精品解析：福建省厦门市2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题

厦门市2024-2025学年第二学期高二年级质量检测 数学试题 本试卷共4页，考试时长120分钟，满分150分． 注意事项： 1.考生将自己的姓名、准考证号、答案填写在答题卡上．考试结束后，须将“答题卡”交回． 2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若轴与圆相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与圆相切可得出值. 【详解】圆心到轴的距离为，且轴与圆相切，所以， 故选：A． 2. 已知变量的4组相关数据分别为，则关于的线性回归直线必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出样本中心点即可求解. 【详解】因为， 线性回归直线必经过样本中心点. 故选：B． 3. 记正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的通项的性质求得再根据求得公比，进而由即可求得. 【详解】设的公比为. 由，得，所以 则，即 解得或（舍）， 所以 故选：C. 4. 若的展开式中二项式系数之和为32，则该展开式中的系数为（ ） A. B. 48 C. D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式系数和求出，再由展开式通项公式求解的系数即可. 【详解】二项式系数和为，解得， 所以展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的系数为. 故选：D． 5. 为考察药物A对预防疾病B的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 28 22 50 服用 34 16 50 合计 62 38 100 计算得到．假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的5倍，则根据小概率值的独立性检验，（ ） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A. 当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过5% B. 当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过10% C. 当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1% D. 当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.5% 【答案】C 【解析】 【分析】设各项数据变为原来的5倍后，根据题意计算对应出的值，参考数据逐项分析即可得出答案. 【详解】对于A,B，因为， 所以当时，无法推断种群一中药物A对预防疾病B有效，故A,B错误； 对于C,由，将各项数据变为原来的5倍， 则， 所以当时，则种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过.故C正确； 对于D,因为， 所以当时，无法推断种群二中药物A对预防疾病B有效，故D错误. 故选：C. 6. 在正四面体中，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】选取空间的一组基底，将，用基底表示，结合夹角公式求解. 【详解】，设正四面体的棱长为， 则， 故，又， 直线与直线夹角的余弦值为， 故选：D． 7. 已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对求导，求出导数为0的的值，分析的单调性，得出极值点，极值，并计算取得极值的其它点，从而得到的取值范围. 【详解】，令，解得或，易知： 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故的极小值为，极大值为， 所以， 由可得，，解得或， 由可得，，解得或， 所以，， 因此，即. 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的极小值点为2 C. 恰有2个极值点 D. 的图象与轴至多有2个公共点 【答案】AD 【解析】 【分析】对于ABC，导函数符号决定函数单调性、极值点情况，对于D，由函数单调性结合零点存在定理即可判断. 【详解】对于A，当时，，所以在区间上单调递增，所以A正确； 对于B，当时，，所以2不是的极小值点，所以B错误； 对于C，当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以为的极大值点，恰有1个极值点，所以C错误； 对于D，在上递增，在递减，每个单调区间最多一个零点， 所以图象与轴至多有2个公共点，当且仅当时两个，所以D正确. 故选：AD. 9. 某人从一座9层大楼的第1层进入电梯，在第层离开电梯，假设自第2层开始等可能地在每一层离开电梯，记事件“为偶数”，事件“”，事件“为质数”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别求出事件A，B，C的样本点，再分别验证各个选项即可. 【详解】易知，已知事件包含的样本点为，则，事件包含的样本点为，则，事件包含的样本点为，， 考察A选项：事件包含的样本点为，所以，A选项错误； 考察B选项：事件包含的样本点为，所以，B选项正确； 考察C选项：事件包含的样本点为， 所以，所以，C选项正确； 考察D选项：事件包含的样本点为，的样本点为， 所以，，所以，D选项正确； 故选:BCD. 10. 已知数列：，其中第1项为，接下来的2项为，接下来的4项为，依此类推，设为的前项和，则（ ） A. B. C. 有且仅有一个正整数，使得 D. 存在无数个正整数，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数列的形成规律即可结合选项逐一求解ABC，根据，利用迭代累加法，即可求解D. 【详解】A选项：易知接下来的8项为，所以，故A正确： B选项：，故B正确； C选项：设分母为的为第组， 情形一：在不同组，设为第组最后一个数，则， 为第组第一个数，则，所以， 解得，即． 情形二：为第组第和第个，则， 取，即符合题意，故C错误； D选项：因为， 所以， 因此存在无数个正整数，使得，故D正确； 故选:ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知抛物线的焦点为，点在上，过作轴的垂线，垂足为．若，则的面积为______． 【答案】8 【解析】 【分析】设位于第一象限，由焦半径公式得到方程，求出，得到，从而求出三角形面积. 【详解】不妨设位于第一象限，则，解得， 故，所以的面积为. 故答案为：8 12. 从名同学中选择人分别去三地调研，每个地方安排一人，其中要求地不安排甲同学，则安排方案共有______种．