东烟台·二模）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6． (1)求b，c； (2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值； (3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 32．（2025·山东泰安·二模）如图1，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，是第一象限内二次函数图象上的动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）过点作轴于点，若以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； （3）如图2．连接，交直线于点，当时，求的正切值． 33．（2025·山东济南·二模）综合应用：如图1，顶点为的抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)求的度数； (3)如图2，动点从点出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向匀速运动，同时动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向匀速运动，各设运动时间为秒，轴交于，轴交抛物线于，连接、． ①当时，求点的坐标； ②直接写出在运动过程中，使得与相似的的值． 08二次函数中特殊四边形的存在性问题 34．（2025·山东菏泽·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，且．    (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025·山东济南·二模）已知二次函数（是实数）．对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A．B．C．D． 3．（2025·山东济南·二模）新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”． 如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的 “永恒点”．点P和点B分别为抛物线的顶点和x轴正半轴上的“永恒点”，设点B到直线 的距离为d1，设点P到直线 的距离为d2，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东济南·二模）如图1，在中，，，动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，为中点．设时间为，为，关于的函数图象如图2所示，有下列结论： ①当时，； ②； ③连接，有最小值为； ④若点是边的中点，则的最小值为．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·山东菏泽·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)①抛物线的对称轴为直线_____； ②求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)当时，函数值的取值范围是． ①求和的值； ②将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变．得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，求的取值范围． 6．（2025·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，设抛物线的对称轴为直线，点为抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在直线右侧，且点的纵坐标大于，连接，过点作交直线于点．若，求点的坐标． (3)如图2，连接，，若点在抛物线上，两点之间，过点作的平行线交于点，求最大值及此时点的坐标． 7．（2025·山东聊城·二模）如图，抛物线经过点和点，与轴相交于点，点，在抛物线上，其横坐标分别为，（），连接，． (1)求，的值； (2)当轴时，求直线的函数表达式； (3)设抛物线在点与点之间部分（包括点与点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点与点）的最高点与最低点的纵坐标的差为． 当点在抛物线的顶点左侧时，若，求的值． 8．（2025·山东滨州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． (3)如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2025·山东淄博·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点． (1)求拋物线的解析式； (2)当点P在直线上方的拋物线上时，连接交于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)过点P作x轴的垂线交直线于点M，连结，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，求点M的坐标． 10．（2025·山东枣庄·二模）已知二次函数（为常数，且）． (1)求该二次函数图象的顶点坐标以及抛物线与轴的交点坐标； (2)当时，的最大值与最小值的差为，求该二次函数的表达式； (3)若，对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围． 11．（2025·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线与y轴交于，且过点， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，函数有最大值6，求a的值； (2)如图，若正方形的顶点A，B在x轴上，，．抛物线与x轴交于点和点F．若抛物与正方形恰有两个交点，求a的取值范围． 12．（2025·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接，点P为线段上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接AP交抛物线于点D，连接，的面积记为，的面积记为，当取得最大值时，求点D的坐标； (3)如图2，连接，在线段上取点F，使，连接，当取最小值时，请求出此时的值． 13．（2025·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点． (1)如图，若抛物线过点，求抛物线的表达式； (2)如图，在（）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标； (3)若抛物线与正方形恰有两个交点，直接写出的取值范围． 14．（2024·山东东营·二模）如图，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第四象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，若，求出点的坐标． (3)为拋物线上一动点，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请直接写出两点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2025·山东济南·二模）如图所示，二次函数图象的对称轴为直线，顶点为A，与y轴相交于点B，且经过点，直线l：与y轴交于点D，P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，连接，过点P作直线轴，与直线l交于点M． (1)求二次函数的表达式； (2)如图 1，过点P作，垂足为Q，连接，当与面积相等时，求m的值； (3)如图 2，当时，连接，直线与相交于点N，连接，求的最小值并直接写出此时m的值． 16．（2025·山东淄博·二模）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点是第三象限内的抛物线上的动点，过作轴，交轴于点，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由； (3)如图2，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点，已知点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$