新教材中数列高次方和与高阶等差讲义-2026届高三数学一轮复习（新高考）

( 第 1 页 共 4 页 ) 一、新教材中的高次方和 1、新教材中的高次方数列求和公式 2、求高次方数列前 𝑛 项和统一公式 二、新教材中的高阶等差（垛积术） 1、新教材中的垛积术 2、高阶等差数列 三、模考中的数列高次方和与高阶等差 一、新教材中的高次方和 1、新教材中的高次方数列求和公式 在人教 版新教材选择性必修二第 页例二和第 页课后习题4.4第 题中分别给了前 项平方和、立方和公式，不过都是利用数学归纳法求的，下面介绍一种不同的求高次方数列前 项和公式。 2、求高次方数列前 项和统一公式 设高次数列多项式为 其中 为正整数，，，， 为常数。 求 的前 项和，记为 （下文中数列 的前 项和都记为 ），即求 中的每一项的和，， ，，， . 而 ， 容易求解，分别是等差数列和常数列的前 项和，现在只需求解 ， ，，， 即可 。 对于 （ 且 为正整数）的一般方法为升次裂项（编者个人习惯叫法），即由二项式展开可知 所以 比如 再如 注： 该方法中，求 ，必须先知道 。 二、新教材中的高阶等差（垛积术） 1、新教材中的垛积术 在人教 版新教材选择性必修二第 页习题4.2第12题，第 页阅读与思考和第 页复习参考题4第14题，都涉及到了中古古代求数列和的一种方法“垛积术”，其本质就是高阶等差数列。 解析： （1） （2） 解析： （1） （2） 注： 2、高阶等差数列 二阶等差数列：在数列 中，从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，即 成为一个等差数列，则称数列 为二阶等差数列 . 记 ， 则二阶等差数列 的通项公式为 当然也可设为 代入 ，待定出 ，即可得到通项公式 . 二阶等差数列 的前 项和公式为 下面用累加法推导二阶等差数列的通项公式， 所以 故二阶等差数列的通项公式为 下面用分组求和法求二阶等差数列的前 项和公式 三阶等差数列： 数列 为三阶等差数列，它的各阶等差数列的首项为 ，，， 则三阶等差数列的通项公式为 三阶等差数列的前 项和公式为 三、模考中的数列高次方和与高阶等差 【24届镇江3月统考】对于数列 （ ），记 ，称数列 为数列 的一阶差分数列；记 称数列 为数列 的二阶差分数列，……， 一般地，对于 ，记 ，规定： ， ，称 为数列 的 阶差分数列 . 对于数列 ，如果 （ 为常数），则称数列 为 阶等差数列. （1） 数列 是否为 阶等差数列，如果是，求 值，如果不是，请说明为什么？ （2） 请用 ， ， ， ， 表示 ，，并归纳出表示 的正确结论（不要求证明）； （3） 请你用 （2） 归纳的正确结论，证明：如果数列 为 阶等差数列，则其前 项和为 （4） 某同学用大小一样的球堆积了一个 “正三棱锥”，巧合用了 个球，第 层有 个球第 层有 个，第 层有 个球，……，每层都摆放成 “正三角形”，从第 层起，每层 “正三角形” 的 “边” 都比上一层的 “边” 多 个球，问：这位同学共堆积了多少层？ 解析： （1） （2） （3） （4） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 第 1 页 共 4 页 ) 一、新教材中的高次方和 1、新教材中的高次方数列求和公式 2、求高次方数列前 𝑛 项和统一公式 二、新教材中的高阶等差（垛积术） 1、新教材中的垛积术 2、高阶等差数列 三、模考中的数列高次方和与高阶等差 一、新教材中的高次方和 1、新教材中的高次方数列求和公式 在人教 版新教材选择性必修二第 页例二和第 页课后习题4.4第 题中分别给了前 项平方和、立方和公式，不过都是利用数学归纳法求的，下面介绍一种不同的求高次方数列前 项和公式。 2、求高次方数列前 项和统一公式 设高次数列多项式为 其中 为正整数，，，， 为常数。 求 的前 项和，记为 （下文中数列 的前 项和都记为 ），即求 中的每一项的和，， ，，， . 而 ， 容易求解，分别是等差数列和常数列的前 项和，现在只需求解 ， ，，， 即可 。 对于 （ 且 为正整数）的一般方法为升次裂项（编者个人习惯叫法），即由二项式展开可知 所以 比如 再如 注： 该方法中，求 ，必须先知道 。 二、新教材中的高阶等差（垛积术） 1、新教材中的垛积术 在人教 版新教材选择性必修二第 页习题4.2第12题，第 页阅读与思考和第 页复习参考题4第14题，都涉及到了中古古代求数列和的一种方法“垛积术”，其本质就是高阶等差数列。 解析： （1） 已知 ， ， ，则 （2） 累加即可得 解析： （1） （2） 由 （1） 可得 注： ，，，……正好是上方第一题中的数列 ，因此 与 差为 ，如果看不出来，则可以这样写 后面加的数是第 堆底层中第 ，，， 行的球数 因此累加即可得 2、高阶等差数列 二阶等差数列：在数列 中，从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，即 成为一个等差数列，则称数列 为二阶等差数列 . 记 ， 则二阶等差数列 的通项公式为 当然也可设为 代入 ，待定出 ，即可得到通项公式 . 二阶等差数列 的前 项和公式为 下面用累加法推导二阶等差数列的通项公式， 所以 故二阶等差数列的通项公式为 下面用分组求和法求二阶等差数列的前 项和公式 三阶等差数列： 数列 为三阶等差数列，它的各阶等差数列的首项为 ，，， 则三阶等差数列的通项公式为 三阶等差数列的前 项和公式为 三、模考中的数列高次方和与高阶等差 【24届镇江3月统考】对于数列 （ ），记 ，称数列 为数列 的一阶差分数列；记 称数列 为数列 的二阶差分数列，……， 一般地，对于 ，记 ，规定： ， ，称 为数列 的 阶差分数列 . 对于数列 ，如果 （ 为常数），则称数列 为 阶等差数列. （1） 数列 是否为 阶等差数列，如果是，求 值，如果不是，请说明为什么？ （2） 请用 ， ， ， ， 表示 ，，并归纳出表示 的正确结论（不要求证明）； （3） 请你用 （2） 归纳的正确结论，证明：如果数列 为 阶等差数列，则其前 项和为 （4） 某同学用大小一样的球堆积了一个 “正三棱锥”，巧合用了 个球，第 层有 个球第 层有 个，第 层有 个球，……，每层都摆放成 “正三角形”，从第 层起，每层 “正三角形” 的 “边” 都比上一层的 “边” 多 个球，问：这位同学共堆积了多少层？ 解析： （1） ， 为常数 故数列 是否为 阶等差数列， （2） ， . ， , （3） 设数列：，，，，， 因为 （ ）， 所以数列 ，，，，， 为 阶等差数列， 由 （2） 中的结论得： 因为 所以 （4） 由 （1） 知数列 为二阶等差数列，且 则由 （3） 得 设共堆积了 层，第 层共有 个球，第 层有 个球，因为每层的“边”比上一层多 个球，所以第 层的“边”共有 个球，则第 层的球数为 则这 层所有球的个数为 解得 故这位同学共堆积了 层 学科网（北京）股份有限公司 $$