（用数字作答） 【答案】18 【解析】 【分析】分为甲同学不被选中和甲同学被选中两种情形分析即可. 【详解】若甲同学不被选中，则共有种； 若甲同学被选中，则共有种； 所以安排方案共有18种． 故答案为：18. 13. 设函数，若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】变形给定不等式，再构造函数与，求出它们的最值即可得解. 【详解】函数定义域为， 不等式， 设，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，； 设，则，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，因此， 于是，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知等差数列各项均为正数，且． （1）求通项公式； （2）若，且，求正整数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，然后根据等差数列的通项公式以及数列各项均为正数即可求解； （2）由（1）可知，，进而可得，然后分为奇数和为偶数两种情况讨论即可. 【小问1详解】 设数列的公差为， 由可得，， 所以， 由可得，， 所以， 由于数列各项均为正数， 所以，， 所以 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 解法一：由（1）知，，， 所以， ①当时， ． 因为， 所以； ②当时， 因为，， 所以， 所以， 所以不存在这样的使得，不合题意，舍去， 综上所述，正整数的值为. 解法二：由（1）知，，， ①当为奇数时， ， ②当为偶数时， ， 所以， 解得． 综上所述，正整数的值为. 解法三：由（1）知，，， 设， 则， 所以， 所以 ， 可得， 当为奇数时，， 无解， 当为偶数时， 解得， 综上所述，正整数的值为. 15. 某工厂共有甲、乙两条生产线生产同一型号的产品，其中甲生产线每天产量为20000件，乙生产线每天产量为10000件．其中甲生产线的一等品率为0.2，二等品率为0.8；乙生产线的一等品率为0.6，二等品率为0.4.将甲、乙两条生产线生产的产品均匀混合后随机装箱． （1）质检人员从混合后的产品中随机抽取一件，求抽取到的产品为一等品的概率； （2）已知每箱中有3件产品，其中二等品的定价为100元／件，若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品应该如何定价． 【答案】（1） （2）若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品定价至少200元/件 【解析】 【分析】（1）由全概率公式即可求解； （2）算出，根据题意列不等式求解即可. 【小问1详解】 设从待装箱的产品中随机抽取一件，其为甲、乙两条生产线的产品分别记为事件A和事件B，记其为一等品的为事件C， 依题意可得，且互斥， 故， 所以抽取到的产品为一等品的概率． 【小问2详解】 由（1）从混合后的产品中随机抽取一件，抽到一等品的概率为， 设每箱中3件产品中一等品的数量为随机变量，则， ， 设每箱产品销售额为随机变量，一等品定价为元/件， 则， 所以， 依题意，，解得， 所以若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品定价至少200元/件． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形．，，点为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）若，求平面与平面夹角余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （3）思路一：建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可得解；思路二：由（2）知平面，故可将问题转换为与平面所成角的正弦值，由等体积法即可求解. 【小问1详解】 证明：连接，交于点，连接， 因为分别为的中点，所以， 又平面平面，所以平面． 【小问2详解】 因为底面是边长为2的菱形，所以，且既是的中点，也是的中点， 又，所以， 连接，又平面，所以平面， 因为平面，所以． 又因为，所以． 又平面，所以平面． 【小问3详解】 解法一：在边长为2的菱形中，，所以， 在，，则有， 以为原点，所在直线分别为轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为平面平面，所以平面平面， 即在底面的射影在上，所以， 易知，所以，，， 由（2）知平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 取，则，得， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 解法二：在边长为2的菱形中，，所以， 在，，，，， 由（2）知平面，则平面与平面夹角的余弦值即为与平面所成角的正弦值， 易知，所以， 因为平面平面，所以平面平面， 所以在底面的射影在上， 所以到底面的距离为， 设到底面的距离为，由可知，，解得， 所以与平面所成角的正弦值为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是增函数，求的取值范围； （3）证明：当时，． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，并得到，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求导，分和两种情况，求出函数定义域，先求出时，不满足要求，当时，参变分离，构造函数，结合特殊点函数值，得到不等式，求出的取值范围； （3）解法一：在（2）基础上，得到的单调性，求出最值，从而得到，设，显然单调递减，根据得，所以，综上，当时，； 解法二：变形为，设，求导，构造函数，再求导，结合特殊点函数值，得到，所以当时，； 解法三：先得到当时，，欲证，即证①， 设，求导，得到其单调性，，所以①式成立，所以当时，． 【小问1详解】 当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ， ①当时，的定义域为， 因为利均为增函数，所以在区间单调递增， 当时，，所以，当时，，不符题意． 当时，，所以，当时，，不符题意． ②当时，的定义域为， 若是增函数，则恒成立，即， 设，则， 当时，，当时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，即， 设，易知为增函数，因为，所以， 综上，的取值范围是． 【小问3详解】 解法一：由（2）可知，当时，存在， 使得，即， 且当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 要证，即证，即证， 设，显然单调递减， 又， 则， 所以，即，即， 综上，当时，． 解法二：要证，即证， 设，则， 设，显然单调递减，且， 则有时，，当时，， 所以在在单调递增，在单调递减； 所以， 又，所以， 所以当时，． 解法三：设，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，故， 当时，，欲证， 只需证：当时，， 即证①， 设，则， 令，解得， 设， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，即． 故令得，令得， 所以在在单调递减，在单调递增； 其中， 所以，所以①式成立，所以当时，． 18. 在平面直角坐标系中，定义两点的“距离”为，其中．已知定点，动点满足，其中．记的轨迹为“-椭圆”，为“-焦点”． （1）当时，写出“-椭圆”的轨迹方程并直接画出相应曲线； （2）已知数列均为正项数列，，椭圆，记以，为“-焦点”的“-椭圆”为，的边均与相切，且的顶点均在上． （ⅰ）设的面积为，证明：； （ⅱ）若是等比数列，求的离心率． 【答案】（1），图象见解析 （2）（ⅰ）证明见解析； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据“椭圆”的定义即可画出图形. （2）“椭圆”关于轴、轴对称，只需考虑第一象限（含轴非负半轴）的情况，利用直线与椭圆相切求出，根据直角梯形的面积公式即可求出的面积. 由（ⅰ）知，结合是等比数列推出的离心率为定值，代入的顶点求得，进而推出，即可求出离心率. 【小问1详解】 由题意， 当时，“椭圆”的轨迹方程为，其对应图象为： 【小问2详解】 由题意及（1）得， （ⅰ）设：， 将替换为，或将替换为，的方程不变， 故“椭圆”关于轴、轴对称， 只需考虑第一象限（含轴非负半轴）的情况． 在第一象限中，由和两条线段组成． 由于与相切， 则由，得， 由，可得， ∵的一个顶点在上， ∴， ∵与相切， ∴，即， 在第一象限的直角梯形面积为， ∴的面积为． （ⅱ）由（ⅰ）可知，， 由是等比数列可知， 即，即， ∴，的离心率为定值． ∵的顶点在上， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 的离心率为， ∴的离心率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市2024-2025学年第二学期高二年级质量检测 数学试题 本试卷共4页，考试时长120分钟，满分150分． 注意事项： 1.考生将自己的姓名、准考证号、答案填写在答题卡上．考试结束后，须将“答题卡”交回． 2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若轴与圆相切，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知变量的4组相关数据分别为，则关于的线性回归直线必经过点（ ） A. B. C. D. 3. 记正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 若的展开式中二项式系数之和为32，则该展开式中的系数为（ ） A. B. 48 C. D. 80 5. 为考察药物A对预防疾病B的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 28 22 50 服用 34 16 50 合计 62 38 100 计算得到．假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的5倍，则根据小概率值的独立性检验，（ ） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A. 当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过5% B. 当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过10% C. 当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1% D. 当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.5% 6. 在正四面体中，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 7. 已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的极小值点为2 C. 恰有2个极值点 D. 的图象与轴至多有2个公共点 9. 某人从一座9层大楼第1层进入电梯，在第层离开电梯，假设自第2层开始等可能地在每一层离开电梯，记事件“为偶数”，事件“”，事件“为质数”，则（ ） A B. C. D. 10. 已知数列：，其中第1项为，接下来的2项为，接下来的4项为，依此类推，设为的前项和，则（ ） A. B. C. 有且仅有一个正整数，使得 D. 存在无数个正整数，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知抛物线的焦点为，点在上，过作轴的垂线，垂足为．若，则的面积为______． 12. 从名同学中选择人分别去三地调研，每个地方安排一人，其中要求地不安排甲同学，则安排方案共有______种．（用数字作答） 13. 设函数，若，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知等差数列的各项均为正数，且． （1）求的通项公式； （2）若，且，求正整数的值． 15. 某工厂共有甲、乙两条生产线生产同一型号的产品，其中甲生产线每天产量为20000件，乙生产线每天产量为10000件．其中甲生产线的一等品率为0.2，二等品率为0.8；乙生产线的一等品率为0.6，二等品率为0.4.将甲、乙两条生产线生产的产品均匀混合后随机装箱． （1）质检人员从混合后的产品中随机抽取一件，求抽取到的产品为一等品的概率； （2）已知每箱中有3件产品，其中二等品的定价为100元／件，若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品应该如何定价． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2菱形．，，点为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是增函数，求的取值范围； （3）证明：当时，． 18. 在平面直角坐标系中，定义两点的“距离”为，其中．已知定点，动点满足，其中．记的轨迹为“-椭圆”，为“-焦点”． （1）当时，写出“-椭圆”的轨迹方程并直接画出相应曲线； （2）已知数列均为正项数列，，椭圆，记以，为“-焦点”的“-椭圆”为，的边均与相切，且的顶点均在上． （ⅰ）设面积为，证明：； （ⅱ）若是等比数列，求的离心率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $