1.1-1.2认识三角形、定义与命题讲义2025-2026学年浙教版数学八年级上册

1.1-1.2认识三角形、定义与命题 【考点归类】 考点一、认识三角形 考点二、三角形的角平分线、中线和高 考点三、三角形的面积 考点四、三角形的稳定性 考点五、三角形的重心 考点六、三角形三边关系 考点七、三角形内角和定理 考点八、命题与定理 考点一、认识三角形 【知识梳理】 1．三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2．三角形的表示法：“三角形”用符号“△”表示，如顶点是A，B，C的三角形记做“△ABC＂，读做“三角形ABC＂，三条边可以表示为AB，BC，CA． 3. 三角形的边：组成三角形的线段. 4．三角形的角：三角形相邻两边组成的角. 5．三角形的顶点：三角形相邻两边的公共端点. 6．三角形三个内角的和等于180° 7．三角形可以按内角的大小进行分类： ①锐角三角形（三个内角都是锐角的三角形） ②直角三角形（有一个内角是直角的三角形） ③钝角三角形（有一个内角是钝角的三角形） 8．三角形的三边关系： （1）三角形任何两边的和大于第三边． （2）三角形任何两边的差小于第三边. 注： 1．利用三角形的三边关系，可以确定第三边（未知边）的取值范围，它的取值范围是： 两边之差＜第三边＜两边之和 2．判断三条线段能否构成三角形的方法： 先找出最长线段，然后比较较短的两条线段之和与最长线段的大小．若较短的两条线段之和小于（或等于）最长线段，则不能构成三角形；若较短的两条线段之和大于最长线段，则能构成三角形. 3．“三角形的任何两边的和大于第三边”其实可以用“两点之间，线段最短”来解释． 4．已知三角形的周长C，则三角形最长边的取值范围为≤最长边＜ 【例题精讲】 例1．下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 例2. 已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【巩固练习】　　 如图中，三角形的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 考点二、三角形的角平分线、中线和高 【例题精讲】 1．三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 2．三角形的中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线. 3．三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线. 4．三角形的角平分线、中线和高线都是线段. 注： 1. （1）每个三角形都有三条角平分线，并且都在三角形的内部，它们交于一点. （2）三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线，两者一定要区分清楚. 2．一个三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，它们交于一点. 3．三角形任何一边上的中线，把原三角形分成面积相等的两部分. 4．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高线． 锐角三角形的三条高线都在三角形的内部，并交于三角形的内部一点； 直角三角形的两条高线与直角边重合，另一条高线在三角形的内部，它们的交点就是直角顶点； 钝角三角形的两条高线在三角形的外部，一条高线在三角形的内部，三条高线所在的直线交于三角形外的一点. 5．在解决与三角形高线有关的问题时，如果题目中没有告诉三角形的形状，一般要分类讨论，考虑高线是在“形内”“形外”还是“形上” 【例题精讲】 例1. 如图，在△ABC中，过点B作PB⊥BC于B，交AC于P，过点C作CQ⊥AB，交AB延长线于Q，则△ABC的高是（　　） A．线段PB B．线段BC C．线段CQ D．线段AQ 例2. 下列说法中，正确的是（　　） A．同位角相等 B．三角形的高在三角形内部 C．平行于同一直线的两条直线平行 D．两个角的两边分别平行，则这两个角相等 【巩固练习】 1. 如图，在△ABC中，画出AC边上的高，正确的图形是（　　） A． B． C． D． 2. 如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．AB=2BF B．∠ACE=∠ACB C．AE=BE D．CD⊥BE 考点三、三角形的面积 【例题精讲】 例1．如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是4cm2，则阴影部分面积等于（　　） A．2cm2 B．1cm2 C．0.25cm2 D．0.5cm2 考点四、三角形的稳定性 【例题精讲】 例1．下列物品不是利用三角形稳定性的是（　　） A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 C．照相机的三脚架 D．放缩尺 【巩固练习】 要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（　　） A．一条 B．两条 C．三条 D．四条 考点五、三角形的重心 【例题精讲】 例1．三角形的重心是（　　） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三边上高所在直线的交点 C．三角形三边上中线的交点 D．三角形三个内角平分线的交点 【巩固练习】 如图，点G为△ABC的重心，则S△ABG：S△ACG：S△BCG的值是（　　） A．1：2：3 B．2：1：2 C．1：1：1 D．无法确定 考点六、三角形三边关系 【例题精讲】 例1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm 【巩固练习】 已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（　　） A．1 B．2 C．8 D．11 考点七、三角形内角和定理 【例题精讲】 例1．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上DE∥BC，点B、C、F在一条直线上，若∠ACF=140°，∠ADE=105°，则∠A的大小为（　　） A．75° B．50° C．35° D．30° 【巩固练习】 如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．钝角或直角三角形 考点八、三角形的外角性质 【例题精讲】 例1．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（　　） A．40° B．20° C．55° D．30° 【巩固练习】 如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（　　） A．24° B．59° C．60° D．69° 考点八、命题与定理 【知识梳理】 1．一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. 2．一般地，判断某一件事情的句子叫做命题. 3．我们在数学上学习的命题一般由条件和结论两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项，这样的命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论. 4．正确的命题称为真命题；不正确的命题称为假命题. 5．人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为基本事实. 6．用推理的方法判断为正确的命题叫做定理. 注： 1．命题是判断某一件事情正确或不正确的语句，命题的结构是条件（已知事项）与结论（由已知事项得到的事项）. 2．把命题改写成“如果……那么……”的形式时，要明确条件和结论，语言应重新组合，可添上命题中被省略的词句． 3．凡描述性语句、设问句、反问句等语句都不是命题 命题必须是一个完整的句子． 4．命题中的判断可正确，可不正确，不要以为不正确的判断就不是命题 5．真命题、基本事实、定理之间的区别与联系：真命题就是正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论一定成立．基本事实和定理都是真命题，但有的真命题既不是基本事实，也不是定理．基本事实和定理的区别主要在于：基本事实的正确性不需要用推理来证明，而定理需要证明. 6．举反例可以说明一个命题是假命题．举的反例必须满足命题的条件，但不满足命题的结论 7．基本事实和定理是判断其他命题真假的依据． 【例题精讲】 例1．下列命题正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【巩固练习】 下列命题，其中是真命题的为（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．一组邻边相等的矩形是正方形 【课堂检测】 【A组】 下列命题是真命题的是（　　） A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0 B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1 C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0 D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0 2. 下列命题是真命题的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．任意多边形的内角和为360° D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 3．已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（　　） A．11 B．5 C．2 D．1 4．在三个内角互不相等的△ABC中，最小的内角为∠A，则在下列四个度数中，∠A最大可取（　　） A．30° B．59° C．60° D．89° 5．在三个内角互不相等的△ABC中，最小的内角为∠A，则在下列四个度数中，∠A最大可取（　　） A．30° B．59° C．60° D．89° 6．给出下列命题：①三角形两边之和大于第三边；②三角形任一外角等于不相邻两内角之和；③两边和一角对应相等的两个三角形全等，下列属于真命题的是（　　） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 7．如图，直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C=90°，∠β=55°，则∠α的度数为（　　） A．15° B．25° C．35° D．55° 8．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（　　） A．35° B．95° C．85° D．75° 【B组】 1. a、b、c是三角形的三边长，化简|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣a﹣b|后等于（　　） A．b+a﹣3c B．a+b+c C．3a+3b+3c D．a+b﹣c 2．已知：如图△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD=2DC，S△BGD=8，S△AGE=3，则△ABC的面积是（　　） A．25 B．30 C．35 D．40 3．某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（　　） A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对 C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对 4．如图，在△ABC中（AB＞BC），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长． 5．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF． 6．已知：如图，在△ABC中，∠B＞∠C，AE为∠BAC的平分线，AD⊥BC于点D．求证：∠DAE=（∠B﹣∠C） 【C组】 1．如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2017，最少经过多少次操作（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．定义运算符号“﹡”的意义为：a﹡b=（其中a、b均不为0）．下面有两个结论：（1）运算“﹡”满足交换律；（2）运算“﹡”满足结合律．其中（　　） A．只有（1）正确 B．只有（2）正确 C．（1）和（2）都正确 D．（1）和（2）都不正确 3．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（　　）度． A．540 B．720 C．360 D．900 4．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论． （1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PC　＜　AB+AC（填“＞”、“＜”或“=”） （2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． （3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． 5．如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM、ON上移动，BE是∠ABN的平分线，BE的反向延长线与∠OAB平分线相交于点C，试问：∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围． 【课后巩固】 1．各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有　 　个． 2．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，则∠DAC=　 　． 3．如图，在△BCD中，BC=4，BD=5， （1）求CD的取值范围； （2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数． 4．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数． 5．把命题改写成”如果…那么…”的形式． （1）对顶角相等． （2）两直线平行，同位角相等． （3）等角的余角相等． 6．如图，∠B=36°，∠D=50°，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，AM交BC于点R，CM交AD于点Q，BC与AD交于点P，求∠M的度数． 7．若△ABC三个内角的度数分别为m、n、p，且|m﹣n|+（n﹣p）2=0，则这个三角形为（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 　 8．在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC的中点，点F在△ABC内，连接DE，EF，FD．以下图形符合上述描述的是（　　） A． B． C． D． 9．如图所示，△ABC中AB边上的高线是（　　） A．线段AG B．线段BD C．线段BE D．线段CF 10．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 11．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若平面内动点P满足S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P有（　　） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 12．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1-1.2认识三角形、定义与命题 【考点归类】 考点一、认识三角形 考点二、三角形的角平分线、中线和高 考点三、三角形的面积 考点四、三角形的稳定性 考点五、三角形的重心 考点六、三角形三边关系 考点七、三角形内角和定理 考点八、命题与定理 考点一、认识三角形 【知识梳理】 1．三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2．三角形的表示法：“三角形”用符号“△”表示，如顶点是A，B，C的三角形记做“△ABC＂，读做“三角形ABC＂，三条边可以表示为AB，BC，CA． 3. 三角形的边：组成三角形的线段. 4．三角形的角：三角形相邻两边组成的角. 5．三角形的顶点：三角形相邻两边的公共端点. 6．三角形三个内角的和等于180° 7．三角形可以按内角的大小进行分类： ①锐角三角形（三个内角都是锐角的三角形） ②直角三角形（有一个内角是直角的三角形） ③钝角三角形（有一个内角是钝角的三角形） 8．三角形的三边关系： （1）三角形任何两边的和大于第三边． （2）三角形任何两边的差小于第三边. 注： 1．利用三角形的三边关系，可以确定第三边（未知边）的取值范围，它的取值范围是： 两边之差＜第三边＜两边之和 2．判断三条线段能否构成三角形的方法： 先找出最长线段，然后比较较短的两条线段之和与最长线段的大小．若较短的两条线段之和小于（或等于）最长线段，则不能构成三角形；若较短的两条线段之和大于最长线段，则能构成三角形. 3．“三角形的任何两边的和大于第三边”其实可以用“两点之间，线段最短”来解释． 4．已知三角形的周长C，则三角形最长边的取值范围为≤最长边＜ 【例题精讲】 例1．下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 故选：C． 例2. 已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【解答】解：设大小处于中间的边长是xcm，则最大的边是（x+1）cm，最小的边长是（x﹣1）cm． 则（x+1）+x+（x﹣1）=12， 解得：x=4， 则最短的边长是：4﹣1=3cm． 故选：B． 【巩固练习】　 如图中，三角形的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【解答】解：根据图示知，图中的三角形有：△ABE，△ABC，△DEC，△DBC，△EBC，共有5个． 故选：C． 考点二、三角形的角平分线、中线和高 1．三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 2．三角形的中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线. 3．三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线. 4．三角形的角平分线、中线和高线都是线段. 注： 1. （1）每个三角形都有三条角平分线，并且都在三角形的内部，它们交于一点. （2）三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线，两者一定要区分清楚. 2．一个三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，它们交于一点. 3．三角形任何一边上的中线，把原三角形分成面积相等的两部分. 4．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高线． 锐角三角形的三条高线都在三角形的内部，并交于三角形的内部一点； 直角三角形的两条高线与直角边重合，另一条高线在三角形的内部，它们的交点就是直角顶点； 钝角三角形的两条高线在三角形的外部，一条高线在三角形的内部，三条高线所在的直线交于三角形外的一点. 5．在解决与三角形高线有关的问题时，如果题目中没有告诉三角形的形状，一般要分类讨论，考虑高线是在“形内”“形外”还是“形上” 【例题精讲】 例1. 如图，在△ABC中，过点B作PB⊥BC于B，交AC于P，过点C作CQ⊥AB，交AB延长线于Q，则△ABC的高是（　　） A．线段PB B．线段BC C．线段CQ D．线段AQ 【解答】C． 【巩固练习】　　 如图，在△ABC中，画出AC边上的高，正确的图形是（　　） A． B． C． D． 【解答】D． 例2. 下列说法中，正确的是（　　） A．同位角相等 B．三角形的高在三角形内部 C．平行于同一直线的两条直线平行 D．两个角的两边分别平行，则这两个角相等 【解答】C． 【巩固练习】　 如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．AB=2BF B．∠ACE=∠ACB C．AE=BE D．CD⊥BE 【解答】C． 考点三、三角形的面积 【例题精讲】 例1．如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是4cm2，则阴影部分面积等于（　　） A．2cm2 B．1cm2 C．0.25cm2 D．0.5cm2 【解答】B． 【巩固练习】　 在△ABC中，AC=4，AB=5，则△ABC面积的最大值为（　　） A．6 B．10 C．12 D．20 【解答】解：在△ABC中，AC=4，AB=5，则△ABC面积的最大值为×AC×AB=10， 故选：B． 考点四、三角形的稳定性 【例题精讲】 例1．下列物品不是利用三角形稳定性的是（　　） A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 C．照相机的三脚架 D．放缩尺 【解答】D． 【巩固练习】　 要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（　　） A．一条 B．两条 C．三条 D．四条 【解答】A． 考点五、三角形的重心 【例题精讲】 例1．三角形的重心是（　　） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三边上高所在直线的交点 C．三角形三边上中线的交点 D．三角形三个内角平分线的交点 【解答】解：三角形的重心是三条中线的交点． 故选：C． 【巩固练习】　 如图，点G为△ABC的重心，则S△ABG：S△ACG：S△BCG的值是（　　） A．1：2：3 B．2：1：2 C．1：1：1 D．无法确定 【解答】解：如图，延长AG交BC于点D， ∵G点为△ABC的重心， ∴点D是BC边的中点， ∴S△ABD=S△ACD=S△ABC； ∵G点为△ABC的重心， ∴AG：GD=2：1， ∴AG=AD， ∴S△ABG=S△ABD=S△ABC． 同理可证：S△ACG=S△BCG=S△ABC． ∴S△ABG：S△ACG：S△BCG=1：1：1． 故选：C． 考点六、三角形三边关系 【例题精讲】 例1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm 【解答】B． 【巩固练习】　 已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（　　） A．1 B．2 C．8 D．11 【解答】C． 考点七、三角形内角和定理 【例题精讲】 例1．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上DE∥BC，点B、C、F在一条直线上，若∠ACF=140°，∠ADE=105°，则∠A的大小为（　　） A．75° B．50° C．35° D．30° 【解答】C． 【巩固练习】　 如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．钝角或直角三角形 【解答】A． 考点八、三角形的外角性质 【例题精讲】 例1．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（　　） A．40° B．20° C．55° D．30° 【解答】A． 【巩固练习】　 如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（　　） A．24° B．59° C．60° D．69° 【解答】B． 考点八、命题与定理 【知识梳理】 1．一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. 2．一般地，判断某一件事情的句子叫做命题. 3．我们在数学上学习的命题一般由条件和结论两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项，这样的命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论. 4．正确的命题称为真命题；不正确的命题称为假命题. 5．人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为基本事实. 6．用推理的方法判断为正确的命题叫做定理. 注： 1．命题是判断某一件事情正确或不正确的语句，命题的结构是条件（已知事项）与结论（由已知事项得到的事项）. 2．把命题改写成“如果……那么……”的形式时，要明确条件和结论，语言应重新组合，可添上命题中被省略的词句． 3．凡描述性语句、设问句、反问句等语句都不是命题 命题必须是一个完整的句子． 4．命题中的判断可正确，可不正确，不要以为不正确的判断就不是命题 5．真命题、基本事实、定理之间的区别与联系：真命题就是正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论一定成立．基本事实和定理都是真命题，但有的真命题既不是基本事实，也不是定理．基本事实和定理的区别主要在于：基本事实的正确性不需要用推理来证明，而定理需要证明. 6．举反例可以说明一个命题是假命题．举的反例必须满足命题的条件，但不满足命题的结论 7．基本事实和定理是判断其他命题真假的依据． 【例题精讲】 例1．下列命题正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【解答】C． 【巩固练习】　 下列命题，其中是真命题的为（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．一组邻边相等的矩形是正方形 【解答】D． 【课堂检测】 【A组】 1. 下列命题是真命题的是（　　） A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0 B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1 C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0 D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0 【解答】A． 2. 下列命题是真命题的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．任意多边形的内角和为360° D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 【解答】D． 3．已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（　　） A．11 B．5 C．2 D．1 【解答】B． 4．在三个内角互不相等的△ABC中，最小的内角为∠A，则在下列四个度数中，∠A最大可取（　　） A．30° B．59° C．60° D．89° 【解答】B． 5．在三个内角互不相等的△ABC中，最小的内角为∠A，则在下列四个度数中，∠A最大可取（　　） A．30° B．59° C．60° D．89° 【解答】解：180°÷3=60°， ∵不等边三角形的最小内角为∠A， ∴∠A＜60°， ∴0°＜∠A＜60°， 则∠A最大可取59°． 故选：B． 6．给出下列命题：①三角形两边之和大于第三边；②三角形任一外角等于不相邻两内角之和；③两边和一角对应相等的两个三角形全等，下列属于真命题的是（　　） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【解答】C． 7．如图，直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C=90°，∠β=55°，则∠α的度数为（　　） A．15° B．25° C．35° D．55° 【解答】解：过点C作CE∥a， ∵a∥b， ∴CE∥a∥b， ∴∠BCE=∠α，∠ACE=∠β=55°， ∵∠C=90°， ∴∠α=∠BCE=∠ABC﹣∠ACE=35°． 故选：C． 8．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（　　） A．35° B．95° C．85° D．75° 【解答】C． 【B组】 1. a、b、c是三角形的三边长，化简|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣a﹣b|后等于（　　） A．b+a﹣3c B．a+b+c C．3a+3b+3c D．a+b﹣c 【解答】解：∵a、b、c是三角形的三边长， ∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b． ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0． ∴|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣a﹣b|=﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b=a+b+c． 2．已知：如图△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD=2DC，S△BGD=8，S△AGE=3，则△ABC的面积是（　　） A．25 B．30 C．35 D．40 【解答】解：三角形BDG和CDG中，BD=2DC．根据这两个三角形在BC边上的高相等， 那么S△BDG=2S△GDC，因此S△GDC=4， 同理S△AGE=S△GEC=3，S△BEC=S△BGC+S△GEC=8+4+3=15， ∴三角形ABC的面积=2S△BEC=30． 故选：B． 3．某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（　　） A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对 C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对 【解答】解：若甲对，即只参加一项的人数大于14人，不妨假设只参加一项的人数是15人， 则两项都参加的人数为5人，故乙错． 若乙对，即两项都参加的人数小于5人，则两项都参加的人数至多为4人， 此时只参加一项的人数为16人，故甲对． 故选：B． 4．