专题10.3 实数（举一反三讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题10.3 实数（举一反三讲义） 【华东师大版2024】 【题型1 无理数】 3 【题型2 实数的概念理解】 3 【题型3 无理数的估算】 4 【题型4 实数的性质】 5 【题型5 实数与数轴】 5 【题型6 实数的大小比较】 6 【题型7 实数的混合运算】 6 【题型8 程序设计与实数运算】 7 【题型9 新定义下的实数运算】 8 【题型10 无理数整数部分的有关计算】 8 【题型11 实数运算的实际应用】 9 【题型12 与实数运算相关的规律题】 10 知识点1 无理数 无限不循环小数叫做无理数． 无理数的常见形式有以下几种： （1）开方开不尽的数的相应方根是无理数，如，等； （2）圆周率及一些含有的数,如2，等； （3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式． 知识点2 实数的概念及分类 1. 概念：有理数和无理数统称为实数． 2. 分类：实数有两种分类标准： （1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数． 实数 有理数 0 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或循环小数 无限不循环小数 正整数 正分数 负整数 负分数 （2）按正负性分类：实数可分为正实数、0、负实数．正整数 正分数 负整数 负分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 知识点3 实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应. 知识点4 实数范围内的有关概念 名称 性质 举例 相反数 若a与b互为相反数，则 的相反数是 倒数 若a与b互为倒数，则 2的倒数是 绝对值 任何实数的绝对值都是非负数，即 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 知识点5 实数的运算 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算． 有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 知识点6 实数的大小比较 有理数大小比较的方法在实数范围内仍然适用． 两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数；两个正实数，绝对值大的正实数大；两个负实数，绝对值大的负实数小；在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．此外，比较两实数的大小还有如下方法： （1）通过比较两实数的平方的大小，进而确定实数的大小关系．如比较与3的大小，由于，故． （2）用估算的方法求出无理数的近似值后，再比较两数的大小． （3）当两个带根号的无理数比较大小时，可应用如下结论： ①． ②． 【题型1 无理数】 【例1】（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 【变式1-1】（2025·湖北·模拟预测）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示．为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．请你写出一个大于3且小于4的无理数： ． 【变式1-2】（24-25七年级下·四川德阳·期末）下列关于判断正确的是（    ） A．表示5的平方根 B．不可以用数轴上的点来表示 C．是一个比大的数 D．是一个无理数 【变式1-3】（2025·陕西西安·二模）在实数，，0，，，，…相邻两个1之间0的个数逐次加中，无理数的个数是 个． 【题型2 实数的概念理解及其性质】 【例2】（24-25七年级下·河南焦作·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数：{                        …}； 非负实数：{                        …}； 无理数：{                        …}． 【变式2-1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）下列说法正确的是（   ） A．实数分为正实数和负实数 B．两个无理数的和还是无理数 C．是最大的负数 D．有理数和无理数统称实数 【变式2-2】下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【变式2-3】（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各数填到相应的横线上（填序号）： ①；②；③；④0.54；⑤0.13；⑥；⑦0；⑧；⑨；⑩（相邻两个2之间0的个数逐次加一）． 有理数： ； 无理数： ； 正实数： ； 负实数： ． 【题型3 无理数的估算】 【例3】（24-25七年级下·河南周口·期中）已知，且是整数，则所有值的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽六安·期中）实数，，，在数轴上的位置如图所示，则能表示的是（   ）    A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）下列整数与最接近的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级下·河南周口·期末）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【题型4 实数的性质】 【例4】（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）实数，互为相反数，，互为倒数，x的绝对值为，式子的值是 ． 【变式4-1】（1）的倒数是_______； （2）相反数和绝对值都为的实数是_______； （3）的相反数是_______，绝对值是_______，倒数是_______． 【变式4-2】（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）的相反数是 ，的倒数是 ， ． 【变式4-3】（24-25七年级下·天津南开·期中）的相反数与的绝对值的和等于 ． 【题型5 实数与数轴】 【例5】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 【变式5-1】（24-25八年级上·北京·期末）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）如图，在数轴上表示，的对应点分别为、，点是的中点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25七年级下·山东日照·期中）如图，已知点，是数轴上两点，，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为． (1)实数的值是___________； (2)求的值； (3)在数轴上有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的算术平方根． 【题型6 实数的大小比较】 【例6】（24-25七年级下·山东德州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）把下列实数表示在如图所示的数轴上、并比较它们的大小（用“”连接）． 【变式6-2】（24-25七年级下·广西来宾·期末）比较两数的大小：4 （用“”或“”填空）． 【变式6-3】（2025九年级下·浙江宁波·学业考试）若，则一定是（   ） A．最小，最大 B．最小，a最大 C．最小，a最大 D．最小，最大 【题型7 实数的混合运算】 【例7】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）计算：． 【变式7-1】（24-25七年级下·山东滨州·期中）计算： ． 【变式7-2】（24-25七年级下·山东德州·期中） ． 【变式7-3】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【题型8 程序设计与实数运算】 【例8】（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【变式8-1】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式8-2】（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 【变式8-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出值为时，输入的x值是 ． 【题型9 新定义下的实数运算】 【例9】我们把称为有理数的差倒数，如：2的差倒数是，-2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【变式9-2】（23-24七年级下·云南昆明·期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么 ． 【变式9-3】（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）我们把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（   ） A．4 B．2 C．0 D． 【题型10 无理数整数部分的有关计算】 【例10】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是 ． 【变式10-1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式10-2】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 【变式10-3】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 【题型11 实数运算的实际应用】 【例11】如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 【变式11-1】元旦期间某商场推出“每满100元减50元”的活动(比如：某顾客购物230元，他只需付款130元)，商场会员则享受“先打9折，再每满100元减50元”的优惠．张先生是商场会员，想购买一件标价320元的上衣，他最低付款 元． 【变式11-2】中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．10 B．89 C．165 D．294 【变式11-3】（2023·湖南长沙·一模）五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为 元． 【题型12 与实数运算相关的规律题】 【例12】观察下列等式，并回答问题： ①； ②； ③； ④； …… (1)请写出第⑤个等式：______，化简：______； (2)写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示） (3)比较与1的大小． 【变式12-1】（24-25七年级下·福建漳州·期中）我们规定一个新数“”，一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，，那么 ． 【变式12-2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.3 实数（举一反三讲义） 【华东师大版2024】 【题型1 无理数】 3 【题型2 实数的概念理解】 4 【题型3 无理数的估算】 6 【题型4 实数的性质】 8 【题型5 实数与数轴】 10 【题型6 实数的大小比较】 13 【题型7 实数的混合运算】 14 【题型8 程序设计与实数运算】 15 【题型9 新定义下的实数运算】 19 【题型10 无理数整数部分的有关计算】 21 【题型11 实数运算的实际应用】 23 【题型12 与实数运算相关的规律题】 25 知识点1 无理数 无限不循环小数叫做无理数． 无理数的常见形式有以下几种： （1）开方开不尽的数的相应方根是无理数，如，等； （2）圆周率及一些含有的数,如2，等； （3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式． 知识点2 实数的概念及分类 1. 概念：有理数和无理数统称为实数． 2. 分类：实数有两种分类标准： （1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数． 实数 有理数 0 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或循环小数 无限不循环小数 正整数 正分数 负整数 负分数 （2）按正负性分类：实数可分为正实数、0、负实数．正整数 正分数 负整数 负分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 知识点3 实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应. 知识点4 实数范围内的有关概念 名称 性质 举例 相反数 若a与b互为相反数，则 的相反数是 倒数 若a与b互为倒数，则 2的倒数是 绝对值 任何实数的绝对值都是非负数，即 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 知识点5 实数的运算 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算． 有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 知识点6 实数的大小比较 有理数大小比较的方法在实数范围内仍然适用． 