山东省烟台市2024-2025学年高二下学期期末学业水平诊断数学试题

2024~2025学年度第二学期期末学业水平诊断 高二数学参考答案 一、选择题 1.C2.B3.D4.B5.A6.C7.B8.A 二、选择题 9.AC 10.ACD 11.BCD 三、填空题 12. 28 6 13. 14.12 15 四、解答题 15.解：1)令2xr2-x-1>0,解得x<-1或x>1. …2分 2 法→f国=，4-1 小…分 ln22x2-x-1 令f()>0,得x>4结合w的定义域，得x>1. …5分 令了国<0，得x<子结合倒的定义域得x<号 …4……6分 综上，f)单减区间为（←-0，-7，f儿）的单增区间为，+w).…7分 (法二)令y=l0g24,u=2x2-x-1, …3分 y=l0g24在其定义域内为增函数， …4分 u()的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线x=4,所以，当x∈（←0，时， u(x)单调递减，当x∈(L,+o)时，u(x)单调递增。 …5分 由复合函数单调性性质，当x∈(-o,一)时，f(x)单调递减，当x∈(L,+∞)时， f(x)单调递增， ……6分 综上，f)单减区间为(-0，一之，f)的单增区间为，+0).7分 (2)由题意f(x)≥2m-2 9分 由1D知，当xe号+o)时，f)单增，所以f(x)=f=log:2=1.…10分 于是2m-2≤1=2°， …11分 即m-2≤0，解得m≤2，故m的取值范围为(-0,2].…13分 16.解：(1)令x=y=0,可得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0.…1分 令y=-x,可得f(0)=f(x)+f(-x),所以f(-x)=-f(x).…3分 又f(x)的定义域为R,关于原点对称，故f(x)为奇函数.…4分 高二数学参考答案（第1页，共4页） (2)任取x1,x2∈[0，十0)，且<x2,则△r=x2-x>0,…5分 于是f(x)-f(x)=fx)-f(x+△)=f(:)-[f(x)+f(△r]=-f(△)，…7分 因为△r>0,所以-△x<0,由题意f(-△x)>0, 又f(x)为奇函数，所以f(-△x)=-f(△x)>0, 所以f(x)-f(x2)>0,即f(x)>f(x,),f(x)在[0，+o)上单调递减.…9分 因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(-o,0]单调递减， 所以f(x)在R上单调递减.… …10分 由f(x+y)=f(x)+f(y),可知f(5)=5f(I)=-10.…11分 所以不等式ft-1-2)-f1+1)>-10, 等价于f2-1-2)+f(-1-1)=f2-21-3)>f(5),…12分 所以t2-2t-3<5,解得-2<1<4。…14分 所以，原不等式的解集为{-2<1<4}.……15分 17,解：(1)由已知AP=V1600+x2,BP=20-x, …2分 所以y=m600+F+90(20-=mN1600+F- 9x,180 …4分 41 4141 其中0≤x≤20. …6分 x 9 (2)y'=m( …8分 V1600+x2 41 9 令y'=m >0,得9≤x≤20，··············10分 V1600+x2 41 令y=m( ·····12分 V1600+x2 4s0,得0sxs9, 所以y(x)在[0,9]上单调递减，在[9,20]上单调递增，当x=9时，y取最小值.…13分 此时y(9)= 1780m …14分 41 答：当CP的长度为9公里时，铺设电缆的费用最低，最低费用为1780m 万元.…15分 41 18解，当a=1时.=+1->0，国=-h …1分 令(x)=一，则h'x=-￡ .x2-2xlnx 2Inx-1 …2分 令h(x)=0,解得x=√ 。…3分 当0<x<√时，h(x)<0,h(x)单减：当x>√时，h(x)>0,h(x)单增. 高二数学参考答案（第2页，共4页） 所以，当x=VG时，h()取得极小值也是最小值(V6=- 2e 所以，曲线f(x)切线斜率的最小值为 …5分 2e (2)(i)g()=xhx+a-).)=lnx-ax+a+1. 若g(x)有两个不同的极值点，则g'(x)在(0，+0)上存在两个变号零点。…6分 令k)=gm)=1-ax>0) 当a≤0时，k(x)>0,g'(x)单增，此时g'(x)至多存在一个零点，舍去.…8分 当a>0时)-a=兰-片当0<x<时，>0.g单瑞当x 1 a a a 时，k)<0,g(x)单减所以，当x=时，g()取极大值g(白=a-1na.…9分 d 令pa=a-lna,则pa=1-上=a-l,所以0<a<1时，pa)<0,pa单减， 当a>1时，p(a)单增，所以p(a)存在极小值也是最小值p)=1. 所以，对a>0,恒有g(x)的极大值g'(白)=a-lna>1>0.…10分 当x→0时，g'(x)=lnx-ax+a+1→-o,g'(x)的图象在(0，-)连续不断，由零点 存在定理，存在x∈(0，)，使得g'(x)=0.当x→+0时，g'()→-0，同理，存在 x2∈（二，+0），使得g'(:)=0.所以，对Va>0,g'（(x)在(0，+o)上存在两个不同的变 号零点 综上，☑的取值范围为(0，十0).… …12分 (ii)不妨设x,x2是g'(x)=lnx-ar+a+l的两个零点，且x<x2,则 Inx-ax +a+1=0,Inx2-ax+a+1=0, In x2-Inx 两式相减得：a= 4…13分 x3-x1 两式相加得：lnx+lnx2+2a=a(x+x)-2, 于是要证xx2>e20,只需证lnx+lnx2>-2a,只需证a(x+x)>2,…14分 2点-) 即证 5-n5化+)>2，即证n点>2= (*).…15分 x2- xx+五3+1 x 事实上，令1=点>1，h0=ln1-2-,h0=1-4=《- >0,16分 1+1 t(t+1)2t(t+1)2 所以h(t)>h(I)=0,所以不等式(*)成立，所以原不等式成立。…17分 高二数学参考答案（第3页，共4页） 19.解：(1)依题意f'(x)=e-a, 当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在R上单调递增. …2分 当a>0时，令f'(x)=0得，e=a,即x=na. …3分 当x∈(-o,lna)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当xe(na,+o)时，f'(x)>0,f(x) 单调递增，………………4分 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递增，当a>0时，x∈(-o,lna)时，f(x)单调 递减，x∈(na,十0)时，f(x)单调递增.……5分 (2)(i)由(1)知，当a>0时，x=lna时f(x)取得最小值a-ana+l.6分 8')=a-2-ax-2 当r∈0,3时，g'<0,g)单调递减，当re己，+o) xX a a 时，g'(x)>0,g(x)单调递增.… …7分 2 所以，当x=二时g(x)取得极小值即最小值2+2na. …8分 d 由题意可知，a-ana+1=2+2lna,即(a+2)lna-a+1=0,…9分 令Fa=a+2na-a+l,则Fa=na+2,Fa)=a-2 a2, 所以当a∈(0,2)时，F"(a)<0,F'(a)单调递减，当a∈(2，+o)时，F"(a)>0,F'(a) 单调递增，所以F(a)取得最小值F'(2)=ln2+1>0, 所以F'(@)>0在(0，+o)上恒成立，所以F(a在(0，+0)上单增，…11分 又F()=0,所以a=1:…12分 (ii)因为f(x)=gc),所以e-x+1=52-21n 即x-e=0-2+h2)+h交-之 22 …13分 2 令0=1-1+nt>0),则h0)=-1+-- 可知h)在t=1时取得最大值0，所以h)≤0，即1-互+ln点≤0，…14分 2 所以x-c≤n兰-专=n2-e宁，当且仅当5=2时，“=”成立 22 2 令m()=1-e',则m')=l-e',当1>0时，m'()<0,m()单调递减. 所以，当：>2时，x,ln点e(0,+o),由m(x)<mn点)，得x>ln点 .…15分 2 2 当2∈(0,2】时，显然1n≤0<，… …16分 综上，x>h,即2e5>x2.… …17分 高二数学参考答案（第4页，共4页）2024~2025学年度第二学期期末学业水平诊断 高二数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区 书写的答案无效：在草稿纸，试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求。 1.命题“x∈R,x2+ax+1>0”的否定为 A.3r∈R,x2+ax+1>0 B.x∈R,x2+ax+1<0 C.3r∈R,x2+ax+1≤0 D.VxER,x2+ax+1s0 2.已知集合A=xy=1-x},B={xy=n(2-x)},则(C.4)∩B= A.(-0,月 B.1,2) C.[1,2) D.(-0,2) 3.设集合A={L,3,a},B=L,a+2},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实 数a的值为 A.-1 B.0 c.1 D.2 4函数∫)=（宁-gx的零点所在的一个区间为 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3.10) 5.函数f(x)=。x-simx在[-九，刊上的图象大致是 6.若函数f(x)=x3+ax2+b的图象关于点(2,0)对称，则实数a的值为 A.-3 B.3 C.-6 D.6 ?.若函数f(x)=x山x一x+k存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为 A.(-o,1) B.(0,1) C.(-o,c) D.(0,e) 高二数学试题（第1页，共4页） 8.已知f(x)为定义在(-o,0)U(0,+0)上的偶函数，且当x>0时，f'(x)-fx)>x2, 0=1,则f田>x的解集为 A.(-1,0)UL,+o)B.(-o,-)U0,1)C.(-1,0)U(0,1)D.(-D,-1)UL,+o) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列不等关系成立的有 A.37>0.7 B.Ig3<In0.9 C.log,4>logs6 D.0.43<0.34 10.若函数f)=)a'x2-3ar+21nx在x=1处取得极大值，则 A.a=1 B.a=2 C.(2,+∞)为f(x)的一个增区间 D.f(x)的极小值为2ln2-4 11.定义在R上的奇函数f(x)满足∫(2+x)=f(-x),当xe[0,】时，f(x)=√F,则下列 结论正确的有 A.当xe[2,3]时，f(x)=-√3-x B.f)的图象在x=2处的切线方程为2x+2√2y-5=0 C.f(x)的图象与g(x)=1g|x-1川的图象所有交点的横坐标之和为10 D四的图象与直线y=X+b怡有-个公共点，则实数be(4秋-片，4-宁(keZ) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知f(x,g(x)分别为定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)+g(x)=2,则 f(-1+1og23)的值为 13.若实数x满足f∫(x》=x。,则称x为函数∫(x)的一个“二阶不动点”.给定函数 2x,x f(x)= 2 则其所有“二阶不动点”的和为 2-2x,x> 14.已知正实数a.b满足aB-4=2abna-4bh2,则a2+8勋的最小值为 b 高二数学试题（第2页，共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=1og2(2x2-x-1). (1)求f(x)的单调区间： (2②若对任意的xe号回)，都有了)上2，求实数m的取值范盟 16.(15分)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),f)=-2,且x<0时， f(x)>0. (1)判断并证明∫(x)的奇偶性： (2)求关于1的不等式f(2-1-2)-f1+1)>-10的解集。 17.(15分)如图，某地计划在海中建设一风力发电站A,其离岸距离AC=40km,与AC 垂直的海岸线BC上有一升压站B,且BC=20km.现要铺设一条电缆将A站的电力传输 到B站，点P为海岸线BC上一点，线段AP,PB分别表示在海中、海岸线上铺设电缆的路 线，假设海中铺设电缆的费用为m万元/千米(m为给定正数)，海岸线上铺设电缆的费用为 9m万元/千米，CP的长度为x千米 41 (1)求铺设电缆总费用y关于x的函数关系式： (2)当CP的长度为何值时，铺设电缆总费用最小？求出最小费用. P B-TEEYTRC 高二数学试题（第3页，共4页） 18.17分)已知函数f)=血+a_4(acR). 2 (1)当a=1时，求曲线f(x)切线斜率的最小值： (2)若g(x)=x2f(x)有两个不同的极值点x,x2 (i)求a的取值范围： (ii)求证：x2>e20 19.(17分)已知函数f(x)=e-r+1(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性： (2)设g)=ax-2n,且f(x)与g()有相同的最小值. (i)求a的值： (ii)已知x,x2e(0,+o),且f(x)=g(x2),求证：2e>x2· (0KE0 高二数学试题（第4页，共4页）