如图，在△ABC中（AB＞BC），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线，AC=2BC， ∴BD=CD， 设BD=CD=x，AB=y，则AC=4x， 分为两种情况：①AC+CD=60，AB+BD=40， 则4x+x=60，x+y=40， 解得：x=12，y=28， 即AC=4x=48，AB=28； ②AC+CD=40，AB+BD=60， 则4x+x=40，x+y=60， 解得：x=8，y=52， 即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16， 此时不符合三角形三边关系定理； 综合上述：AC=48，AB=28． 5．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF． 【解答】证明：∵∠ACB=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠2+∠4=90° 又∵BE平分∠ABC， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠4， ∵∠4=∠5， ∴∠3=∠5， 即∠CFE=∠CEF． 6．已知：如图，在△ABC中，∠B＞∠C，AE为∠BAC的平分线，AD⊥BC于点D．求证：∠DAE=（∠B﹣∠C） 【解答】证明：∵AD是BC边上的高， ∴∠BAD=90°﹣∠B． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣∠B﹣∠C． ∵∠DAE=∠BAE﹣∠BAD， ∴∠DAE=（90°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠B）=∠B﹣∠C=（∠B﹣∠C）． 【C组】 1．如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2017，最少经过多少次操作（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：△ABC与△A1BB1底相等（AB=A1B），高为1：2（BB1=2BC），故面积比为1：2， ∵△ABC面积为1， ∴S△A1B1B=2． 同理可得，S△C1B1C=2，S△AA1C=2， ∴S△A1B1C1=S△C1B1C+S△AA1C+S△A1B1B+S△ABC=2+2+2+1=7； 同理可证△A2B2C2的面积=7×△A1B1C1的面积=49， 第三次操作后的面积为7×49=343， 第四次操作后的面积为7×343=2401． 故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2017，最少经过4次操作． 故选：A． 2．定义运算符号“﹡”的意义为：a﹡b=（其中a、b均不为0）．下面有两个结论：（1）运算“﹡”满足交换律；（2）运算“﹡”满足结合律．其中（　　） A．只有（1）正确 B．只有（2）正确 C．（1）和（2）都正确 D．（1）和（2）都不正确 【解答】解：a﹡b===， 所以得运算“﹡”满足交换律， 故（1）正确； 又∵（a﹡b）﹡c=*c， =， a﹡（b﹡c） =a*， =， ∴（a﹡b）﹡c≠a﹡（b﹡c） ∴结论（2）不一定成立． 故选：A． 3．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（　　）度． A．540 B．720 C．360 D．900 【解答】解：连接AG、BF． 在四边形ECAG中，得∠E+∠C+∠EGA+∠CAG=360°， 又∵∠1+∠2=∠3+∠4，∠5+∠6+∠D=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°． 故选：A． 4．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论． （1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PC　＜　AB+AC（填“＞”、“＜”或“=”） （2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． （3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． 【解答】解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边， （2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由： 如图，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，两式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周长＜△ABC的周长， （3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长，理由： 如图，分别延长BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M， 可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得结论． 　 5．如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM、ON上移动，BE是∠ABN的平分线，BE的反向延长线与∠OAB平分线相交于点C，试问：∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围． 【解答】解：∠ACB的大小保持不变．理由： ∵∠ABn=90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABN， ∴∠ABE=∠ABN=（90°+∠OAB）=45°+∠OAB， 即∠ABE=45°+∠CAB， 又∵∠ABE=∠ACB+∠CAB， ∴∠ACB=45°， 故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°． 【课后巩固】 1．各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有　20　个． 