两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数；两个正实数，绝对值大的正实数大；两个负实数，绝对值大的负实数小；在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．此外，比较两实数的大小还有如下方法： （1）通过比较两实数的平方的大小，进而确定实数的大小关系．如比较与3的大小，由于，故． （2）用估算的方法求出无理数的近似值后，再比较两数的大小． （3）当两个带根号的无理数比较大小时，可应用如下结论： ①． ②． 【题型1 无理数】 【例1】（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意； C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（2025·湖北·模拟预测）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示．为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．请你写出一个大于3且小于4的无理数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数及无理数的大小比较；根据题意写出一个无理数即可． 【详解】解：； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1-2】（24-25七年级下·四川德阳·期末）下列关于判断正确的是（    ） A．表示5的平方根 B．不可以用数轴上的点来表示 C．是一个比大的数 D．是一个无理数 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根、无理数的定义及实数与数轴的关系．根据实数、无理数的定义和算术平方根的定义进行判断即可． 【详解】解：A：表示5的算术平方根，而非所有平方根．5的平方根为，故A错误． B：实数与数轴上的点一一对应，是实数，可用数轴上的点表示，故B错误． C：，而，则，故C错误． D：无法表示为两个整数之比，且是无限不循环小数，属于无理数，故D正确． 故选：D． 【变式1-3】（2025·陕西西安·二模）在实数，，0，，，，…相邻两个1之间0的个数逐次加中，无理数的个数是 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查无理数的概念，掌握无理数的概念及常见形式是关键． 无理数是无限不循环小数，常见无理数有：含有的最简式子；开不尽方的数；特殊结构的数（如…相邻两个1之间0的个数逐次加1），由此即可求解． 【详解】解：，，，…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，它们是无理数，共4个， 故答案为：4． 【题型2 实数的概念理解及其性质】 【例2】（24-25七年级下·河南焦作·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数：{                        …}； 非负实数：{                        …}； 无理数：{                        …}． 【答案】①，⑧；①，③，④，⑤，⑦，⑧；②，④，⑤ 【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数的概念等知识点，解题的关键是熟练掌握实数的分类及无理数的概念． 根据整数、非负实数和无理数的概念进行分类即可． 【详解】解：整数：{①，⑧…}； 非负实数：{①，③，④，⑤，⑦，⑧…}； 无理数：{②，④，⑤…}． 【变式2-1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）下列说法正确的是（   ） A．实数分为正实数和负实数 B．两个无理数的和还是无理数 C．是最大的负数 D．有理数和无理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数的分类以及性质，根据实数的分类以及性质，逐一分析判断即可． 【详解】解：A．实数分为正实数、负实数和零．所以原分类错误，故此选项不符合题意． B．两个无理数的和可能为有理数．例如，与的和为（有理数），所以原说法错误，故此选项不符合题意． C．负数没有最大值．例如，比大，所以原说法错误，故此选项不符合题意． D．根据实数定义，有理数和无理数统称为实数，正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式2-2】下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 【变式2-3】（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各数填到相应的横线上（填序号）： ①；②；③；④0.54；⑤0.13；⑥；⑦0；⑧；⑨；⑩（相邻两个2之间0的个数逐次加一）． 有理数： ； 无理数： ； 正实数： ； 负实数： ． 【答案】 ②③④⑤⑦⑧⑨ ①⑥⑩ ①④⑤⑥⑨⑩ ②③⑧ 【分析】本题考查实数，运用实数的概念进行逐一分类、辨别．题题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，实数分为正实数和负实数以及0；无理数是指无限不循环小数；整数和分数统称为有理数． 【详解】解：∵，， ∴有理数：②③④⑤⑦⑧⑨； 无理数：①⑥⑩； 正实数：①④⑤⑥⑨⑩； 负实数：②③⑧． 故答案为：②③④⑤⑦⑧⑨；①⑥⑩；①④⑤⑥⑨⑩；②③⑧． 【题型3 无理数的估算】 【例3】（24-25七年级下·河南周口·期中）已知，且是整数，则所有值的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的性质，无理数的估算，由条件可得或，结合，，是整数，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴或， ∵，，是整数， ∴的值为，，，，，； ∴所有值的个数有个， 故选：B． 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽六安·期中）实数，，，在数轴上的位置如图所示，则能表示的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，先估算出，根据数轴得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 根据数轴可知，， 则能表示的是， 故选：C． 【变式3-2】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）下列整数与最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 根据立方根的定义估算即可． 【详解】解： ， ， 与最接近的整数是， 故选：B． 