宁夏银川市景博中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

2024-2025学年第二学期高一年级期末考试数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选项 A D D B A D D B BD BCD AC 2、 填空题 12. 5 13. 11 14. 三、解答题 15.【详解】（1）①应填，②应填； （2）区间的频率为0.20，故频率/组距为， 故补全频率分布直方图，如下： 这500名志愿者中年龄在岁的人数为； （3）、、的人数比例为， 从中抽取了2人，故从、中分别抽取了7人和6人， 故. 16.【详解】（1）因为，所以． （2）因为，由正弦定理得，所以， 因为的面积为，又， 即，所以，则. 17.【详解】（1）因为，，所以，. 又，，所以. 所以. 所以. 因为，即， 所以为直角三角形，且. 又平面，平面，所以. 平面，，所以平面. （2）因为平面，平面， 所以，. 所以即为二面角的平面角. 在中，，，，所以， 所以. 即二面角的正弦值为. 18．【详解】（1）∵PC⊥底面ABCD，平面， ∴PC⊥AD， 又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面， ∴AD⊥平面PCD， ∵平面PAD， ∴平面PCD⊥平面PAD； （2）如图建立空间直角坐标系，   则 ， 所以， 设平面PAD的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点B到平面PAD的距离为：. 19.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接．     为棱的中点，． ， 四边形是平行四边形，． 又平面平面平面． （2）． 平面平面，平面平面平面， 平面． 又平面． 又两两垂直． 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，   则． 为棱的中点，． ①，设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以为平面的一个法向量， 假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是． 设，则． 由①知平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离是，解得． 在中，． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页 共 4页 第 2页 共 4页 银川市景博中学 2024-2025 学年第二学期高一期末考试 数学 第 I卷（选择题) 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知 i为虚数单位，复数 2 i 1 i z    ，则 z z （ ） A．5 B．3 C． 5 D．2 2．已知向量 (2,1) ( 2, 4)a b     ， ，则 a b   （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．总体由编号为 01，02，…，30的 30个个体组成.利用所给的随机数表选取 6个个体，选取的方法是从随机数 表第 1行的第 3列开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第 5个个体的编号为（ ） （第一行）1712 1340 3320 3826 1389 5103 7417 7637 （第二行）1304 0774 2119 3056 6218 3735 9683 5087 A．20 B．26 C．17 D．03 4．某校对全校 300名学生的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率 分布直方图，则这些同学的数学成绩大于等于 60分的人数为（ ） A．270 B．240 C．180 D．150 5．在∆ABC中， 2BC  ， 1 3AC   ， AB 6 ，则 A（ ） A． 45 B．60 C．120 D．135 6．如图 1，在直角梯形 ABCD中, //BC AD , AB AD , 12BC  , 13AD  , 2 3AB  ,E为线段 BC上的一点, 9BE  ,过 E 作 AB的平行线交 AD于 F,将矩形 ABEF翻折至与梯形 ECDF垂直得到六面体 ABCDFE,如图 2,则六面体 ABCDFE 的体积为（ ） A． 33 3 2 B． 27 3 C．30 3 7．在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，P为 1 1B D 的中点，则直线 PB与 AD1所成的角为（ ） A． π 2 B． π 3 C． π 4 D． π 6 8．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 32 3  ，两个圆锥的高之比为1: 3，则这 两个圆锥的体积之和为（ ） A．3 B． 4 C．9 D．12 二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对 的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分. 9．在正三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，D为 BC中点，则（ ） A． 1AD AC B．BC 平面 1AAD C． 1 1/ /AD A B D． 1 / /CC 平面 1AAD 10．设α，β，γ表示三个不同的平面，m，n表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（ ） A．若  ，   ，则 / /  B．若  ， / /  ，则   C．若m  ， n  ， //m n，则 / /  D．若m  ， n  ，m n ，则  11．在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， AB AC ， 2AB AC  ， 1 2 2AA  ，D为 1 1BC 的中点，则（ ） A． 1 1AD BC B． 1B C 平面 1ABD C． 1 //AC 平面 1ABD D．直线 1AC 与 1BC所成角为 π 3 第Ⅱ卷（非选择题) 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12． 3 4i   . 13．设向量 a，b  的夹角的余弦值为 1 3 ，且 1a   ， 3b   ，则  2a b b      ． 14．如图，在∆ABC中，点 D在 BC边上，BD的垂直平分线过点 A，且满足 2CD AB ， 2 5cos 5 CAD  ，则 ADC 的大小为 ． 第 3页 共 4页 第 4页 共 4页 四、解答题：本大题共 5小题，共 77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题 13分） 为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的 500名志愿者中随机抽取 100名 志愿者，他们的年龄情况如下表所示： 分组（单位：岁） 频数 频率 [20, 25) 5 0.05 [25,30) ① 0.20 [30,35) 35 ② [35, 40) 30 0.30 [40, 45) 10 0.10 总计 100 1.00 (Ⅰ)频率分布表中的①②位置应填什么数据？ (Ⅱ)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这 500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数； (Ⅲ)现用比例分配的分层随机抽样从[30,35)、[35, 40)、[40, 45)的样本中共抽取 n名志愿者，已知从[40, 45)中抽 取了 2人，求 n的值． 16．（本小题 15分） 在 ∆ABC中， 2 2 2 4 2 3 b c a bc   ． (Ⅰ)求 cos A的值； (Ⅱ)若3 sin 2 sinc A a B ，且 ABCV 的面积 2 2S  ，求 c的值． 17．（本小题 15分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是直角梯形， AD BC∥ ， AB BC ， 1AB BC  ， 2AD  ，PA 平 面 ABCD， 2PA  . (Ⅰ)求证：CD 平面 PAC； (Ⅱ)求二面角 P CD A  的正弦值. 18．（本小题 17分） 如图，四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 2的正方形，侧棱 PC⊥底面 ABCD，且 PC=3. (Ⅰ)证明：平面 PCD⊥平面 PAD； (Ⅱ)求点 B到平面 PAD的距离. 19．（本小题 17分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PDC 平面 ABCD，AD DC ，AB DC ， 1 12AB CD AD   ，M为棱 PC 的中点． (Ⅰ)证明： / /BM 平面 PAD； (Ⅱ)若 5, 1PC PD  ，在棱 PA上是否存在点Q，使得点Q到平面 BDM 的距离 是 5 6 18 ？若存在，求出 PQ的长；若不存在，说明理由．