精品解析：广东省东莞市石龙第二中学2024—2025学年上学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年广东省东莞市石龙二中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 4m，3m，7m B. 4m，3m，6m C. 2m，5m，8m D. 4m，1m，6m 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析． 【详解】解：根据三角形的三边关系， A、4+3=7，不能组成三角形； B、4+3=7＞6，能组成三角形； C、2+5=7＜8，不能组成三角形； D、4+1=5＜6，不能组成三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的判断，根据定义逐项判断即可.将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形． 【详解】将图A，B，D沿过中心的竖直的直线折叠，直线两旁的部分能够重合，是轴对称图形，故不符合题意； 将图C沿某直线折叠，直线两旁的部分不能够重合，不是轴对称图形，故符合题意． 故选：C． 3. 如图，在△中，线段表示的边上的高的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 根据三角形高线的定义，即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，且垂足在直线上， 所以正确画出边上的高的是D选项， 故选：D． 4. 若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角性质，用外角和除以正多边形的一个外角度数即可求解，掌握正多边形的外角性质是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，且每个外角都相等 又∵该正多边形的一个外角为， ∴这个正多边形的边数为， 故选：． 5. 如图，ΔABC与ΔA’B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为（ ） A. 30° B. 50° C. 90° D. 100° 【答案】D 【解析】 【详解】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称， ∴∠A=∠A′=50°，∠C=∠C′=30°， ∴∠B=180°﹣80°=100°． 故选D． 6. 如图，木工师傅做窗框时，常常像图中那样钉上两条斜拉的木条起到稳固作用，这样做的数学原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 长方形的轴对称性 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 【详解】解：这样做的数学原理是：三角形的稳定性． 故选：B． 7. 已知：如图和中，，要使，则下列添加的条件错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，由三角形全等的判定方法、，判断出A、B正确，由直角三角形全等的判定方法得出D正确，从而得到答案，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键． 【详解】解：A、在和中， ， ，故A正确，不符合题意； B、在和中， ， ，故B正确，不符合题意； C、由，，，不能判定，故C错误，符合题意； D、， 和是直角三角形， 在和中， ， ，故C正确， 不符合题意； 故选：C． 8. 如图， 在等边三角形ABC中， AD⊥BC于点D， 则∠BAD的度数为（ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的 “三线合一”，即可求解． 【详解】解：∵三角形ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵AD⊥BC于点D， ∴ ． 故选：D 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的 “三线合一”是解题的关键． 9. 如图，矩形纸片沿折叠后，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及翻折的性质，解题的关键是根据平行线的性质找到相等的角．先由翻折变换的性质求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数即可． 【详解】解：由翻折变换的性质可知， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 10. 如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②④③ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①求出，证明，再利用全等三角形的性质即可判断；②由可得，再由，证得即可判断；③分别过A作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，无法得到平分；④由平分结合即可判断． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵和都是等腰三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，故①正确； 设与交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，故②正确； 分别过A作，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分，无法证明平分，故③错误； ∵平分，， ∴，故④正确． 综上，正确的是①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，角平分线的判定与性质以及角的计算等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点P（3，2）关于y轴的对称点的坐标是_________． 【答案】（﹣3，2）． 【解析】 【详解】解：点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，n）， 所以点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，2）． 故答案为（﹣3，2）． 12. 若等腰三角形两边的长分别为和，则周长是__________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，构成三角形的条件；分两种情况考虑：腰长为的等腰三角形；腰长为的等腰三角形，结合构成三角形的条件即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为时，则另一腰长为，底边为， 故周长为； 当等腰三角形的腰长为时，则另一腰长为，底边为，但， 此时三线段不构成三角形； 综上，三角形的周长为， 故答案为：17． 13. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 14. 如图，的三条中线，，交于点．若的面积是18，则阴影部分的面积是________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查三角形中线性质，根据三角形的中线将三角形的面积平分求解即可． 【详解】解：∵的三条中线，，交于点， ∴，，， ∴，，， ∵的面积是18， ∴， 故答案为：9． 15. 如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式即可得到，由垂直平分，得到点A，B关于对称，再说明的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点P到A，B两点的距离相等， 即， 要求最小，即求最小，则A、P、D三点共线， ∴的长度即的最小值， 即的最小值为6， 故答案为：6． 三、解答题（一）（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 16. 已知：如图，点E、F在上，且，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明即可作答． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用“”证明三角形全等，是解答本题的关键． 17. 如图，方格纸中的每个小方格部是边长为1个单位的正方形的顶点均在格点上，点A的坐标为． （1）作，使其与关于x轴对称． （2）的面积为______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）6 【解析】 【分析】考查了根据轴对称变换作图，利用网格求三角形面积，熟练掌握作轴对称图形是解题关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用网格求三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积为：， 故答案为：6． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 18. 如图，在ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D． （1）若AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数； （2）若AE是BC边上的中线，ABC的面积为12，CE＝3，求AD的长． 【答案】（1）；（2）4 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的性质求解即可； （2）根据中线的性质求出BC的长，再根据三角形面积公式即可求出AD的长． 【详解】解：（1）∵ 则 又∵平分 则 在中， ∴ （2）∵为的中点 ∴ 【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理及角平分线的性质，掌握三角形的内角和等于180°是解决问题的关键． 19. 如图，已知在中，点D在边上，且． （1）用尺规作图法，作的平分线，交于点P；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接、求证：． 【答案】（1） 如图，为所作； （2） 证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图方法，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的作图方法和步骤，全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等． （1）根据尺规作图—角平分线的作图方法和步骤即可解答； （2）根据证明，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，点D为的平分线上的一点，过点D作交于点E，交于点F，连接，若．求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：∵为的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】根据为的平分线，可得，结合平行的性质可得，即有．结合，可得，问题得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，掌握等腰三角形的判定与性质，是解答本题的关键． 五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21. 如图所示，在中，，是边的垂直平分线，交于，交于，连接． （1）若，求的度数． （2）若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的周长，熟悉掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质求出的度数，利用垂直平分线的性质求出的度数，即可解答； （2）利用三角形的周长运算方法列式求出的长，再利用垂直平分线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵的周长， 的周长， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴． 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AE＝CE，AD与CE相交于点F． （1）求证：△AEF≌△CEB； （2）若AF＝6，求CD的长． 【答案】 （1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠B+∠BCE＝90°， ∴∠EAF＝∠ECB， 在和中， ， ∴（ASA）； （2）3 【解析】 【分析】（1）先证明∠EAF＝∠ECB，再由ASA证明△AEF≌△CEB即可； （2）由全等三角形的性质及等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 23. 【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写表中空格： 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 … （2）如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ． ①正三角形 ②正五边形 ③正六边形 ④正七边形 ⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值． 【答案】（1），，，；（2）①③；（3）x和y是值为或 【解析】 【分析】该题主要考查了n边形内角和定理以及平面镶嵌，二元一次方程的整数解等知识点，解题的关键是掌握n边形内角和定理以及平面镶嵌． （1）根据n边形内角和定理求出内角和再除以n即可求解； （2）根据除以n边形的每一个内角的度数是整数即可解答； （3）由题意得，x、y满足的正整数解即可求解； 【详解】解：（1）正三角形的每一个内角的度数为， 正方形的每一个内角的度数为， 正五边形的每一个内角的度数为， 正六边形的每一个内角的度数是， …… 正n边形的每一个内角的度数是； 故答案为：，，，； （2）由（1）的方法可求出， ①正三角形的每一个内角的度数是， ②正五边形的每一个内角的度数是， ③正六边形的每一个内角的度数是， ④正七边形的每一个内角的度数是， ⑤正八边形的每一个内角的度数是， 由于， 所以只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形可以为正三角形，正方形，正六边形， 故答案为：①③； （3）由题意得，x、y满足的正整数解， 二元一次方程的正整数解为或， 答：x和y是值为或． 六、解答题（四）（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 24. 如图，四边形中，，E是的中点，平分． （1）判断、、之间的数量关系，并证明； （2）若，，求和的面积之和． 【答案】（1） ，证明如下： 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）20 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． （）过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据证明得出，继续证明得到，即可得出结论； （2）根据，求出梯形与的面积即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴和的面积之和梯形的面积的面积 ， ， ． 25. 综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形： ； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握：； 深入研究：； 拓展延伸：解：，；理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 初步把握：先证明，再利用“”证明即可； 深入研究：由等边三角形的性质可得，，，再证明，进而证明，得出，即可得解； 拓展延伸：证明，得出，，即可得解． 【详解】初步把握： 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； 深入研究： 解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴．即， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； 拓展延伸： 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省东莞市石龙二中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 4m，3m，7m B. 4m，3m，6m C. 2m，5m，8m D. 4m，1m，6m 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在△中，线段表示的边上的高的图是（ ） A. B. C. D. 4. 若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 如图，ΔABC与ΔA’B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为（ ） A. 30° B. 50° C. 90° D. 100° 6. 如图，木工师傅做窗框时，常常像图中那样钉上两条斜拉的木条起到稳固作用，这样做的数学原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 长方形的轴对称性 D. 两直线平行，同位角相等 7. 已知：如图和中，，要使，则下列添加的条件错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图， 在等边三角形ABC中， AD⊥BC于点D， 则∠BAD的度数为（ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 9. 如图，矩形纸片沿折叠后，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 不能确定 10. 如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②④③ D. ①③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点P（3，2）关于y轴的对称点的坐标是_________． 12. 若等腰三角形两边的长分别为和，则周长是__________． 13. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 14. 如图，的三条中线，，交于点．若的面积是18，则阴影部分的面积是________． 15. 如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为___________． 三、解答题（一）（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 16. 已知：如图，点E、F在上，且，，．求证：． 17. 如图，方格纸中的每个小方格部是边长为1个单位的正方形的顶点均在格点上，点A的坐标为． （1）作，使其与关于x轴对称． （2）的面积为______． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 18. 如图，在ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D． （1）若AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数； （2）若AE是BC边上的中线，ABC的面积为12，CE＝3，求AD的长． 19. 如图，已知在中，点D在边上，且． （1）用尺规作图法，作的平分线，交于点P；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接、求证：． 20. 如图，在中，点D为的平分线上的一点，过点D作交于点E，交于点F，连接，若．求证：是等腰三角形． 五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21. 如图所示，在中，，是边的垂直平分线，交于，交于，连接． （1）若，求的度数． （2）若的周长为，的周长为，求的长． 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AE＝CE，AD与CE相交于点F． （1）求证：△AEF≌△CEB； （2）若AF＝6，求CD的长． 23. 【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写表中空格： 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 … （2）如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ． ①正三角形 ②正五边形 ③正六边形 ④正七边形 ⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值． 六、解答题（四）（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 24. 如图，四边形中，，E是的中点，平分． （1）判断、、之间的数量关系，并证明； （2）若，，求和的面积之和． 25. 综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形： ； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $