福建省福州市福九联盟（高中）2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷

2024—2025学年度第二学期福九联盟（高中）期末联考学校： 高二年 班 号 姓名： 准考证号： 高中二年数学科试卷 命题学校：平潭一中 考试时间：7月 9 日 完卷时间：120分钟 满 分：150分 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共8题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合，则 （ ） A . B. C. D. 2、下列各组函数中，表示同一个函数的是 （       ） A．与 B．与 C．与 D．与 3、等差数列的前项和为，且，则为 （     ） A．45 B．81 C．90 D．162 4、下列说法正确的是 （     ） A．函数的最小值是2 B．函数的最小值为4 C．“且”是“”的充分不必要条件 D．命题“”的否定是“” 5、若实数a使得“，”为真命题，实数a使得“，”为真命题，则p是q的 （     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6、有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地随机选取2件，若X表示取得次品的件数，则 （    ） A． B． C． D．1 7、若，则 （    ） A．1 B． C．129 D． 8、已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则函数的图象 （ ） A. 关于直线对称 B.关于直线对称 C. 关于点成中心对称 D.关于点成中心对称 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9、下列说法中正确的是（    ） A．若甲乙两组数据的相关系数分别为0.75和-0.92，则甲的数据线性相关性更强 B．随机变量的方差越小，随机变量的取值越集中 C．若随机变量X,Y满足Y=2X+3，若D(X)=3,则D(Y)=15 D．随机变量服从二项分布，若方差，则 10、已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A．当时， B．，都有 C．函数有两个零点 D．函数在区间（-1，0）上单调递减 11、一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（    ） A．事件，为对立事件 B． C．事件B，C为独立事件 D． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12、用0，1，2，3这4个数字，可组成 个没有重复数字的三位数（用数字作答） 13、已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位：年）与维护费用（单位：千元）之间可以用模型去拟合，收集了4组数据，设与的数据如表格所示： 2 4 6 8 1 3 4 5 利用最小二乘法得到与的线性回归方程，则 14、已知定义域为的偶函数满足，且当时，，若将方程实数解的个数记为，则 四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（13分）设函数 (1)试判断函数的奇偶性并加以证明； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 16、(15分 )已知数列中，，，且数列为等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 17．（15分）春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节．某校高二年级某组团统计了流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据： 因发烧请假 非发烧请假 合计 流感暴发前 15 40 流感暴发后 15 合计 100 (1)完成列联表，并依据的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响． (2)后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为，且的因发烧请假的男生需要输液治疗，的因发烧请假的女生需要输液治疗．已知学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行慰问，求这名同学是女生的概率． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 18、(17分)已知函数 ， (1)求函数的单调区间； (2)求函数在[1,2]上的最大值； (3)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 19、（17分）现有甲乙两个盒子，甲盒中装有除颜色外其他都一样的1个红球和2个黑球，乙盒中装有除颜色外其他都一样的2个红球和1个黑球。现从这两个盒子中各任取一个球，交换之后放入另一个盒子中去，称为1次球的交换的操作，如此重复次这样的操作后乙盒子中红球的个数记为 （1）求； （2）求的概率分布列并求出; （3）证明： 高二数学第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期福九联盟（高中）期末联考 高中二年数学科试卷评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C B C B C 一、单选题：每小题5分，共40分 2、 多选题：每小题6分，共18分 题号 9 10 11 答案 BD AD ABD 三、填空题：每小题5分，共15分 12、 18 13、 0.65 14、 四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（1）易知函数是奇函数 ------1分 的定义域为R ------2分 又 是定义在R在的奇函数 -----4分 （2） ------6分 易知,，则恒成立 所以在R为增函数 ------7分 （备注：，易知增函数+增函数是增函数，或用定义法证明单调性） 因为函数为上的奇函数，且为增函数， -----8分 ，即对任意的恒成立 -----9分 ①当时，则有，对任意的恒成立，符合题意； -----10分 ②当时，则有，解得 -----12分 综上所述，实数的取值范围为. -----13分 16、 （1）数列为等差数列，设该数列的公差为，依题意则有 ----2分 已知，解得 ---------4分 数列是以3为首项，公差为1的等差数列， ，即 ---------7分 （备注：公式正确，整理结果错误扣1分） （2）由（1）可得 ---------9分 ---------10分 ---------12分 ---------14分 -------15分 17、 （1）零假设流感暴发对请假的同学中发烧的人数无关 ---------1分 完成列联表如下 因发烧请假 非发烧请假 合计 流感暴发前 15 25 40 流感暴发后 45 15 60 合计 60 40 100 --------3分 由列联表可得： ---------6分 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立；即认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响，此推断犯错误的概率不大于0.001 --------7分 （2）设事件A表示“请假的学生是女生”,表示“请假的学生是男生”；事件B表示“需要输液治疗”， -------8分 依题意得 ，，， ------10分 -------12分 ---------14分 答：这名同学是女生的概率为 ---------15分 18、(1) 函数，易知函数的定义域为R, -------2分 当变化时，的变化情况如下表所示 + 0 - 增 极大值 减 故函数的增区间为；减区间为 -------4分 （2）①当时，即时，函数在区间[1，2]上单调递增， -------6分 ②当时，即时，函数在区间上单调递增函数在区间 上单调递减，则 -------8分 ③当时，即时，函数在区间[1，2]上单调递减， ------10分 综上所述： （本步骤没写不扣分） （3）（解法一）当时，若恒成立，即在恒成立--（*） ①当时，，符合题意 -------11分 ②当时，因为有意义，则 当时，，符合题意 -------12分 当时， 令，则 则在区间上单调递减，在区间单调递增, 依题意要使（*）成立只需，解得 -------15分 ③当时，因为有意义，则， 令，则，即与（*）式恒成立矛盾，舍去 -------16分 由①②③可得，满足条件的实数的取值范围是 -------17分 （3）（（解法二）当时，若恒成立，即在恒成立--（*） ①当时，，符合题意 -------11分 ②当时，因为有意义，则 当时，，符合题意 -------12分 当时，依题意只需证明－－－（*） ---13分 令，则 -------14分 由（*）可知， -------15 分 ③当时，因为有意义，则， 令，则，即与（*）式恒成立矛盾，舍去 -------16分 由①②③可得，满足条件的实数的取值范围是 -------17分 （3） （（解法三） 当时，若恒成立，即在恒成立 -------11分 ①当时，，符合题意 -------12分 ②当时，则 当时，，符合题意 当时，依题意只需证明－－－（*） ------13分 令，则 -------14分 -------15 分 ③当时，则， 令，则，即与恒成立矛盾，舍去 -------16分 由①②③可得，满足条件的实数的取值范围是 -------17分 19、(1)依题意可知的所有可能取值为1，2，3 -------1分 事件“”即经过1次交换后乙盒子中只有一个红球；则需从甲盒子中取出1个黑球放入乙盒中，且从乙盒子中取出1个红球放入甲盒中，则 -------3分 (2)依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3 -------4分 -------5分 -------6分 -------7分 -------8分 所以的分布列如下表： 0 1 2 3 P 所以 -------10分 (3) 依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3 ------11分 ---------12分 ---------13分 ---------14分 - -----15分 --------------17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期福九联盟（高中）期末联考 高中二年数学科试卷评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C B C B C 一、单选题：每小题5分，共40分 2、 多选题：每小题6分，共18分 题号 9 10 11 答案 BD AD ABD 三、填空题：每小题5分，共15分 12、 18 13、 0.65 14、 四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（1）易知函数是奇函数 ------1分 的定义域为R ------2分 又 是定义在R在的奇函数 -----4分 （2） ------6分 易知,，则恒成立 所以在R为增函数 ------7分 （备注：，易知增函数+增函数是增函数，或用定义法证明单调性） 因为函数为上的奇函数，且为增函数， -----8分 ，即对任意的恒成立 -----9分 ①当时，则有，对任意的恒成立，符合题意； -----10分 ②当时，则有，解得 -----12分 综上所述，实数的取值范围为. -----13分 16、 （1）数列为等差数列，设该数列的公差为，依题意则有 ----2分 已知，解得 ---------4分 数列是以3为首项，公差为1的等差数列， ，即 ---------7分 （备注：公式正确，整理结果错误扣1分） （2）由（1）可得 ---------9分 ---------10分 ---------12分 ---------14分 -------15分 17、 （1）零假设流感暴发对请假的同学中发烧的人数无关 ---------1分 完成列联表如下 因发烧请假 非发烧请假 合计 流感暴发前 15 25 40 流感暴发后 45 15 60 合计 60 40 100 --------3分 由列联表可得： ---------6分 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立；即认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响，此推断犯错误的概率不大于0.001 --------7分 （2）设事件A表示“请假的学生是女生”,表示“请假的学生是男生”；事件B表示“需要输液治疗”， -------8分 依题意得 ，，， ------10分 -------12分 ---------14分 答：这名同学是女生的概率为 ---------15分 18、(1) 函数，易知函数的定义域为R, -------2分 当变化时，的变化情况如下表所示 + 0 - 增 极大值 减 故函数的增区间为；减区间为 -------4分 （2）①当时，即时，函数在区间[1，2]上单调递增， -------6分 ②当时，即时，函数在区间上单调递增函数在区间 上单调递减，则 -------8分 ③当时，即时，函数在区间[1，2]上单调递减， ------10分 综上所述： （本步骤没写不扣分） （3）（解法一）当时，若恒成立，即在恒成立--（*） ①当时，，符合题意 -------11分 ②当时，因为有意义，则 当时，，符合题意 -------12分 当时， 令，则 则在区间上单调递减，在区间单调递增, 依题意要使（*）成立只需，解得 -------15分 ③当时，因为有意义，则， 令，则，即与（*）式恒成立矛盾，舍去 -------16分 由①②③可得，满足条件的实数的取值范围是 -------17分 （3）（（解法二）当时，若恒成立，即在恒成立--（*） ①当时，，符合题意 -------11分 ②当时，因为有意义，则 当时，，符合题意 -------12分 当时，依题意只需证明－－－（*） ---13分 令，则 -------14分 由（*）可知， -------15 分 ③当时，因为有意义，则， 令，则，即与（*）式恒成立矛盾，舍去 -------16分 由①②③可得，满足条件的实数的取值范围是 -------17分 （3） （（解法三） 当时，若恒成立，即在恒成立 -------11分 ①当时，，符合题意 -------12分 ②当时，则 当时，，符合题意 当时，依题意只需证明－－－（*） ------13分 令，则 -------14分 -------15 分 ③当时，则， 令，则，即与恒成立矛盾，舍去 -------16分 由①②③可得，满足条件的实数的取值范围是 -------17分 19、(1)依题意可知的所有可能取值为1，2，3 -------1分 事件“”即经过1次交换后乙盒子中只有一个红球；则需从甲盒子中取出1个黑球放入乙盒中，且从乙盒子中取出1个红球放入甲盒中，则 -------3分 (2)依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3 -------4分 -------5分 -------6分 -------7分 -------8分 所以的分布列如下表： 0 1 2 3 P 所以 -------10分 (3) 依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3 ------11分 ---------12分 ---------13分 ---------14分 - -----15分 --------------17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$