精品解析： 广东省广州市番禺区桥城中学2024-2025学年九年级上学期数学期中试题

2024学年第一学期桥城中学初三级数学科中段测试（问卷） 班级:___________学号：___________姓名：___________ 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分120分，考试时间120分钟． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案直接填在下面的表格中．） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的定义：中心对称图形则是指在平面内把一个图形绕着某个点旋转后，能够与原来的图形重合的图形．根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意； C、选项中的图形是中心对称图形，符合题意； D、选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：C． 2. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根．把代入，转化为m的方程求解即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 故选：A． 3. 一元二次方程的两根分别为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵该一元二次方程为， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 4. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 按照“左加右减，上加下减”的规律进行变换即可得到新的解析式． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度， 所得抛物线为． 故选：C． 5. 如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（ ） A. 150° B. 120° C. 90° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】先确定旋转角，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：旋转角∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+90°=150°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正确理解旋转角是解题的关键． 6. 某中学一生物兴趣小组的每位同学将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了90件，设组员有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设组员有x名同学，则每位同学送出件，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设组员有x名同学，则根据题意列出的方程， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转，解答本题的关键是学会利用图象法解决问题． 根据要求作出图形，利用图象法解决问题即可． 【详解】解：如图，点， 故选：A． 8. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数比较函数值大小，二次函数的增减性和对称性，求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当，随的增大而减少， ∵关于直线的对称点是， 且， ∴． 故选：B． 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到的（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大小是（ ） 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到的（点B的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，，由等腰直角三角形的性质可得，由外角的性质可求解．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 【详解】解：将绕点顺时针旋转后得到的， ，，， ， ， ， 故选：B． 10. 老师给出了二次函数的部分对应值如表，同学们讨论得出了下列结论，其中不正确的是（　　） x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … A. 抛物线的对称轴为直线 B. 方程无实数根 C. 当时， D. 若是该抛物线上的两点，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，理解利用表格形式表示的二次函数的信息，再作出判断是解本题的关键．根据表格信息先判断抛物线的对称轴，再判断函数图象的增减性与开口方向，函数的最小值，再逐一分析即可得到答案． 【详解】解：由表格信息可得抛物线的对称轴为：直线，故A不符合题意； ∵当时，函数y随x的增大而增大， ∴函数图象的开口向上，函数有最小值， ∴无实数根，故B不符合题意； 由抛物线的对称性可得：时的函数值都为0，抛物线的开口向上， ∴当时，，故C不符合题意； ∵当时，函数y随x的增大而增大，是该抛物线上的两点， 当A，B都在抛物线的对称轴的右侧时，有，故D符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每个空3分，满分18分．将答案直接填在题中的横线上） 11. 一元二次方程x2=4x的根是_____． 【答案】，． 【解析】 【分析】移项并采用因式分解的方法解方程. 【详解】解：移项得，， x(x-4)=0，解得x=0或4， 故答案为，. 【点睛】本题考查了因式分解法解方程. 12. 如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(﹣3，4)，则点C的坐标为_________． 【答案】(3，﹣4) 【解析】 【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A与点C关于原点对称，所以C的坐标为（3，﹣4）． 【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，A点与C点关于原点对称， ∴C点坐标为（3，﹣4）． 故答案为：（3，﹣4）． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及中心对称的性质，解题的关键是掌握平行四边形和中心对称的性质． 13. 若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与轴交点问题．抛物线与轴有两个交点，即对应二次方程有两个不相等的实数根，判别式需大于零，再进一步求解即可． 【详解】解：∵抛物线 与轴有两个交点， ∴二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为： ． 14. 如图，已知抛物线与直线相交于两点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．不等式的解集是抛物线位于直线下方，自变量的取值范围，确定抛物线与直线的交点坐标即可解答． 【详解】解：由图象可知，当或时，抛物线位于直线下方， ∴不等式的解集是：或， 故答案为：或． 15. 如图为抛物线型拱桥的横截面，当水面宽度为米时，拱顶离水面的距离为米，当水面下降米时，水面的宽度为________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．根据所建立的直角坐标系可得，设抛物线的解析式为，求出抛物线的解析式为，根据题意可得：当水面下降米时，，求出此时自变量的值，即可求解． 【详解】解：由如可知，以拱桥的顶点为原点，抛物线的对称轴为轴，建立直角坐标系， 水面宽度为米，拱顶离水面的距离为米， ， 设抛物线的解析式为，将代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 当水面下降米时，， ， 解得：，， 当水面下降米时，水面的宽度为米， 故答案为：． 16. 如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于、两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出点横坐标最大值． 【详解】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为， 此时点横坐标为，则， 当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且，故，， 由于此时点横坐标最大， 故点的横坐标最大值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 用配方法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，按照配方法的过程解方程即可． 【详解】解： 则． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）试作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）以原点为对称中心，画出与关于原点成中心对称的，且坐标为______． 【答案】（1） 根据题意，作图如下： ， 则即为所求． （2） 画图如下： ． 则即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，结合旋转的方向作图即可； （2）根据原点对称的点的坐标特点，确定坐标后画图即可． 本题考查了旋转作图，原点对称的作图，熟练掌握作图的基本要领，确定坐标是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，，，关于原点的对称点分别为，，．且． 19. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 与水平距离之间的关系是：． （1）求当铅球落地时推出有多远？ （2）铅球行进高度能否达到？为什么？ 【答案】（1） （2）铅球行进高度不能达到，最高能达到 【解析】 【分析】（1）求出抛物线与x轴的交点横坐标即可得到答案； （2）把抛物线的解析式化为顶点式，求出函数最大值即可做出判断． 【小问1详解】 解：当 时，， 解得 ，（不合题意，舍去）， 答：当铅球落地时推出有． 【小问2详解】 ， 当时， 有最大值 ． 铅球行进高度不能达到，最高能达到 ． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象与x轴的交点和顶点式是解题的关键． 20. 已知：二次函数y＝﹣x2+2x+3． （1）在坐标系中作出函数图象． （2）当自变量x在什么范围内，y随x的增大而减小？ （3）若P(a，y1)，Q(2，y2)是此抛物线上的两点，且y1＜y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围． 【答案】 （1）由y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4可知：顶点坐标为（1，4）， 令y=0，则0=-x2+2x+3，解得x1=-1，x2=3， ∴与x轴的交点的坐标为（-1，0），（3，0）． 列表： x … -1 0 1 2 3 … y=-x2+2x+3 … 0 3 4 3 0 … 描点、连线, 函数图象如图所示： （2）x＞1；（3）a＞2或a＜0 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标，与x轴的交点和另外两个在函数图象上的点，从而可以画出相应的函数图象； （2）根据图象，可以写出当自变量x在什么范围内，y随x的增大而减小； （3）根据函数图象，可以写出实数a的取值范围． 【详解】（1）略 （2）由图象可得， 当x＞1时，y随x的增大而减小； （3）∵点P（a，y1），Q（2，y2）是此抛物线上的两点，且y1＜y2， ∴a＞2或a＜0． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，找到顶点及对称轴，根据对称轴取点是解题的关键一步，同时，描点时要用平滑曲线．还考查了二次函数的性质． 21. 近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而停课．甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传播后共有36人患了甲流． （1）每轮感染中平均一个人感染几人? （2）如果按照这样的传播速度，经过三轮感染后累计是否超过200人患了甲流? 【答案】（1）每轮感染中平均一个人感染人 （2）经过三轮感染后累计超过200人患了甲流 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设每轮感染中平均一个人感染人，根据“小区经过两轮传播后共有36人患了甲流”，列出方程，解方程即可得出答案； （2）先计算出经过三轮感染后患甲流的人数，再和进行比较即可． 【小问1详解】 解：设每轮感染中平均一个人感染人， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， ， ， 每轮感染中平均一个人感染人； 【小问2详解】 解：由题意得： 经过三轮感染后患甲流的人数为：（人）， ， 经过三轮感染后累计超过200人患了甲流． 22. 已知关于的方程 （）求证：无论取何值时，方程总有实数根； （2）若等腰三角形一边长为，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长． 【答案】（1）证明：∵△=[-（m+1）]2-4×2（m-1）=m2-6m+9=（m-3）2≥0， ∴无论m取何值，这个方程总有实数根； （2）4和2 【解析】 【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=(m-3)2⩾0，由此即可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根； (2)分腰长为4和底边长度为4两种情况分别求解可得． 【详解】解：（1） 略 （2）若腰长为4，将x=4代入原方程，得：16-4（m+1）+2（m-1）=0， 解得：m=5， ∴原方程为x2-6x+8=0， 解得：x1=2，x2=4． 组成三角形的三边长度为2、4、4； 若底边长为4，则此方程有两个相等实数根， ∴△=0，即m=3， 此时方程为x2-4x+4=0， 解得：x1=x2=2， 由于2+2=4，不能构成三角形，舍去； 所以三角形另外两边长度为4和2． 【点睛】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当Δ⩾0时，方程有实数根”；(2) 分腰长为4和底边长度为4两种情况分别求解． 23. 如图，点E，F，G，H分别位于边长为a的正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，AG＝x，正方形EFGH的面积为y． （1）当a＝2，y＝3时，求x的值； （2）当x为何值时，y的值最小？最小值是多少？ 【答案】（1）x＝；（2）当x＝a（即E在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为a2． 【解析】 【分析】（1）设正方形ABCD的边长为a，AG＝x，则DG＝a﹣x，易证△AHG≌△DGF≌△CFE≌△BHE，再利用勾股定理求出EF的长，进而得到正方形EFGH的面积； （2）利用二次函数的性质即可求出面积的最小值． 【详解】解：设正方形ABCD的边长为a，AG＝x，则DG＝a﹣x， ∵四边形EFGH是正方形， ∴GH＝GF，∠HGF＝90°， ∴∠AGH+∠DGF＝90°， ∵∠AGH+∠AHG＝90°， ∴∠AHG＝∠DGF， 在△AHG和△DGF中，， ∴△AHG≌△DGF（AAS）， 同理可证△AHG≌△DGF≌△CFE≌△BHE， ∴AG＝DF＝CE＝BH＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝a﹣x ∴EF2＝CF2+CE2＝（a﹣x）2+x2＝2x2﹣2ax+a2， ∴正方形EFGH的面积y＝EF2＝2x2﹣2ax+a2， 当a＝2，y＝3时，2x2﹣4x+4＝3， 解得：x＝； （2）∵y＝2x2﹣2ax+a2＝2（x﹣a）2+a2， 即：当x＝a（即H在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为a2． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质，题目的综合性较强，难度中等． 24. 如图，在等边三角形中，为边上一点，满足，连接，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在射线上． （1）求证：． （2）如图，若点关于直线的对称点为，直线交于点，连接． 求证：． 若，求的度数． 【答案】（1） 证明：根据旋转的性质可得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 证明：点与点关于直线对称， ，， ， ， 设， 则， ， ， ， ， ； ． 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得：，，根据是等边三角形，可得，，所以可证，根据可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立； ①首先设，把和分别用含的代数式表示出来，可得，根据同旁内角互补两直线平行可证中结论成立； ②由可知，根据可得，可以得到角之间的关系，根据角之间的关系列方程，解方程求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 如下图所示，连接 点与点关于直线对称， ， ， 由知， ，， 由可知， ， ， ， 由知， ， ， 解得：， 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，解决本题的关键运用代数方法表示各角的度数． 25. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； （3）点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或，或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【小问1详解】 解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； 【小问3详解】 解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期桥城中学初三级数学科中段测试（问卷） 班级:___________学号：___________姓名：___________ 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分120分，考试时间120分钟． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案直接填在下面的表格中．） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 一元二次方程的两根分别为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 4. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（ ） A. 150° B. 120° C. 90° D. 60° 6. 某中学一生物兴趣小组的每位同学将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了90件，设组员有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到的（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大小是（ ） 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到的（点B的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大 A. B. C. D. 10. 老师给出了二次函数的部分对应值如表，同学们讨论得出了下列结论，其中不正确的是（　　） x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … A. 抛物线的对称轴为直线 B. 方程无实数根 C. 当时， D. 若是该抛物线上的两点，则 二、填空题（本大题共6小题，每个空3分，满分18分．将答案直接填在题中的横线上） 11. 一元二次方程x2=4x的根是_____． 12. 如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(﹣3，4)，则点C的坐标为_________． 13. 若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为______． 14. 如图，已知抛物线与直线相交于两点，则关于x的不等式的解集是______． 15. 如图为抛物线型拱桥的横截面，当水面宽度为米时，拱顶离水面的距离为米，当水面下降米时，水面的宽度为________米． 16. 如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于、两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为_______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 用配方法解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）试作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）以原点为对称中心，画出与关于原点成中心对称的，且坐标为______． 19. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 与水平距离之间的关系是：． （1）求当铅球落地时推出有多远？ （2）铅球行进高度能否达到？为什么？ 20. 已知：二次函数y＝﹣x2+2x+3． （1）在坐标系中作出函数图象． （2）当自变量x在什么范围内，y随x的增大而减小？ （3）若P(a，y1)，Q(2，y2)是此抛物线上的两点，且y1＜y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围． 21. 近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而停课．甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传播后共有36人患了甲流． （1）每轮感染中平均一个人感染几人? （2）如果按照这样的传播速度，经过三轮感染后累计是否超过200人患了甲流? 22. 已知关于的方程 （）求证：无论取何值时，方程总有实数根； （2）若等腰三角形一边长为，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长． 23. 如图，点E，F，G，H分别位于边长为a的正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，AG＝x，正方形EFGH的面积为y． （1）当a＝2，y＝3时，求x的值； （2）当x为何值时，y的值最小？最小值是多少？ 24. 如图，在等边三角形中，为边上一点，满足，连接，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在射线上． （1）求证：． （2）如图，若点关于直线的对称点为，直线交于点，连接． 求证：． 若，求的度数． 25. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； （3）点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $