专题七：点与圆、直线与圆的最值问题训练——2026届高三数学一轮复习回归教材版微专题

2026届高三一轮复习回归教材版微专题——直线与圆篇 专题七 点与圆、直线与圆的最值问题 回归教材典题 回归教材不是简单的重复，而是要注意挖掘教材的典型例题习题的内在价值，开展变式教学，多维度拓展。本专题分两部分：第一部分是回归教材；第二部分是针对教材习题的变式跟踪练习，对于回归教材可以起到事半功倍的效果。 题型概览 01 人教A版2019年选择性必修一P95页练习3 02 人教A版2020年选择性必修一P98页习题2.5第12题 03 人教B版2020年选择性必修一P121页习题2-3A第1题： 04 人教B版2020年选择性必修一P121页习题2-3A第4题： 1、 人教A版2019年选择性必修一P95页练习3： 在一个平面上，机器人从与点的距离为9的地方绕点C顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变．它在行进过程中到过点与的直线的最近距离和最远距离分别是多少？ 【答案】最近距离和最远距离分别是，. 【分析】由题意可得机器人的运行轨迹为，再求出直线的方程，求出圆心到直线的距离，即可求出答案． 【详解】机器人到与点距离为9的地方绕点顺时针而行，在行进过程中保持与点的距离不变，机器人的运行轨迹为，与， 直线的方程为，即为，则圆心到直线的距离为，最近距离和最远距离分别是，． 2. 人教A版2019年选择性必修一P98页习题2.5第12题： 已知，，三点，点P在圆上运动，求的最大值和最小值． 【答案】最大值为88，最小值为72 【分析】设，利用两点间的距离公式得到，再由点P在圆上运动，化简为求解. 【详解】设，因为，，三点， 所以， 因为点P在圆上运动，则，解得，所以， 当时，取的最大值88，当时，取的最小值72. 3、人教B版2020年选择性必修一P121页习题2-3A第1题： 若是圆上的任意一点，求到原点的距离的最大值和最小值． 【答案】最大值为，最小值为. 【分析】由圆的标准方程确定圆心和半径，根据两点距离公式求圆心与原点的距离，与半径比较大小判断原点与圆的位置关系，进而求出圆上任意一点与原点的距离范围. 【详解】由题设，圆心为，半径为，所以到原点距离，所以圆上任意一点到原点的距离范围为，即.则到原点的距离的最大值、最小值分别为. 4、人教B版2020年选择性必修一P121页习题2-3A第4题： 若是圆上的任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值． 【答案】最大值为，最小值为. 【分析】由圆的标准方程确定圆心和半径，应用点线距离求圆心到定直线的距离，即知直线与圆的位置关系，进而可得圆上点到直线距离的范围. 【详解】由题设，圆心为，半径为，所以到直线的距离为， 所以圆上任意一点到直线距离范围为，即， 则到直线的距离的最大值、最小值分别为、. 基础知识梳理： 1、点与圆的最值问题基本策略： 几何法： 点在圆外：设圆O半径为r，圆心O与圆外定点D距离为d，圆上动点为E ，则DE最大值是，最小值是，此时E是DO所在直线与圆O的交点 ，可简记为 “一箭穿心” 。例如求圆外一点到圆上点的距离最值，先求圆心与点P距离，则最大值为，最小值为。点在圆内：设圆心O与圆内定点D距离为d，圆半径为r ，圆上动点为E ，DE最大值是，最小值是，E同样是DO所在直线与圆O的交点 。 代数法：设圆的方程为，圆上点坐标设为，定点，根据两点间距离公式 ，再结合圆的方程，将y用x表示（或反之）代入距离公式，转化为关于x（或y）的函数，进而求函数的最值。 2、直线与圆的最值问题基本策略 几何法：圆上点到直线距离最值：若直线l与圆O相离，圆心O到直线l距离为d，圆半径为r，则圆上点到直线距离最大值为，最小值为 。例如求圆上的点到直线的距离最值，先求圆心到直线距离 ，则最大值为，最小值为。 代数法：转化为函数值域问题：设圆的方程，直线方程，设圆上点坐标，根据点到直线距离公式 ，结合圆的方程，将y用x表示（或反之）代入距离公式，得到关于x（或y）的函数，再求函数的值域，从而得到距离最值 。 参数方程法：若圆的方程为，其参数方程为（为参数） ，将圆上点坐 标代入到所求的距离、面积等表达式中，转化为关于的三角函数，利用三角函数的性质求最值。例如求圆上的点到直线距离的最值，设圆上点坐标为 ，根据点到直线距离公式可得距离 ，再根据三角函数性质求解。 借助直线的斜率、截距等几何意义： 形如的最值问题：可转化为动直线斜率的最值问题 ，即圆上的点与定点连线的斜率最值。形如的最值问题：可转化为动直线在y轴上截距（）的最值问题，直线与圆 相切时，截距取得最值 。 七、点与圆、直线与圆的最值问题跟踪训练卷 一、单选题：共8道，每道题5分。 1．已知动圆的半径为，其圆心到点的距离为2，点为圆上的一点，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合，利用点到直线的距离公式，可求点到直线距离的最大值. 【详解】如图： 点到直线的距离为：.所以点到直线距离的最大值为：. 故选：D 2．圆C：上的动点P到直线l：的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】得直线的定点坐标以及圆心的坐标与圆的半径，由题意，当圆上的动点P到直线的距离最大时，即为圆上的动点P到直线所过定点的距离最大，求解圆心到定点距离，再利用圆上任意点到定点距离最大值的求解方法计算. 【详解】直线所过的定点坐标为，圆C：的圆心坐标为，半径为，当圆上的动点P到直线的距离最大时，即为圆上的动点P到定点的距离最大，已知圆心到定点的距离为，所以距离的最大值为.故选：B 3．在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，点在圆上，求出圆心到直线的距离，结合圆的几何性质可得出到直线的距离的最大值. 【详解】设点，则，所以，点在圆上，该圆的圆心为原点，半径为，原点到直线的距离为，因此，到直线的距离的最大值为.故选：D. 4．已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先确定的轨迹为以线段为直线的圆以及直线过的定点，再根据圆的性质特点求最值． 【详解】因为，所以点的轨迹为以线段为直线的圆，因为，所以圆心为，半径为1，又直线，其过定点，，故点到直线的距离的最大值为．故选：C． 5．在平面直角坐标系中， 记 为点 到直线 的距离， 则当 变化时， 的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】由直线方程得到其过定点，而可看成单位圆上的一点，故可将求点到直线之距转化为求圆心到直线之距，要使距离最大，需使直线，此时最大距离即圆心到点的距离再加上半径即得. 【详解】由直线 整理得，可知直线经过定点，而由知，点可看成圆上的动点，于是求点 到直线 的距离最值可通过求圆心到直线的距离得到.    如图知当直线与圆相交时， 到直线 的距离最小值为，要使点到直线距离最大，需使圆心到直线距离最大，又因直线过定点，故当且仅当时距离最大，（若直线与不垂直，则过点作直线的垂线段长必定比短）此时，故点到直线距离的最大值为，即的最大值与最小值之差为.故选：D. 6．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则点到原点距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知求出点的轨迹方程再结合两点间距离及三角换元得出最小值. 【详解】圆，设圆心，圆的半径为， 因为过点与圆相切的两条直线的夹角为，则，所以，又因为，所以，则，设点，可得，化简可得，设， 则点到原点距离， 当时，点到原点距离最小值为，故选：B. 7．已知直线与直线相交于点，，则下列结论正确的是（    ） A．过定点 B．点的轨迹方程为 C．点到点和点距离之和的最大值为 D．点到坐标原点的距离的最小值为 【答案】B 【分析】求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；求出直线所过定点的坐标，分析可知，由可求得点的轨迹方程，可判断B选项；求出，利用基本不等式可判断C选项；利用圆的几何性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点，A错； 对于B选项，直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点，因为，则，即，设点，则，，所以，，整理可得， 所以，点的轨迹方程为，B对； 对于C选项，，由勾股定理可得， 所以，，则，当且仅当时，等号成立，所以，点到点和点距离之和的最大值为，C错； 对于D选项，记圆的圆心为，该圆的半径为，因为，故原点在圆外，又因为，故，D错. 故选：B. 8．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最小值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】C 【分析】对A，转化为圆上的点到圆心的距离最值问题；对B，转化为斜率最值并求出相切时的斜率；对C，根据点到直线的距离得公式即可求出值；对D，根据点到直线的距离再对分类讨论即可. 【详解】对A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点，所以的最大值为，A选项错误. 