精品解析：福建省福州外国语学校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

福州外国语学校2024-2025学年第二学期期末考试 高二年级数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若（是复数单位），则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. “”是“的最小正周期为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，则质点P移动六次后位于点的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的对称轴为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为函数和图象的交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多选题 9. 设，，为复数，且，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 是函数的一个周期 B. 直线为函数的对称轴 C. 函数的最大值是5 D. 在有三个解 11. 设函数，若，且，则（ ） A. 实数的取值范围为 B. C. D. 当时， 三、填空题 12. 二项式的展开式中的系数是______________． 13. 某无人机爱好者在年春节，设计了利用红、橙、黄、绿、紫五种颜色的无人机群呈现如图的方形阵，方形阵分为六个区域，呈现要求是：同一区域为相同颜色的无人机群，且相邻区域的无人机群颜色不能相同，区域必须是红色无人机群，则不同的呈现方式共有__________种. 14. 若正数，满足，则的最小值为__________. 四、解答题 15. 已知函数． （1）若，求的最大值和最小值； （2）设为锐角，且，求的值． 16. 在中， 内角所对的边分别为， 已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 17. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：． 18. 对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中． （1）若时，求证：； （2）若时，求证：； （3）若，直线与曲线交于，两点，求证：（其中为自然常数）． 19. 现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，记为一次操作．重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为． （1）求随机变量的分布列； （2）求数列的通项公式； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州外国语学校2024-2025学年第二学期期末考试 高二年级数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由确定集合，再由交集运算即可求解. 【详解】， 所以， 故选：A 2. 若（是复数单位），则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出复数，再利用模的意义计算即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 3. “”是“的最小正周期为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由正切函数的周期计算公式及充分条件和必要条件的概念分析即可. 【详解】的最小正周期为，则，得， 故“”是“的最小正周期为”的充分不必要条件． 故选：A． 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 5. 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，则质点P移动六次后位于点的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，质点P移动六次后位于点，在移动过程中向右移动4次向上移动2次，即6次独立重复试验中恰有4次发生，由其公式计算可得答案． 【详解】根据题意，易得位于坐标原点的质点P移动六次后位于点，在移动过程中向上移动4次向右移动2次， 则其概率为. 故选：C． 【点睛】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，考查对基础知识的理解和掌握，考查分析和计算能力，属于常考题. 6. 函数的对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逆用二次展开式对函数进行整理，利用函数性质求解即可. 【详解】由题意： ， 可由偶函数的图像向右平移1个单位得到，所以函数的对称轴为, 故选：A. 7. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，进一步由可得，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式计算可得结果. 【详解】依题意则得 ， 即，所以,； 设，因为， 所以,，解得,； 因此 ,， 可得，结合图象可得，解得. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用点的位置特征以及向量关系式，得出两点的坐标关系式，再利用诱导公式以及二倍角公式计算可得结果. 8. 已知点为函数和图象的交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据点在函数上得出等式，再同构设新函数，再求导函数得出函数的单调性进而得出等式的值. 【详解】因为点为函数和图象的交点， 所以，即的根为. 因为，所以，故，且为方程的根. 令，则，所以在上单调递增. 又，所以，即，所以. 故选：D. 二、多选题 9. 设，，为复数，且，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由得，即可判断A；由得，举例说明即可判断B；由得，举例说明即可判断C；由得，即可判断D. 【详解】A：由，得， ∵，∴，∴，故A正确； B：由，得，∴，例如， 而，，即，故B错误； C：由，得， 当时，，此时，故C错误； D：因为，令(), ∴，则，故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数，则（ ） A. 是函数的一个周期 B. 直线为函数的对称轴 C. 函数的最大值是5 D. 在有三个解 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用周期函数定义判断A；利用轴对称的意义推理判断B；求出函数的最大值判断C；探讨在上的解的情况判断D作答. 【详解】对于A，因，是函数的一个周期，A正确； 对于B，，， 因此，直线为函数的对称轴，B正确； 对于C，当时，，锐角由确定， 当时，，由选项B知，在上的最大值为5，由选项A知，在R上的最大值为5，C正确； 对于D，当时，由选项C及得，此时，或， 即在上有两个解，由选项B知，在有两个解，因此，在有四个解，D不正确. 故选：ABC 11. 设函数，若，且，则（ ） A. 实数的取值范围为 B. C. D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数探讨函数的性质，由已知结合三次函数的图象特征逐项求解判断. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，函数在上单调递增，最多一个解，不符合题意； 当时，由，得或；由，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 对于A，依题意，，实数的取值范围为，A错误； 对于B，由A选项知，，，B正确； 对于C，依题意，，则， 由，得，整理得， 则，当且仅当时取等号，解得，C正确； 对于D，由C选项知，且， 由，得，则，即，， 令函数，求导得， 当时，；当时，，在上递减，在上递增， 因此，则，即，D正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 二项式的展开式中的系数是______________． 【答案】28 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于1，求出的值，即可求得的系数． 【详解】解：二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 故的系数为， 故答案为：． 13. 某无人机爱好者在年春节，设计了利用红、橙、黄、绿、紫五种颜色的无人机群呈现如图的方形阵，方形阵分为六个区域，呈现要求是：同一区域为相同颜色的无人机群，且相邻区域的无人机群颜色不能相同，区域必须是红色无人机群，则不同的呈现方式共有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】先给区域选，再给区域选，再分区域和区域无人机颜色相同和不同两种情况讨论，利用分类、分步计数原理和组合，即可求解. 【详解】先给区域选，有种选法，再给区域选，有种， ① 若区域和区域无人机颜色相同，且区域和区域无人机颜色相同，则区域有种选法， 若区域和区域无人机颜色相同，且区域和区域无人机颜色不相同，则有种选法，区域有种选法， 所以区域和区域无人机颜色相同时，共有种， ② 若区域和区域无人机颜色不相同，且区域和区域无人机颜色相同， 则区域有种，区域有种选法， 若区域和区域无人机颜色不相同，且区域和区域无人机颜色不相同， 则区域有种，和区域只有种选法， 所以区域和区域无人机颜色不相同时，共有种， 因此，不同的呈现方式共有种， 故答案为：. 14. 若正数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，则，所以，令，由导数求得函数的最小值，从而求得的最小值. 【详解】令，则， 所以，令，由，解得. 时，，单调递减，时，，单调递增； 所以的最小值为，又对正数，有，所以. 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数． （1）若，求的最大值和最小值； （2）设为锐角，且，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，对函数解析式进行恒等变换，再根据定义域，求出值域，求出最大值和最小值. （2）根据同角三角函数的平方关系，和两角和的余弦公式，求出的余弦值，判断角的值. 【小问1详解】 由题意得， 当时，， 所以的最大值是2，最小值是. 【小问2详解】 则，同理， 由，得， 因为为锐角，所以，则. 16. 在中， 内角所对的边分别为， 已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系及已知可得，化简整理得，结合角的范围确定大小； （2）由三角形面积公式列方程求得，再由余弦定理得，即可得. 【小问1详解】 由正弦边角关系，， 所以， 所以，，可得. 【小问2详解】 由（1）知，又, 则，，则， 由余弦定理， 所以的周长为. 17. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 （2） 由（1）时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 要证明，只需证明， 即证明， 令， ， 令，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 因为， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 可得， 即． 【解析】 【分析】（1）求出，分、讨论可得答案； （2）转化为证明，求出，构造函数，利用导数求出最小值可得答案. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，，单调递增， 当时，令得， 所以时，单调递增， 时，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 略 18. 对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中． （1）若时，求证：； （2）若时，求证：； （3）若，直线与曲线交于，两点，求证：（其中为自然常数）． 【答案】（1）因为，且， 当时可知， 所以， ，所以成立； （2）解法一：要证，即证， 如图可知，为与，以及轴所围成的曲边梯形的面积． 若直线与曲线交于点， 过做的切线，分别交，于，， 过做轴的平行线分别交，于，，则， 易知曲面梯形的面积大于， 所以， 所以，，得证． 解法二：因为时，，所以要证， 即证：， 即证：，即证：， 设，，则不等式可化为， 要证，作差得， 即证：在恒成立， 构造函数：， 则，再设，则， 因为，所以恒成立， 所以在为增函数，所以， 所以在恒成立，可得在为增函数， 所以，所以在恒成立， 所以不等式成立，得证； （3）因为，所以， 令，故， 所以在为减函数，在为增函数，， 故直线与曲线交于，，所以， 且，，即有：①，②， ①＋②得： ①－②得： 由第（2）问知：， 所以， 所以，即， 所以成立． 【解析】 【分析】（1）当时，，根据的定义求解； （2）解法一：如图可知，为与，以及轴所围成的曲边梯形的面积，曲面梯形的面积大于，，得证； 解法二：转化为证明：，设，，则不等式可化为，构造函数：，利用导数证明在恒成立； （3）令，故，直线与曲线交于，，所以，即有：①，②，进一步变形可得，从而得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于新定义题型，一般分为以下几步： （1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法，有时能够追求临近的知识点，明确它们的共同点与不同点； （3）对新定义中提取的知识进行变换，有效的输出；假如是新定义的运算，直接依据运算法则计算即可. 19. 现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，记为一次操作．重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为． （1）求随机变量的分布列； （2）求数列的通项公式； （3）求证：． 【答案】（1）分布列： 0 1 2 （2） （3）证明： ， 所以 得证. 【解析】 【分析】（1）由题意分析的可能取值为0，1，2，结合相互独立事件的概率公式，分别求出概率，写出分布列； （2）由全概率公式得到，判断出数列为以为首项，以为公比的等比数列即可求解； （3）利用（2）得到的通项公式裂项相消求和求解即可. 【小问1详解】 由题可知的可能取值为0，1，2， 根据相互独立事件的概率公式得到：即为甲盒中拿黑球乙盒中拿红球交换，即为甲盒中拿黑球乙盒中拿黑球交换或甲盒中拿红球乙盒中拿红球交换，即为甲盒中拿红球乙盒中拿黑球交换，则 ， 的分布列为： 0 1 2 【小问2详解】由全概率公式可知： ， 即，即，， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， ， 即的通项公式； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $