河北省石家庄市二中教育集团2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

石家庄二中教育集团2024-2025学年度高一年级下学期 期末考试数学试卷 (时间：120分钟分值：150分命题人：甄健华苑凯杆) 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每题5分） 1.己知向量ā=(（k,5),话=（么-1），若i1(a-),则x=() A.3 B.4 C.5 D.6 之复数 (其中是虚数单位)，则z的共轭复数z=（) 人 c n 3.“幸福感指数指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区 间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取7位小区居 民，.他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,9,5,4，则这组数据的第60百分位数是() A.7 B.7.5 C.8 D.9 4.已知正四棱台的上、下底面面积分别为4和16，侧棱长为√6，则该正四棱台的体积 为() B. 286 C.56 D.286 3 5.有一种质地均匀的新型“敬子，其六面中有两面点数为1，三面点数为2，一面点数 为3，现连续掷两次该骰子，则这两次掷出点数之和为奇数的概率为() A司 B.月 c. 6.如图，平行四边形ABCD中，AB=3,AD=4,R4D=120°，AB=a, AD=B,H,M分别是AD,DC的中点，F是BC上一点，且 aF4c则m丽。（) A.-3 B.-2 c ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效同识 7.已知直四棱柱ABCD-ARGD的底面ABCD为矩形，4=2√万，且该棱柱外接球O的 表面积为20π，E为线段AB上一点.则当该四棱柱的体积取最大值时，D,E+CE的最小 值为() A.6B.√5+7 C.2W5+2,D.20 8.已知△ABC的内角么B,C的对边分别为a,bc,且csA=乙.M为△ABC内部的一点， 且a⑦+bMB+cMC=i,若M=xB+yAC,则x+y的最大值为() B.月 c.g D. 二、多选题（每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的 得部分分，有选错的得0分) 9.设么，B为两个随机事件，若户(=之P(B)-子，则下列结论中正确的是( A若AEB,则P(MUB)=2 3 B.若P(A∩B)=三，则A,B相互独立 8 C.若A与B相互独立，则P4UB)= D.若A与B相互独立，则Pdn)=。 10.已知△ABC三个内角B,C的对应边分别为a,b,c:且∠C=号，c=2,则下 列结论正确的有() A.△ABC面积的最大值为V及，B:bcosA+acos B=√2 C.△ABC周长的最大值为6 2的取值范围为 11.如图，在正方体ABCD-A8GD中，AB=2,E是棱CC(不包 含端点)上的动点，F在正方形ADDA内，CF∥平面AD,E,则下列 结论正确的是() A.平面AD,E截正方体ABCD-AAGD所得的截面一定是等腰梯形 2 。夸克扫描王 ▣特▣ 极速扫描，就是高效 B.存在点五使得异面直线A5与G夹角的余孩值为 8 C若B是CC的中点、则点F的轨迹长度是√2 D.三棱锥D-AD,5外接球表面积的最小值是华 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分) 12已知向量a,6的夹角为答，-l,-5,则p+-一· 13.设复数z满足+2+中-2=4，则z-1-的取值范围是」 I4.在三棱锥A一BCD中，AB⊥平面BCD,BC⊥CD,AB=BC=1,BD=√互，三棱锥 A一BCD的所有项点均在球O的表面上，若点从、N分别为△BCD与△ABD的重心，_直 线MN与球O的表面相交于F、G两点，则FG外：MN= 四、解答题（本题共5小题，共T7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知△ABC中，A,B,C所对的边为a,b,c,向量m=(a+c,a-b), =(sin B,sin A-sinC),m//n. ()求C的大小： (2)若D为AB中点，CD=2,且△ABC面积为5，求边C 16.(15分)今年是国家安全法颁布十周年，4月15日迎来了第十 频率 个全民国家安全教育日.某大学团委组织开展了2025年全民国家 个组距 0.040 安全教育知识竞答活动，旨在践行总体国家安全观，增强全民国家 安全意识和素养。该活动共有200名学生参加，现将所有答案卷面 成绩统计分成五段，分别为[50,60)，[60,70).[70,80).[80,90).[90,100] 0.010外 0.005 0060708090100成绩/分 并作出如图所示的频率分布直方图。 (1)求频率分布直方图中x的值： (②)根据颍率分布直方图，求这200名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该 3 ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效可盘 区间的中点值作代表)： (3)已知学生成绩落在[70,80)的平均数是77，方差是5：落在[80,90)的平均数是84，方 差是5.求这两组数据的总方差。 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m,不，：，，记两组数据 总体的样本平均数为，则总体样本方差？产+6-可门[+6-可门 I7.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD,ADIIBC, AD=AP=2AB=2BC=2,PA⊥平面ABCD,E为棱PD上的动点。 (I)当E为棱PD的中点时，证明：ECI/平面PAB: (2)若PE=2ED,求平面EAC与平面P4B夹角的余弦值. 18.(17分)在△MBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2 bcos B=CA=3B」 (1)求角B: ②设D为边BC上-减，记AMBD,△MCD的面积分别为码，若D=3,且S-及=5 ①求sin/BAD;②求a的值， 19.(17分)如图，在四棱柱ABCD-AAGD中，四边形ABCD为菱形， A4=AG=AB=2,∠BAD=60°，∠AAB=∠A4D,E是侧棱CC上的一点. (1)证明：4⊥BD (②)求点E到平面AABB的距离， D _)诺直线B与平面48B所成角的正弦值为 14 ,求CE 的长度 ▣影▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 石家庄二中教育集团2024-2025学年度高一年级下学期 期末考试数学答案 1.C2.C3.A 4.A5.B6.D7.D8.A9.BD10.AC11.ACD 12.1 13.[1,io 14.25 15.【详解】(1)解：由向量m=(a+c,a-b),n=(sinB,sinA-sinC), 因为m//i,可得(a+c)(sinA-sinC)=(a-b)sinB, 2分 又由正弦定理得(a+c)(a-c)=(a-b)b,整理得a2+b2-c2=ab, 由余弦定理，可得sC.+-片又因为CeQ动小所以C-背5分 2ab 2 (2)解：因为Sc=V5,可得，absinC=5, 即b5=5,所以ab=4. …7分 又因为c而=C+C),可得c而=4C+c.CB+cB) 9分 即4=(c2+b2+2 abcosC）=(a2+b+ab),可得a2+6=16-ab=2, 11分 所以c2=a2+b2-2 abcosC=a2+b2-ab=12-4=8,所以c=2√2 13分 16.【详解】(1)根据频率分布直方图，有10x+0.01×10+0.04×10+20x+0.005×10=1,解 得x=0.015: 3分 (2)学生成绩落在[50,60)的频率为10×0.015=0.15，学生成绩落在[60,70)的频率为 10×0.010=0.10,学生成绩落在[70,80)的频率为10×0.040=0.40，学生成绩落在[80,90)的 频率为10×2×0.015=0.30，学生成绩落在[90,100]的频率为10×0.005=0.05，由 0.15+0.1=0.25<0.5,0.15+0.1+0.4=0.65>0.5,可得中位数为 70+10×0.50-025=76.25. 6分 0.40 学生成绩的平均数为0.15×55+0.10×65+0.40×75+0.30×85+0.05×95=75：9分 ▣▣ 夸克扫描王 极速扫描，就是高效 这两组数据的平均数为 0.40 77+ 0.30 ×84=80, 12分 0.40+0.30 0.40+0.30 这两组数据的总方差为 0.40 +(m-0]+o000 0.30 [5+(84-80)]=17. 15分 0.30+0.40 17.【详解】(1)取PA的中点F,连接EF,BF,因为E为PD的中点， 所以EFIAD,EF=)AD, .2分 因为AD//BC,AD=2BC,所以EF //BC,EF=BC,所以四边形EFBC为 平行四边形， …4分 所以EC//BF,又BFC平面PAB,ECC平面PAB,所以ECII平面PAB.6分 (2)因为AB⊥AD,PA⊥平面ABCD,即AB,AD,AP两两垂直，故可以A为原点， AB,AD,AP所在直线分别为x,y,2轴建立如图所示的空间直角坐标系. …7分 则4aao0.P@a2,.Da20.cL0,因为PE=2D,所以E号引 所以c-1o.而=@20.正-号引 9分 i·AC=x+y=0 设平面EAC的法向量为万=(x,y,),则 42 取y=1,得 .AE 3 2=0 3 x=-1,:=-2,所以i=(-1,l,-2). 11分 因为AB⊥AD,AP⊥AD,AB∩AP=A,AB,APC平面PAB,所以AD⊥平面PAB. 所以AD=(0,2,0)为平面PAB的一个法向量. …12分 AD 设平面EAC与平面PAB的夹角为B,则cos0=cos元，AD- 2V6 .…14分 AD 266 所以平面E1C与平面PAB夹角的余弦值为 .15分 6 18.(1)由2 bcos B=c和正弦定理，可得2 sin Bcos B=sinC,即sin2B=sinC(),2分 又A=3B且A+B+C=π，则C+4B=π，故由sin2B=sinC()可得C=2B,4分 2 ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣年6 联立解得B= 6 5分 2)0由①易得4-受B-名C=号，则有a=2b,c=0 6分 因Sc=S,+S2,AD=3,则 eesin Dsin CADesin D D. 即得 be=csin BAD+bcos BAD. …8分 代入c=V6,可得5 Ssin BAD+Cos BAD=V0O. 9分 3 由S-S-esin AD-0D点， 点，可得5mBHD-cs BAD=点@川分 名 将①②两式相乘，得3snB4D-cas∠B4D=号又sn∠BAD+cos2∠B1D=1, 联立解得sim2BAD=3 …13分 因∠BAD为锐角，则im∠BAD=5 …14分 迪上可得cos∠BAD二6，代入式子0，V5 sin BAD+cos BAD=1+V6飞 33 所以b=√5+√互，故a=2b=25+25 …17分 19.【详解】(1)连接AB,AD,AC,设AC,BD,的交点为O,连接AO: 因为AB=AD,∠AAB=∠A4D,所以△AAB与△A4D全等，所以AD=AB,2分 因为底面为菱形，所以BD,上AC,且O为BD的中点，所以AO⊥B,D, .3分 因为AO∩AG=Q,AO,ACc平面AOA,所以BD⊥平面AOA, 4分 又AAC平面AOA,所以AA⊥BD 5分 (3)因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°， 所以A0=√5，B,O=1 6分 因为A4=AC=2,且O为AC的中点，所以AO⊥AO 7分 3 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效同芦 因为A4=2,A0=√5，所以AO=1,所以∠A40=30°，AB=√2 8分 由(1)知A0⊥B,D,因为AO⊥AO,AOnB,D=O,AO,BDc平面ABCD,所以AO⊥ 平面ABCD: 10分 设点C到平面A4B,B的距离为d,因为'有G='(-44,所以 2 7 因为CE∥平面A4BB,所以点E到平面4BB的距离为2 …12分 7 （4)因为直线民E与平面4B,B所成角的正弦值为√至 所以= 14 BE 14 即BE=2√2 13分 过E作EF⊥平面AB,CD,垂足为F,连接BF,CF,则点F在AC的延长线上 ∠ECF=∠AAO=30°，从而CE=2EF,CF=V3EF,设EF=x,则CF=V3x,CE=2x: 因为ABCD为菱形.且∠BAD=60°.所以∠BAC=30°，所以∠BCF=150P, …15分 由余弦定理可得BF2=4+3x2-4V3xcos150=3x2+6x+4.则 BB=BF产+F=4+6x+4=25,解得x=故CE= …17分 ▣梦▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效可