精品解析：广东省江门市2024-2025学年高二下学期调研测试（二）数学试题

江门市2025年普通高中高二调研测试（二） 数学 本试卷共6页，19小题，满分150分，测试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷与答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公求解即可式． 【详解】由， 则， 所以． 故选：D． 2. 已知是等差数列的前项和，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式，以及等差数列的性质计算即可. 【详解】由题意，，解得. 故选：B. 3. 若随机变量X服从两点分布，，则为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点分布性质计算即可. 【详解】由题可知：X服从两点分布，所以， 又， 所以. 故选：C 4. 已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据列出公比的等式，求解方程后再确认是否满足即可． 【详解】因为公比，所以，化简得，解得或， 当时，， 当时，， 又，则． 故选：B． 5. 把6张相同的卡片全部分给4个人，每人至少分1张，则不同的分法共有（ ） A. 4 B. 6 C. 10 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据插板法和组合数计算得出结果 【详解】根据插板法公式，方法数为. 故选：C. 6. 电视剧《狂飙》于2023年1月在央视八套黄金档首播，承载着深厚的历史底蕴的《狂飙》取景拍摄地之一的江门三十三墟街即成网红打卡地，吸引了大量游客前来打卡，寻觅剧中的足迹.某文创商店为了了解游客人流量x（单位：百人次）与文创产品销售额y（单位：百元）的关系，对文创商店近期的销售情况作了统计，如下表： 2 3 4 5 6 3.8 6.1 7.8 9.9 12.4 由表中的数据得到了y关于x的线性回归方程，其中已知，由此当预测游客人流量为700人次时，文创产品的销售额大约为（ ） A. 1430元 B. 1420元 C. 1455元 D. 1416元 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，代入回归方程可得，从而得，即可求解. 【详解】由题意可得，， 则，解得，所以方程， 所以当时，，即元，故A正确. 故选：A. 7. 已知随机变量X服从正态分布，且，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，利用导数分析函数单调区间即可. 【详解】因为，所以，所以， 求导得， 令， 所以的单调递增区间是. 故选：C. 8. 已知数列的前项和为，且，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，进一步有，结合恒成立，可得恒成立，从而即可得解. 【详解】由题意，所以，解得， 而， 从而，所以， 所以是以为首项、2为公比的等比数列， 所以，解得， 所以， 若数列是递增数列，则当且仅当恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的单调性与导数值的正负关系可判断A和B，根据函数的极值点和导数的关系可判断C，根据函数的单调性与导数值的正负关系及函数单调性的概念可判断D. 【详解】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确； 当时，，单调递增；当时，，单调递减，故B错误； 由在区间上单调递增，可知函数在处取不到极大值，故C错误； 在区间上，故函数在区间上单调递减，所以，故D正确. 故选：AD. 10. 设等差数列的前项和为，若有最大值，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当最大时， C. 使的最小值为4050 D. 在数列中，当时，取最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，由得或，结合有最大值，则即可判断；对于C，利用等差数列前项和公式即可判断；对于D，利用数列与不等式即可判断. 【详解】对于AB，由得， 则或， 即或， 因为有最大值， 所以，即当最大时，，故AB正确； 对于C，因为， ， 所以当时，最小的为，故C错误， 对于D，当时，， 又因为， 所以当时，，当时，， 因为，且, 所以， 所以当时，取最大值，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知随机变量X的分布列如下： 1 2 3 … … 若数列是等差数列，则下列说法正确的是（ ） 参考公式： A. 若，则 B. 若数列是单调递减数列，则 C. 若既是等差数列，又是等比数列，则 D. 若，则当或时，取得最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由等差数列的性质验算即可；对于B，由等差数列求和公式得即可判断；对于C，求得，结合方差定义和题干所给求和公式验算即可；对于D，求得即可判断. 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，设数列公差为，则，由于， 所以，故B错误； 对于C，若既是等差数列，又是等比数列，则，其中，是公比， 注意到，所以，解得， 所以，解得， 所以期望， 方差 ，故C正确； 对于D，由，其中， 所以， 因为，， 所以 ， 若，则， 则当或时，取得最大值，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，常数项为___________.（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得常数项. 【详解】二项式的展开式中的常数项为. 故答案为： 13. 已知数列满足，记数列的前n项和为，则_______. 【答案】15 【解析】 【分析】分别令计算即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 所以. 故答案为：15 14. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设，且，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由牛顿数列的定义可得与的关系式，代入可得，进而通过等比数列的通项公式即可求得结果. 【详解】根据题意，，则， 所以， ， 因为， 则， 所以，即， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，， （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出公比、公差即可求解； （2）由裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 设公比为，公差为， 所以，解得，所以， 所以，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以数列的前n项和. 16. 已知函数在和处取得极值，且经过点（0，1）. （1）求函数的解析式； （2）当时，若函数有且仅有两个零点，求k的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据在和处取得极值，可得，解之即可得解； （2）函数零点个数转化为两个函数图象交点的个数，利用导数求出函数的单调区间及极值，由此结合题意列出不等式，从而可得出答案. 【小问1详解】 因为函数在和处取得极值， 所以和是方程的两个根， 则，解得，经检验符合已知条件， 函数经过点得. 所以函数的解析式为； 【小问2详解】 当时，函数有且仅有两个零点， 令，可得， 则问题转化为与的图象在上有且仅有两个交点. ，令，即，即得或. 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以； 结合与的图象在上有且仅有两个交点， 可得或，解得或； 所以k的取值范围 17. 体育锻炼是有效增强人体体质，促进健康和预防疾病，主动追求健康的重要手段，同时也能够提高大脑的思维活动，使之变得更加灵活，更加清晰.某学校提供运动场地有室内及室外两种，室内场地的运动项目有健美操、羽毛球、乒乓球等，室外运动项目有篮球、排球、足球、网球等，某学校正在了解学生对室内外的运动项目喜欢情况是否存在性别差异，工作人员随机抽取了该学校100名学生，得到的统计数据如下表所示： 喜欢室外运动项目 喜欢室内运动项目 合计 男生 40 10 50 女生 20 30 50 合计 60 40 100 （1）试根据的独立性检验，能否认为该学校的学生喜欢室内外的运动项目与性别有关联? （2）用频率估计概率，现从该学校随机抽取10名学生，记其中喜欢室内运动项目的学生人数为随机变量X，求X的数学期望和方差； （3）小吒每天都会在室内外中选择一种运动，若前一天选择室内运动，则他后一天继续选择室内运动的概率为；若前一天选择室外运动，则他后一天继续选择室外运动的概率为.已知小吒第一天选择了室内运动，求他第三天选择室内运动的概率. 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：， 【答案】（1）喜欢室内外的运动项目与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定数表，求出的值，再与临界值表比较即可求解； （2）由二项分布的期望、方差公式求解随机变量X的数学期望和方差即可； （3）利用全概率公式求解即可． 【小问1详解】 假设：该学校的学生喜欢室内外的运动项目与性别无关联． 由给定的列联表，得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为喜欢室内外的运动项目与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于； 【小问2详解】 依题意可得喜欢室内运动项目的概率为， 从该学校随机抽取10名学生，其中喜欢室内运动项目的学生人数X服从二项分布：， 所以 ， 所以； 【小问3详解】 设“小吒第二天选择室内运动”为事件，则事件表示“小吒第二天选择室外运动”， 设“小吒第三天选择室内运动”为事件， 依题意可得，，，， 第三天选择室内运动的概率是. 18. 已知函数. （1）求函数在原点处的切线方程； （2）讨论函数的单调区间； （3）证明：. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得到，然后根据点斜式写的结果； （2）对，或，，，利用导数分情况讨论即可； （3）两边取对数，然后结合不等式放缩即可. 【小问1详解】 ，， 所以函数在原点处的切线方程为. 【小问2详解】 ， 当时，， 若，；若， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 当时，令，则 ①，即或， 若，则，当，则；若，则， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，则，当，则；若，则， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； ②，即，在恒成立， 所以函数的单调递减区间为，没有单调递增区间. ③，即， 若，则；若，则， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为 【小问3详解】 要证明：， 即证明： 即证明： 由（2）可知：当时，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以（当时取等号）. , 令①， ②， 由①-②：， 所以，则， 所以， 所以，证毕. 19. 泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson）在1838年时发表.泊松分布适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量X服从参数为的泊松分布（记作，则其概率分布为，，其中为自然对数 （1）对于二项分布，当n很大，p很小，而乘积大小适中，二项分布就可以近似的看作参数的泊松分布.某公司制造微型芯片，次品率为0.2%，各芯片是否为次品相互独立，以X记产品中的次品数.