四川省广安市2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题

广安市2025年春季高二期末考试 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5. 考试结束后，只将答题卡交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ​​1.​​ 已知等差数列{an​}中，a4​+a8=20，则a6​等于（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. -2 ​​2.​​ 对两个变量x和y进行回归分析，得到一组样本数据 (x1​,y1​),(x2​,y2​),…,(xn​,yn​)，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果？ A. 相关系数r  B. 平均数 C. 方差 D. 决定系数R2 ​​3.​​ 如图，直线l和圆P，当l从l0开始在平面上按逆时针方向绕点O匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，其中S为纵坐标，t为横坐标，这个函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 4.​​ 若(3x−1)5=a0​+a1​x+a2​x2+a3​x3+a4​x4+a5​x5，则a1​+a2​+a3​+a4​+a5​=（ ） A. 32 B. 33 C. -1 D. 1 ​​ 5.​​ 已知两个变量x和y之间具有较强的线性相关关系，且y关于x的经验回归方程为y=x​+0.16，由它计算出成对数据样本(2,1.4)对应的残差为0.1（残差=观测值-预测值），则（ ） A. 0.62 B. 0.56  C. 0.57  D. 0.48 ​​6.​​ 正方形ABCD边长为2a，依次取各边中点构造新正方形，所有正方形面积之和趋近于（ ） A. 8a2  B. 4a2   C. 2a2  D. a2 ​​7.​​ 一笔画是指从图形的某一点出发，在图形绘制过程中，笔不能离开纸面，也不能重复经过任何一条线段（弧段），下列图形中不能一笔画完成的图形是（ ） A.  B. C.    D.  8.​​ 已知函数f(x)=x3−3x，过点(−2,a)可向曲线y=f(x)引3条切线，则实数a的取值范围为（ ） A. (−2,6)  B. (−6,2)  C. (−3,5)  D. (−5,3) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.​​ 下列结论正确的是（ ） A. 若，则n的值为5 B. 若随机变量η服从正态分布N(5,σ2)，且P(η<2)=0.1，则P(2<η<8)=0.8 C. 若随机变量Y的方差D(Y)=2，则D(3Y+2)=8 D. 从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机出取两球，取到白球的个数记为X，则E(X)=​ ​​ 10.​​ 设函数f(x)=(x+1)2(2−x)，则（ ） A. x=1是f(x)的极大值点 B. 曲线y= f(x)有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为(0,−2) C. 当0<x<1时，f(x)>f(x2) D. 当−2<x<0时，−4<f(x+1)<0 ​​ 11.​​ 已知数列{an​}的前n项和为Sn​（Sn​≠0），Tn为数列{Sn​}的前n项积，满足2Sn​+Tn​=Sn​⋅Tn，给出下列四个结论，正确的是（ ） A. a1​=3 B. {Tn​}为等比数列 C. Sn​=​ D. 数列最大项为 三、填空题：本题共3小题，每小题 5 分，共15分。 12.​​ (2+x)(1−x)7的展开式中x2的系数为______。 ​​13.​​ 某市场上供应的气球当中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂生产的气球合格率为90%，乙厂生产的气球合格率为80%，现从该市场上随便购买一个气球，则它是合格产品的概率为______。 ​​14.​​ 对任意x>1,a>1，不等式ex−(a2+1)x+lnx+2lna≥0恒成立，则实数a的最大值为______。 四、解答题：本大题共6小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分） 在某次足球联赛活动中，需将甲、乙、丙、丁、戊 5 名志愿者派往三个足球场参加志愿服务。 （1）本次活动结束后需站成一排照相纪念，如果要求甲乙相邻，丙丁不相邻，那么有多少种不同的排法？ （2）本次活动结束后需站成一排照相纪念，如果甲只能在乙的左边（不一定相邻），那么有多少种不同的排法？ （3）参加志愿服务时，每名志愿者只能派往一个足球场，每个足球场至少分配 1 名志愿者，但甲不能和乙安排在同一个足球场，则有多少种不同的分配方案？ 16. （15分） 已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx，a∈R： (1) 若在点(1,f(1))处的切线与直线x−y+1=0垂直，求实数a的值； (2) 当a=​时，求函数y=f(x)在区间[1​,e]上的最大值和最小值。 17.​​ （15分） 已知数列{an​}是首项为2的正项等比数列，又a1​，a2​+4，a3​构成等差数列： (1) 求数列{an​}的通项公式； (2) 若数列{bn​}满足a1​b1​+a2​b2​+⋯+an​bn​=2(n−2)⋅3n+4，令Cn=，求数列{Cn}的前n项和Tn。 18. （17分） 预防接种是预防控制传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众健康的重要措施。为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物（数量较大）进行试验，从该试验群体中随机抽查了 100 只，得到如下的样本数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 未接种疫苗 38 12 50 接种疫苗 14 36 50 合计​​ 52 48 100 （1）能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？ （2）从该地区此动物群中任取一只，记A表示此动物发病，表示此动物没发病，B表示此动物接种疫苗，定义事A的优势R1​=，在事件B发生的条件下A的优势R2​=​，利用抽样的样本数据，求​​的估计值； （3）若把上表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中接种疫苗的只数为X，求随机变量X的分布列、数学期望。 附：χ2= ​，其中n=a+b+c+d P(χ2≥x0​) 0.050 0.010 0.001 x0​ 3.841 6.635 10.828 19. （17分） 已知函数f(x)=xex−1−a。 （1）若a∈R，讨论f(x)的零点的个数； （2）若a为正整数n，记此时f(x)的唯一零点为xn​，证明： （i）数列{xn​}是递增数列； （ii）​＜++…+≤ (n+1+lnn). 学科网（北京）股份有限公司 $$广安市2025年春季高二期末考试 数学参考答案 一、 选择题 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D B C A D A BD AC ACD 二、填空题 12、35 13、0.87 14、e 三、解答题 15解：(1)第一步：甲乙排列有A种；第二步：甲乙作为整体与戊排列有￡种：第三步：甲乙整体与戊 排列后形成3个空，从3个空里选择2个空插入丙丁有4种，最后总共有AA4=24种. -4分 (2)先计算5人全排列有种，由于甲在乙左边与甲在乙右边的排列情况数目相同，所以甲只能在乙左 边的排法有雪=60种， 8分 (3)第一类：5人分为1,1,3三组，共有C=10种分组方法，甲乙在同一个足球场的情况有3种，所 以甲乙不在同一个足球场的有10-3=7种，再分配到三个足球场有7种. 第二类：5人分为1,2,2三组，共有CCC=15种分组方法，甲乙在同-个足球场的情况有3种， 所以甲乙不在同一个足球场的有15-3=12种，再分配到三个足球场有12A种 所以总共有74+12A=194=114种分配方案. 13分 16,解：()因为f6)=ax2-(a+2x+nx,所以f)）=2ar-(a+2)+ -2分 即f)=a-1, -3分 因为函数在点(L,fI)处的切线与直线x-y+1=0垂直，所以(a-1)×1=-1, 5分 即a=0 6分 回当a=时)=方-多+hx,则/闭=x多25+2_2-%-2 2 x 2x 2x -8分 令代闲=0据得2 9分 因为x∈[1，]所以当x∈[l,2]时f'(x)<0,即f(x)在[1,2]上单调递减， 当x∈[2，e时f'(x)>0,即f(x)在[2，e]上单调递增， 11分 由单调性得最小值是f(2)=ln2-3 -13分 f0=2fo-e-e+1.fo-f0=-e+3-e-se+0-e-2e-<0 所以函数的最大值是f(①)=一2 15分 高二数学答案第1页共4页 17.