1.3勾股定理的应用 同步练习 2025—2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 1.3勾股定理的应用 七年级数学上册北师大版（2024） 参考答案与试题解析 知识梳理 一、图形翻折问题 在遇到折叠问题时一定要注意折叠前后的边角对应关系，计算时联想到利用勾股定理对 新形成的直角三角形进行求解. 例1..如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，△BCD与△关于直线BD轴对称，BC=6，CD=3，点C与点对应，交AD于点E，则线段DE的长为( ) A. 3 B. C. 5 D. 例1.【解答】：设ED=x,则AE=6-x,: ∵AD//BC,∴∠EDB=∠DBC， 由题意得∠EBD=∠DBC, ∴∠EDB=∠EBD,∴EB=ED=x, 在 Rt△ABE中,由勾股定理得 BE²=AB²+AE² , 即 x²=9+(6-x)²,解得x=， ∴ED= 故选B 二、风吹树折、折竹抵地问题 1、根据问题设出“树”或“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度; 2、根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长; 3、根据勾股定理列方程，把语言文字转化成数学模型进而求解。 例2.《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题:“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意思是:现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺?即:如图，AB+AC=9尺，BC=3尺，则AC=_____尺. 例2.[分析]竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(9-x)尺，利用勾股定理构造方程解方程即可. 【解答】解:设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(9-x)尺， 根据勾股定理得，x²+3²=(9-x)² 解得:x=4， ∴折断处离地面的高度为4尺。 故答案为:4. [总结]本题考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题，依据勾股定理构造方程是解题关键. 三、风吹荷花模型、水杯中筷子、水中竹竿(芦苇) 解决此类问题主要考虑物体前后状态变化由直角边到斜边的转化，而水深不变的情况 例3.如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米，竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为( ) A.1.5米 B.1.7米 C.1.8米 D.0.6米 例3.[分析]设BD的长度为xm，则AB=BC=(x+0.2)m，根据勾股定理构建方程即可解决问题. 【解答】解:设BD的长度为xm，则AB=BC=(x+0.2)m, 在Rt△CDB中，0.8²+x²=(x+0.2)²， 解得x=1.5. 故选:A. [总结]本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题. 四、求梯子滑落高度以及旗杆高度 注意：常考的是斜边不变，直角边发生改变的情况 要点:梯子在滑落的过程中梯子的长度(斜边)没有发生改变;旗绳在不同的状态下，绳子的长度是否发生改变，也就是抓住前后两个不同的状态下各因素形成直角三角形时不变的量是什么. 例4.如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为24m，梯子的底端B到墙根O的距离为7m，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么BD的长是_______m. 例4.[分析]本题考查了勾股定理的应用，解题时注意勾股定理应用的环境是在直角三角形中，由题意可知OB=7m，OA=24m，先利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，所以AB=DC,又由题意可知OD=15m，进而得出答案. 【解答】解:在直角三角形AOB中，因为AO=24m,OB=7m, 由勾股定理得:AB²=AO²+BO²=24²+7² ∴AB=25(m)， 由题意可知AB=CD, 又OC=24-4=20(m), 根据勾股定理得:OD²=DC²-CO²=25²-20² ∴OD=15(m), ∴BD=DO-BO=15-7=8(m). 故答案为:8. 五、蚂蚁爬行、最短路径问题 蚂蚁爬行的最值问题是非常经典的一类最值问题，包括平面内的最短路径以及立体图形中的最短路径，不管哪种情况的最短路径本质就是两点之间的最短距离。立体图形中的最短路径需要熟练圆柱、立方体(长、宽、高三个方向的展开图)、圆锥等的展开图. 例5.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有 葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所示，把 枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺， 有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的 最短长度是______尺. 例5.【解答】解:在如图所示的直角三角形中， ∵ BC=20 尺,AC=5×3=15(尺)， ∴AB²=AC²+BC² ∴AB=25(尺), ∴葛藤的最短长度是25尺. 例6..如图所示，为了安全起见，要为一段高5米，斜边长13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少需要　 　 米长. 例6.[分析地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，平移可得，台阶的宽之和与高之和构成了直角三角形的两条直角边，因此利用勾股定理求出水平距离即可. 【解答】根据勾股定理，13²-5²=12² ∴楼梯水平长度为12米， 则红地毯至少要12+5=17米长. 【总结】本题考查了勾股定理的应用，是一道实际问题，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，利用平移性质，把地毯长度分割为直角三角形的直角边. 六、拓展：位置问题航行、信号塔、中转站等 1、根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形; 2、根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长; 3、根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 注意:1)轮船航行的题目要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长; 2)信号塔和中转站等题型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 例7.如图，某港口0位于南北延伸的海岸线上，东面是大海，远洋号、长峰号两艘轮船同时离开港0，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB=20海里，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，请判断“长峰”号航行的方向，并说明理由. 例7.[分析]由题意得:OA²+OB²=AB²，由勾股定理的逆定理得出△OAB是直角三角形，∠AOB=90°，求出∠DOB=30°，即可得出答案. 例7.【解答】解:“长峰”号航行的方向是南偏东30°.理由是: 由题意得:OA=12，OB=16，AB=20, ∵12²+16²=20²， ∴0A²+OB²=AB². ∴△OAB是直角三角形，∴∠AOB=90°. ∵∠COA=60°，∴∠DOB=180°-90°-60°=30°， ∴“长峰”号航行的方向是南偏东30°. [总结]此题考查了勾股定理的逆定理及方向角的理解与运用，利用勾股定理的逆定理得出△OAB为直角三角形是解题的关键. 同步练习 1.如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为( ) A. B.28 C.128 D.100 1.【解答】解:由勾股定理可知:=36+64=100， 故选:D. [总结]本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理. 2.已知直角三角形的两直角边分别为6和8，则该直角三角形斜边上的高为( ) A. B.10 C.5 D. 2.【解答】解:直角三角形的两直角边为6和8， 由勾股定理得：6²+8²=10², ∴斜边的长为10 设直角三角形斜边上的高是h， ∴×6×8=×10×h, 解得:h=. 故选:D. [总结]此题主要考查了勾股定理，解决问题的关键是利用勾股定理计算出斜边的长. 3.如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为8m，则的长为( ) A.1m B.2m C.3m D.4m 3.【解答】解:∵AC=10m,BC=6m, ∴AB²=AC²-BC²=10²-6² ∴AB=8(m)， ∵=10m,=8m, ∴²=²-²=10²-8² ∴=6(m)， ∴=AB-=8-6=2(m); 故选:B. [总结]根据勾股定理分别求出AB和，再根据=AB-即可得出答案. 4.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=5m,一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为( )米,(边缘部分的厚度忽略不计) A.25cm B.20cm C.15cm D.21cm 4.【解答】：如图是U型池的侧面展开图,AD=π·=20(m), AB=CD=20m, ∴DE=CD-CE=20-5=15(m). 在 Rt△ADE中,AE²=AD'²+DE²=20²+15²=625. ∴AE=25m. ∴他滑行的最短距离约为25m. 故选A 5.如图，一个长方体工艺品的高为9cm，底面是边长为6cm的正方形、一只爬虫从底面顶点A沿该工艺品的表面爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为( ) A.10cm B.12cm C.15cm D.21cm 5.[分析]:本题考查的是勾股定理的应用一最短路径问题，将立体图形展开，有两种不同的展法，连接AB，利用勾股定理求出,AB的长，找出最短的即可， 【解答】解:①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内， ∵AD=6，BD=6+9=15，∠ADB=90° ∴AB²- AD²+BD²=261; ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内 ∵AC=6+6=12，BC=9，∠ACB=90°， AB²=AC²+BC²=225 ∴AB=15,负值舍去， ∵261>225. ∴它爬行的最短路程为15cm. 故选:C. 6.如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD=2米，则BE=　 　 米. 6.[分析]在Rt△ABC中，根据勾股定理得出AC，进而得出 DC，利用勾股定理得出CE，进而解答即可， 【解答】解:在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得:AC²=AB²-BC²=10²-6² ∴AC=8(米)， ∴DC=AC-AD=8-2=6(米)， 在 Rt△DCE中，CE²=DE²-DC²=10²-6² ∴CE=8(米)， ∴BE=CE-BC=8-6=2(米)， 故答案为:2. [总结]本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，直角三角形中勾股定理的运 用，本题中正确的使用勾股定理求CE的长度是解题的关键. 7.如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点140m(即BC=140m)，其结果是他在水中实际游了500m(即AC=500m)，则该河AB处的宽度是_______m. 7.【解答】解: AB²=AC²-BC² AB²=500²-140² ∴AB =480, 即该河AB处的宽度是480m; 故答案为:480. [总结]本题考查了勾股定理的应用;根据勾股定理求出AB即可. 8.为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车，此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅，如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知AB为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离BC为16米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为　 　 米. 8.[分析]此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AC²=AB²-BC² =12米，然后计算出起重臂顶端A离地面的高度即可， 【解答】解:∵AB=20米，BC=16米，AC⊥BC ∴AC²=AB²-BC²=20²-16² ∴AC=12米， ∵点8到地面的竖直距离为2米， ∴12+2=14米， ∴起重臂顶端A离地面的高度为14米， 故答案为:14. 9.如图,圆柱的高为12cm,底面圆的周长为18cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物,则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是　 　 cm. 9.【解答】：如图所示,圆柱的侧面展开图为长方形ACDE, ∴∠AEB=90°, 由题意知,BE=DE=×18=9(cm),AE=12 cm. ∴AB²= AE²+BE²=12²+9²=225 ∴ AB=15cm, 即蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm. 10.如图Rt△ABC中，AC=12，BC=5，分别以AB，AC，BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为　 　 . 10.[分析]利用勾股定理列式求出AB，再根据阴影部分的面积等于阴影部分所在的两个半圆的面积加上△ABC的面积减去大半圆的面积，列式计算即可得解。 【解答】解:∵AC=12,BC=5, ∴AB²=AC²+BC²=12²+5² ∴AB=13, ∴阴影部分的面积= = =30. 故答案为:30. 11.我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴，良工高士素好奇，算出索长有几?”此问题可理解为，如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为_______尺 11.【解答】解:设秋千的绳索长为x尺， 由题意知:OC=x-(5-1)=(x-4 )尺，CP'=10尺，OP'=x尺， 在Rt△OCP'中，由勾股定理得:(x-4 ) ²+10²=x², 解得:x=14.5， 故答案为:14.5. [总结]本题主要考查了勾股定理的应用，由勾股定理建立方程是解题的关键. 12.如图，一架25米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端离墙有7米. (1)求梯子靠墙的顶端距地面有多少米? (2)小东说“如果梯子的顶端沿墙下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向就滑动了4米。”他的说法正确吗?若不正确，请说明理由. 12.【解答】解:(1)如图， 由题意得AB=25，OB=7 ∴AO²=AB²- OB²=576 ∴A0=24 即顶端A距地面有24米 (2)他的说法不正确; 由题意得 ∴ ∴ ∴ ∴梯子水平滑动了8米，∴他的说法不正确， [总结]此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合思想的应用. 13.有一透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部 3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点4处。求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少? 13.【解答】∵高为12cm，底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，高容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A'D=5cm,BD=12-3+AE=12cm, ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A'， 连接A'B,则A'B即为最短距离， A'B²=A'D²+BD²=5²+12² ∴A'B=13(cm). 故蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是13cm . 14.早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载，如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，那么这三个整数叫做一组“勾股数”。在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表(其中m，n为正整数，且m>n): (1)探究a，b，c与m，n之间的关系并用含m，n的代数式表示:a=　 　 ，b=　 　 ，c=　 　 . (2)以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形?请说明理由。 14.【解答】解:(1)观察得，a=m²+n²，b=2mm,c=m²-n². 故答案为:m²+n²，2mn，m²-n²; (2) 以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，理由如下: ∵a²=(m²+n²)²=, b²+c²= ∴a²=b²+c², ∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形. [总结](1)根据给出的数据总结求出即可; (2)分别计算出a²，b²，c²，根据勾股定理的逆定理进行判断。 15.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大,随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源，如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知AB=1000m，AC=600m，BC=800m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响. (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离: (2)若该飞机的速度为14m/s，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭。 15.【解答】(1)解:如图，过点C作CD⊥AB于点D， ∵AB=1000m，AC=600m，BC=800m, ∴ AC² + BC² =600²+800²=1000²，AB²=1000²， ∴AC²+ BC² = AB² , ∴△ABC是直角三角形， ∴ ∴=480（m） 因为飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，480<500 所以着火点C受洒水影响. (2)解:如图，当EC=FC=500m时，飞机正好喷到着火点C， ∴ED=DE， 在Rt△CDE中，ED²=CE² -CD²=500²- 480² ∴ED=140(m)， 所以EF=2ED=280m. 因为飞机的速度为14m/s， 所以280÷14=20(s)， 20秒>15秒， 答:着火点C能被扑灭. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理 1.3勾股定理的应用 七年级数学上册北师大版（2024） 原卷 知识梳理 一、图形翻折问题 在遇到折叠问题时一定要注意折叠前后的边角对应关系，计算时联想到利用勾股定理对 新形成的直角三角形进行求解. 例1..如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，△BCD与△关于直线BD轴对称，BC=6，CD=3，点C与点对应，交AD于点E，则线段DE的长为( ) A. 3 B. C. 5 D. 二、风吹树折、折竹抵地问题 1、根据问题设出“树”或“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度; 2、根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长; 3、根据勾股定理列方程，把语言文字转化成数学模型进而求解。 例2.《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题:“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意思是:现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺?即:如图，AB+AC=9尺，BC=3尺，则AC=_____尺. 三、风吹荷花模型、水杯中筷子、水中竹竿(芦苇) 解决此类问题主要考虑物体前后状态变化由直角边到斜边的转化，而水深不变的情况 例3.如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米，竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为( ) A.1.5米 B.1.7米 C.1.8米 D.0.6米 四、求梯子滑落高度以及旗杆高度 注意：常考的是斜边不变，直角边发生改变的情况 要点:梯子在滑落的过程中梯子的长度(斜边)没有发生改变;旗绳在不同的状态下，绳子的长度是否发生改变，也就是抓住前后两个不同的状态下各因素形成直角三角形时不变的量是什么. 例4.如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为24m，梯子的底端B到墙根O的距离为7m，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么BD的长是_______m. 五、蚂蚁爬行、最短路径问题 蚂蚁爬行的最值问题是非常经典的一类最值问题，包括平面内的最短路径以及立体图形中的最短路径，不管哪种情况的最短路径本质就是两点之间的最短距离。立体图形中的最短路径需要熟练圆柱、立方体(长、宽、高三个方向的展开图)、圆锥等的展开图. 例5.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有 葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所示，把 枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺， 有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的 最短长度是______尺. 例6..如图所示，为了安全起见，要为一段高5米，斜边长13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少需要　 　 米长. 六、拓展：位置问题航行、信号塔、中转站等 1、根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形; 2、根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长; 3、根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 注意:1)轮船航行的题目要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长; 2)信号塔和中转站等题型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 例7.如图，某港口0位于南北延伸的海岸线上，东面是大海，远洋号、长峰号两艘轮船同时离开港0，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB=20海里，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，请判断“长峰”号航行的方向，并说明理由. 同步练习 1.如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为( ) A. B.28 C.128 D.100 2.已知直角三角形的两直角边分别为6和8，则该直角三角形斜边上的高为( ) A. B.10 C.5 D. 3.如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为8m，则的长为( ) A.1m B.2m C.3m D.4m 4.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=5m,一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为( )米,(边缘部分的厚度忽略不计) A.25cm B.20cm C.15cm D.21cm 5.如图，一个长方体工艺品的高为9cm，底面是边长为6cm的正方形、一只爬虫从底面顶点A沿该工艺品的表面爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为( ) A.10cm B.12cm C.15cm D.21cm 6.如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD=2米，则BE=　 　 米. 7.如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点140m(即BC=140m)，其结果是他在水中实际游了500m(即AC=500m)，则该河AB处的宽度是_______m. 8.为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车，此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅，如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知AB为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离BC为16米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为　 　 米. 9.如图,圆柱的高为12cm,底面圆的周长为18cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物,则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是　 　 cm. 10.如图Rt△ABC中，AC=12，BC=5，分别以AB，AC，BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为　 　 . 11.我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴，良工高士素好奇，算出索长有几?”此问题可理解为，如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为_______尺 12.如图，一架25米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端离墙有7米. (1)求梯子靠墙的顶端距地面有多少米? (2)小东说“如果梯子的顶端沿墙下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向就滑动了4米。”他的说法正确吗?若不正确，请说明理由. 13.有一透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部 3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点4处。求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少? 14.早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载，如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，那么这三个整数叫做一组“勾股数”。在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表(其中m，n为正整数，且m>n): (1)探究a，b，c与m，n之间的关系并用含m，n的代数式表示:a=　 　 ，b=　 　 ，c=　 　 . (2)以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形?请说明理由。 15.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大,随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源，如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知AB=1000m，AC=600m，BC=800m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响. (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离: (2)若该飞机的速度为14m/s，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭。 学科网（北京）股份有限公司 $$