海南省海口市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

海口市20242025学年第二学期 高一年级期末考试数学试题参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 5 6 > 8 答案 C A B B A D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AB BCD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 5 13.6 14.16π， 2(4v3-√39) 5 3 8.解：A.令x=y=0得f(0)+f(0)=4f(0),所以f0)=0 令x=0得f(-y)=fy),所以f(x)是偶函数，故选项A错误： B.因为-子，03，所以在@2)上不是单调递减函数，故选项B错误： C.令x=y=1得f(2)+f(0)=4f0,所以f(2)=12, 令x=2,y=1得f3)+f⑩=2f(2)+2f⑩，所以f(3)=27,所以f0)≠f(3), 所以f(x)的周期不为3，故选项C错误： D.因为f(x)为偶函数，所以f(-3)=f(3)=27,故选项D正确. 14.(1)取AC中点O,则OA=OB=OC=OD,所以O为外接球的球心，所以外接球的半 径为R=9-2,由球的表面积公式S=4标=16r --2分 (2)当三棱锥D-ABC的体积最大时，平面ADC垂直于平面ABC,用等体积的方法求该 三棱锥内切球的半径r,即，过D作DE⊥AC于E,则DE⊥面ABC,在Rt△ACD中可解 DE=√5，AE=1,CE=3,在△AEB中，由余弦定理解得BE=√万，在Rt△DEB中用勾股定 理得DB=而.因为5am=SD-=n=25,代入公式 -c=S+Sm+Sm+Scr可得内切球半径为24W5-3河 -3分 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)由bsinC=V3 ccosB结合正弦定理可得sin Bsin C=√3 cos Bsin C -1分 因为B,C∈(0，π)，则sinC>0- -2分 所以sinB=√3cosB>0- 3分 则有tanB=√3 5分 故枚B= 3 6分 2)由Sc2 acsin B=)acx9=VB得ae=4 --8分 2 因a=c+2,所以a-c=2- -9分 由余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B得b2=(a-c?+2ac-2 accos B -10分 所以62=4+2×4-2×4×)8，解得b=2N5 -11分 所以Sc=bBD=5x25×BD=5 --12分 、2 ..BD= -13分 2 16.(15分) (1)证明：连接BD交AC于O,且连接OE,则O为AC的中点. -1分 因为E是PD的中点，所以OE为△PBD的中位线，所以OEPB, -3分 又因为PBa面ACE,OEC面ACE,所以PB∥面ACE --6分 (2)因为PA=PC,O为AC的中点，所以PO⊥AC,-- -7分 又因为PB=PD,所以PO⊥BD, 8分 因为AC,BDC面ABCD,AC∩BD=O,所以PO⊥面ABCD,- -10分 菱形ABCD中，∠ABC=60,AB=2,所以AC=2，,所以0C=1,-11分 因为E为PD的中点，所以点E到面ABCD的距离为 Po-Pci-oc .-12分 2 又5o-40n-m∠4c-22x56 -13分 2 22 所以三棱锥E-ACD的体积为 -15分 17.(15分) 解：(1)因为(0.005+0.02+a+0.03+0.01)×10=1，,所以a=0.035----2分 (2)40名选手成绩的平均数为55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77-4分 因为前4组的频率和为0.05+0.2+0.35+0.3-0.9<0.95， 前5组的频率和为1>0.95， 所以第95百分位数位于[90,100]内，设其为x, -6分 则0.9+0.01×(x-90)=0.95,解得x=95, 即第95百分位数为95分. -8分 (3)设第二组、第五组选手成绩的平均数、方差分别为x=65,x=95,s2=30,s=40, 且从第二组选取的人数为20×0.2=4，从第五组选取的人数为20×0.1=2，--10分 则第二组和第五组所有选手的成绩平均数为w=4x65+2x95=75,一12分 4+2 第二组和第五组所有选手成绩的方差为 2-喜+G-1+2+G-1-号0+65-751+50+05-751= 所以第二组和第五组所有选手成绩的方差为00 -15分 18.(17分) 1Dfy)=sino+eosr号-56n2r+cos2在」 -2分 22 2 2 sin(2x+ --3分 若y为单调递减通数，有2新+号≤2x+名≤2x+兰ke2刃一4分 2 6 解得k元+严Sx≤k元+2匹k∈Z) 6 所以(=sn2x+的减区间为 ++] (k∈Z) 5分 2)因为e后引所以2x+ -6分 令+a=0得/=-a,由图可知-e号，所以ue←l- ----10分 2 （3)由g<1得1<+1=f)+恒成立 -12分 f(x) f(x) 3 令)=m,得1<m+,由(2)可知2x+名爱时，陬最小值为分：2x+名时。 1 66 62 f(x)取最大值为1.所以m∈[ -14分 因为m+上之2m工-2，当且仅当m=上，即m=1时等号成立 1 1 -16分 mm 今 所以t<2,即t∈(-o,2). 17分 19.(17分) 解：(I)由题意可知tanhx= sinh x e'-e* coshx e+e 故y=tanhx的定义域为R -1分 又tanhx=e-e e'ter=-1+ 2e 'ter=-1+ 2 te-x -2分 y=e>0且在R上单调递减 从而可知y=tanhx在R上单调递增， -3分 因为=e产e0+0,所以202，即-1 2 1+eae(-1,), 所以y=tanhx的值域为(-l,l).- 5分 (2)因为cosh2r=+e2.+e+2 -6分 2 2 2xe)1=2cosh'1 -7分 2 所以y=osh2r--cohx=-2cosi'x-1-coah=24 (cohx--7°-号 8分 又因为cosh=+e之ee=l 2 当且仅当e=e,即x=0时，等号成立 所以当coshx=1时，ym=0. 10分 (3)g(x)=cosh(sinx2)-sinh(cosx) htdmd 2 2 =2er+er-em…+ew) -12分 因为x∈L,2],所以x2∈4]- --13分 当re 2x]时，sinx2≥cosx2,则em≥em,故g(x)>0-15分 4 53 当e4利ca号时，cos<0,则-cosr>os,则e>0,故g6>0 综上，xe[l,2],cosh(sinx2)>sinh(cosx2) -17分高一数学期末试题 第 页 共 4页1 机密 启用前 海口市 2024～2025学年第二学期 高一年级期末考试（数学） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．若集合 2{ | 3}A x x  ， { | 0 2}B x x   ，则 A B  A．{ | 0 3}x x  B．{ | 3 3}x x   C．{ | 3 2}x x   D．{ | 3 2}x x  2．已知 , , , Ra b c d  ，“ a b 且 c d ”是“ a c b d   ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知向量 (1 2) ，a ， (4 )t ，b ，若 a b，则 t  A．1 B． 2 C． 2 D． 8 4．已知函数 2 2 log 1 0 ( ) 1 0 2 x x f x x x x      ≤ ， ， ，则 ( ( 2))f f   A．1 B． 2 C． 3 D． 4 5．已知角 终边过点 ( 2 1)P  ， ，则 sin( ) 4    A． 10 10 B． 3 10 10 C． 10 10  D． 3 10 10  6．已知四边形 ABCD为矩形， 3AB  ， 2BC  ， E是 AD的中点，则 AC BE    A． 7 B． 3 C．3 D． 7 7．若点 A是两条相交直线 a，b外的任意一点，则过点 A有且只有一条直线与直线 a，b都 A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 高一数学期末试题 第 页 共 4页2 8．已知定义在实数集 R 上的函数 ( )f x 满足： ,x y R， ( ) ( )f x y f x y   2 ( ) 2 ( )f x f y  ，且 (1) 3f  .下列结论正确的是 A． ( )f x 是奇函数 B． ( )f x 在区间 (0,2)上单调递减 C． ( )f x 的周期为 3 D． ( 3) 27f   二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．在一次对甲、乙两个工厂生产的相同数量的零件质量(单位:克)统计中，得到如下表： 工厂 平均质量 中位数 众数 方差 甲厂 63 63 61 21s 乙厂 63 62 61 22s 其中 2 21 2s s ，根据统计数据，下列结论中正确的是 A．甲厂生产的零件质量稳定性优于乙厂 B．甲厂生产零件质量的极差可能小于乙厂 C．甲、乙两厂生产的零件中 61克出现的次数相同 D．甲厂生产的零件中质量大于 63克的数量多于乙厂 10．