【第十四章 全等三角形 01讲 全等三角形及其性质】【三大知识点+四大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版人教版专用）

第十四章 全等三角形 01讲 全等三角形及其性质 题型归纳 【题型1. 全等三角形的概念】…………………………………………………………… 2 【题型2. 全等三角形的性质求线段长度】……………………………………………… 4 【题型3. 全等三角形的性质求角度】…………………………………………………… 6 【题型4. 全等三角形的性质判断两线段的位置关系】………………………………… 7 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 10 知识清单 知识点1 全等形 1.定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合的两个图形叫做全等形． 【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等． （2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． （3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合． 知识点2 全等三角形 1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2.全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点，如图（1）点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点； ②对应边：全等三角形中，能够重合的边，如图（1）AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边； ③对应角：全等三角形中，能够重合的角，如图（1）∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 3.全等三角形的表示方法：“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．如图（1）中△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF. 【提示】记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 知识点3 全等三角形的性质 1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 2.数学语言表示：∵ △ABC≌△A'B'C'， ∴ AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 3.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 题型专练 题型1. 全等三角形的概念 【例1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 【例2】（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）下列各组中的两个图形为全等形的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（21-22八年级上·河北石家庄·期末）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1C1B1是全等（合同）三角形，且点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图①所示）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图②所示），两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个进行翻折． 下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（　　） A． B． C． D． 题型2. 全等三角形的性质求线段长度 【例1】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，，若，，则的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【例2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，．若，，求线段的长． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）4月6日，以“筝春色，享春趣”为主题的2025龙亭风筝大赛在开封龙亭公园举行，吸引了无数游客与风筝爱好者共赴这场春日盛宴．如图是小雪制作的风筝模型，已知，且，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，已知，若，，则的长为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，，B、C、D三点在同一条直线上，且，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式4】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度． 题型3. 全等三角形的性质求角度 【例1】（重庆市沙坪坝区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷）如图，已知，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，，， (1)求的度数 (2)若，，求四边形的周长 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，则∠C的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，，且，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25八年级上·全国·期中）如图，，，，求的度数和的长． 题型4. 全等三角形的性质判断两线段的位置关系 【例1】（24-25八年级上·湖南益阳·开学考试）如图，，．判断与的关系，并证明你的结论． 【例2】（24-25八年级上·贵州·阶段练习）如图，已知，和是对应角，和是对应边，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的长． 【变式1】（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，在正方形中，E是边上的一点，F是延长线上的一点．已知，试探究线段与之间的关系，并说明理由． 【变式2】（21-22八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点B、C、E、F在同一直线上，于点B，，且，．    (1)求的长； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【变式3】（22-23七年级下·陕西西安·期中）如图，点在上，已知，和是对应角，和是对应边．    (1)再写出其他的一组对应边和一组对应角； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，求的长． 【变式4】（22-23八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，，点B，在同一直线上，点在上．    (1)若，求的长； (2)判断与所在直线的位置关系，并说明理由． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）下列命题中，其中不正确的是（    ） A．两个图形是否全等，只取决于图形形状是否一样 B．两个图形是否全等，还决定于它们的位置是否合适 C．边长相等的两个正三角形是全等图形 D．“”式子的意义为“2小于或等于3”，它是个真命题 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，将沿所在直线向左平移得到，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆开州·期中）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为3，则阴影部分面积为（   ） A．30 B．27 C．24 D．21 4．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，，，且，，三点在一条直线上，，，，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，如果，且点D在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，已知，点D在边上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·北京·期末）如图，和是对应角．在中，是最长边，在中，是最长边，，则线段的长度及的度数是（   ）    A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，已知线段，射线于点A，射线于点B，M点从B点向A运动，速度为，N点从B点向D运动，速度为，M，N同时从点B出发，若射线上有一点P，使得和全等，则线段的长度为（    ） A． B．或 C． D．或 10．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，B是上的点，，则下列结论：①，②，③．④．其中正确的有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．（24-25七年级下·福建宁德·期中）如图，，若，，，则的周长等于 ． 12．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，已知，其中，则的度数是 ． 13．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知（与，与分别对应），，，则的值为 ． 14．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，在中，，将沿方向向右平移得到，交于G，已知，则阴影部分的面积为 ． 15．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，若的面积为，的面积为2，则的面积为 ． 16．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与全等，则t的值为 ． 17．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知等腰的周长为，，若，则的腰长等于 ． 18．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）如图，，，，，则的度数为 19．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，点为的中点，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）． （1）用含的代数式表示线段的长为 ； （2）若点的运动速度不相等，当与全等时，的值为 ． 20．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，，E、F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发沿射线运动，二者速度之比为2：3，当点E运动到点A时，两点同时停止运动．在射线上取一点G，使与全等，则的长为 ． 三、解答题 21．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，、相交于点，．求证：． 22．（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，，点E在上，与交于点F，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 23．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知，点D在边上，与交于点P，，． (1)求的度数； (2)若，求与的周长之和． 24．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，已知，且点，，在同一条直线上，试判断与的位置关系，并给予证明． 25．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，点A、B、C、D在同一直线上，，，． (1)求的长； (2)求证：． 26．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 27．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，，点在边上，与相交于点，已知，，，求的度数． 28．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，，点对应点，点对应点，点、、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 29．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）已知：如图，，，，、相交于点F， (1)求的度数； (2)求的度数． 30．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)若，且点在边上时，若与全等，求t和a的值； (3)当，且为等腰三角形时，直接写出的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 全等三角形 01讲 全等三角形及其性质 题型归纳 【题型1. 全等三角形的概念】…………………………………………………………… 2 【题型2. 全等三角形的性质求线段长度】……………………………………………… 6 【题型3. 全等三角形的性质求角度】…………………………………………………… 10 【题型4. 全等三角形的性质判断两线段的位置关系】………………………………… 13 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 19 知识清单 知识点1 全等形 1.定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合的两个图形叫做全等形． 【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等． （2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． （3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合． 知识点2 全等三角形 1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2.全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点，如图（1）点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点； ②对应边：全等三角形中，能够重合的边，如图（1）AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边； ③对应角：全等三角形中，能够重合的角，如图（1）∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 3.全等三角形的表示方法：“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．如图（1）中△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF. 【提示】记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 知识点3 全等三角形的性质 1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 2.数学语言表示：∵ △ABC≌△A'B'C'， ∴ AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 3.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 题型专练 题型1. 全等三角形的概念 【例1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 【分析】本题主要考查了全等图形、全等三角形的定义等知识点，掌握全等形的概念是解题的关键． 根据全等形的概念以及全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个图形不一定全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、完全重合的两个图形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个图形全等，说法错误，不符合题意； D、所有的等边三角形全等，说法错误，不符合题意． 故选：B． 【例2】（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）下列各组中的两个图形为全等形的是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．利用全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意； B、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意； C、两个图形是全等图形，故此选项符合题意； D、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念即可判断，正确找出对应边，对应角是解题的关键． 【详解】解：∵，点和是对应点，点和是对应点， ∴的对应角是，故选：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 【变式3】（21-22八年级上·河北石家庄·期末）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1C1B1是全等（合同）三角形，且点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图①所示）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图②所示），两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个进行翻折． 下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据镜面合同三角形的定义判断即可． 【详解】根据真正合同三角形的定义可知，选项A，C，D是真正合同三角形，选项B是镜面合同三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查几何变换的类型，全等三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型2. 全等三角形的性质求线段长度 【例1】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，，若，，则的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质“对应边相等”是关键． 根据全等三角形的性质得到，由即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：D ． 【例2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，．若，，求线段的长． 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据“全等三角形的对应边相等”可得，再同时减去可得，最后求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）4月6日，以“筝春色，享春趣”为主题的2025龙亭风筝大赛在开封龙亭公园举行，吸引了无数游客与风筝爱好者共赴这场春日盛宴．如图是小雪制作的风筝模型，已知，且，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的性质得出，，然后结合已知，根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴，， ∵， ∴， 故选∶D． 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，已知，若，，则的长为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式3】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，，B、C、D三点在同一条直线上，且，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】此题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式4】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得，， ∴； 当时， ∴， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的长度为或． 题型3. 全等三角形的性质求角度 【例1】（重庆市沙坪坝区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷）如图，已知，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是利用全等三角形对应角相等，结合三角形内角和建立等式求解． 先根据全等三角形性质得出对应角相等，再结合三角形内角和定理，通过等量代换建立关于的方程，进而求解． 【详解】， ， 在中， 故答案为：． 【例2】（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，，， (1)求的度数 (2)若，，求四边形的周长 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解答本题的关键． （1）由全等三角形的性质得，求出，，然后根据三角形内角和即可求出的度数． （2）由全等三角形的性质得，，然后根据周长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴四边形的周长． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，则∠C的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质求得，即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，，且，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理以及三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，根据全等三角形对应角相等可得，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【变式4】（24-25八年级上·全国·期中）如图，，，，求的度数和的长． 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，线段的和差关系，根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：， ， ，， ，， ， ． 题型4. 全等三角形的性质判断两线段的位置关系 【例1】（24-25八年级上·湖南益阳·开学考试）如图，，．判断与的关系，并证明你的结论． 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解答此题的关键． 先根据得出，再由可知，，由可知，故，由此可得出结论． 【详解】解：且，证明如下： ， ， ， ， ， ， ，即． 【例2】（24-25八年级上·贵州·阶段练习）如图，已知，和是对应角，和是对应边，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的长． 【分析】此题考查了全等三角形的性质． （1）根据全等三角形的性质得到，即可判定； （2）根据全等三角形的对应边相等得到，进而得出，根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，在正方形中，E是边上的一点，F是延长线上的一点．已知，试探究线段与之间的关系，并说明理由． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由全等三角形的性质得到，，再由得到，则由三角形内角和定理得到，即． 【详解】解：，且，理由如下： 如图所示，延长交于点． ， ，． 在中，， ． ， 即， ∴，且． 【变式2】（21-22八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点B、C、E、F在同一直线上，于点B，，且，．    (1)求的长； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，再由，即可求解； （2）由全等三角形的性质可得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，即， ∴，即． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【变式3】（22-23七年级下·陕西西安·期中）如图，点在上，已知，和是对应角，和是对应边．    (1)再写出其他的一组对应边和一组对应角； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，求的长． 【分析】（1）根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据全等三角形的性质得到，即可判定； （3）根据全等三角形的对应边相等得到，进而得出，根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：， 和是对应角，和是对应角，和是对应边，和是对应边；（答案不唯一） （2）解：． 理由：因为， 所以， 所以． （3）解：因为， 所以， 所以，即． 因为， 所以， 所以， 所以． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 【变式4】（22-23八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，，点B，在同一直线上，点在上．    (1)若，求的长； (2)判断与所在直线的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，再根据线段的和差即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质结合平角的定义求出，再根据三角形的外角性质可得，进而可得结论． 【详解】（1）， 点在上， ； （2）与所在直线的位置关系为， 理由如下：延长交于点， ， ， 点在同一直线上， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形的外角性质、线段的和差以及垂线定义等知识，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）下列命题中，其中不正确的是（    ） A．两个图形是否全等，只取决于图形形状是否一样 B．两个图形是否全等，还决定于它们的位置是否合适 C．边长相等的两个正三角形是全等图形 D．“”式子的意义为“2小于或等于3”，它是个真命题 【分析】此题主要考查了命题的概念，全等图形定义，等边三角形的性质，全等三角形的判定．根据全等图形的定义可对选项A，B进行判断；根据等边三角形的性质及全等三角形的判定可对选项C进行判断，根据不等式的意义可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵两个图形的形状一样，大小一样时， ∴两个图形是否全等，只取决于图形形状； ∴选项A说法正确，不符合题意； ∵两个图形是否全等，与它们的位置是无关， ∴选项B说法不正确，符合题意； ∵等边三角形的三边都相等， ∴边长相等的两个正三角形是全等图形， ∴选项C说法正确，不符合题意； ∵“”式子的意义为“2小于或等于3”， ∴选项D说法正确，不符合题意， 故选：B． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，将沿所在直线向左平移得到，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查的知识点是平移的性质、全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握平移的性质． 由平移性质可得，，则可排除、选项；根据全等三角形性质可证，可排除选项． 【详解】解：根据平移性质可得：，， 、选项说法正确，不符合题意； ， ， 即， 选项说法正确，不符合题意； 如果，则可证， 但题中未给该条件，无法证明， 选项说法错误，符合题意． 故选：． 3．（24-25七年级下·重庆开州·期中）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为3，则阴影部分面积为（   ） A．30 B．27 C．24 D．21 【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键．根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， ， ， ， 故选：D． 4．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，，，且，，三点在一条直线上，，，，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：， ，，，， 故选项C正确，不符合题意； ， ； 故选项A正确，不符合题意； ，， 故选项D错误，符合题意； 故选项B正确，不符合题意；故选：D． 5．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，如果，且点D在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．根据全等三角形的对应角相等，结合等腰三角形的性质和三角形的外角性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， 故选项A、B、C正确，不符合题意； 现有条件无法证明，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 6．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求出，再由全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵这两个三角形是全等三角形，均是的夹角， ∴， 故选：C． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，已知，点D在边上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等，对应角相等），三角形内角和定理（三角形三个内角的和等于），等腰三角形的性质定理（等边对等角），解题的关键是掌握并熟练应用相关性质定理．先根据全等三角形的性质得到，再证明，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴ 故选：C． 8．（24-25八年级上·北京·期末）如图，和是对应角．在中，是最长边，在中，是最长边，，则线段的长度及的度数是（   ）    A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可求解． 【详解】解：∵和是对应角． ∴， 故选：C． 9．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，已知线段，射线于点A，射线于点B，M点从B点向A运动，速度为，N点从B点向D运动，速度为，M，N同时从点B出发，若射线上有一点P，使得和全等，则线段的长度为（    ） A． B．或 C． D．或 【分析】本题考查全等三角形的性质，设运动时间为，则，，，再根据全等三角形得到对应边相等列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设运动时间为，则，，， 当时，，，解得，此时； 当时，，，解得，此时； 故选：D． 10．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，B是上的点，，则下列结论：①，②，③．④．其中正确的有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】本题主要考查全等三角形的性质定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质． 延长交于点F，延长交于点G，由，可证，，，证明，即可判断①；证明，即可判断②；由，，即可判断③；由，，即可判断④． 【详解】解：如图，延长交于点F，延长交于点G．    ， ，，． ∵点B在上， ， ， ． 在中，， ， ，即，故①正确； ， ， ， ， ，即，故②正确； ，， ，故③错误； ，， 且， ，故④正确． 故选B． 二、填空题 11．（24-25七年级下·福建宁德·期中）如图，，若，，，则的周长等于 ． 【分析】本题考查了全等三角形性质的运用，运用全等三角形的性质，找对对应边，即可得三边边长，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴的周长为．故答案为：13． 12．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，已知，其中，则的度数是 ． 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据，可得，继而推导出，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知（与，与分别对应），，，则的值为 ． 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 14．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，在中，，将沿方向向右平移得到，交于G，已知，则阴影部分的面积为 ． 【分析】本题考查平移的性质，全等的性质；由平移得到三角形全等、线段相等是解题的关键． 由平移得，于是阴影部分面积等于梯形的面积，求得梯形的面积=，于是阴影部分的面积． 【详解】解：∵沿着点A到点C的方向平移到的位置， ∴， ∴阴影部分面积等于梯形的面积， 由平移的性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积=， ∴阴影部分的面积． 故答案为：35． 15．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，若的面积为，的面积为2，则的面积为 ． 【分析】本题考查了全等三角形的性质、与三角形中线有关的面积的计算，由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与全等，则t的值为 ． 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．根据已知条件分，，两种情况，根据和列方程求出t值即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴当时，，， ∴点重合，点在点右侧， 此时，， ∴， 解得：； 当时，， 当点在点左侧时， 此时，， ∴， 解得：； 当点在点右侧时， 此时，， ∴， 解得：； 综上：则t的值为或或时，与以点，，为顶点的三角形全等， 故答案为：或或． 17．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知等腰的周长为，，若，则的腰长等于 ． 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．分为腰、为底两种情况，求出等腰三角形的另两边，根据全等三角形的性质解答． 【详解】解：当为腰时， ∵， ∴， ∴的腰长等于； 当为底时， ∵等腰的周长为， ∴等腰的腰， ∵， ∴， ∴的腰长等于； 综上，的腰长等于或． 故答案为：或． 18．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）如图，，，，，则的度数为 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形对应角相等可得再利用三角形内角和定理求得的度数，然后根据即可得解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，点为的中点，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）． （1）用含的代数式表示线段的长为 ； （2）若点的运动速度不相等，当与全等时，的值为 ． 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质及一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据路程、速度、时间之间的关系列代数式即可得解； （2）利用全等三角形的判定分，和，两种情况构造方程求解即可． 【详解】解：（1）运动秒，点运动的路程为． ． 故答案为：． （2）， ． 为的中点， ． 当与全等， 或． 当， ． ． ． （不合题意，舍去）． 当， ． ． ． ． 故答案为：． 20．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，，E、F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发沿射线运动，二者速度之比为2：3，当点E运动到点A时，两点同时停止运动．在射线上取一点G，使与全等，则的长为 ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，则，使与全等；然后分和两种情况解答即可． 【详解】解：设，则，使与全等 ①当时， ∵， ∴，解得：， ∴． ②当时， ∵， ∴，解得：， ∴， 综上所述，或． 故答案为：8或15． 三、解答题 21．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，、相交于点，．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的性质的运用，根据，可得到：和，根据角的和与差求出． 【详解】证明：， ，， ， ． 22．（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，，点E在上，与交于点F，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质： （1）根据全等三角形对应边相等可得，则； （2）根据 全等三角形对应角相等可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 23．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知，点D在边上，与交于点P，，． (1)求的度数； (2)若，求与的周长之和． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出、、、，根据三角形的周长公式计算即可． 本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键． 【详解】（1）解： ，， ． ∵， ， ， 即， ． （2）解：∵， ，， ∴与的周长之和， ． 24．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，已知，且点，，在同一条直线上，试判断与的位置关系，并给予证明． 【分析】本题考查全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质，正确得出全等三角形的对应角是解题关键；根据全等三角形的性质得出，根据直角三角形两锐角互余即可得结论． 【详解】解：．证明如下： ∵， ， 在中，∵， ， ， ∴． 25．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，点A、B、C、D在同一直线上，，，． (1)求的长； (2)求证：． 【分析】本题考查全等三角形的性质，平行线的判定： （1）根据可得，再根据线段的和差关系即可求解； （2）根据可得，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 26．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证； （）延长交于点，根据全等三角形的性质得出，最后由三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴ ∴， ∴； （3）解：直线与直线垂直，理由： 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴． 27．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，，点在边上，与相交于点，已知，，，求的度数． 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，根据全等性质证明是解题关键．先求出，再根据三角形全等得到，，进而求出，，然后根据三角形内角和定理可求结果． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ． 28．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，，点对应点，点对应点，点、、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，内错角相等两直线平行等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，进而可得，于是结论得证； （2）由全等三角形的性质可得，然后由内错角相等两直线平行即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， 即：； （2）解：，理由如下： ， ， ． 29．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）已知：如图，，，，、相交于点F， (1)求的度数； (2)求的度数． 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，求出，即可求解； （2）根据三角形内角和得， ，又由于，， 即可由求解． 【详解】（1）解：， ， 即：， ， ，， ， ． （2）解：在中：， 在中：， ，， ． 30．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)若，且点在边上时，若与全等，求t和a的值； (3)当，且为等腰三角形时，直接写出的度数． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． （1）分两种情况讨论，用的长度减去的长度即可； （2）分两种情况：当时，当时，根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论； （3）分点P在线段上和在线段的延长线上两种情况，当P在线段上时有三种情况；再利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可完成． 【详解】（1）解：点在射线上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，， 当点在线段上时， ； 当点在射线上时， ； 综上分析可知：； （2）解：中，，点为的中点，， ，， ，，， 当时，，， ，， 解得：，； 当时，，， ，， 解得：，； 综上所述，，或，； （3）解：若点P在线段上，分三种情况： 当时，则； 当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 点P在线段的延长线上，当时，则， ， ； 综上，的度数为或或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$