对B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，此时，且，根据对称性知的最小值为，B选项不正确； 对C，直线，即，过定点，若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，即，解得，所以C选项正确； 对D，圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D选项错误. 故选：C 二、多选题：共3道，每道题6分。 7．已知点在圆：上，直线，则（    ） A．直线与圆相交 B．直线与圆相离 C．点到直线距离最大值为 D．点到直线距离最小值为 【答案】BC 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】圆：，即，圆心为，半径，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，又点在圆上，所以点到直线距离最大值为，点到直线距离最小值为，故正确的有B、C. 故选：BC 8．已知点在圆上，点，，则（    ） A．直线与圆相交 B．直线与圆相离 C．点到直线距离最大值为 D．点到直线距离最小值为 【答案】BC 【分析】求出直线的方程,由圆心到直线的距离与圆半径的关系判断A和B;由圆心到直线的距离加半径,求出到直线距离的最大值判断C;由圆心到直线的距离减半径,求出到直线距离的最小值判断D. 【详解】由，,可得直线的方程为.由圆,可得圆心,半径,所以圆心到直线的距离,所以直线与圆相离,故A错误,B正确;圆心到直线的距离,则圆上一点到直线的距离的最大值和最小值分别为和,即和,故C正确,D错误. 故选：BC 9．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点的轨迹为，则下列结论正确的是（    ） A．上的点到直线的最小距离为 B．若点在上，则的最小值是－2 C．若点在上，则的最小值是－2 D．圆与有公共点，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】先求出圆的方程，再根据圆与直线位置关系，圆与圆位置关系求解即可. 【详解】设，，，且， ， 化简得：，， 圆心， 所以上的点到直线的最小距离为 ，故A正确. 令，即，当与圆相切时 取最值， ，此时 或 ，的最小值是－2，故B正确. 令即 ，当与圆相切时 取最值，， 此时 或，的最小值是，故C错误. 因为圆，圆心为，半径为与有公共点，所以，即解得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：共3道，每道题5分。 11．已知直线3x＋4y＋6＝0，点Q为圆(x－2)2＋(y－2)2＝4上的动点，则Q到直线的距离的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 2 6 【分析】求出圆心到直线的距离，结合半径可得最值． 【详解】由题意圆心为，半径为，圆心到直线的距离为， 所以Q到直线的距离的最小值为，最大值为． 13．已知圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，且截轴所得的弦长为，则圆的方程为 ，则点到圆上动点的距离最大值为 . 【答案】 8 【解析】设圆的方程为，根据相切与垂径定理列出方程组，求解即可；设圆外一点P距圆心距离为d，则点P距圆上动点的距离最大值为，最小值为. 【详解】设圆的方程为，由题意可得，解得， 所以圆的方程为；设点到圆心的距离为， 则点到圆上动点的距离最大值为. 14．已知点A为圆上一点，且点A到直线的距离的最小值为1，则m的值为 ；点A到直线的距离的最大值为 ． 【答案】 ； 【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】由， 设该圆的圆心为，坐标为，半径为，因为点A到直线的距离的最小值为1， 所以圆心到直线的距离的为， 点A到直线的距离的最大值为。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届高三一轮复习回归教材版微专题——直线与圆篇 专题七 点与圆、直线与圆的最值问题 回归教材典题 回归教材不是简单的重复，而是要注意挖掘教材的典型例题习题的内在价值，开展变式教学，多维度拓展。本专题分两部分：第一部分是回归教材、知识梳理；第二部分是针对教材习题的变式跟踪练习，对于回归教材可以起到事半功倍的效果。 题型概览 01 人教A版2019年选择性必修一P95页练习3 02 人教A版2020年选择性必修一P98页习题2.5第12题 03 人教B版2020年选择性必修一P121页习题2-3A第1题： 04 人教B版2020年选择性必修一P121页习题2-3A第4题： 1、 人教A版2019年选择性必修一P95页练习3： 在一个平面上，机器人从与点的距离为9的地方绕点C顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变．