精品解析：北京市西城区2024--2025学年八年级下学期数学期末试卷

北京市西城区2024--2025学年八年级下学期数学期末试卷 注意事项 1．本试卷共8页，共两部分，四道大题，26道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分．第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将考试材料一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，2，2 B. C. D. 2，3，4 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【分析】解：A.∵，∴不能构成直角三角形，故选项不合题意； B. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不合题意； C. ∵，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意； D. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不合题意． 故选：C． 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题关键．根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A.和不是同类项，不能合并，选项计算错误，故不符合题意； B. ，选项计算错误，故不符合题意； C. ，选项计算错误，故不符合题意； D. ，选项计算正确，故符合题意； 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，已知两点在直线上，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．根据一次函数的性质，，随的增大而增大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴． 故选：A． 5. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直且平分 C. 菱形的对角线互相垂直且平分 D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊四边形的性质一一判断即可； 【详解】解：A、正确，平行四边形的对角线互相平分； B、错误，应该是矩形的对角线相等且互相平分； C、正确，菱形的对角线互相垂直且平分； D、正确，正方形的对角线相等且互相垂直平分； 故选：B． 【点睛】本题考查命题与定理、特殊四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质，属于中考常考题型． 6. 如图是甲、乙两名同学的5次引体向上练习成绩的折线统计图，下列判断正确的是（ ） A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 甲的最好成绩比乙的最好成绩高 C. 甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 D. 甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，平均数、中位数与方差．从折线图中得到必要的信息是解决问题的关键．根据统计量的确定方法确定相应的统计量，再判断即可． 【详解】解：A、由折线统计图可以看出甲成绩的波动小于乙成绩的波动，即甲的成绩比乙的成绩稳定，故选项A正确，符合题意； B、由折线统计图可以看，甲的最好成绩为9，乙的最好成绩为10， 所以甲的最好成绩比乙的最好成绩低，故选项B不正确，不符合题意； C、甲的成绩的平均数为（个），乙的成绩的平均数为（个） 所以甲的成绩的平均数与乙的成绩的平均数相同，故选项C不正确，不符合题意； D、甲的成绩的中位数与乙的成绩的中位数均为8个，故选项D不正确，不符合题意． 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线为常数，的交点为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；先利用直线的解析式确定点A坐标，然后结合函数特征写出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 当时，， 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质、轴对称-最短路线问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，结合函数图象分三种情形计算分析即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，如图1， ， 关于直线的对称点， 连接交于点，此时取最小值等于， 又， 轴， ， 故①正确，②错误； 连接并延长交直线于，如图2， 此时，取最大值等于， 设直线为， ， ， ， 直线为， 联立方程组， ， 此时， 故③错误； 由题意，连接，作的垂直平分线交于点，如图3， ， 取得最小值为， 在的垂直平分线上， ， 的中点为， 直线为， 的垂直平分线为， 联立方程组， ， ，此时取得最小值， 故④正确； 综上，正确的有①④； 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得． 【详解】解：由题意可得， ， ， 故答案为：． 10. 在中，若，则∠D为______度． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等，对边平行是解题的关键． 根据平行四边形的性质，可得，，再结合，可得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45 11. 请写出一个图象过原点且随的增大而减小的一次函数解析式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的性质，一次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，当时，函数图象过原点．此外本题的答案不唯一，只要满足k为负数，即可． 【详解】解：∵一次函数图象过原点且随的增大而减小， ∴一次函数解析式可以是． 故答案为：．（答案不唯一） 12. 在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度后，所得直线的解析式是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查的是一次函数的图象与几何变换，根据直线平移k值不变，只有b发生改变解答即可，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键． 【详解】∵直线向下平移了2个单位长度， ∴由“上加下减”的原则得：平移后的解析式为：，即， 故答案为：． 13. 如图，已知菱形的边长为，则菱形的面积等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的面积，过点D作于点E，根据的直角三角形的性质求出长，在利用勾股定理求出长，然后根据菱形的面积公式计算解题． 【详解】解：过点D作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在Rt与Rt中，，点和点位于边的同侧，为边的中点．连接，若，则______． 【答案】77 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出． 由直角三角形斜边中线的性质推出，，得到，推出． 【详解】解：，为边的中点， ，， ， ， ． 故答案为：77． 15. 如图，在中，．以，，为边分别向外作正方形，正方形，正方形，过点M，N分别作，再适当延长相关线段得到四边形，那么四边形的面积等于______． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明，得到，，然后出的邻边长求出面积即可． 【详解】解：延长交于点H， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 同理， ∴，， 又∵， ∴是矩形， ∴，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 16. 如图1，是矩形的对角线，点从点出发，沿在线段和上运动，运动到与点重合时停止(当两点重合时，记连接这两点所得线段的长度为0)．作，垂足为点．记点的运动路程为，线段PQ与DQ长度的差为，即，图2反映了点运动的过程中，与之间的对应关系，那么______，图2中点的坐标为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，图象表示变量之间的关系等知识点，读懂图象上各点表示的意义是解题的关键． 对于第一空：根据题意可知当点P到达点C的位置时，点P、Q、C三点重合，有最小值，此时，长为的相反数，从而得解； 对于第二空：先分析出当点的运动路程为时，点P在点上，则设，则，，，再用勾股定理建立方程求出x，由点E即为点P在点B处时对应的点即可得解． 【详解】解：当点P到达点C的位置时，点P、Q、C三点重合，有最小值， 即， ∴在矩形中，， 由题意可知：当点P在上时，(点D除外)， 否则由可得是等腰直角三角形，继而得到，从而得到始终相等，即图象无第一象限部分， ∵当点的运动路程为时，， ∴此时点P在点上， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴，即， 解得：， ∴，， 由题意可知：点E即为点P在点B处时对应的点， 此时点Q与点C重合， ∴此时， ， ∴点的坐标为， 故答案为：3；． 三、解答题（共68分，第17题8分，第18题10分，第19题7分，第题，每题8分，第23题10分，第24题9分） 17. 计算： （1）： （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先运算二次根式的乘法和化简二次根式，再进行加减运算即可； （2）利用平方差公式进行运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求该一次函数的解析式； （2）在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）求直线，直线与轴围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴交点，画一次函数，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据点和画出函数图像； （3）求出交点坐标和两直线与x轴的交点坐标，根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过点和， 解得 一次函数的解析式是． 【小问2详解】 解：该一次函数的图象如图所示． 【小问3详解】 解：设直线与轴的交点为，与直线的交点为． 对于一次函数，令，解得． 点的坐标为． 解方程组得 点的坐标为． 设所求三角形的面积为． ． 19. 已知：如图，． 求作：射线，使得平分． 作法：①在射线上取点，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点； ②分别以点，点为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点（不与点重合）， ③作射线． 射线就是所求作的射线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． = ， 四边形是 （填“矩形”“菱形”或“正方形”） （ ）（填推理的依据） 平分（ ）（填推理的依据）． 即平分． 【答案】（1）见解析 （2）；菱形；四条边相等的四边形是菱形；菱形的每一条对角线平分一组对角 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，菱形的判定与性质，角平分线的定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）连接由，可得四边形是菱形（四条边相等的四边形是菱形），则平分，（菱形的每一条对角线平分一组对角） 即可解答． 【小问1详解】 解：作图如图所示． 【小问2详解】 证明：连接，如图 ， 四边形是菱形． （四条边相等的四边形是菱形）． 平分 （菱形的每一条对角线平分一组对角） 即平分． 故答案为：；菱形；四条边相等四边形是菱形；菱形的每一条对角线平分一组对角 20. 如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接并延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，，若，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明是△的中位线，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，进而证明，再证明四边形是平行四边形，然后由平行四边形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 证明：点，分别是，的中点， 是△的中位线， ， ， 四边形平行四边形； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 即线段的长为6． 21. 小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路补全以下证明过程． 证明：如图，作，垂足为点，设与的交点为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， = ， ． 【答案】，，，，，，， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，作，垂足为点，设与的交点为，由得，进而可得，得到，又由四边形为矩形得，即得，即得到，即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】证明：如图，作，垂足为点，设与的交点为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：，，，，，，，． 22. 某校为了解七年级和八年级学生的体育与健康知识掌握情况．从这两个年级的学生中各随机抽取了30名学生进行有关测试，获得了这些学生的成绩(成绩用x表示，满分100分)．并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．抽取的七年级学生测试成绩： 65，68，72，72，75，78，80，81，82，82，83，83，84，84，85 85，86，86，86，87，88，89，91，93，95，96，97，98，99，100 b．抽取的八年级学生测试成绩的频数分布直方图(数据分成5组：)： c．抽取的八年级学生测试成绩在这一组的是： 85，85，86，87，87，88，89，89，89 d．抽取的七、八年级学生测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 85 85 m 八年级 88 n 89 根据以上信息解答下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）表中 ， ； （3）在此次测试中，七、八年级各有学生考了88分，这个成绩在哪个年级排名更靠前？回答并说明理由； （4）此次测试成绩85分及85分以上为优秀．若该校八年级有300名学生，假设八年级的学生都参加此次测试，估计八年级学生成绩优秀的人数． 【答案】（1）见解析 （2）86，88.5 （3）这个成绩在七年级排名更靠前，理由见解析 （4）人 【解析】 【分析】此题考查了频数(率分布直方图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． （1）先用减法求出这一组的人数，再补全频数分布直方图即可： （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）根据中位数的意义求解即可； （4）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【小问1详解】 这一组的人数为：； 补全频数分布直方图如图： 【小问2详解】 解：由题意知86出现的次数最多，有三次，， 八年级的中位数是第15和16个数字的平均数，即这一组的第6和第7个数字的平均数， ∴， 故答案为：86，88.5； 【小问3详解】 七年级学生排名更靠前， 因为88分大于七年级学生测试成绩的中位数85， 所以七年级该学生超过七年级一半学生， 故七年级学生排名更靠前； 【小问4详解】 (名， 答：估计八年级学生成绩优秀的人数为210名． 23. 小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． （1）函数的自变量的取值范围是 ，的取值范围是 ； （2）由设计如下画图方案： 将直线在轴下方的部分沿轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系xOy中画出函数的图象； （3）利用函数图象解决问题： ①当时，的取值范围是 ； ②当时，的取值范围是 ； ③若对于每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）全体实数， （2）见解析 （3）①； ②或；③ 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，一次函数与一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据函数，即可解答： （2）根据题意作图即可； （3）①根据函数图像，即可解答；②根据函数图像，即可解答；③画出一次函数，的图像，根据题意列出一元一次不等式，即可解答． 【小问1详解】 解：由函数得 ∴自变量的取值范围是全体实数，的取值范围是． 故答案为：全体实数，． 【小问2详解】 如图所示 【小问3详解】 ①由图像可知，当时，；； ②由图像可知，当时，或； ③如图所示 ∵对于的每一个值，函数的值都小于函数的值， ∴当时，，解得； 当时，，解得； ∴k的取值范围为． 24. 在矩形中，，两边的长满足的平分线交边于点于点，连接，，线段的延长线交于点，交于点． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时， ①求证：点为线段的中点； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据矩形的性质和角平分线的定义得到，进而得到即可解题； （2）①连接，证明即可得到，然后根据等角的余角相等得到，然后根据等角对等边得到结论即可； ②连接，取的中点，连接，，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，进而求出，利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：如图． 四边形为矩形， ． 的平分线交于点， ． ， ． ． ． ． ， ． 【小问2详解】 ①证明：如图，连接． 已证． ． ． ． ， ， ． ． ． ，即点为线段的中点． ②． 证明：如图，连接，取的中点，连接，． 的中点为， 分别是的外角， 四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分） 25. 在平面直角坐标系中，以方程的解为坐标的点在直线上；反过来，直线上的点的坐标是方程的解． 以不等式的解为坐标的点在直线的上方；反过来，在直线的上方的点的坐标是不等式的解． 以不等式的解为坐标的点在直线的下方；反过来，在直线的下方的点的坐标是不等式的解． 如图，已知直线，直线和直线． （1）点在直线的_____方，点在直线的_____方（填“上”或“下”）； （2）以不等式组的解为坐标的点的全体记为图形．已知直线（为实数）与图形的公共部分为线段（点可与点重合），若对于线段上的任一点，在线段上都存在点，使得，则的取值范围是_____． 【答案】（1）下，上 （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征； （1）把和分别代入函数解析式求出函数值和点的纵坐标比较解答即可； （2）根据题意可得，然后分为点，在直线和上或点，在直线和上，两种情况令，根据横坐标的差列不等式求出m的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点在直线的下方， 当时，， ∴点在直线的上方， 故答案为：下，上； 【小问2详解】 解：∵对于线段上的任一点，在线段上都存在点，使得， ∴， 当点，在直线和上， 令，则，， 解得，， ∴， 解得：； 当点，在直线和上， 令，则，， 解得，， ∴， 解得， ∴m的取值范围为， 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，对于对角线交点为原点的正方形和它的边上任意一点，给出如下定义：记点所在边的中点为，线段OM的长度为．将线段沿射线的方向平移个单位长度得到线段，以点为顶角顶点，分别作顶角都为的等腰三角形和等腰三角形，连接．若线段上的点都在该正方形的内部或边上，则称点为该正方形的“美好点”． 已知正方形的顶点坐标分别为，，，． （1）如图1，点在边上， ①在点，中，点 是正方形的“美好点”； ②若点E，F的横坐标满足，当时，点的坐标为 ； （2）若直线上存在正方形的“美好点”，则的取值范围是 ； （3）如图2，与正方形大小相同的正方形的顶点在坐标轴上．若直线上既存在正方形的“美好点”又存在正方形的“美好点”，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）或或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）①和所在的线段为，的中点为点，此时与重合，连接，，将，沿着射线方向平移2个单位得到，，然后将，绕点顺时针和逆时针旋转分别得到、、、，连接、，从图象中即可判断出答案；②取的中点为，那么，连接，将沿着射线的方向平移2个单位，得到，将绕点顺时针和逆时针旋转分别得到和，过点作轴于点，过点作于点，可证，那么，，此时点与点重合，点落在线段上，然后利用勾股定理可求得的长度，得到点坐标； （2）当“美好点”在线段时，由（1）②可知，当点坐标为时，点点落在线段上，为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往右移动，那么将代入，得到，当“美好点”在线段时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的横坐标要大于等于小于等于，那么或．同理讨论出那么当“美好点”在线段时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的纵坐标要大于等于小于等于，那么．当“美好点”在线段时，；当“美好点”在线段时，那么或，从而得出答案． （3）由（2）可知，正方形的美好点需要在、、、上移动，其中，，和，，，和；同理可求得正方形的美好点需要在、、、上移动，其中 ，，，， ，，， 因为直线上既存在正方形的“美好点”又存在正方形的“美好点”，那么直线可以在直线和之间移动，也可以在和之间移动，也可以与直线、直线重合，从而求得答案． 【小问1详解】 解：①由题意可知，和所在的线段为，的中点为点，此时与重合，连接，，将，沿着射线方向平移2个单位得到，，然后将，绕点顺时针和逆时针旋转分别得到、、、，连接、，如图所示： 从上图可知，线段上的点都在该正方形的内部，那么在是正方形的“美好点”； 故答案：； ②已知正方形的顶点坐标分别为，，，． ， 取的中点为，那么，连接，将沿着射线的方向平移2个单位，得到，将绕点顺时针和逆时针旋转分别得到和，过点作轴于点，过点作于点，如图所示： 在线段上，不妨设， 点纵坐标为2， 不妨设，那么， ， ， ，，， ， ， 点在第一象限， 点在第一象限， ，， ， ，， 点与点重合，点落在线段上，如图所示： 将沿着射线方向平移2个单位，得到， ， ， ，， ， ， ， （舍去负值）， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：直线上存在正方形的“美好点”， 点为直线与正方形的交点， 当“美好点”在线段时，由（1）②可知，当点坐标为时，点点落在线段上，为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往右移动，那么将代入，得到， ， ， 如图所示： 同理可求得当落在线段上，可求得，将代入，得到，可求得，为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往左移动，如图所示： 那么当“美好点”在线段时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的横坐标要大于等于小于等于． 根据正方形的对称性，可知，当“美好点”在线段时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的横坐标要大于等于小于等于． 当“美好点”在线段或者时，可知点在，连接，将沿着射线的方向平移2个单位，得到，将绕点顺时针和逆时针旋转分别得到和，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： 当落在线段上，点在第二象限，由（1）②可知，，， ， ， ， ， 不妨设，那么，， ， ， （舍去负值）， ， 为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往上移动； 同理可求得当落在线段上，，为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往下移动，如图所示： 那么当“美好点”在线段或时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的纵坐标要大于等于小于等于． 综上，可知正方形的美好点需要在、、、上移动，其中，，和，，，和，如图所示： 当正方形的美好点在、上移动时， 当直线过时，将代入，得到，解得，那么， 将代入，得到，可知也过直线； 当直线过时，将代入，得到，解得，那么，将代入，得到，可知也过直线； 综上，当正方形的美好点在、上移动时，或； 当正方形的美好点在、上移动时， 当直线过时，将代入，得到，解得，那么， 将代入，得到，可知也过直线； 当直线过时，将代入，得到，解得，那么，将代入，得到，可知也过直线； 那么当正方形的美好点在、上移动时，； 或或； 【小问3详解】 解：与正方形大小相同的正方形的顶点在坐标轴上，如图所示： 由题意可知，， 已知正方形的顶点坐标分别为，，，， ， ，，，， 由（2）可知，正方形的美好点需要在、、、上移动， 其中，，和，，，和； 同理可求得正方形的美好点需要在、、、上移动，其中 ，，，，， ，，，即如图所示： 设直线为，代入和， 有， 解得， 那么直线为； 同理可求得直线为：； 直线为：； 直线为：， 直线为：， 直线为： 因为直线上既存在正方形的“美好点”又存在正方形的“美好点”，那么直线可以在直线和之间移动，也可以在和之间移动，也可以与直线、直线重合， 当与直线重合时，那么有； 当与直线重合时，那么有； 当与直线重合时，那么有； 当与直线重合时，那么有； 当与直线重合时，那么有； 当与直线重合时，那么有； 那么当直线在直线和之间移动，； 直线在和之间移动，； 综上，或或． 【点睛】本题考查了“美好点”，旋转的性质，一次函数与几何综合，30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能读懂“美好点”的含义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市西城区2024--2025学年八年级下学期数学期末试卷 注意事项 1．本试卷共8页，共两部分，四道大题，26道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分．第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将考试材料一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，2，2 B. C. D. 2，3，4 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知两点在直线上，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，不正确是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直且平分 C. 菱形的对角线互相垂直且平分 D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分 6. 如图是甲、乙两名同学的5次引体向上练习成绩的折线统计图，下列判断正确的是（ ） A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 甲的最好成绩比乙的最好成绩高 C. 甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 D. 甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线为常数，的交点为，则关于的不等式的解集为（ ） A B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________． 10. 在中，若，则∠D为______度． 11. 请写出一个图象过原点且随的增大而减小的一次函数解析式：______． 12. 在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度后，所得直线解析式是______． 13. 如图，已知菱形的边长为，则菱形的面积等于______． 14. 如图，在Rt与Rt中，，点和点位于边的同侧，为边的中点．连接，若，则______． 15. 如图，在中，．以，，为边分别向外作正方形，正方形，正方形，过点M，N分别作，再适当延长相关线段得到四边形，那么四边形的面积等于______． 16. 如图1，是矩形的对角线，点从点出发，沿在线段和上运动，运动到与点重合时停止(当两点重合时，记连接这两点所得线段的长度为0)．作，垂足为点．记点的运动路程为，线段PQ与DQ长度的差为，即，图2反映了点运动的过程中，与之间的对应关系，那么______，图2中点的坐标为______． 三、解答题（共68分，第17题8分，第18题10分，第19题7分，第题，每题8分，第23题10分，第24题9分） 17. 计算： （1）： （2）． 18. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求该一次函数的解析式； （2）在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）求直线，直线与轴围成的三角形的面积． 19. 已知：如图，． 求作：射线，使得平分． 作法：①在射线上取点，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点； ②分别以点，点为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点（不与点重合）， ③作射线． 射线就是所求作的射线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． = ， 四边形是 （填“矩形”“菱形”或“正方形”） （ ）（填推理依据） 平分（ ）（填推理的依据）． 即平分． 20. 如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接并延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，，若，求线段的长． 21. 小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路补全以下证明过程． 证明：如图，作，垂足为点，设与的交点为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， = ， ． 22. 某校为了解七年级和八年级学生的体育与健康知识掌握情况．从这两个年级的学生中各随机抽取了30名学生进行有关测试，获得了这些学生的成绩(成绩用x表示，满分100分)．并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．抽取的七年级学生测试成绩： 65，68，72，72，75，78，80，81，82，82，83，83，84，84，85 85，86，86，86，87，88，89，91，93，95，96，97，98，99，100 b．抽取的八年级学生测试成绩的频数分布直方图(数据分成5组：)： c．抽取的八年级学生测试成绩在这一组的是： 85，85，86，87，87，88，89，89，89 d．抽取的七、八年级学生测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 85 85 m 八年级 88 n 89 根据以上信息解答下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）表中 ， ； （3）在此次测试中，七、八年级各有学生考了88分，这个成绩在哪个年级排名更靠前？回答并说明理由； （4）此次测试成绩85分及85分以上为优秀．若该校八年级有300名学生，假设八年级的学生都参加此次测试，估计八年级学生成绩优秀的人数． 23. 小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． （1）函数的自变量的取值范围是 ，的取值范围是 ； （2）由设计如下画图方案： 将直线在轴下方的部分沿轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系xOy中画出函数的图象； （3）利用函数图象解决问题： ①当时，的取值范围是 ； ②当时，的取值范围是 ； ③若对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围． 24. 在矩形中，，两边的长满足的平分线交边于点于点，连接，，线段的延长线交于点，交于点． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时， ①求证：点为线段的中点； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分） 25. 在平面直角坐标系中，以方程的解为坐标的点在直线上；反过来，直线上的点的坐标是方程的解． 以不等式的解为坐标的点在直线的上方；反过来，在直线的上方的点的坐标是不等式的解． 以不等式的解为坐标的点在直线的下方；反过来，在直线的下方的点的坐标是不等式的解． 如图，已知直线，直线和直线． （1）点在直线的_____方，点在直线的_____方（填“上”或“下”）； （2）以不等式组的解为坐标的点的全体记为图形．已知直线（为实数）与图形的公共部分为线段（点可与点重合），若对于线段上的任一点，在线段上都存在点，使得，则的取值范围是_____． 26. 在平面直角坐标系中，对于对角线交点为原点的正方形和它的边上任意一点，给出如下定义：记点所在边的中点为，线段OM的长度为．将线段沿射线的方向平移个单位长度得到线段，以点为顶角顶点，分别作顶角都为的等腰三角形和等腰三角形，连接．若线段上的点都在该正方形的内部或边上，则称点为该正方形的“美好点”． 已知正方形的顶点坐标分别为，，，． （1）如图1，点在边上， ①在点，中，点 是正方形的“美好点”； ②若点E，F的横坐标满足，当时，点的坐标为 ； （2）若直线上存在正方形的“美好点”，则的取值范围是 ； （3）如图2，与正方形大小相同的正方形的顶点在坐标轴上．若直线上既存在正方形的“美好点”又存在正方形的“美好点”，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$