【变式3-3】（24-25七年级下·河南周口·期末）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)的整数部分为4， 小数部分为． (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，立方根和算术平方根以及平方根的定义，审清题意掌握相关概念是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法求解即可； （2）根据题意立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，再仿照题意求出c的值，然后代入求其值，最后根据平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为4， ∴的小数部分为． （2）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【题型4 实数的性质】 【例4】（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）实数，互为相反数，，互为倒数，x的绝对值为，式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的性质，实数的混合运算，根据相反数，倒数和绝对值的意义，得到，分和，两种情况进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴ 或； 故答案为：． 【变式4-1】（1）的倒数是_______； （2）相反数和绝对值都为的实数是_______； （3）的相反数是_______，绝对值是_______，倒数是_______． 【答案】（1）；（2）；（3），， 【分析】此题考查了实数的性质，立方根，求实数的相反数，绝对值及倒数，正确理解各定义是解题的关键． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）根据相反数和绝对值的定义求解即可； （3）先化简，再根据相反数、倒数和绝对值的定义求解即可； 【详解】解：（1）的倒数是， 故答案为：； （2）的相反数是， 的绝对值是， 故相反数和绝对值都为的实数是， 故答案为：； （3）， 故的相反数是，绝对值是，倒数是， 故答案为：，，． 【变式4-2】（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）的相反数是 ，的倒数是 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了实数的性质，无理数的估算；根据相反数的定义“正负号相反的两个数互为相反数”确定的相反数；两个乘积是1的数互为倒数，据此计算的倒数；首先比较与的大小，然后化简绝对值即可． 【详解】解：的相反数是， ∵， ∴的倒数是， ∵， ∴ ． 故答案为：，，． 【变式4-3】（24-25七年级下·天津南开·期中）的相反数与的绝对值的和等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相反数，绝对值的含义，实数的混合运算，先求解的相反数与的绝对值，再列式求和即可． 【详解】解：的相反数为， 的绝对值是， ∴ 故答案为：0． 【题型5 实数与数轴】 【例5】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质和绝对值的性质． 先根据数轴推出，进而得到，据此可得，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 故答案为：B． 【变式5-1】（24-25八年级上·北京·期末）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据正方形面积计算公式可得，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴， ∴， ∵点表示的数为2， ∴点表示的数为， 故选：B． 【变式5-2】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）如图，在数轴上表示，的对应点分别为、，点是的中点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴与实数，数轴上两点间的距离，解题的关键是会用数轴上的数表示两点间的距离． 由已知易得点与点之间的距离，用点对应的数减去即可． 【详解】解：∵在数轴上表示、的对应点分别为、， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点表示的数是，点在点左边， ∴点表示的数是， 故选：． 【变式5-3】（24-25七年级下·山东日照·期中）如图，已知点，是数轴上两点，，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为． (1)实数的值是___________； (2)求的值； (3)在数轴上有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)1 (3)的算术平方根为4 【分析】本题考查的是实数与数轴，非负数的性质，算术平方根平方根的含义等知识点． （1）根据数轴上两点之间的距离可得答案； （2）由数轴可知：，再根据绝对值的意义化简即可； （3）根据非负数的性质求解，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵点B在数轴上点A右右侧，点A表示的数为，， ∴； （2）解：由数轴可知：， ∴，， ∴； （3）解：∵与互为相反数， ∴， 又，均为非负数，故且， 即，， ∴， ∴的算术平方根． 【题型6 实数的大小比较】 【例6】（24-25七年级下·山东德州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，先利用夹逼法估算a，b的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， 又， ∴， 故选：C． 【变式6-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）把下列实数表示在如图所示的数轴上、并比较它们的大小（用“”连接）． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了实数的大小比较、立方根、算术平方根、实数与数轴，准确熟练地在数轴上找到各数对应的点是解题的关键．先在数轴上找到各数对应的点，观察数轴即可比较它们的大小． 【详解】解：，， 实数表示在如图所示的数轴上： ∴由数轴可得，． 【变式6-2】（24-25七年级下·广西来宾·期末）比较两数的大小：4 （用“”或“”填空）． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较，立方根的定义，根据，即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【变式6-3】（2025九年级下·浙江宁波·学业考试）若，则一定是（   ） A．最小，最大 B．最小，a最大 C．最小，a最大 D．最小，最大 【答案】A 【分析】本题考查实数的大小比较，选择一个合适的数代入是解题的关键，在所给的范围内选择一个具体的数代入后比较即可． 【详解】 可取，那么 最小，最大． 故选：A． 【题型7 实数的混合运算】 【例7】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方、化简绝对值、算术平方根，最后算加减法即可． 【详解】解： ． 【变式7-1】（24-25七年级下·山东滨州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方，化简绝对值，二次根式，再算加减即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级下·山东德州·期中） ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了算术平方根、绝对值、乘方、立方根的定义及运算，熟练掌握这些数学概念的定义和性质是解题的关键．本题需要分别根据算术平方根、绝对值、乘方、立方根的定义，逐步化简式子中的各项，然后按照运算顺序进行计算． 【详解】解：原式 故答案为：． 【变式7-3】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴小美所说的另一个值是． 故选：A． 【题型8 程序设计与实数运算】 【例8】（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【答案】(1)； (2)1，2，3； (3)或． 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）∵ 0和1的算术平方根是它本身， ∴， 解得， ， 解得或， ∴ 所有满足要求的的值为1，2，3； 故答案为：1，2，3； （3）若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值均为或． 【变式8-1】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查求代数式的值，实数的运算．根据选项中，的值，选择对应的代数式，并将x，y的值代入代数式进行求值即可得出结果．理解题意，根据输入的，的值选择对应的代数式是解决问题的关键． 【详解】解：A．当，时，由于，则输出的结果为：，故此选项不符合题意； B．当，时，由于，则输出的结果为：，故此选项不符合题意； C．当输入，时，由于，则输出的结果为：，故此选项不符合题意； D．当，时，由于，则输出的结果为：，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式8-2】（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根、无理数，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可． 【详解】解：输入x的值是64时， 则， 那么， 因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值， 故答案为：． 【变式8-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出值为时，输入的x值是 ． 【答案】2或64 【分析】本题主要考查了求立方根，求算术平方根，无理数的定义，根据题意可得只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是；当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则；当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数，若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为，则可推出x的值；若第三次取算术平方根的结果为时，可推出第一次取立方根的结果为，符合题意，据此可得答案． 【详解】解： 若取立方根后所得的结果为无理数，那么输出的结果不可能为， ∴只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是； 当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则； 当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数， 若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为， ∴第一次取算术平方根的结果为， ∴； 若第三次取算术平方根的结果为时，则第二次取立方根的结果为， ∴第二次取算术平方根的结果为，则第一次取立方根的结果为，不符合题意； 综上所述，或， 故答案为：2或64． 【题型9 新定义下的实数运算】 【例9】我们把称为有理数的差倒数，如：2的差倒数是，-2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据差倒数的定义，计算前几项发现数列呈现周期性循环，周期为3。进一步分析符号交替规律，确定每三个项的和交替为和，总项数为2025，可整除周期3，得到总和的表达式． 本题考查了新定义，有理数的混合计算，循环节，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：1. 计算数列前几项： ，，， 由此可知，循环节为3：． 2. 分析符号交替规律： 表达式为，符号按交替。每三个项为一组，符号模式依次为和，对应的和分别为： 第一组：， 第二组：， 每两组（6项）的和为，但总项数2025为奇数个周期（675组），最后一组为奇数组，和为． 3. 计算总和： 总组数组，奇数组（338组）和为，偶数组（337组）和为，总和为： 故选：D． 【变式9-1】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】此题考查实数的混合运算，掌握规定的运算方法是解决问题的关键．根据给出的运算方法把式子转化为实数的混合运算，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 【变式9-2】（23-24七年级下·云南昆明·期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么 ． 【答案】23 【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根，掌握已知新运算法则是解题关键．根据已知新运算，先计算算术平方根，再计算加法即可． 【详解】解：， 故答案为：23． 【变式9-3】（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）我们把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（   ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值、算术平方根的性质，结合已知条件求出的值是解题的关键．根据集合的互异性可得，，推出，得到，再根据解出的值即可解答． 【详解】解：由集合的互异性可得，， ，， 集合中的元素， ，即， 又， ， 和都为负数， ， 又， ， ， ． 故选：D． 