已知函数 ( ) sin( )( 0, 0,0 )f x A x A          的部分图象如图所示，则下列说法 正确的是 A. 1 B. 3   C. 函数 )(xf 的图象关于点 ( ,0) 6   中心对称 D. 将函数 )(xf 的图象向右平移 6  个单位长度得到的函数 )(xg 为奇函数 11．已知函数 3( ) ln 3 xf x x    ，则下列说法正确的是 A．函数 ( )f x 的定义域为 ( 3,3) B．函数 ( )f x 是奇函数 C．函数 ( )f x 是增函数 D．若 ( ) (2 1) 0f a f a   ，则 1 2 3 a  高一数学期末试题 第 页 共 4页3 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．已知复数 2 iz   ，则 1| | z  ． 13．某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，发现剩余质量 ( )M t (单位:克)随时间 t (单位:天)的变化规律满足 40( ) 2 t M t M    ，其中 0M 为初始质量．若初始质量 0M 满 足 6log 02 M ，则 12t 时, ))( (log 0 2 tM M 的值为 ． 14．已知四边形 ABCD为矩形， 2 3AB  ， 2BC  ，将△ ACD沿 AC折起，连接 BD，得 到三棱锥 D ABC ，则三棱锥 D ABC 外接球的表面积为 ；当三棱锥 D ABC 的体积最大时，其内切球的半径为 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在△ ABC中， , ,a b c分别为角 , ,A B C的对边，且 sin 3 cosb C c B ． （1）求角 B； （2）若△ ABC的面积为 3， 2a c  ，求边 AC上的高 BD的长． 16．（15分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为菱形，E是 PD的中点， 2PA PC AB   ， PB PD ， 60ABC  ． （1）求证： //PB 平面 ACE； （2）求三棱锥 E ACD 的体积． 17．（15分） 2025年海口市某中学举办校园诗词大赛，评委对参赛选手的表现进行打分．现随机抽 取了 40名选手的成绩，并分成五组：第一组 [50,60)，第二组 [60,70) ，第三组 [70,80) ，第 四组 [80,90)，第五组 [90,100]，绘制成如图所示频率分布直方图． 高一数学期末试题 第 页 共 4页4 （1）求 a的值； （2）估计这 40名选手成绩的平均数和第 95百 分位数（同组中数据用该组区间中点值作代表）； （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选 取 20人．若第二组选手成绩的平均数和方差分别为 65和 30，第五组选手成绩的平均数和方差分别为 95 和 40，请据此估计第二组和第五组所有选手成绩的 方差． （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为： 2 21 1 2 2, , , ,m x s n x s； ，记两组 数据总体样本平均数为w，总体样本方差为 2s ，则总体样本平均数 1 2 m nw x x m n m n     ，总 体样本方差    2 22 2 21 1 2 2m ns s x w s x wm n m n                 ．） 18．（17分） 已知函数   2 13sin cos cos 2 f x x x x   ． （1）求函数  y f x 的单调递减区间； （2）当 π π, 12 3 x     时，函数 ( )y f x a  有两个不同零点，求 a的取值范围； （3）设函数 2 ( )( ) ( ) 1 tf xg x f x   ，若对任意的 π π, 12 3 x     ，都有 ( ) 1g x  ，求 t的取值范围． 19.（17分） 双曲函数是工程数学中一类重要的函数，也是一类最重要的初等函数，在数学与物理等 众多领域有着丰富的实际应用．其中双曲正弦函数解析式为 sinh 2 x xe ex   ，双曲余弦函数 解析式为 cosh 2 x xe ex   ，双曲正切函数 sinhtanh cosh xx x  ． （1）判断函数 ( ) tanhf x x 的单调性并说明（无需严格证明），并求其值域； （2）求函数 ( ) cosh 2 coshg x x x  的最小值； （3） [1,2]x  ，比较 2cosh(sin )x 与 2sinh(cos )x 的大小．