【解答】解：∵各边长度都是整数、最大边长为8， ∴三边长可以为： 1，8，8； 2，7，8；2，8，8； 3，6，8；3，7，8；3，8，8； 4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8； 5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8； 6，6，8；6，7，8；6，8，8； 7，7，8；7，8，8； 8，8，8； 故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有20个． 故答案为：20． 2．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，则∠DAC=　24°　． 【解答】解：由题意可知，∠3=∠4，∠BAC=63° ∵∠BAC+∠2+∠4=180°， ∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠3=∠1+∠2， ∴2∠2=∠4， ∵∠2+∠4+∠BAC=180°， ∴∠2+2∠2+63°=180°， ∴3∠2+63°=180° ∴∠1=∠2=39°， ∠DAC=∠BAC﹣∠1=63°﹣39°=24°． 3．如图，在△BCD中，BC=4，BD=5， （1）求CD的取值范围； （2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数． 【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC=4，BD=5， ∴1＜DC＜9； （2）∵AE∥BD，∠BDE=125°， ∴∠AEC=55°， 又∵∠A=55°， ∴∠C=70°． 4．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数． 【解答】解：∵∠CAB=50°，∠C=60° ∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°， 又∵AD是高， ∴∠ADC=90°， ∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°， ∵AE、BF是角平分线， ∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°， ∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°， ∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°， ∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°， ∴∠DAC=30°，∠BOA=120°． 故∠DAE=5°，∠BOA=120°． 5．把命题改写成”如果…那么…”的形式． （1）对顶角相等． （2）两直线平行，同位角相等． （3）等角的余角相等． 【解答】解：（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； （2）如果两直线平行，那么同位角相等； （3）如果两个角同为等角的余角，那么这两个角相等． 6．如图，∠B=36°，∠D=50°，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，AM交BC于点R，CM交AD于点Q，BC与AD交于点P，求∠M的度数． 【解答】解：∵∠B+∠BAM=∠M+∠BCM， ∴∠BAM﹣∠BCM=∠M﹣∠B， 同理，∠MAD﹣∠MCD=∠D﹣∠M， ∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD， ∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD， ∴∠M﹣∠B=∠D﹣∠M， ∴∠M=（∠B+∠D）=（36°+50°）=43゜． 7．若△ABC三个内角的度数分别为m、n、p，且|m﹣n|+（n﹣p）2=0，则这个三角形为（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解答】解：∵|m﹣n|+（n﹣p）2=0， ∴m﹣n=0，n﹣p=0， ∴m=n，n=p， ∴m=n=p， ∴三角形ABC为等边三角形． 故选：B．　 8．在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC的中点，点F在△ABC内，连接DE，EF，FD．以下图形符合上述描述的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、点F在BC边上，与点F在△ABC内不符合，所以此选项不符合； B、点F在△ABC外，与点F在△ABC内不符合，所以此选项不符合； C、此选项符合； D、点D是BC中点，与点D是边AC的中点不符合，所以此选项不符合； 故选：C． 9．如图所示，△ABC中AB边上的高线是（　　） A．线段AG B．线段BD C．线段BE D．线段CF 【解答】解：△ABC中AB边上的高线是线段CF， 故选：D．　 10．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高， 故选：A．　 11．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若平面内动点P满足S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P有（　　） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【解答】解：作∠AED的平分线， 可得点P到AB和CD的距离相等， 因为AB=CD， 所以此时点P满足S△PAB=S△PCD． 故满足此条件的点P有无数个， 故选：D． 12．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABD=S△ACD=S△ABC， ∵点E是AD的中点， ∴S△ABE=S△ADE=S△ABD，S△CDE=S△CAE=S△ACD， ∵S△ABE=S△ABC，S△CDE=S△ABC， ∴S△ABE+S△CDE=S△ABC=×8=4； ∴阴影部分的面积为4， 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $$