山东省济南市东南片区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

七年级下学期期末考试 数学试卷2025.7 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D B C B D C A B D 二、填空题 11．80°(不带单位的不扣分）； 12．3； 13．； 14．5； 15．6； 三．解答题 16．（16分） （1）原式＝a3•a4•2a﹣a8+9a8 2分 ＝2a8﹣a8+9a8 ＝10a8； 4分 （2）原式=--9+1 2分 =-8 4分 （3）原式＝； 2分 ； 4分 （4）原式= 2分 =。 4分 17．（6分）解：原式＝（4x2﹣y2+x2﹣2xy+y2+x2﹣2xy）÷2x 3分 ＝（6x2﹣4xy）÷2x ＝3x﹣2y， 4分 当x，y＝1时， 原式＝32×12。 6分 18．（6分）∠GHD， 1分 同位角相等，两直线平行， 2分 ∠FNG， 3分 GM∥FN， 4分 两直线平行，同旁内角互补， 5分 同角的补角相等。 6分 19．（6分）证明：∵∠BAD＝∠CAE， 则∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， 2分 在△BAC和△DAE中， ， 4分 ∴△BAC≌△DAE（ASA）， 5分 ∴BC＝DE。 6分 20．（9分） （1）①；5 3分（1分，2分） ②如图（1），△A1B1C1即为所求， 6分 ③如图（1），连接AB1，交直线l于点P，则点P即为所求。 7分 （2） ①如图（2），△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4均满足题意， 8分 （3） ②4。 9分 21．（6分） （1）0.6； 2分 （2）0.6，0.4； 4分（各1分） （3）因为摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是0.4， 所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球是20×0.6＝12（只）， 黑球是20×0.4＝8（只）， 答：口袋中黑球8只，白球12只。 6分 22．（7分） （1）9； 1分 （2）1； 2分 （3）3， 3分 大， 4分 12， 5分 （4）6。 7分 23.(10分) （1）8；12； 4分（各2分） （2） 第一种情况：点P在AB边上时， S＝AD•AP＝×AD•x=×8•x＝4x， 5分 令S＝12，4x＝12，x＝ 6分 第二种情况：点P在CD边上时， S＝×8×3（x-10）=12（x-10）=12x-120， 7分 令S＝12，x＝11 8分 （3）;（写成带分数或小数形式，只要数据正确同等得分） 12分（各2分） 24．(12分) （1） 2分 （2）作BD⊥AC交AC于点D，连接AP， 3分（作图或者叙述均可） ∵S△ABC＝S△ABP+S△APC＝AB•PF+AC•PE 4分 S△ABC＝AC•BD ∴AB•PF+AC•PE＝AC•BD 5分 ∵AB=AC ∴PE+PF=BD 6分 （3） ①3 8分 ②PF-PE=3 10分 ③PA=PB+PC 12分 25．(12分) （1）DE＝AD+BE　； 2分 （2）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 3分 ∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠DAB，∠B＝∠ADE， ∴∠EDC＝∠DAB， 4分 ∵DA＝DE， ∴△DAB≌△EDC（AAS）， 5分 ∴AB＝CD＝b，BD＝CE， ∴CE＝BD＝BC﹣CD＝BC﹣AB＝a﹣b； 6分 （3）BE＝2AD； 7分 ①第一种方法： 如图，在AC上取一点M，使得DM＝AE，连接FM， ∵∠A＝45°，∠EDF＝45°， ∴∠A＝∠EDF， ∴AE﹣BE＝AC﹣DM， 即BE＝AD+CM， ∵∠EDM＝∠EDF+∠FDM＝∠EAD+∠AED， ∴∠FDM＝∠DEA， ∵DE＝DF， ∴△AED≌△MDF（SAS）， 8分 ∴AD＝FM，∠DMF＝∠A＝45°， ∵∠FCD＝22.5°，∠FMD＝∠FCD+∠MFC， ∴∠MFC＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠FCD， ∴FM＝CM＝AD， 9分 ∵BE＝AD+CM， ∴BE＝2AD； 10分 第二种方法： 在AC上取一点M，使得∠FMD=45° ∵∠A＝45°，∠EDF＝45° ∴∠A＝∠FMD=∠EDF， ∵∠EDM＝∠EDF+∠FDM＝∠EAD+∠AED， ∴∠FDM＝∠DEA， ∵DE＝DF， ∴△AED≌△MDF（AAS）， 8分 ∴AD＝FM，AE＝DM ∵∠FCD＝22.5°，∠FMD＝∠FCD+∠MFC， ∴∠MFC＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠FCD， ∴CM＝FM＝AD， 9分 ∵AB＝AC， ∴BE＝AD+CM， ∴BE＝2AD； 10分 ②2﹣ 12分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 一、选择题（本大题共10个题，每题4分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．2的算术平方根是（　　） A．2 B．±2 C． D． 2．下列关于天气的图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．太阳能是储量巨大的可再生能源，其开发与利用备受关注。某实验室研发的高效太阳能电池的超薄纳米涂层，其厚度仅为0.000000068米。其中数据0.000000068用科学记数法表示为（　　） A．6.8×108 B．6.8×10-8 C．6.8×10-7 D．68×10-8 4．下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．（a+2）2＝a2+2a+4 C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．a12÷a6＝a2 5．如图，在△ABC中，以A为圆心，AC为半径作弧交BC于点D，再分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连结MN交AB于点E，已知△ADE的周长为13， AC＝5，则AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 6．已知a，b，c是△ABC的三条边，则下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．a：b：c＝2：2：3 B．∠A＝∠B＝2∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．（a+c）2+（a﹣c）2＝2b2第7题图 A B C E D 7．如图，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD的度数等于（　　） A．16° B．28° C．44° D．45° 8．如图是一个H型连通器模型，甲、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面积是乙水箱底面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处（体积忽略不计），现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止．下列图象能大致反映甲水箱的水面高度y与注水时间x之间关系的图象是（　　）第8题图 A． B． C． D． 9．如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE，BD相交于点E，EF⊥AB于F，若AB＝14，AC＝12，S△BDC＝20，则EF的长为（　　）第9题图 A．1 B．2 C．3 D．4 10．某班同学都报名参加了学校举办的数学节闯关活动，该活动共有A，B，C，D，E五个项目，每位同学选择其中的两项（不考虑顺序），以下是该班的报名表： 项目类型 A B C D E 报名人数 15 10 13 10 12 若选择BD组合的刚好有10人，则选择AC组合的人数是（ ）人 A．15 B．12 C．10 D．8第11题图 二、填空题（本大题共5个题，每题4分，共20分。） 11．如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°， 则∠DCE的度数为_________。 12．四边形ABCD的边长如图所示，线段AC的长度随四边形 形状的改变而变化。当△ABC为等腰三角形时，第12题图 线段AC的长为_________。 13．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同。小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的。小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是 　。 A B C D E 第15题图 第13题图 第14题图 14． 如图，已知长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落 在C′处，BC′交AD于E， AD＝8，AB＝4，则DE的长为　 　。 15．如图，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝2，点D是射线BA上的动点，以CD为边在CD左侧作等边三角形CDE，连接AE，则CE+AE的最小值是__________。 三、解答题（本大题共10个题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 16．（16分）计算： （1）a3•a4•2a﹣（a2）4+（﹣3a4）2 （2） （3） （4）（2a﹣5）（5+2a） 17．（6分）先化简，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）+（x﹣y）2+x（x﹣2y）]÷2x，其中x，y＝1。 18．（6分）请阅读下面的推理过程，并填空（填写理由或数学式）。 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷。如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一条直线上，且，。第18题图 请说明： 证明：如图2，延长交于点P ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知） ∴ （等量代换） ∴（ ） ∴ （两直线平行，同旁内角互补） 又∵ （已知） ∴（ ） ∴（ ） 19．（6分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，E是△ABC外一点，AC＝AE，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE。求证：BC＝DE。第19题图 20．（9分）（1）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上。 ①AC的长度为 　 　 ；△ABC的面积=　 　； ②在图（1）中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1； ③若点P为直线l上的一点，在图（1）中标出PA+PB的值最小时点P的位置。（仅用无刻度的直尺在网格中完成画图） （2）如图（2），在3×3的正方形网格中，点A，B在格点上。 ①请在网格中找出一个格点C（一个即可），使△ABC成为轴对称图形，画出△ABC； ②符合条件的格点C有　 　个。 21．（6分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复。下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　；（精确到0.1） （2）摸一次，摸到白球的概率是　 　，摸到黑球的概率是　 　；（精确到0.1） （3）估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ 22．（7分）阅读与思考：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以帮助我们求代数式的最大值或最小值。例如：求a2+4a+5的最小值。 解：a2+4a+5＝a2+4a+22﹣22+5＝（a+2）2+1，∵（a+2）2≥0，∴（a+2）2+1≥1， 所以当（a+2）2＝0时，即当a＝﹣2时，a2+4a+5有最小值，最小值为1。 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：x2+6x+　 　； （2）2m2﹣4m+3 的最小值等于 ； （3）当x＝　 　时，多项式﹣x2+6x+3有最　 　值，是　 　； 【知识迁移】 （4）代数式4a2+b2+4ab﹣8a﹣4b+10的最小值为　 　。 23．（10分）如图1，长方形ABCD中，AB=6，动点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动到点D停止，已知点P在AB边上的速度为每秒1个单位长度，在BC边上的速度为每秒2个单位长度，在CD边上的速度为每秒3个单位长度。设运动时间为x 秒，△APD的面积为S，S与x的关系图象如图2所示。 （1）AD＝　 　，a＝　 　； （2）当S＝12时，求x的值； （3）如图3，连接AC，当点P在线段AC的垂直平分线上时，x＝　 　； 当点P在∠BAC的角平分线上时，x＝　 　。 24 图1 图2 图3 a 第23题图 24．（12分） 本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置（如顶点、中点、对称点等）、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题。 【问题】 如图1，已知等边三角形ABC中，AB=6，点P为边BC 上一点，过P作PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F。求PE +PF的值。 【特殊化】 （1）因为点P在边BC上，考虑点P与顶点B重合这一特殊情形，此时PF=0，PE恰为AC边上的高，借助勾股定理等知识可以求得此时PE的长，由此可得到特殊情形的结论： PE +PF的值等于 。 【一般化证明】 （2）在上述条件下，请在图1中添加高线BD，求证：PE +PF=BD。 【迁移应用】 （3）已知等边三角形ABC，AB=6。 ①如图2，点P为△ABC 内任意一点，过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F。 则PD +PE +PF的值为 ； ②如图3，若点P在线段BC的延长线上，过点P分别向AC，AB作垂线，垂足为E，F，则用等式表示线段PE，PF的数量关系为 ； ③如图4，若点P是等边三角形ABC外一点，且∠BPC=120°，连接AP，则用等式表示线段PB，PC，PA的数量关系为 。 图3 第24题图 图4 C P A B 图1 F E C B D F E P A 图2 25．（12分）类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动。请尝试用类比思维解决以下问题： （1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线l经过点C但不与边AB相交，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E。 小明同学分析图形关系，发现了∠ACD=∠CBE，以及三角形全等，在此基础上，请进一步探索并直接写出AD，BE，DE之间的数量关系：　 　； （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE＝∠B，且 DA＝DE。若BC＝a，AB＝b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）； （3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，点D，E分别是边AC，AB上的动点，以DE为腰向右作等腰△DEF，使得∠EDF＝45°，且DE＝DF，连接CF，∠FCA＝22.5°； ①探索BE与AD的数量关系并说明理由； ②在点D，E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若AB＝2，当点E，F，C共线时，直接写出线段DE的长。 第25题图 七年级数学试题 第4页 （共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级数学试题 第 1 页 （共 8 页） 2024—2025 学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 一、选择题（本大题共 10 个题，每题 4 分，共 40 分。在每题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。） 1．2 的算术平方根是（ ） A．2 B．±2 C．√2 D．±√2 2．下列关于天气的图标是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．太阳能是储量巨大的可再生能源，其开发与利用备受关注。某实验室研发的高效太阳能电 池的超薄纳米涂层，其厚度仅为 0.000000068 米。其中数据 0.000000068 用科学记数法表示 为（ ） A．6.8×108 B．6.8×10-8 C．6.8×10-7 D．68×10-8 4．下列计算正确的是（ ） A．a2+a3＝a5 B．（a+2）2＝a2+2a+4 C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．a12÷a6＝a2 5．如图，在△ABC 中，以 A 为圆心，AC 为半径作弧交 BC 于点 D， 再分别以 B，D 为圆心，大于 1 2 BD 的长为半径作弧，两弧分别交 于 M，N，连结 MN 交 AB 于点 E，已知△ADE 的周长为 13，AC ＝5，则 AB 的长为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．已知 a，b，c 是△ABC 的三条边，则下列条件能判定△ABC 为直角三角形的是（ ） A．a：b：c＝2：2：3 B．∠A＝∠B＝2∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．（a+c）2+（a﹣c）2＝2b2 7．如图，AB∥DE，△ABC 是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD 的度数等 于（ ） A．16° B．28° C．44° D．45° 第 7 题图 A B C E D 七年级数学试题 第 2 页 （共 8 页） 8．如图是一个 H 型连通器模型，甲、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱 的底面积是乙水箱底面积的 2 倍，连接管在两个水箱的中间处（体积忽略 不计），现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出 为止．下列图象能大致反映甲水箱的水面高度 y 与注水时间 x 之间关系的 图象是（ ） A． B． C． D． 9．如图，AE 是∠BAC 的平分线，BD 是中线，AE，BD 相交于点 E，EF⊥AB 于 F，若 AB＝14，AC＝12，S△BDC＝20，则 EF 的 长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．某班同学都报名参加了学校举办的数学节闯关活动，该活动共 有 A，B，C，D，E 五个项目，每位同学选择其中的两项（不考 虑顺序），以下是该班的报名表： 项目类型 A B C D E 报名人数 15 10 13 10 12 若选择 BD 组合的刚好有 10 人，则选择 AC 组合的人数是（ ）人 A．15 B．12 C．10 D．8 二、填空题（本大题共 5个题，每题 4分，共 20分。） 11．如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°， 则∠DCE 的度数为_________。 12．四边形 ABCD 的边长如图所示，线段 AC 的长度随四边形 形状的改变而变化。当△ABC 为等腰三角形时， 线段 AC 的长为_________。 第 11 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 12 题图 七年级数学试题 第 3 页 （共 8 页） 13．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同。小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖 游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的。小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在 阴影区域的概率是 。 14．如图，已知长方形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落 在 C′处，BC′交 AD 于 E， AD＝8，AB＝4，则 DE 的长为 。 15．如图，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝2，点 D 是射线 BA 上的动点，以 CD 为边在 CD 左侧 作等边三角形 CDE，连接 AE，则 CE+AE 的最小值是__________。 三、解答题（本大题共 10 个题，共 90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 16．（16 分）计算： （1）a3•a4•2a﹣（a2）4+（﹣3a4）2 （2）| − 3√3| − √12 − ( 1 3 )−2 + (3 − π)0 （3）√48 ÷ √3 − √ 1 2 × √18 + √24 （4）（2a﹣5）（5+2a） 17．（6 分）先化简，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）+（x﹣y）2+x（x﹣2y）]÷2x，其中 x= 1 2 ，y＝1。 第 13 题图 第 14 题图 A B C D E 第 15 题图 七年级数学试题 第 4 页 （共 8 页） 18．（6 分）请阅读下面的推理过程，并填空（填写理由或数学式）。 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷。如图 1 是一个“互”字，如图 2 是由 图 1 抽象出的几何图形，其中 AB CD∥ ，点 E，M，F 在同一直线上，点 G，N，H 在同一 条直线上，且 AEF GHD  ，MG FN∥ 。 请说明： EFN G  证明：如图 2，延长EF 交CD于点 P ∵ AB CD∥ （已知） ∴ AEF EPD  （两直线平行，内错角相 等） 又∵ AEF GHD  （已知） ∴ EPD  （等量代换） ∴EP GH∥ （ ） ∴ EFN 180 （两直线平行，同旁内角互补） 又∵ （已知） ∴ 180FNG G   （ ） ∴ GEFN  （ ） 19．（6 分）如图，在△ABC 中，D 是 BC 上一点，E 是△ABC 外一点，AC＝AE，∠C＝∠E， ∠BAD＝∠CAE。求证：BC＝DE。 第 18 题图 第 19 题图 七年级数学试题 第 5 页 （共 8 页） 20．（9 分）（1）在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，△ABC 的三个顶点均在格点上。 ①AC 的长度为 ；△ABC 的面积= ； ②在图（1）中作出△ABC 关于直线 l 对称的△A1B1C1； ③若点 P 为直线 l 上的一点，在图（1）中标出 PA+PB 的值最小时点 P 的位置。（仅用无刻 度的直尺在网格中完成画图） （2）如图（2），在 3×3 的正方形网格中，点 A，B 在格点上。 ①请在网格中找出一个格点 C（一个即可），使△ABC 成为轴对称图形，画出△ABC； ②符合条件的格点 C 有 个。 21．（6 分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共 20 只，某学习 小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复。 下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 𝑚 𝑛 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到 0.1） （2）摸一次，摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ；（精确到 0.1） （3）估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ 七年级数学试题 第 6 页 （共 8 页） 22．（7 分）阅读与思考：我们把多项式 a2+2ab+b2及 a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多 项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方 式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法。配方法是一种重要的解 决问题的数学方法，可以帮助我们求代数式的最大值或最小值。例如：求 a2+4a+5 的最小 值。 解：a2+4a+5＝a2+4a+22﹣22+5＝（a+2）2+1，∵（a+2）2≥0，∴（a+2）2+1≥1， 所以当（a+2）2＝0 时，即当 a＝﹣2 时，a2+4a+5 有最小值，最小值为 1。 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：x2+6x+ ； （2）2m2﹣4m+3 的最小值等于 ； （3）当 x＝ 时，多项式﹣x2+6x+3 有最 值，是 ； 【知识迁移】 （4）代数式 4a2+b2+4ab﹣8a﹣4b+10 的最小值为 。 23．（10 分）如图 1，长方形 ABCD 中，AB=6，动点 P 从点 A 出发，沿路线 A→B→C→D 运 动到点 D 停止，已知点 P 在 AB 边上的速度为每秒 1 个单位长度，在 BC 边上的速度为每 秒 2 个单位长度，在 CD 边上的速度为每秒 3 个单位长度。设运动时间为 x 秒，△APD 的 面积为 S，S 与 x 的关系图象如图 2 所示。 （1）AD＝ ，a＝ ； （2）当 S＝12 时，求 x 的值； （3）如图 3，连接 AC，当点 P 在线段 AC 的垂直平分线上时，x＝ ； 当点 P 在∠BAC 的角平分线上时，x＝ 。 24 图 1 图 2 图 3 a 第 23 题图 七年级数学试题 第 7 页 （共 8 页） 24．（12 分） 本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情 形，通过取特殊点、特殊位置（如顶点、中点、对称点等）、特殊数据等简化问题，借助特 殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题。 【问题】 如图 1，已知等边三角形 ABC 中，AB=6，点 P 为边 BC 上一点，过 P 作 PE⊥AC 于点 E， PF⊥AB 于点 F。求 PE +PF 的值。 【特殊化】 （1）因为点 P 在边 BC 上，考虑点 P 与顶点 B 重合这一特殊情形，此时 PF=0，PE 恰为 AC 边上的高，借助勾股定理等知识可以求得此时 PE 的长，由此可得到特殊情形的结论： PE +PF 的值等于 。 【一般化证明】 （2）在上述条件下，请在图 1 中添加高线 BD，求证：PE +PF=BD。 【迁移应用】 （3）已知等边三角形 ABC，AB=6。 ①如图 2，点 P 为△ABC 内任意一点，过 P 向三边作垂线，垂足分别为 D，E，F。 则 PD +PE +PF 的值为 ； ②如图 3，若点 P 在线段 BC 的延长线上，过点 P 分别向 AC，AB 作垂线，垂足为 E， F，则用等式表示线段 PE，PF 的数量关系为 ； ③如图 4，若点 P 是等边三角形 ABC 外一点，且∠BPC=120°，连接 AP，则用等式表示 线段 PB，PC，PA 的数量关系为 。 图 3 第 24 题 图 4 C P A B 图 1 F E C B D F E P A 图 2 七年级数学试题 第 8 页 （共 8 页） 25．（12 分）类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从一事物的某些已知 特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动。请尝试用类比思维解决以下问题： （1）如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线 l 经过点 C 但不与 边 AB 相交，过点 A 作 AD⊥l 于点 D，过点 B 作 BE⊥l 于点 E。 小明同学分析图形关系，发现了∠ACD=∠CBE，以及三角形全等，在此基础上，请进 一步探索并直接写出 AD，BE，DE 之间的数量关 系： ； （2）如图 2，在△ABC 中，AB＝AC，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，∠ADE＝∠B，且 DA＝DE。若 BC＝a，AB＝b，求 CE 的长度（用含 a，b 的代数式表示）； （3）如图 3，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝45°，点 D，E 分别是边 AC，AB 上的动点，以 DE 为腰向右作等腰△DEF，使得∠EDF＝45°，且 DE＝DF，连接 CF，∠FCA＝22.5°； ①探索 BE 与 AD 的数量关系并说明理由； ②在点 D，E 运动过程中，点 F 位置也随之发生改变，若 AB＝2，当点 E，F，C 共线时， 直接写出线段 DE 的长。 第 25 题图