河南省商丘市百师联盟2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题

2024~2025学年度高一下学期期末联考试卷·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A因为复数：满足Q-D=2所以：=吕=2=-1+i,所以=一1-i的虚部为-1故选A 2i(1+i) 2D由题意知0”0品，解得川=点故选D 3.D因为(0.010+0.015+0.020)×10=0.45<0.6，(0.010+0.015+0.020+0.030)×10=0.75>0.6，所以第60百分 位数位于[80,90)，设为x,则(0.010十0.015十0.020)×10+0.03(x一80)=0.6，解得x=85,即估计学生对食堂用餐质 量的评分的第60百分位数为85.故选D】 4,B设△ABC外接圆的半径为R,则2R=a sin A 是=82，即△AC外接圆的直径为8√反.故选B 2 5.A若n∥a,则存在lCa,使得n∥1，又m⊥a,所以⊥m,所以mLn,故“∥a”是“m⊥n”的充分条件：若m⊥n,则n可能 在平面a内，所以“n∥a”不是“m⊥n”的必要条件.综上，“n∥a”是“m⊥n”的充分不必要条件故选A 氏.A因为名cosC+合cosB=sinA,所以cosC叶cosB=asin A,由正弦定理得sin Beos C叶sin Cos B=sinA,整理得 sin(B+CO=sinA=simA,因为A∈(0，x),所以sinA≠0，故sinA-1,故A=受，所以△ABC为直角三角形.故选A. 7.C设圆锥的底面半径为r,因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为=2，则圆锥的高为h1=√4r一 =√3r,设圆柱的高为h2,又圆锥和圆柱的侧面积相等，所以xr·2r=2πr·h,解得h=r,所以这个圆锥和圆柱的体积 1 之比3”3一.故选 r2·r 8.C以A为坐标原点，AB,AD所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，所以A(0,0),E(3,1),设 Pm,3)(0≤m<3,所以Ad=(m,3,E=(m-3,2》,A.EP=(m,3)(m-3,2)=mm-3)+6=(m-号）'+ ≥，当且仅当m=号时等号成立，所以市.乎的最小值为卓赦选C 9BC在△ABC中，由余弦定理得B-d2+c2-2 aceos B,即(2)=(5)'+c2-2×6cos吾，解得c=2或c=2E. 故选BC 10.BD数据西2x焉，c(知<x2<<x<马<<)的极差为西一，新数据为，为，为，M,片%，片的极差为 为一为=4西十3一(4十3)=4（西一工），故A错误；设数据工工西西西的平均数为五，则工十西十西十工十x十 十=7云，所以新数据为%M5的平均数为十3+红士3汁红十3+红十3+红十3+红十3十十3-4 十3，当=一1时，x=4十3，故B正确：数据G心，，，西的中位数为西，新数据的中位数为为=4十3，当x≤ 【高一期末联考试卷·数学参考答案第1页（共4页）】 一1时，五≥4+3，故C错误：设数据，，西，，x,,x?的标准差为s(s>0),则2= -+,列+（西-）+（红-+国-+（国-》+-，新数据的方差为[(4知+3-4元 7 3)2+(4x2+3-4x-3)2+(4x3+3-4x-3)3+(4x,+3-4五-3)2+(4x+3-4x-3)2+(4x4+3-4元-3)2+ (4x十3一4元一3)]=16，新数据的标准差为4s,故新数据的标准差一定比原数据的标准差大，故D正确.故选BD 11.ACD在直三棱柱ABC-AB,C中，AA1⊥平面ABC,又BCC平面ABC,所以AA⊥BC,又AB=BC=2,AC= 22,所以AB+BC=AC,所以AB⊥BC,又AA∩AB=A,AA1,ABC平面ABB,A,所以BC⊥平面ABBA1,又 AMC平面ABB,A,所以BC⊥AM,故A正确：因为BB,∥AA,BB,丈平面ACC1A1,AAC平面ACCA,所以 BB∥平面AC℃A,所以VeA,=Vre=Vr=号×号×2X2X3=2,所以Vm,4=2V,=4,放B错 误：直三校柱A-A,BC外接球的半径R=含AB+BC+B诚=之V2+2干子=变，表面积为x(受)】 =17x,故C正确：将矩形BCCB1与矩形ABB:A1展开到同一平面内，连接AC,与BB相交于点M,故AC的长即 为MA,十MC的最小值，故最小值为√3+(2+2)=5，放D正确.故选ACD. 12.-2因为向量a,b的夹角为警，a=5,=4,所以(3a+b)·b=3a·b什6=3X5×4co警+华=-18+16=-2 13.号从分别写有1,23,45的5张卡片中不放回地随机抽取3张，样本空间包含(1,2,3)，(12,40.(1,2,5).(1,3,4)， (1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10个，抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的基本事件 为1,45.(2,35)，(24,5)，34,5)，共4个，所以抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率P=音=号 14.严2分)6E3分)连接AC,易得AC/AC,所以∠CAE为直线AE与AC所成的角或其补角.又AG =22,A,E=CE=5,由余弦定理得cos∠CAE=AC+AECE=2D土)5)=，即直线 2AC·A1E 2×22×/5 5 AE与AC所成角的余孩值为分别取CD,BG,BBAB,AD的中点F,G.M.N,H,连接ER,PG,GM,MN。 NH,HE,AB,DC1,因为AD∥BC且AD=B,C,所以四边形AB,CD是平行四边形，所以DC∥AB,因为F,M, N分别是C1D1,BB,AB的中点，所以EF∥CD,MN∥AB,所以MN∥EF,同理可得MG∥HE,FG∥NH,所以E, F,G,M,N,H六点共面，且六边形EFGMNH为边长为2的正六边形，因为CC⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所 以CC⊥BD,又BD⊥AC,AC∩CC=C,AC,CCC平面ACA,所以BD⊥平面ACA,又ACC平面ACA,所以 BD⊥AC,因为V,H分别为AB,AD的中点，所以NH∥BD,NH⊥AC,同理可得MN⊥AC,又NH∩MN=N, NH,MNC平面EFGMNH,所以A,C⊥平面EFGMNH,因为PE⊥A,C,所以点P的轨迹长度为6√2. 15.解：(1)由题意知1·≈=(a+2i)(2a+3+i)=(2a+3)a+ai+(2a+3)×2i+2=2a2+3a-2+(5a+6)i,…2分 2a°+3a-2=0, 又1·为纯虚数，所以 …4分 15a+6≠0， 解得a=一2或a=之 …6分 (2)因为复数名1是关于x的方程x2十mx十5=0(m∈R)的一个根， 所以(a十2i)2+m(a十2i)+5=0,整理得a2+a+1+(4a+2m)i=0, …8分 a2+a+1=0, 所以 10分 (4a+2m=0, 【高一期末联考试卷·数学参考答案第2页（共4页）】 解得a=1,m=-2,或a=一1，m=2,…12分 所以m十a=-2十1=-1，或m十a=2十（一1）=1.… 13分 2x+3=7. 16.解：(1)因为c=xa十b=zx(2,-3)+(3,m)=(2x+3,-3x+m)=(7,-5),所以 …2分 -3x+01=一5， 解得江=2，川=l.… …4分 (2)若a⊥b,则a·b=(2,-3)·(3,m)=6-3m=0,… 6分 解得m=2,小…7分 所以b=(3,2),a+2b=(2,-3)+2(3,2)=(8,1).a+2b=√8+1下=/65 …9分 6-3m>0, (3)因为a与b的夹角为锐角，所以a·b0且a,b不同向，即 …13分 2m-(-9)≠0， 解得m<2且m≠-号，即m的取值范围是(-∞，-号)U(一号，2). 15分 1.解：1)记“小张在两轮比赛中至少答对1题"为事件M,所以PM=1-PM=1-(1-号)×(1-号)=号 即小张在两轮比赛中至少答对1题的概率为分 8 …5分 (2)记“小张在两轮比赛中答对i题”为事件A,(=0,1,2),“小胡在两轮比赛中答对i题”为事件B,(i=0,1,2),“在两 轮比赛中，小张和小胡答对题目的个数相等”为事件C, 所以PA,)=(1-号)x(1-号)=日PA)=号×(1-号)+(-号)X号-台，A,)=号×号=合， P(B)=(1-含)×(1-）=子，P(B)=3×(1-)+(1-)×号=号，PB)=合×3=十，…11分 所以P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB,)=。X1+ +4×1=1超 9 4 36 13 即在两轮比赛中，小张和小胡答对题目的个数相等的概率为云， …15分 解：()因为C-5sinB十cosB,由正弦定理得nA-3nB十cO5B,所以sin C-sin Acos月周 sin A 3 3 sin Asin B. 又nC-inCA+B》=in Acos B+-oAsin B,.所以cos Asin B=-号inAsin B, …2分 又BE(0,x),所以simB>0,可得cosA=号sinA,即tanA=3, …3分 因为A∈(0，x),所以A= 3 …4分 (2)由余弦定理得a2=+2一2osA,即82=+2-bx≥2x-bx=x,所以bc≤64，…7分 当且仅当b=c=8时，等号成立，… …8分 所以△ABC的面积S=inA-c≤16,3，即△ABC的面积的最大值为16， 10分 （)③因为A=亭，所以B+C=亭，pcas(B+C)=之，即Beos C-s如BnC= Z,又因为cos Beos C=- 8 所以sin Bsin C 8 …12分 由正孩定理得动入后C看所以血C-受·会-治-景所以= -C ,……14分 由余弦定理可得d=6+e2-26cosA=B+2-k=(h十c)-3冰c,即a2=()】 …16分 【高一期末联考试卷·数学参考答案第3页（共4页）】 解得=5， ……17分 19.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC∥AD,又BC过平面PAD,ADC平面PAD,所以BC∥平面PAD, 2分 又平面PAD∩平面PBC=I,BCC平面PBC,所以l∥BC. …4分 (2)解：分别取BD,PB的中点O,G,连接EO,EG,OG,如图所示.因为PB=PD=2, PB⊥PD,所以BD=√PB+PD=2√2，又AB=2,AD=2/5,由余弦定理得cos∠ADB DADE AI_522-38,又AE=ED.所以ED=号DA- 2DA·DB 2×2/5×22 2,D0=号DB=.所以0=VED+0-BD~ZBD /2要）+EP-2X29×2×3看-号，所以ED=0+D0,所以010.即0LBD.…5分 10 又平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,EOC平面ABCD,所以EO⊥平面PBD,·6分 又OG.PBC平面PBD,所以ED1OG,B0⊥PB,因为O.G分别为BD,PB的中点，所以0G=PD=1,OG∥PD, 又PB⊥PD,所以PB⊥OG,又OG∩OE=O,QG,OEC平面OGE,所以PB⊥平面OGE,又EGC平面OGE,所以 PB⊥EG,所以∠EGO为二面角E-PB-D的平面角. …8分 因为mL0c.0-号.0G-1,所以cV00+D 2 +( ,所以sin/EGO- EO /22 11 即二面角E-PB-D的正弦值为平 ……10分 (3)解：连接PO,OA,如图所示，因为PB=PD=2,PB⊥PD,点O为BD的中点，所以PO=√2，PO⊥BD又 平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,POC平面PBD,所以PO⊥平面ABCD,又AOC平面ABCD, 所以PO⊥AO, 在△A0D巾，由余弦定理得A0=VDm+D0-2DA·D0ZA0=√@5)+(2)-2X25xE×3 =而，所以PA=VP0+O=25,又PB=AB=2,所以Sam=·PA·√PB-()=5, 显然点E不与点A重合，设AE=λAD(0<≤1)， 所以Verw=Ae=m=·5m·P0=A·子×合×2后x2厄×eX疗=2号. 10 设E到平面PAB的距离为，则号×厅×=2号1.解得A=2,又直线PE与平面PAB所成角的余弦值为气 3 ,所 26 以 ）,所以PE=25X.…14分 在△PAD中，PA=2/5,AD=25,PD=2,则cos∠PAD=AP+AD-PD=12+20-4 7 2AP·AD 2×23×2525 在△PAE中，APLAEPE=o∠PAE,即22012=，7，整理得2x-7x十3=0， 2AP×AE 2×25×25x2/15 解得入2或入=3（含），所以PE=25a=5. ……17分 【高一期末联考试卷·数学参考答案第4页（共4页）】2024~2025学年度高一下学期期末联考试卷 数 学 考生注意: 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。 2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑:非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水荟字笔在答题卡上各题的答题区城内作答, 超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围:人教A版必修第二册。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.已知复数x满足(1一i)z=2i,则z的虚部为 A.-1 B.1 C.-i D.i 2.某羽毛球俱乐部有A队和B队,其中A队有80名学员,B队有60名学员,为了解俱乐部学员的羽毛 球水平,用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为m的样本,已知从B队中抽 取了15名学员,则m的值为 A.30 B.25 C.40 D.35 3.某校为了加强食堂用餐质量,该校随机调查了400名学生,得到这400名学生对食堂用餐质量给出的 评分数据(评分均在[50,100]内),将所得数据分成五组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90), [90,100],得到如图所示的频率分布直方图,估计学生对食堂用餐质量的评分的第60百分位数为 率 组距 0.030 0.025 0.02 0.015 0.010 0V5060708090100评分 A.82.5 B.81.5 C.87.5 D.85 4.在 ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,6:c,且a=8,A=,则 ABC外接圆的直径为 A.42 B.82 C.122 D.162 【高一期末联考试卷 数学第1页(共4页)】 5.已知m,n是两条不同的直线,a表示平面,且m⊥a,则“n∥a”是“m⊥n”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C,充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.记 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,且白cosC+后cosB=sinA,则 ABC是 A.直角三角形 B锐角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 7.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和侧面积分别相等,且圆锥的轴截面是等边三角形,则这个圆锥和圆 柱的体积之比为 A号 B.2 c D.3 8.已知正方形ABCD的边长为3,点E是边BC上的一点,且CE=2EB,点P是边DC上的一点,则 A户.EP的最小值为 A号 B号 c DH 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部 选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.在 ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c且B=,a=6,b=2,则c的可能取值为 A.3 B.2 C.2√2 D.23 10.已知-组数据:35x,x,(x1<工2<x<x4<x6<x6<x),由=4x,十3(i=1,2,3,4, 5,6,7)生成的一组新数据为yy4%y%,4则 A.新数据的极差可能与原数据的极差相等 B.新数据的平均数可能与原数据的平均数相等 C.新数据的中位数一定比原数据的中位数大 D.新数据的标准差一定比原数据的标准差大 11.在直三棱柱ABC-A1B,C1中,AA=3,AB=BC=2,AC=2,W2,点M是棱BB1上的一点,则下列说 法正确的是 A.AM⊥BC B.四棱锥M-ACC1A,的体积为2 C.直三棱柱ABC-A1B,C外接球的表面积是17 D.MA1+MC的最小值为5 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知向量a,b的夹角为,a=3,b=4,则(3a+b) b= 13.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中不放回地随机抽取3张,则抽到的3张卡片上的数字之和不小 于10的概率为 14.在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD1中,点E是棱DD1的中点,则直线AE与AC所成角的余 弦值为 :点P是正方体表面上的一动点,且满足EP⊥AC,则动点P的轨迹长度是 【高一期末联考试卷 数学第2页(共4页)】 、, 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 设a∈R,复数之1=a十2i,=2a+3+i (1)若 2为纯虚数,求实数a的值: (2)若复数≈1是关于x的方程x2十mx十5=0(m∈R)的一个根,求n十a的值. 16.(本小题满分15分) 已知平面向量a=(2,一3),b=(3,m),m∈R (1)若c=(7,一5),且c=m十b,求x和m的值; (2)若a⊥b,求|a+十2bl的值; (3)若a与b的夹角为锐角,求m的取值范围. 17.(本小题满分15分) 小张和小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛,每轮由小张和小胡各回答一个问题,已知小张每轮 答对的概率为号,小胡每轮答对的概率为2 在每轮比赛中,小张和小胡答对与否互不影响,各轮结果 也互不影响。 (1)求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率; (2)求在两轮比赛中,小张和小胡答对题目的个数相等的概率 18.(本小题满分17分) 在 ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且二=5simB+cosB. "a3 (1)求A: (2)若a=8,求 ABC的面积的最大值; (3)若cos Beos C=-} 日6叶c=求a 19.(本小题满分17分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,平面PBD⊥平面ABCD,PB=PD=AB =2,AD=2√5,PB⊥PD,点E是棱AD上的一点. (1)记平面PAD与平面PBC的交线为l,求证:l∥BC; (2)若AE=2ED,求二面角E-PB-D的正弦值; (3)若直线PE与平面PAB所成角的余弦值为号求线段PE的长. 【高一期末联考试卷 数学第4页(共4页)】