第2章 常用逻辑用语 讲义-2025年暑期新高一数学苏教版（2019）必修第一册

第二章 常用逻辑用语 2.1命题、定理、定义 知识点一、命题的概念 在数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题。其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题。 例1、 下列语句为命题的是（ ） A、2x+5≥0 B、求证对顶角相等 C、0不是偶数 D、今天心情真好啊 知识点二、命题的结构 数学中的命题通常可以表述成“若p，则q”的形式，也可以写成“如果p,那么q”,“只要p，那么q”等形式。其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论。 例2-1、指出下列命题的条件p和结论q。 （1）若x+y为有理数，则x，y都是有理数； （2）若x=3或y=7，则（x-3）（x-7）=0。 例2-2、把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假。 （1）奇数不能被2整除； （2）实数的平方是正数； （3）当（a-1)2+(b-1)2=0时，a=b=1。 能力点 命题真假的判断 例、下列语句中是真命题的有_______（填序号）。 （1） x∈R，x2+4x+4=0； （2） 一个正整数不是素数就是合数； （3） 若x+y和xy都是有理数，则x,y都是有理数； （4） 60x+9>4； （5） 若x∈N,则x2+4x+7=0。 达标训练： 1、 给出下列语句： （1） x>1；（2）3比5大；（3）这是一棵大树；（4）求证：是无理数；（5）二次函数的图像太美啦！（6）4是集合{1,2,3,4}的元素。 其中是命题的个数为（ ） A、2 B、3 C、4 D、5 2、 “若A∪B=A，则A∩B=B”（ ） A、 是真命题 B、是假命题 C、真假性不确定 D、不是命题 3、 下列命题是假命题的是（ ） A、 菱形的四条边相等 B、 对顶角相等 C、 相等的两个角一定是对顶角 D、 四条边都相等的平面四边形一定是菱形 4、 下列命题中，为假命题的是（ ） A、 不是有理数 B、 π≠3.14 C、 方程2x2+3x+21=0没有实数根 D、 等腰三角形不可能有120度的角 5、 命题“平行四边形的对角线既互相平分，又互相垂直”的结论是_____________________。 6、 （多选）下列命题中为真命题的是（ ） A、 若a≤b,则a2≤b2 B、 若x+y=0，则x,y不互为相反数 C、 若x2=y2，则｜x|=|y| D、 若x2<4，则x<2 7、 下列说法正确的是（ ） A、 命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B、 语句“当a>4时，方程x2-4x+a=0有实数根”不是命题 C、 命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D、 “当x=2时，x2-3x+2=0”是真命题 8、 （多选）对于命题“若a2>b2,则a>b”，下面四组关于a,b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ） A、 a=-3,b=2 B、 a=3,b=2 C、 a=3,b=-2 D、 a=-2,b=-1 9、 命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（ ） A、 两个平面 B、一条直线 C、垂直 D、两个平面垂直于同一条直线 10、 能说明“若ac>bc,则a>b”为假命题的一组a,b,c的值依次为______________。 2.2充分条件、必要条件、充要条件 知识点一、充分条件与必要条件 （1） p推出q的含义 一般地，当命题“若p，则q”为真命题时，我们就说“由p可以推出q成立”，记作“p→q”,读作“p推出q”。 （2） 充分条件和必要条件的定义 一般地，如果“p→q”,那么称p是q的充分条件，也称q是p的必要条件。 例1-1、 下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（ ） A、 若x=1，则x2=1 B、 若ac=bc，则a=b C、 若mn为无理数，则m,n为无理数 D、 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 例1-2、指出下列所给的p,q中，p是q的什么条件。 （1）p：x-2=0；q：（x-2)(x-3)=0 （2）p：两个三角形相似；q：两个三角形全等 （3）p：m<-2；q：方程x2-x-m=0无实根 （4）p：一个四边形是矩形；q：四边形对角线相等 知识点二、充要条件 一般地，如果p→q，且q→p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p，记作p↔q 条件关系判定的常用结论 p与q的关系 结论 p推出q，且q推不出p p是q的充分且不必要条件 q推出p，且p推不出q p是q的必要且不充分条件 p推出q，且q推出p，即p↔q p是q的充要条件 p推不出q,且q推不出p p是q的既不充分也不必要条件 例2（多选）下列各选项中，p是q的充要条件的是（ ） A、 p：m<-2或m>6；q：方程x2+mx+m+3=0有两个不同的实数根 B、 p：x-4=0；q：(x-4)(x-5)=0 C、 p：两个三角形相似；q：两个三角形全等 D、 p：A∩B=A；q：CUB⊆CUA 知识点三、从集合角度看充分、必要条件 例3、用“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空： （1）p：x2-2x-3<0；q：|x|>3，则p是q的______________； （2）p：平行四边形；q：正方形，则q是p的______________； （3）p：x>0；q：x≥5，则p是q的______________。 能力点1、充分、必要、充要条件的判断方法 例1、 从“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空。 （1） “x2-1=0”是“|x|-1=0”的______________； （2） “x<5”是“x<3”的______________。 能力点2、充要条件的证明问题 例2、求证：方程x2+(2k-1)x+k2=0两个根均大于1的充要条件是k<-2。 能力点3、命题成立的充分、必要、充要条件的探求 例3-1、设a∈R，则a>4的一个必要且不充分条件是（ ）。 A、a>1 B、a<1 C、a>5 D、a<5 例3-2、（多选）一元二次方程ax2+4x+3=0(a≠0)有一个正根和一个负根的一个充分且不必要条件是（ ） A、a<0 B、a<-1 C、a<1 D、-3<a<-2 能力点4、由充分、必要条件求参数的范围 例4、 设全集U=R，已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+1}。 （1） 若A∩B=Ø，求实数m的取值范围； （2） 若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围。 易错1、使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分且不必要条件是（ ）。 A、 x≥0 B、x<0或x>2 C、x∈{-1,3,5} D、x≤- 或x≥3 易错2、已知集合P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是______________。 达标训练： 1、 “a≠0”是“ab≠0”的（ ） A、 充分且不必要条件 B、必要且不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2、 设角A，B，C是△ABC的三个内角，则“A+B<C”是“△ABC是钝角三角形”的（ ） A、充分且不必要条件 B、必要且不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 3、 （多选）下列说法正确的是（ ） A、 “x>3”是“x>2”的必要条件 B、 “x>1”是“x2>1”的充分且不必要条件 C、 “x=2或x=-3”是“x2+x-6=0”的充要条件 D、 “a>b”是“a2>b2”的必要且不充分条件 4、 已知p：x2+x-6=0，q：mx+1=0，且q是p的充分且不必要条件，则实数m的值为______________。 5、 若p是q的充分条件，q是r的必要条件，q是s的充分条件，r是s的必要条件，则r是p的___________条件。 6、 已知a，b∈R，则“a>b>0”是“|a+2|>|b+2|”的（ ） A、充分且不必要条件 B、必要且不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 7、使x∈{x|x≤0或x>3}成立的一个充分且不必要条件是（ ） A、 x≤0或x>3 B、x<-1或x>3 C、x≤0或x>1 D、x≥0 8、若集合A={x|x2-(m+1)x+m=0}，B={-1,0,1}，则“m=-1”是“A⊆B”的（ ） A、充分且不必要条件 B、必要且不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 9、（多选）已知p是r的充分且不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分且不必要条件；③r是q的必要且不充分条件；④s是p的必要且不充分条件。则正确命题的序号有（ ） A、① B、② C、③ D、④ 10、（多选）下列式子能使<成立的充分条件是（ ） A、a<0<b B、b<a<0 C、b<0<a D、0<b<a 11、若A={x|a<x<a+2}，B={x|x<-1或x>3}，且A是B的充分条件，则实数a的取值范围为____________。 12、请在①充分且不必要条件，②必要且不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面的横线上。若问题中的a存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。 问题：已知集合A={x|0≤x≤4},B={x|1-a≤x≤1+a,a>0}，是否存在实数a使得x∈A是x∈B的__________？ 2.3全称量词命题与存在量词命题 知识点1、全称量词与全称量词命题 1、 全称量词：“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，并用符号“∀”表示。 2、 全称量词命题： （1） 定义：含有全称量词的命题称为全称量词命题 （2） 符号表示：通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x),……表示，变量x的取值范围用M表示。那么，全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。 例1-1、 （多选）下列命题是全称量词命题的是（ ） A、 任何实数都有立方根 B、 所有的质数都是奇数 C、 有的平行四边形是矩形 D、 三角形的内角和是180度 例1-2、用量词符号表示下列全称量词命题 （1）任意一个实数乘-1都等于它的相反数。 （2）对任意实数x，都有x3>x2 例1-3、下列命题是否为全称量词命题？若是，请指出全称量词，并判断其真假。 （1）所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径； （2）∀x∈R，x2>0； （3）负数的平方都是正数。 知识点二、存在量词与存在量词命题 1、 存在量词：“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，并用符号“∃”表示。 2、 存在量词命题： （1） 定义：含有存在量词的命题称为存在量词命题。 （2） 符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在M中的元素x,使p(x)成立”。 例2、 下列命题中，存在量词命题有__________（填写序号）。 （1） 至少有一个偶数是质数； （2） ∃x∈R，x2-1>0； （3） 有的平行四边形是菱形 知识点三、全称量词命题与存在量词命题的否定 1、 命题的否定：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。命题p的否定可用“¬p”来表示。 2、 全称量词命题与存在量词命题的否定 原命题 命题的否定 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 3、 常见量词的否定 正面词语 = >(<) 是 都是 任意（所有） 存在 至多有一个 至少有一个 或 且 否定词语 ≠ ≥（≤） 不是 不都是 某个 不存在 至少有两个 一个也没有 且 或 例3、 写出下列命题的否定，并判断其真假。 （1） ∀x∈R，|x|+1-x≠0； （2） ∃a∈R，一次函数y=x+a的图像经过原点； （3） p：某些平行四边形是菱形； （4） 可以被5整除的数，末位上是0。 能力点1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 例1-1、 判断下列命题的真假： （1） 在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x,y）都对应一点P； （2） 每一条线段的长度都能用正有理数来表示； （3） 至少有一个直角三角形不是等腰三角形； （4） 存在一个实数x，使得方程x2+x+8=0成立； （5） ∃x∈R,x2-3x+2=0； （6） ∀x，y∈Z,(x-y)2=x2-2xy+y2。 例1-2、下列命题为真命题的是（ ） A、所有的有理数都有倒数 B、对每一个无理数x，x2也是无理数 C、∃x∈Z，x2-2x-3=0 D、有的三角形没有外接圆 能力点2、已知全称（存在）量词命题的真假求参数的方法 例2、（1）已知命题p：∃x≥- ，2x+2-a=0为真命题，求实数a的取值范围； （2）已知命题p：∀x≥- ，2x+2-a>0为真命题，求实数a的取值范围； （3）已知命题p：∃x≥- ，2x+2-a=0为假命题，求实数a的取值范围。 易错1、写出下列命题的否定： （1） 可以被5整除的数，末位是0； （2） 能被3整除的数，也能被4整除。 易错2、已知命题p：存在一个实数x0,x02-x0-2<0，写出¬p。 达标检测： 1、 下列命题中为全称量词命题的是（ ） A、 有些实数没有倒数 B、 矩形都有外接圆 C、 存在一个实数与它的相反数的和为0 D、 过直线外一点有一条直线与已知直线平行 2、 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A、 锐角三角形的内角是锐角或钝角 B、 至少有一个实数x，使得x2≤0 C、 两个无理数的和必是有理数 D、 存在一个负数x,使>2 3、 （多选）下列命题为真命题的是（ ） A、 ∀x∈R，-x2<0 B、 ∃x∈Q，x2=5 C、 ∃x∈R，x2-x-1=0 D、 若p：∀x∈N，x2≥1，则¬p：∃x∈N，x2<1 4、 命题“∃x≤2，x2+2x-8≤0”的否定是（ ） A、 ∀x≤2，x2+2x-8>0 B、 ∀x>2，x2+2x-8>0 C、 ∃x≤2，x2+2x-8>0 D、 ∃x>2，x2+2x-8>0 5、 命题“∀x>1，>1”的否定为（ ） A、 ∃x0>1，≤1 B、 ∃x0>1，≤1 C、 ∃x0≤1，≤1 D、 ∃x0>1，>1 6、 写出下列命题的否定，并判断其真假： （1） 所有能被3整除的整数都是奇数； （2） 每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； （3） 存在x∈Z，x2的个位数字等于3。 7、 下列命题是存在量词命题且是真命题的是（ ） A、 所有的二次函数的图像都是轴对称图形 B、 平行四边形的对角线相等 C、 有些实数是无限不循环小数 D、 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 8、 下列命题是真命题的是（ ） A、 ∀x∈R，x2>0 B、 ∃x∈R，x2<0 C、 ∀x∈Q，x2-2≠0 D、 ∃x∈Q，x2-2=0 9、 若命题“∀x∈R，x2-4x+a=0”为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A、 （-∞，4] B、（-∞，4） C、（-∞，-4） D、[-4，+∞） 10、 （多选）下列命题是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是（ ） A、 有一个x∈R，使得x2>3成立 B、 对有些x∈R，使得x2>3成立 C、 任选一个x∈R，使得x2>3成立 D、 至少有一个x∈R，使得x2>3成立 11、 （多选）若“∃x∈M，x<0”为真命题，“∃x∈M，x≥3”为假命题，则集合M可以是（ ） A、 （-∞，1） B、[-1,3] C、[0,2） D、（-3，3） 12、已知集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},如果命题“∃m∈R，A∩B≠Ø”为假命题，则实数a的取值范围为____________。 13、命题p：∀x∈R，x2-2x-3m>0；命题q：∃x∈R，x2+4x+4m<0。 （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题q为假命题，求实数m的取值范围； （3）若命题p,q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围。 14、 已知命题p：“∃x∈R，使不等式x2-2x-m≤0成立”是假命题。 （1） 求实数m的取值集合A； （2） 若q：-4<m-a<4是p的否定的充分且不必要条件，求实数a的取值范围。 答案： C 略 略 （1） （5） A A C D 略 CD D AD D 1，2，-1（答案不唯一） A 充分不必要；必要不充分；充分不必要；充分不必要 AD 既不充分也不必要条件；充分且不必要条件；必要且不充分条件 充要条件；必要且不充分条件 略 A BD {m|m<0或m>4};{m|1≤m≤3} B A BC - 或或0 必要 A B A ABD ABD {a|a≤-3或a≥3} ①{a|a≥3};②{a|0<a≤1};③不存在 ABD 略 略 ①②③ 略 略 C {a|a≥1};{a|a<1};{a|a<1} B B CD A A 略 C C A ABD AD （-∞，3） （-∞，）；（-∞，1） （-∞，-1）；（-∞，5] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$