【题型10 无理数整数部分的有关计算】 【例10】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出，即可得到，即可解答． 【详解】解：， ，即， ， 无理数的值介于两个连续整数和之间， ， 故答案为4． 【变式10-1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，正方形的面积为， ∴边长为， ∵， ∴， ∴正方形边长最接近的整数是6， 故选：C． 【变式10-2】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，实数的绝对值，先根据无理数估算求出，再化简绝对值即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 故选：B 【变式10-3】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． （1）根据即可得出结论； （2）先得出，进而求出，，代入求出值即可； （3）先求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，，其中是整数，且 则； （2）解：， ， ∵a是整数，， ，， ∴． （3）∵， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴根据题意得， ， ． 【题型11 实数运算的实际应用】 【例11】如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为. 【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据面积相等得到方程，即可求解． 【详解】（1）如图， ∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据题意得， ∴（负值舍去） 答：拼成的正方形边长为． 【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割． 【变式11-1】元旦期间某商场推出“每满100元减50元”的活动(比如：某顾客购物230元，他只需付款130元)，商场会员则享受“先打9折，再每满100元减50元”的优惠．张先生是商场会员，想购买一件标价320元的上衣，他最低付款 元． 【答案】188 【分析】先计算会员优惠，得到会员享受会员优惠后的价格，再计算满减优惠即可． 【详解】（元） 故可享受两次“每满100元减50元”的活动 （元） 故答案为：188． 【点睛】本题考查了销售价格的问题，掌握题意的优惠方案是解题的关键． 【变式11-2】中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．10 B．89 C．165 D．294 【答案】D 【分析】类比十进制“满十进一”，可以表示满5进1的数从左到右依次为：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它们相加即可． 【详解】依题意，还在自出生后的天数是： 2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294， 故选：D． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算． 【变式11-3】（2023·湖南长沙·一模）五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为 元． 【答案】25.2 【分析】分别计算两种下单的方式，比较哪一种总费用更低即可． 【详解】第一种下单方式为直接购买两杯奶茶 合计费用为：元 第二种下单方式为下两个订单，每个订单买一杯奶茶 合计费用为：元 故选择第二种更划算，最低费用为25.2元 故答案为：25.2． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，分类讨论是解题的关键． 【题型12 与实数运算相关的规律题】 【例12】观察下列等式，并回答问题： ①； ②； ③； ④； …… (1)请写出第⑤个等式：______，化简：______； (2)写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示） (3)比较与1的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果； （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为； （3）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：， ， 故答案为：；． （2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为， 故答案为：． （3）解：∵， ∴． 【点睛】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 【变式12-1】（24-25七年级下·福建漳州·期中）我们规定一个新数“”，一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，数字变化的规律，利用新定义的规定，从第一个数开始，每4个数的和为0，则，再利用幂的乘方与积的乘方法则运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式12-2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，在计算1、 ，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意可得表示的数是， ∵右侧最近的整数点为， ∴表示的数是2， ∴， ∴表示的数是，表示的数是3， ∴， 同理可得表示的数是，表示的数是4，， 表示的数是，表示的数是5，， 可知以，两个数一环出现， ∵， ∴， 故选：A． 【变式12-3】（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 【答案】256 【分析】本题考查实数的运算、估计无理数的大小、实数大小的比较，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 从后往前推导，根据的定义，先确定最后一次操作结果为时前一次操作结果的最大值，再依次类推，求出第一次操作前的最大值． 【详解】根据例题操作可知： 要使最大，最后一次操作，这里p是第二次操作的结果．因为， 根据定义可知，两边同时平方可得， 所以p最大取． 对于第二次操作，设第一次操作的结果为，此时， 根据定义，两边同时平方得到， 所以最大取16． 对于第一次操作，设经过第一次操作后变为，此时，根据定义，两边同时平方可得， 所以最大为256． 验证： 对256进行如下操作： ∴如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256； 故答案为：256． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$