精品解析：甘肃省会宁县第一中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试模拟数学试卷

高一年级下学期期末考试模拟卷 数学试卷 （120分钟150分） 考试范围：必修第二册 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 若，则（ ） A B. C. -3 D. 3 3. 已知i为虚数单位，若，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A B. C. D. 6. 把一枚骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为a，b，则使得关于x的方程没有实数根的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国家5A级旅游景区.千岛湖有三座岛屿A，B，C，旅游公司准备在岛屿C上开发一个旅游项目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量.如图，在岛屿B的底部测得岛屿C的顶部D处的仰角为60°，并测得岛屿C在岛屿B的北偏西75°方向上，另外测得岛屿C在岛屿A的北偏东60°方向上，岛屿B在A的正东方向600m处，且三座岛屿A，B，C在同一水平面上，则岛屿C的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量直立的杆体，俗称“柱子”.柱子在各个时期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为，其底面边长是3，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且平面，则点N的轨迹长为（ ） A. 27 B. C. 12 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 10. 关于函数，下列说法正确是（ ） A. 若，，则 B. 若向量与的夹角为，则 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数为奇函数 11. 已知一个古典概型的样本空间Ω和其随机事件A和随机事件B，其中，，，，则（ ） A. B. C. 事件A与事件B是互斥事件 D. 事件A与事件是独立事件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是______. 13. 在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是_____. 14. 如图所示，在梯形中，，，，，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）求复数； （2）若，求实数a，b的值. 16. 已知向量，，同一平面内，且，. （1）若，且与共线，求向量的坐标； （2）若向量与向量共线，求的值，此时与同向还是反向? 17. 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.某中学为了解本校学生课外阅读的情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生30名，女生70名.经调查统计，分别得到30名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和70名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图. 小时 频数 6 15 6 3 （1）由频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数；（注：以各组的区间中点值代表该组的各个值） （2）从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例抽取10人，再从这10人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率. 18. 如图，已知在正方体中，P，Q分别为对角线，上的点，. （1）求证：平面. （2）若R是上的点，当的值为多少时（用表示），能使平面平面?请给出证明. 19. 如图，已知扇形的半径为，面积为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形（点、在半径上，点在半径上）. （1）求弧的长. （2）记，当取何值时，矩形的面积最大?并求出这个最大面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一年级下学期期末考试模拟卷 数学试卷 （120分钟150分） 考试范围：必修第二册 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量得，再根据向量数量积的坐标运算即得. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：A. 2. 若，则（ ） A. B. C. -3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式直接求解即可. 【详解】. 故选：C 3. 已知i为虚数单位，若，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算化简，然后利用复数的几何意义求出点并判断所在象限即可. 【详解】由，得， 所以复数在复平面内对应的点的坐标是，该点位于第一象限. 故选：A 4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合三角形的性质，根据正弦定理直接求解即可. 【详解】在中，由正弦定理，得， 又，则有，所以. 故选：B 5. 已知正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对称性确定其外接球的球心位置求得外接球的半径，再根据球的体积计算即可. 【详解】设正三棱柱的外接球的球心为，三棱柱上、下底面的中心为，，， 由对称性可知为的中点，且到上、下底面的距离，即. 又、到所在面顶点的距离， 由勾股定理得该球的半径， 所以外接球的体积. 故选：C. 6. 把一枚骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为a，b，则使得关于x的方程没有实数根的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，然后利用列举利用古典概型概率公式求解概率即可. 详解】若方程没有实数根，则. 一枚骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为a，b，记为，所有可能共36种， 其中满足题意的有 ，共17种. 故使得关于x的方程没有实数根的概率为. 故选：D 7. 美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国家5A级旅游景区.千岛湖有三座岛屿A，B，C，旅游公司准备在岛屿C上开发一个旅游项目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量.如图，在岛屿B的底部测得岛屿C的顶部D处的仰角为60°，并测得岛屿C在岛屿B的北偏西75°方向上，另外测得岛屿C在岛屿A的北偏东60°方向上，岛屿B在A的正东方向600m处，且三座岛屿A，B，C在同一水平面上，则岛屿C的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再在中，由正弦定理求得，进而利用三角函数求出高度 【详解】根据题意，得 ，，，，. 设，则， 在中，， 由正弦定理，得，即，解得 所以. 故选：B. 8. 柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”.柱子在各个时期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为，其底面边长是3，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且平面，则点N的轨迹长为（ ） A. 27 B. C. 12 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】分别取，的中点，，连接，，利用线面平行证明平面平面，从而可得即为点的轨迹，即可求解. 【详解】分别取，的中点，，连接，. 因为，， 所以，平面，平面. 所以平面.又，平面，平面. 所以平面，平面， 所以平面平面. 所以当点在线段上运动时，有平面， 所以点的轨迹长为.故B正确. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算法则求解复数，然后利用纯虚数的概念判断各个选项即可. 【详解】A项，，2不是纯虚数； B项，，不是纯虚数； C项，，2i是纯虚数； D项，，i是纯虚数. 故选：CD 10. 关于函数，下列说法正确是（ ） A. 若，，则 B. 若向量与的夹角为，则 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数为奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角公式和两角和的余弦公式化简得，然后利用二倍角余弦公式求值判断A，先利用向量夹角的坐标公式求出，代入函数求值判断B，结合余弦函数单调性判断C，先求出函数解析式，然后利用正弦函数性质判断D. 【详解】 ， ∵，∴， 又，∴，A项正确； ∵，，∴， 则，B项正确； ∵，∴， 则在上单调递减，故在区间上单调递减，C项错误； ， ∴函数为奇函数，D项正确. 故选：ABD 11. 已知一个古典概型的样本空间Ω和其随机事件A和随机事件B，其中，，，，则（ ） A. B. C. 事件A与事件B是互斥事件 D. 事件A与事件是独立事件 【答案】AB 【解析】 【分析】根据事件运算求得，判断AB，根据互斥事件的概念判断C，根据独立事件的概念判断D. 【详解】因为，，，， 所以，，， 所以事件A与事件B不是互斥事件， AB选项正确，C选项错误； 所以，， 所以， 所以事件A与事件不是独立事件，D选项错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是______. 【答案】1+i 【解析】 【分析】，代入条件求解即可. 【详解】由已知. 故答案为： 13. 在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义找到其对应平面角，再应用余弦定理求其余弦值. 【详解】如图，令E为的中点，连接、. 因为是的中点，则， 所以与所成的角即为与所成的角， 即（或其补角）， 由，，则，，， 在中，. 故答案为： 14. 如图所示，在梯形中，，，，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先由正弦定理求得，利用诱导公式得，然后在中由正弦定理求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得，即， 所以. 在中，由正弦定理得，得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）求复数； （2）若，求实数a，b的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘方法则和除法法则求解即可. （2）根据复数相等列方程求解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ，则， 解得. 16. 已知向量，，在同一平面内，且，. （1）若，且与共线，求向量的坐标； （2）若向量与向量共线，求的值，此时与同向还是反向? 【答案】（1）或 （2），与反向. 【解析】 【分析】（1）设，利用向量模的坐标运算求得得，即可得解. （2）先利用线性坐标运算求得向量与向量的坐标，然后利用共线的向量坐标表示建立方程求得，并根据系数判断同向还是反向. 【小问1详解】 与共线，则可设. ∵，∴，解得. 当时，；当时，. 【小问2详解】 因为，，所以，， 则由题意得，解得. 所以， 故此时与反向. 17. 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.某中学为了解本校学生课外阅读的情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生30名，女生70名.经调查统计，分别得到30名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和70名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图. 小时 频数 6 15 6 3 （1）由频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数；（注：以各组的区间中点值代表该组的各个值） （2）从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例抽取10人，再从这10人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率. 【答案】（1）3.82 （2） 【解析】 【分析】（1）利用频数分布表求解男生一周课外阅读时间的平均数，利用频率分布直方图中的平均数求解法则求解即可； （2）根据分层抽样得抽取10人中男生有3人，女生有7人，然后结合列举法利用古典概型概率公式求解即可. 【小问1详解】 由频数分布表估计男生一周课外阅读时间的平均数， 由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数. 所以估计总样本的平均数. 【小问2详解】 由频数分布表，频率分布直方图知， 一周课外阅读时间为的学生中男生有15人，女生有0.25×2×70=35人， 若按比例抽取10人，则男生有3人，记为，女生有7人，记为， 从这10人中抽取2人，有 ，共有45个样本点. 记事件A为“恰好一男一女”，则事件A含有 ，共21个样本点， 故所求概率. 18. 如图，已知在正方体中，P，Q分别为对角线，上的点，. （1）求证：平面. （2）若R是上的点，当的值为多少时（用表示），能使平面平面?请给出证明. 【答案】（1）证明见解析 （2）的值为，证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接并延长，与的延长线交于点，利用相似比证明，然后利用线面平行的判定定理和面面平行的性质定理证明即可. （2）结合平行线比例相等，利用线面平行的判定定理证得平面，由（1）平面，最后利用面面平行的判定定理证明即可. 【小问1详解】 如图，连接并延长，与的延长线交于点， 则平面和平面的交线为. 因为四边形为正方形，所以， 故，所以. 又因，所以，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又平面平面，故平面. 【小问2详解】 当的值为时，能使平面平面. 证明：如图，因为，即， 又，所以. 因平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面. 19. 如图，已知扇形的半径为，面积为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形（点、在半径上，点在半径上）. （1）求弧的长. （2）记，当取何值时，矩形的面积最大?并求出这个最大面积. 【答案】（1） （2），最大面积为. 【解析】 【分析】（1）根据扇形的面积公式可求出的值，再利用扇形的弧长公式可求得弧的长； （2）将、用的表达式加以表示，并结合三角恒等变换化简得出矩形面积的表达式，再利用正弦型函数的基本性质可求得矩形面积的最大值. 【小问1详解】 由已知得，解得，则弧的长为. 【小问2详解】 在中，，，在中，， 所以，. 设矩形的面积为， 则 . 由，得， 所以当，即时， 故当时，矩形的面积最大，最大面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$