解：(1)设等比数列{an}的公比为g(g>0). 因为a1,a2+4,a3构成等差数列 所以2(a2+4)=41+a3,---- ---2分 即g2-2g-3=0,解得9=3或9=-1（不符合题意舍去）， --4分 所以a。=2×3"-1；-- ---6分 (2)=ab+ab+abs++aba. 当n=1时，a,b=2,---- --8分 当n22时，ab=S-S-=2(n-2)3”+4-[2-33"-+4]=2×3-(21-3) ----11分 显然n=1时也满足上式， 因为an=2×3",所以bn=2n-3,-- --12分 ca动mo可乱。) -13分 所以 Tn=C+C+C3+…+Cn= -1号5片+g}高 -15分 18.解：(1)零假设H。:接种该疫苗与预防该疾病无关。 -1分 则x_100×38×36-14×12y、23.077>10.828, --------4分 52×48×50×50 所以依据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断H。不成立， 即在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关；-------5分 (2)由于1-PA18=1-PB=PBmP4B-PaB=PaB. P(B) P(B) P(B) P(AB)P(AIB) P(A)P(A) 所以见A4回可·R-0网 P(AB) P(AB)P(A) P(AB) &=PABA=P(AIB)P(④-PB P(A) P(BA) R P(A) P(B)P(A)P(AB)P(A) P(AB)P(B|A①) P(A) P(B) P(A) 由列联表中的数据可得P81A)= 26 PB1=18 4 --9分 7 所以台=PB10-26_14 RP(B1A)1839 --11分 24 高二数学答案第2页共4页 (3)由题可知，抽取的48只没发病的动物中接种疫苗和没接种疫苗的动物分别为36人和12人， 所以从没发病的动物中随机抽取1只，抽取的是接种了疫苗的概率为 363 36+1241 则由题意可知X=0,1,2,3,且X~B3, --12分 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 1 9 27 27 64 64 64 64 -16分 所以EX)=3×2-9 --17分 44 19.解：(1)令f(x)=xe1-a=0,可得a=e,设g(x)=xe 因为g'(x)=(x+1)e4 -1分 所以当xe(-0,-l)时，g'(x)=(x+1)e<0,则g(x)=xe在xe(-o,-l)单调递减： 当x∈(-l,+o)时，g'(x)=(x+1)e>0.则g(x)=xe在xe(-l,+)单调递增： -3分 即g(=8-)=e2 -4分 又因为x∈(-o,0),g(x)=xe<0,g(0)=0, 所以当a<一是时f)e-a无零点 当a=-是或a20时.f儿)=心4-a仅有-个零点： 当是<a<0时。=-有两个军点 6分 (2)(1)由(1)知，当a≥0时，f(x)=xe-a仅有-个零点： 由f(x)=xe-n的唯一零点为xn,则xe1=n, -8分 两边取自然对数得：x,-1+lnxn=lnn, 即-l+l血x=h(+l).两式相减得：x4-x,+lnx-lnx,=n(n+)-nn=n”+>0 n 可得x1+nxa1>xn+nxm 设y=x+nx,则y=1+,因为x>0,所以y=1+>0, 即y=x+nx是在(0，+o)上单调递增， 所以有x1>xn,即数列{x}是递增数列 -11分 高二数学答案第3页共4页 (ii)先证明：x>0时，x-1≥lnx, 构造()=x-1-hx,求导得h(因)=1-1-一 xx 当x∈(0，)时，(x)=-<0,则h(x)=x-1-lnx在x∈(O,)单调递减： 当x∈山，+切)时，()=二>0，则h(x)=x-1-hx在x∈（山，+o)单调递增： 即h(x)=h()=0,所以h(x)=x-1-lhr≥0，即x-1≥lnx, 又因为x,-1+lnxn=lnn,结合上面不等式有x。-1+lnx,≥2nx。, 所以nm之2血x,分xsm台x,5万，又因为n<历+n中 2 所议有之m-同. +安25-小245-+2-2m-刊 即 x x2 再由x-1≥nx可得：-l≥n点=lnx,-nn,当且仅当x,=n时取等号 再由x.-l+lnx。=lnn,得lnxn-lnn=l-x, 结合上式可得-h=1-1-去整理得：2→丈引 ,当且仅当n=1时取等 若c-身…号最片 再由x-1≥nx,得：-1≥n台1-snx⊙1-n<n”÷<n”n≥2). n-1 n-1 2 当且仅当n=1时等号成立. -17分 高二数学答案第4页共4页