它在行进过程中到过点与的直线的最近距离和最远距离分别是多少？ 2. 人教A版2019年选择性必修一P98页习题2.5第12题： 已知，，三点，点P在圆上运动，求的最大值和最小值． 3、人教B版2020年选择性必修一P121页习题2-3A第1题： 若是圆上的任意一点，求到原点的距离的最大值和最小值． 4、人教B版2020年选择性必修一P121页习题2-3A第4题： 若是圆上的任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值． 基础知识梳理： 1、点与圆的最值问题基本策略： 几何法： 点在圆外：设圆O半径为r，圆心O与圆外定点D距离为d，圆上动点为E ，则DE最大值是，最小值是，此时E是DO所在直线与圆O的交点 ，可简记为 “一箭穿心” 。例如求圆外一点到圆上点的距离最值，先求圆心与点P距离，则最大值为，最小值为。点在圆内：设圆心O与圆内定点D距离为d，圆半径为r ，圆上动点为E ，DE最大值是，最小值是，E同样是DO所在直线与圆O的交点 。 代数法：设圆的方程为，圆上点坐标设为，定点，根据两点间距离公式 ，再结合圆的方程，将y用x表示（或反之）代入距离公式，转化为关于x（或y）的函数，进而求函数的最值。 2、直线与圆的最值问题基本策略 几何法：圆上点到直线距离最值：若直线l与圆O相离，圆心O到直线l距离为d，圆半径为r，则圆上点到直线距离最大值为，最小值为 。例如求圆上的点到直线的距离最值，先求圆心到直线距离 ，则最大值为，最小值为。 代数法：转化为函数值域问题：设圆的方程，直线方程，设圆上点坐标，根据点到直线距离公式 ，结合圆的方程，将y用x表示（或反之）代入距离公式，得到关于x（或y）的函数，再求函数的值域，从而得到距离最值 。 参数方程法：若圆的方程为，其参数方程为（为参数） ，将圆上点坐 标代入到所求的距离、面积等表达式中，转化为关于的三角函数，利用三角函数的性质求最值。例如求圆上的点到直线距离的最值，设圆上点坐标为 ，根据点到直线距离公式可得距离 ，再根据三角函数性质求解。 借助直线的斜率、截距等几何意义： 形如的最值问题：可转化为动直线斜率的最值问题 ，即圆上的点与定点连线的斜率最值。形如的最值问题：可转化为动直线在y轴上截距（）的最值问题，直线与圆 相切时，截距取得最值 。 七、点与圆、直线与圆的最值问题跟踪训练卷 一、单选题：共8道，每道题5分。 1．已知动圆的半径为，其圆心到点的距离为2，点为圆上的一点，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．圆C：上的动点P到直线l：的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在平面直角坐标系中， 记 为点 到直线 的距离， 则当 变化时， 的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则点到原点距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 7．已知直线与直线相交于点，，则下列结论正确的是（    ） A．过定点 B．点的轨迹方程为 C．点到点和点距离之和的最大值为 D．点到坐标原点的距离的最小值为 8．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最小值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 二、多选题：共3道，每道题6分。 7．已知点在圆：上，直线，则（    ） A．直线与圆相交 B．直线与圆相离 C．点到直线距离最大值为 D．点到直线距离最小值为 8．已知点在圆上，点，，则（    ） A．直线与圆相交 B．直线与圆相离 C．点到直线距离最大值为 D．点到直线距离最小值为 9．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点的轨迹为，则下列结论正确的是（    ） A．上的点到直线的最小距离为 B．若点在上，则的最小值是－2 C．若点在上，则的最小值是－2 D．圆与有公共点，则的取值范围是 三、填空题：共3道，每道题5分。 11．已知直线3x＋4y＋6＝0，点Q为圆(x－2)2＋(y－2)2＝4上的动点，则Q到直线的距离的最小值为 ，最大值为 ． 13．已知圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，且截轴所得的弦长为，则圆的方程为 ，则点到圆上动点的距离最大值为 . 14．已知点A为圆上一点，且点A到直线的距离的最小值为1，则m的值为 ；点A到直线的距离的最大值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$