海南省海口市2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

海口市2024~2025学年第二学期 高二年级期末考试（数学)参考答案 一、单项选择题 题号 3 4 6 8 答案 A 6 B A C 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案ACD AB CD 11.解析：由k√F≥nx+1得k√F≥2n√F+1,所以k√F-1≥2nF,令√=tt>0),则t-1≥2lntt>0) 令y=t-1f)=2lnt(>0),由题意可知y≥f)恒成立.设与f()图象相切且与v平行的直线为人，切点 M.20,所以元)-名，)=k=2p4=异 t. 2n2t1 切点M化，2h子，又因为y=:-k过点N0-》,由w=是-k,解得=石，由y之0)恒成立 2 k 每2 E,CD正确。 y=a 三、填空题 12.{09 13.14 14.-1 y=cosx 14解析：如图所示，Sos=xcos,,S=(化cos,丫=cosx-x sin.x1,通过分析可知，S先增大后减小， 当△AOB的面积取最大值时，S”=cosx,-x,sinx,=0,即x sin x=cosx,所以xtmx=1因为x2=-X, x tanx,=-1 四、解答题 15.(13分) 解：(1)焦距为2，所以2c=2,c=1---1分 9 方法一：依题有 3分 a2-b2=1 解得口=46=3，椭圆方程号+号1…5分 方法三：右焦点P0,1D+D个+0+昏+-+令-号4=a,所以a=2-4分 6=厅-C=5,椭圆方程兰+号 -5分 3 (2)直线BF方程为y=二(x十1)---7分 4 y=3+1 联立 -9分 +2,7x+6x二13=0 得M点坐标( ---11分 9 A到BF得距离为B+F5 -12分 1×25×9-45 Sw-2×7*54 -13分 16.(15分) (1)由题知，a=21, -2分 又4=2，a-a-1=21-201-1)=201≥2)，所以数列{a}是以2为首项，2为公差的等差数列-3分 所以3=m2牛20=0n+D, …4分 又又=m+Doea,所以6=周 -6分 7分 因为1= 皮5所以是以为 为公比的等比数列.…9分 4 所以T= -11分 因为aeN,函数工--（周） 是增函数，所以=1时工最小为}，工号 -13分 -周1，所以工分所子长红兮 -15分 17.(15分) (1)证明：在图2中，连接OB,OD,因为△ABC和△ADC都是等腰三角形， 且0是正方形中心，所以AC⊥OD,AC⊥OB,--3分 OB∩OD=O,OB,ODC平面BOD,所以AC⊥平面BOD 4分 (2)在翻折过程中，四面体ABCD的体积取最大值时，D点到平面ABC的距离最大， 此时平面ACD⊥平面ABC .-- -5分 因为DO⊥AC,所以DO⊥平面ABC. -6分 方法1：(1)在四面体ABCD中，取AB,BD的中点，记为E,F,连接OE,OF,EF 图2 因为OE为ABC的中位线，所以OE/BC且OgC,同理EFIADRRF--D 所以∠FEO或其补角为异面直线AD与BC所成角.且OB=1,EF=1,---8分 由前知，DO⊥平面ABC.所以DO⊥BO,又BD=2,DO=BO=√2，所以OF=1,9分 所以△0P为等边三角形，∠B0=行，所以异面直线AD与BC所成角的大小为号 ---10分 方法2：(1)所以OA,OB,OD两两垂直，如图，以O为坐标原点， 12 OA,OB,OD所在直线为x轴y轴，z轴建立空间直角坐标系---7分 因为正方形ABCD的边长为2，所以A(5,0,0,D00,V5,B(0,V5.0).C(-5,0,0),xd。 AD=(-√50，√2).BC=(5,-V2,0),-8分 AD.BC 设异面直线AD与BC所成角为6，cos6co3<AD,BC= 1 -9分 AD BC 因为8e0,所以0= 3 -10分 (i)因为CD=(5.0.2),AB=(√2√2.0)，AD=(√2,0.√2)，-11分 iAB=0 设平面ABD的一个法向量n=(x,y,z),因为 [-√x+y=0 即 nAD=0' -V2x+V2z=0 令x=1则y=1z=1,得n=(L,l,1)… -13分 n CD 设CD与平面ABD所成角为P,sinp=cos<CDF 2W2V6 CD]2V3 3 即CD与平面ABD所成的角的正弦值为 -15分 3 3 18.(17分) 解：(1)记“随机选择2个选项得6分”为事件A.- -1分 从4个选项中任选2个选项，样本空间共C=6种等可能结果-… -2分 正确选项1种可能，所以P()=】,即随机选择2个选项得6分的概率为} ---4分 (2)(i)记“四个选项中有i个选项符合题目要求”为事件A,(=2,3),“选择1个选项时得0 分”为事件B. -5分 则有)号P4)号 -6分 P-片B1-号 7分 P©)-片子即选择1个递项时得0分的概车为 -9分 ()一道多选题在能确定A选项错误的前提下. 选1个选项时，得分X的可能取值为0,2,3， -10分 *2五Px=)=2x是1 Px-0-石Px=2-1 3*23-11分 所以得分期望B(0=0×2+2×+3x=2 ---12分 2 3 选2个选项时，得分Y的可能取值为0,4,6， 同理可得Pt=0=子号0=0=1宁片P00-兮片君 -13分 326 1 1 所以得分期望为B0四=0x+4×+6×上=3 --14分 26 选3个选项时，得分Z的可能取值为0,6， 同理可得P2=0-,PK2=0=2 1 --15分 所以得分期望为B☑=0x号+6×-3… 1 -16分 2 2 E(X)<E(Y)=E(亿)，建议作答时选择2个或者3个选项. -17分 1917分)解：1)由愿意，cs0} -1分 7(cos)=c0s20=2c0s20-1=-7 9 -2分 证明：要证T+2()=21T1()-T() 只需证cos(n+2))=2cos6cos(n+1))-cos(08) -3分 由于cos(n+2))=cos[+1)8+8]cos8cos(n+l)-sin8sin(n+1))① 4 cos(n0)=cos[(n+1)0-0]=cos0cos((n+1)0)+sin@sin((n+1)0)2 ①+②得cos(n+2))+cos(n0)=2cos8cos(n+1)) cos((n+2)0)=2cosecos((n+1)0)-cos(n0) T2()=2T1)-T()得证- 5分 (2)存在0∈R,使得1<c0s30-4cos20成立，即1<cos30-4cos20的最大值-6分 由题知，cos30-4cos20=T(0-4T(0=21T,(0-t-4T(0=4t3-812-31+4-7分 令g(0=4t3-82-3t+4,te[-1,1刂，g)=12-16t-3=0 -8分 即心-3a+0=0,解得4-号（含去、=启 -9分 1-1之，80>0,80单调递增，1l名，80<0,80单调递减 80)的最大值为8（宁-罗 即2< -11分 27 3)f6)=8r3-6x-2=0,4r2-3x= ,令cos0=x,xe[-1,1] --12分 2 g亿0时号+=0·r+号=e‘2死+于=h·s0=子6o=用 2 当0=后时，4=@ oo》6+5 气34 4 当0=不+2江3次 2 当0-音g沿=mg}:6 4 -15分 又4-3=5最多只有三个解且飞<4<，由三次函数图象， -16分 x∈(2，x),x∈(3，+D),f(x)>0, 的的单调增区间是25-6,5+6问 2’4 -17分 4 5高二数学期末试题 第 页 共 4页1 机密 启用前 海口市 2024～2025学年第二学期 高二年级期末考试（数学） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1． 2 i 1 i    A． 1 3 i 2 2  B． 1 3 i 2 2  C． 1 3 i 2 2   D． 1 3 i 2 2   2．在等差数列 na 中，已知 2 2a  ， 6 10a  ，则 10a  A．12 B．14 C．16 D．18 3．已知向量 2| a | ， 1| b | ，若 a 与 b 的夹角为 60，则  | a b | A． 2 B． 3 C．2 D．3 4．曲线 lny x x  在点 (1, 1) 处切线的斜率为 A． 1 B． 0 C．1 D． 2 5．如图，现要用 4种不同的颜色对海口市的 4个区地图进行着色， 要求有公共边的 2个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法 的种数为 A． 24 B．48 C．72 D．120 6．已知 2 1log 2 2a  ，则实数 a的取值范围为 A． 1(0, ) (1, ) 2  B． 1 1( , ) ( , ) 2 2    C． 1( 2  ， ） D． 1 1(0, ) ( ,1) 2 2  高二数学期末试题 第 页 共 4页2 7．某旅游公司规划一日游路线，从骑楼老街、荣山寮、万绿园、电影公社、假日海滩 5个 景点中选出 3个依次游览，其中骑楼老街、荣山寮这 2个景点不能连续游览，则不同的 游览路线的种数为 A．36 B． 42 C．48 D．60 8．在某次猜数字游戏中，答案是一个无重复数字的三位数．一位同学第一次猜 318，只有 一个数字猜对且在相对应的位置上；第二次猜 329，只有一个数字猜对且不在对应的位 置上；第三次猜 128，只有一个数字猜对且在对应的位置上．根据上述信息，该同学第 四次猜对的概率是 A． 1 10 B． 1 9 C． 1 8 D． 1 7 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．已知 ( ) 2 2 , ( ) 2 2x x x xf x g x     ，则 A． ( )f x 是偶函数 B． ( )g x 是减函数 C． 2 2( ) ( ) 4f x g x  D． ( ) ( ) (2 )f x g x g x 10．下列说法正确的是 A．若 1(3, ) 3 X B ，则   41 9 P X   B．若 2(2, )X N  ，且 ( 4) 0.8P X   ，则  0 0.2P X   C．若 X 服从 0 1 分布，且 ( 0) 0.3P X   ，则 ( ) 0.3E X  D．从 5名学生（含学生甲）中随机选出 2名学生代表，则学生甲被选中的概率为 310 11．若 ln 1 0x k x   对 (0, )x  恒成立，则 k的值可能是 A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．已知集合 2{ | 1}A x x  ,集合 2{ | }B x x x  ,则 A B  ． 13． 72( )x x  的展开式中 2x 的系数是 ．（结果用数字作答） 14． cos ( , ) 2 2 y x x    ， 的图象与直线 , (0,1)y a a  交于两个不同的点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， O为坐标原点，当△ AOB的面积最大时， 1 2tanx x = ． 高二数学期末试题 第 页 共 4页3 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知 A , F 是椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yE a b a b     的右顶点和左焦点，椭圆 E过点 3(1, ) 2 B , 且焦距为 2． （1）求椭圆 E的标准方程； （2）直线 FB与 E交于M 点（不与 B点重合），求△ ABM 的面积． 16．（15分） 已知数列{ }na 的前 n项和为 nS ，若点 ( , ) ( )nn a n *N 都在函数 ( ) 2f x x 的图象上，且 1 2 ( 1) logn nS n b  ． （1）求数列{ },{ }n na b 的通项公式； （2）设 2n nc b ，记数列{ }nc 的前 n项和为 nT ，求证： 1 1 4 3n T≤ ＜ ． 17．（15分） 如图 1，正方形 ABCD的边长为 2，如图 2，将正方形 ABCD沿着对角线 AC翻折，O为 原正方形 ABCD的中心． （1）证明： AC 平面 BOD； （2）翻折至四面体 ABCD的体积最大时． （ⅰ）求异面直线 AD与 BC所成角的大小； （ⅱ）求CD与平面 ABD所成的角的正弦值． 高二数学期末试题 第 页 共 4页4 18．（17分） 高中数学试题多选题给出的四个选项中有 2个或 3个选项符合题目要求．全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对的得部分分（答案为 3个选项每个得 2分，答案为 2个选 项每个得 3分）． （1）若一道多选题只有 2个选项符合题目要求，求随机选择 2个选项能得 6分的概率； （2）假定四个选项中有 2个或 3个选项符合题目要求的概率均为 1 2 ． （ⅰ）求一道多选题随机选择 1个选项时得 0分的概率； （ⅱ）一道多选题在能确定 A选项错误的前提下随机作答（选择 1至 3个选项），从得 分期望角度分析，建议作答时选择几个选项？ 19．（17分） 记 cos t  ， cos ( )nn T t  ， nN ． （1）求 2 1( ) 3 T ，并证明： 2 1( ) 2 ( ) ( )n n nT t tT t T t   ； （2）若 R  ，使得 cos3 4cos2    成立，求 取值范围； （3）求函数 4 2( ) 2 3 2f x x x x   的单调增区间．