6.2黄金分割学案2025-2026学年苏科版九年级数学下册

九年级数学学案 课题：6.2黄金分割 学习目标： 1.了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义并能识别； 2.会找一条线段的黄金分割点，会证明黄金矩形； 学习重点：了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义。 学习难点：找一条线段的黄金分割点，证明黄金矩形。 学习过程：一、复习引入： 1.在比例尺为1：38000的交通地图上，某条道路长为7cm，实际长度约为 km. 2.丹阳市规划图上城区南北长240cm，实际长18km，则规划图采用的比例尺是 . 3.在相同时刻，物高与影长成比例，如果高为1.5m的测杆的影长为2.5m，那么影长为30m的旗杆的高是 m. 4.已知线段a =1，c =5，那么线段a、c的比例中项为 . 二、活动探究1： 1.如图，点B把线段AC分成两部分，且，设AC ＝1，求AB长. 归纳小结： 1.点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割（golden section），点B叫做线段AC的黄金分割点。AB与AC（或BC与AB）的比叫做黄金比，AB∶AC=∶1≈0．618 （一条线段的黄金分割点有两个，它们关于线段中点成中心对称） 2.若矩形的宽与长的比值约为0．618，这种矩形称为黄金矩形； 3.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，即底边＝腰. ( A B C D ) ( A C B D ) 探究2：（生活中的黄金分割） 1.为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要掂起脚尖? 为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋?为什么她们会给人感到和谐、平衡、舒适，美的感觉？ 2.上海东方明珠电视塔设计巧妙,整个塔体挺拔秀丽，是啥原因呢？ 二、例题学习： 例1.若线段AB＝4 cm，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长为多少？（自己画图） 例2：如图的五角星中,AD＝BC,且C、D两点都是AB的黄金分割点,AB＝1,求CD的长. 例3：科学研究表明，当人的下肢与身高比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为多少cm（精确到0.1cm） 三、自主小结： . 四、当堂检测： 1.已知，C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，那么AC是线段 与线段 的比例中项，如果AB＝12cm，那么AC＝ cm,BC＝ cm. 2.如图的五角星中,与的关系是（ ） A. 相等 B.> C.< D. 不能确定 3.如图,若点C是AB的黄金分割点,AB=1,则AC ＝ ；BC ＝ . 4.长度为a的线段AB上有一点C，并且满足AC2=AB•BC，则AC的长为（ ） A．a B．a C．a D．a 5.如图，点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC,分别以AC,AB为边作正方形AEFC和正方形AGHB，延长CF交GH于D点，记正方形AEFC的面积为S1，长方形CDHB的面积为S2，则（ ） A.S1＞S2 B. S1＜S2 C. S1＝S2 D. S1与S2大小关系无法比较 五、适度作业： 姓名： A.基础知识必做题： 1.如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么说法错误的是（ ） A.线段AB被点C黄金分割 B.点C叫做线段AB的黄金分割点 C.AB与AC的比叫做黄金比 D.AC与AB的比叫做黄金比 2.如图,点C是AB的黄金分割点,那么与的值分别是（ ） A., B., C., D., 3.如图,在等腰三角形ABC中,∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线,BD、CE相交于点O,则图中的黄金三角形有（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 4.如图,点C是AB的黄金分割点,AB=4,则AC2=________.（结果保留根号） 5.我们知道古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）的正面是一个黄金矩形。若已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________.（结果保留根号） 6.如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少多少米处是比较得体的位置？（结果精确到0.1m） B.知识技能演练题： 7.△ABC中，D是BC上一点，若，则称AD为△ABC的黄金分割线． （1）求证：若AD为△ABC的黄金分割线，则D是BC的黄金分割点； （2）若S△ABC=20，求△ACD的面积．（结果保留根号） 8.如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB。若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB,宽为PB的矩形的面积，试比较S1与S2的大小，并说明理由。 9.以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如右图 （1）求AM、DM的长. （2）求证：AM 2=AD·DM. （3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？ C.能力拓展探究题： 10.给定一条线段AB，如何找到它的黄金分割点C呢？（请按题目要求操作并证明） （1）作BD⊥AB，且使BD ＝AB； （2）连接AD，以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E； （3）以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C．则点C就是线段AB的黄金分割点． 点C为什么是线段AB的黄金分割点？请予以证明. 学科网（北京）股份有限公司 $$