求在1000个产品中至多有1个次品的概率（用泊松分布近似计算）； （2）已知，为正整数，若的最大值是，求的值； （3）若，试比较与0.99的大小，并说明理由. 【答案】（1） （2）4或5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据泊松分布，计算，由概率公式计算，，再相加即可； （2）计算，比值与1比较，确定概率单调性，利用的最大值是即可得到的值； （3）利用泊松分布的概率公式，计算，，，相加再与0.99比较即可. 【小问1详解】 根据题意比较大，而大小适中， 所以满足近似泊松分布， 则，， ， 在1000个产品中至多有1个次品的概率为. 【小问2详解】 ，， 则，又为正整数， 所以当时，，概率单调递减，当时，，概率单调递增， 的最大值是， 或， 综上，或. 【小问3详解】 ，则， ， ， 所以， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门市2025年普通高中高二调研测试（二） 数学 本试卷共6页，19小题，满分150分，测试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷与答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是等差数列的前项和，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 3. 若随机变量X服从两点分布，，则为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.8 4. 已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 3 5. 把6张相同的卡片全部分给4个人，每人至少分1张，则不同的分法共有（ ） A. 4 B. 6 C. 10 D. 24 6. 电视剧《狂飙》于2023年1月在央视八套黄金档首播，承载着深厚的历史底蕴的《狂飙》取景拍摄地之一的江门三十三墟街即成网红打卡地，吸引了大量游客前来打卡，寻觅剧中的足迹.某文创商店为了了解游客人流量x（单位：百人次）与文创产品销售额y（单位：百元）的关系，对文创商店近期的销售情况作了统计，如下表： 2 3 4 5 6 3.8 6.1 7.8 9.9 12.4 由表中的数据得到了y关于x的线性回归方程，其中已知，由此当预测游客人流量为700人次时，文创产品的销售额大约为（ ） A. 1430元 B. 1420元 C. 1455元 D. 1416元 7. 已知随机变量X服从正态分布，且，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前项和为，且，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 10. 设等差数列的前项和为，若有最大值，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当最大时， C. 使的最小值为4050 D. 在数列中，当时，取最大值 11. 已知随机变量X的分布列如下： 1 2 3 … … 若数列是等差数列，则下列说法正确的是（ ） 参考公式： A. 若，则 B. 若数列是单调递减数列，则 C. 若既是等差数列，又是等比数列，则 D. 若，则当或时，取得最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，常数项为___________.（用数字作答） 13. 已知数列满足，记数列的前n项和为，则_______. 14. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设，且，，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，， （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 16. 已知函数在和处取得极值，且经过点（0，1）. （1）求函数的解析式； （2）当时，若函数有且仅有两个零点，求k的取值范围 17. 体育锻炼是有效增强人体体质，促进健康和预防疾病，主动追求健康的重要手段，同时也能够提高大脑的思维活动，使之变得更加灵活，更加清晰.某学校提供运动场地有室内及室外两种，室内场地的运动项目有健美操、羽毛球、乒乓球等，室外运动项目有篮球、排球、足球、网球等，某学校正在了解学生对室内外的运动项目喜欢情况是否存在性别差异，工作人员随机抽取了该学校100名学生，得到的统计数据如下表所示： 喜欢室外运动项目 喜欢室内运动项目 合计 男生 40 10 50 女生 20 30 50 合计 60 40 100 （1）试根据的独立性检验，能否认为该学校的学生喜欢室内外的运动项目与性别有关联? （2）用频率估计概率，现从该学校随机抽取10名学生，记其中喜欢室内运动项目的学生人数为随机变量X，求X的数学期望和方差； （3）小吒每天都会在室内外中选择一种运动，若前一天选择室内运动，则他后一天继续选择室内运动的概率为；若前一天选择室外运动，则他后一天继续选择室外运动的概率为.已知小吒第一天选择了室内运动，求他第三天选择室内运动的概率. 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：， 18. 已知函数. （1）求函数在原点处的切线方程； （2）讨论函数的单调区间； （3）证明：. 19. 泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson）在1838年时发表.泊松分布适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量X服从参数为的泊松分布（记作，则其概率分布为，，其中为自然对数 （1）对于二项分布，当n很大，p很小，而乘积大小适中，二项分布就可以近似的看作参数的泊松分布.某公司制造微型芯片，次品率为0.2%，各芯片是否为次品相互独立，以X记产品中的次品数.求在1000个产品中至多有1个次品的概率（用泊松分布近似计算）； （2）已知，为正整数，若的最大值是，求的值； （3）若，试比较与0.99的大小，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $