第24章 相似三角形（高效培优单元测试·强化卷）数学沪教版五四制九年级上册

第24章 相似三角形 单元测试卷·强化卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列各组线段中，能成比例线段的一组是（      ） A．2，3，4，6 B．1，2，3，4 C．2，3，5，6 D．3，4，5，6 2．对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（） A．各个内角的大小始终保持不变 B．各条边的长度始终保持不变 C．三角形的面积始终保持不变 D．三角形的周长始终保持不变 3．下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个正方形 4．已知，那么下列四个选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列判断正确的是（   ） A． B．设为单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果，那么或 6．已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A．B．C．D． 7．已知、是线段上的两个黄金分割点，其中，那么下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．在梯形中，，对角线、交于点E，如果，那么为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形网格中，A、B、C、D、M、N都是格点，从A、B、C、D四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：①；②．关于这两个三角形，下列判断正确的是（　　） A．只有①是 B．只有②是 C．①和②都是 D．①和②都不是 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．计算： ． 12．如果6是3和x的比例中项，那么 ． 13．在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约 ． 14．已知，那么的值是 ． 15．已知点P是线段的黄金分割点，，那么的长是 ． 16．如图，点G为△ABC的重心，GE∥AC，若DE＝2，则DC＝ ．    17．从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．如图，等腰斜边上的高就是它的优美线．在中，，若是的优美线，且是等腰三角形，那么优美线 ． 18．如图是一张矩形纸片，点是中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为、，的延长线经过点，与相交于点．若，且点平分，则的长为 ． 三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．已知，求的值． 20．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且 （1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的长； （2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长． 21．如图，，，与相交于点． (1)若，求的长度； (2)若，，那么用表示向量 22．清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？ 如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是多少里？ 23．如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，，． (1)求证：； (2)如果点是边的中点，求证：． 24．如图，函数的图像经过点、，点的坐标为．过点作轴，（点位于点的下方），过点作轴，与函数的图像交于点，过点作于点，连接、． (1)求的面积； (2)延长交于点，当时，求的长； (3)连接，取中点，以线段为较长直角边作，使与相似，求出点坐标． 25．如图1，在和中，，，，． (1)求证：； (2)已知点M为边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长线于点E． ①如图2，设，，求y与x的函数关系式，并写出定义域； ②当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 相似三角形 单元测试卷·强化卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列各组线段中，能成比例线段的一组是（      ） A．2，3，4，6 B．1，2，3，4 C．2，3，5，6 D．3，4，5，6 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 【详解】解：A、，故本选项正确； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选：A． 2．对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（） A．各个内角的大小始终保持不变 B．各条边的长度始终保持不变 C．三角形的面积始终保持不变 D．三角形的周长始终保持不变 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是根据相似三角形的性质来判断．根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例的性质来判断． 【详解】解：一个三角形进行放缩运动，各个内角的大小始终保持不变，故A符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，故B选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，面积也进行变化，故C选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，周长也进行变化，故D选项不符合题意， 故选：A． 3．下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个正方形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似图形 的概念，掌握各个角对应相等，各边对应成比例的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．任意两个矩形各个角对应相等，但各边不一定对应成比例，故不一定相似，不符合题意； B．任意两个菱形的各边对应成比例，但各个角不一定对应相等，故不一定相似，不符合题意； C．任意两个等腰三角形的各个角不一定对应相等，各边不一定对应成比例，故不一定相似，不符合题意； D．任意两个正方形各个角对应相等，各边对应成比例，故一定相似，符合题意． 故选：D． 4．已知，那么下列四个选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质逐项判断即可，解题的关键是掌握比例的性质和等式的基本性质． 【详解】解：由可设， 则，故A正确，符合题意； ，故B错误，不符合题意； 则不一定等于，故C错误，不符合题意； 则，故D错误，不符合题意； 故选：A． 5．下列判断正确的是（   ） A． B．设为单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果，那么或 【答案】C 【分析】本题考查了平面向量，涉及实数与向量相乘，单位向量，零向量，平行向量的判定，向量的模等知识点，熟练掌握平面向量的性质是解题关键． 分别根据实数与向量相乘，单位向量，零向量，平行向量的判定，向量的模知识点一一判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、设为单位向量，那么，原写法错误，不符合题意； C、如果，那么，正确，符合题意； D、如果，那么与不一定是相等向量或相反向量，原说法错误，不符合题意， 故选：C． 6．已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握比例的性质，线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据作，结合线段成比例的计算方法判定即可． 【详解】解：A、已知线段，求作线段，作，可以运用平行线分线段成比例得到，故作图合理，不符合题意； B、求作线段的值，即运用确定的的计算，B选项中需要确定的长度，点A也可以在点C的右边，故无法保证，故作图不合理，符合题意； C、如图，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； D、如图所示，，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； 故选：B ． 7．已知、是线段上的两个黄金分割点，其中，那么下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割：短线段与长线段的比等于长线段与整个线段的比，其比值为；据此逐项计算即可作出判断． 【详解】解：∵、是线段上的两个黄金分割点，其中，如图， ∴，， 故选项A正确，选项B错误； ∵， ∴， ∴， 故选项C正确； ∵， ∴， ∴； 故选项D正确； 故选：B． 8．如图，已知，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，由，根据平行线分线段成比例定理逐项进行分析判断即可得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴，而与不一定相等，与不一定相等， 故A正确，C不正确，D不正确； 由得， 假设成立，则， ∴， ∴，与已知条件不符， ∴不成立， 故B不正确， 故选：A． 9．在梯形中，，对角线、交于点E，如果，那么为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，根据面积关系得到边的关系是解题的关键；由，可得，再由平行证明相似，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， 故选：． 10．如图，在正方形网格中，A、B、C、D、M、N都是格点，从A、B、C、D四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：①；②．关于这两个三角形，下列判断正确的是（　　） A．只有①是 B．只有②是 C．①和②都是 D．①和②都不是 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定和勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理和相似三角形的判定； 先根据网格判定，，然后用相似三角形的判定定理证明即可 【详解】如图，连接，，，，， 在中，，，， 由网格可知：，，，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与不相似， 故选：． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查向量加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先去括号，然后根据向量加减法进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．如果6是3和x的比例中项，那么 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了比例的基本性质的应用，熟知比例中项的定义是解题的关键． 根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，进而可求解． 【详解】解：∵6是3和的比例中项， ∴， 解得：． 故答案为：12． 13．在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约 ． 【答案】40 【分析】本题考查成比例线段，设这两景点实际距离为，利用比例尺的定义得到，求出x的值后，把单位化为即可． 【详解】解：设这两景点实际距离为， ， 解得， ， 故答案为：40． 14．已知，那么的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，根据已知可得，设代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵ ∴，即 ∴， 设 ∴， 故答案为：． 15．已知点P是线段的黄金分割点，，那么的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：∵P为线段的黄金分割点，且是较长线段， 则，即 ∴ 经检验，是原方程的解． 故答案为：． 16．如图，点G为△ABC的重心，GE∥AC，若DE＝2，则DC＝ ．    【答案】6． 【分析】根据重心的性质可得AG：DG＝2：1，然后根据平行线分线段成比例定理可得＝＝2，从而求出CE，即可求出结论． 【详解】∵点G为△ABC的重心， ∴AG：DG＝2：1， ∵GE∥AC， ∴＝＝2， ∴CE＝2DE＝2×2＝4， ∴CD＝DE+CE＝2+4＝6． 故答案为：6． 【点睛】此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理，掌握重心的性质和平行线分线段成比例定理是解决此题的关键． 17．从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．如图，等腰斜边上的高就是它的优美线．在中，，若是的优美线，且是等腰三角形，那么优美线 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，一元二次方程等知识，分三种情形讨论①若，，则，设，，可得，解方程即可；②若，由，设，，可得，解方程即可；③若，显然不可能； 【详解】解：如图， 分以下三种情况： ①若，， 则，设，， ∴， 解得，， ∴； ②若，由，设，， 可得，解得，（负根已经舍弃）， ∴； ③若，显然不可能． 综上所述，或． 故答案为：或． 18．如图是一张矩形纸片，点是中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为、，的延长线经过点，与相交于点．若，且点平分，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了矩形折叠的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据折叠的性质、矩形的性质结合题意推出，根据全等三角形的性质得到，，设，则，设，则，根据矩形的性质推出，根据相似三角形的性质推出，根据勾股定理推出，据此求解即可． 【详解】解：由折叠性质及矩形的性质得， 点平分， ， 又 ， ，， 设， 点是中点， ， 根据折叠的性质得, 设，则， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， ， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．已知，求的值． 【答案】11 【分析】通过设k法，设，则，，，再利用消元的思想代入分式求值． 【详解】解：设，则，，， ． 【点睛】本题主要考查求分式的值，熟练掌握消元的思想是解决本题的关键． 20．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且 （1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的长； （2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由，可得再代入数据即可得到结论； （2）由，可得可得 结合，从而可得答案. 【详解】解（1）， AB＝3，BC＝6，DE＝4， 经检验：符合题意； （2）， 而DE：EF＝2：3， 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例”是解题的关键. 21．如图，，，与相交于点． (1)若，求的长度； (2)若，，那么用表示向量 【答案】(1) (2) 【分析】（）证明即可求解； （）由，可得，进而由代入即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，平面向量的相关计算，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 22．清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？ 如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是多少里？ 【答案】8里 【分析】设这座方城每面城墙的长为x里，根据题意得到BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：设这座方城每面城墙的长为x里， 由题意得，BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，CE=CD=x，BE=2里，AD=8里， ∴∠B=∠ACD， ∴△CEB∽△ADC， ∴， ∴ ∴x=8， 答：这座方城每面城墙的长为8里． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，正确的理解题意是解题的关键． 23．如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，，． (1)求证：； (2)如果点是边的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明可得即可证明结论； （2）先证明可得，结合可得，即，则，最后结合点是中点即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵   ∴， ∴，   ∴． （2）解：∵， ∴， ∴，   ∴， ∵，， ∴ ∴   ∴ ∴ ∵点是中点， ∴， ∴． 24．如图，函数的图像经过点、，点的坐标为．过点作轴，（点位于点的下方），过点作轴，与函数的图像交于点，过点作于点，连接、． (1)求的面积； (2)延长交于点，当时，求的长； (3)连接，取中点，以线段为较长直角边作，使与相似，求出点坐标． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，相似三角形的性质，中点坐标公式，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）先求出反比例函数的解析式，然后求出点D的坐标，即可求出三角形的面积； （2）根据反比例函数的解析式求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点F的坐标，进而求解； （3）先求出点Q的坐标，过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M，可得点P在上且点P为或的中点，利用中点坐标解题即可． 【详解】（1）解：的图象经过点 ， 轴， ， ∴点的坐标为， 轴，点在函数图象上 ∴点的坐标为， ∴ ， （2）， ， ， 点的纵坐标 由反比例函数 ， 点的横坐标， 设直线的解析式为，代入和得： ，解得， ∴， 当时，， ∴； （3）过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M， ∵Q是的中点， ∴点Q坐标为，且， ∴， 即， ∴点M的坐标为，点N的坐标为， 线段为较长直角边作，使与相似， ∴， ∴点P在上且点P为或的中点， ∴点的坐标为或． 25．如图1，在和中，，，，． (1)求证：； (2)已知点M为边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长线于点E． ①如图2，设，，求y与x的函数关系式，并写出定义域； ②当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；②或10 【分析】（1）由勾股定理得，再证，然后证，即可得出结论； （2）①证，得，则，然后证，得，即可得出结论； ②当是以为腰的等腰三角形时，也是以为腰的等腰三角形，分两种情况，、当时，、当时，分别求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）证明：，，， ， ，， ， ， ∴， ； （2）解：①，，， ， ， ， 即， 由（1）可知，， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， 即， ， 即与的函数关系式为； ②由（2）可知，， 当是以为腰的等腰三角形时，也是以为腰的等腰三角形， 分两种情况： 、当时，， ，， ， ， ， ， 解得：； 、当时，， ， 解得：； 综上所述，的长为或10． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质、分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$