精品解析：湖北省襄阳市高新区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024-2025学年度下学期期末水平质量监测 八年级数学试题 （满分：120分 考试时间：120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将其序号在答题卡上涂黑作答） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是（ ） A. 1，， B. 2，3，4 C. ，， D. 5，12，14 3. 若点在一次函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，矩形的对角线、相交于点，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 某校七（2）班部分学生代表某区参加市级劳动技能团体决赛，比赛结束后十位评委独立给出分数，得到一列数．为公平起见，去掉一个最高分和一个最低分作为评委给分，从而得到一列新数，则这两列数的相关统计量中，一定相等的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. 3 C. D. 7. 在体育中考中，某校20名学生引体向上的成绩录入电脑后，计算得出这20名学生的平均成绩为10个，方差为（方差公式为，其中表示一组数据的总个数，为这组数据的平均数）．电脑录入员核对成绩时，发现两名学生成绩有误，其中一名学生成绩应为12个，错误输入为11个；另一名学生成绩应为8个，错误输入为9个，更正后实际成绩方差为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，已知中，点是边的中点，过点作交于点，交于点，下列说法不正确的是（ ） A. 若，则四边形菱形 B. 若平分，则四边形是菱形 C. 若，则四边形是矩形 D. 若，则四边形是正方形 9. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何”（丈、尺都是长度单位，1丈尺．）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（ ） A. 6尺 B. 7尺 C. 8尺 D. 9尺 10. 已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，满分15分，把答案填在答题卡的相应位置上） 11. 请任意写一个二次根式：________． 12. 为了解某校学生英语口语考试情况（口语成绩满分30分），随机抽取100名学生的口语成绩进行了统计，统计结果如表所示，则这50名学生英语口语成绩的众数是________． 口语成绩 29 28 27 26 26分以下 人数 10 20 25 35 10 13. 一次函数与一次函数的图象如图，两函数图象的交点的横坐标为，且直线与轴交点的横坐标为，则不等式组的解集是________． 14. 如图，四边形、、、、都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为，，，则正方形的边长为______． 15. 已知中，，点、分别是、边上的一点，满足，，若、分别是、的中点，则的长为______． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内） 16. 计算：． 17. 某小区内有一块如图所示的四边形空地，米，米，米，且，计划将这块空地建成一个花园，以美化小区环境，求花园的面积． 18. 阅读下列材料 材料一：，，像与、与这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们称这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 材料二：解决利用，（，，、均为常数且）求、的值时，可以利用材料一中的方法解决，也可以建立关于，的二元一次方程组进行，但应注意二次根式成立的条件． （1）式子的有理化因式为________； （2）若关于的两个方程，都成立，求的值． 19. 如图，已知点是矩形边延长线上一点，，连接，点是矩形边上方一点，且． （1）请用无刻度直尺（不使用圆规）作于（只保留作图痕迹，不需要说明作图过程和证明）： （2）请在边上找一点，以、为边作矩形，使所作矩形的第四个顶点在矩形内部，并证明你所作四边形为矩形．（注：可以直接使用第（1）问中的结论） 20. 综合与实践 我们研究一个新函数，一般从定义、图象、性质等方面进行．函数图象的性质一般包括函数图象的对称性、自变量内函数图象所有的增减性、函数图象的最值等．教科书第108页第11题让我们画出函数的图象，这是一个绝对值函数，小明所在班级开展了数学探究，请跟随小明一起完成下列探究任务． （1）函数自变量的取值范围是________； （2）①函数中、部分对应值如下表，其中________； … 0 1 2 3 4 … … 3 1 0 1 2 3 … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； （3）结合函数图象，任意写出函数图象的两条性质： ①________________________________________； ②________________________________________； （4）已知直线，若关于的方程无解，直接写出的取值范围为________． 21. 2024年3月，全国两会在北京顺序召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从八年级A，B两个班中各随机抽查了20名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为100分）进行收集、整理和分析（测试成绩用x表示，x都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）． 【收集数据】抽取的A班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为84，86，86，87，88，89； 抽取的B班学生的测试成绩为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 【整理数据】A，B两班数据整理如下： A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图 B班学生对两会精神知晓程度的条形统计图 【分析数据】A，B两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示： 平均数 中位数 众数 方差 A班 88 a 86 1048 B班 88 87.5 b 106.1 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数为________，________，________，请补全条形统计图； （2）假设该校八年级学生有1200人，请估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生人数； （3）从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 22. 新中考实行以后，三大球（三选一）项目迎来了男生和女生的热爱．某商场准备购进篮球、足球两球出售，篮球每个售价130元，足球每个售价100元．每个篮球的进价比足球的进价贵20元，用240元单独购进篮球的数量比单独购进足球的数量少1个，现计划购进两种球共100个，其中篮球不少于68个．若这两种球全部销售完，所获总利润为元，购进篮球个． （1）篮球每个的进价是________元、足球每个的进价是________元，关于的函数解析式为________； （2）若购进这100个球费用不得超过7600元，求商场所获总利润元的最大值，并求出此时两种球各自的购进数量； （3）在（2）的条件下，若该商场对篮球每个降价元，足球价格不变，如果这100个球全部售完，商场发现所获总利润为3864元，求的值． 23. 已知在中，、分别是边、上点（、均不与任一顶点重合），连接与交于点． （1）若四边形是正方形，且，求证：； （2）如图2，若四边形是菱形，且，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，若正方形的边长为6，连接对角线交于点，连接，若点在上，且，直接写出的长． 24. 如图1，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作，交轴于点，交轴于点． （1）若为等腰直角三角形，求直线的函数解析式； （2）在（1）的条件下，若点是直线上一点，且的面积为12，求点的坐标； （3）如图2，过点作交轴于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请在图2中画出成立的图形，并求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期期末水平质量监测 八年级数学试题 （满分：120分 考试时间：120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将其序号在答题卡上涂黑作答） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式．对原式进行化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、是最简二次根式，本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：C． 2. 以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是（ ） A. 1，， B. 2，3，4 C. ，， D. 5，12，14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理，若三角形最长边的平方等于另两边的平方和，则该三角形为直角三角形．逐项计算即可． 【详解】解：A：，满足勾股定理，是直角三角形； B：，不满足勾股定理，不是直角三角形； C：，，，，不满足勾股定理，不是直角三角形； D：，不满足勾股定理，不是直角三角形； 故选：A． 3. 若点在一次函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质． 直接将点代入计算即可． 【详解】解：将点代入一次函数中，得： 解得： 故选：B． 4. 如图，矩形的对角线、相交于点，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，由矩形的性质可得，再证明，则可证明是等边三角形，得到，则，据此利用勾股定理可得答案． 【详解】解：∵矩形的对角线、相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5. 某校七（2）班部分学生代表某区参加市级劳动技能团体决赛，比赛结束后十位评委独立给出分数，得到一列数．为公平起见，去掉一个最高分和一个最低分作为评委给分，从而得到一列新数，则这两列数的相关统计量中，一定相等的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求平均数，中位数，众数和方差，原数列去掉最高分和最低分后，数据个数由10变为8，但中间位置的数未改变，因此中位数不变．平均数、众数、方差均可能变化． 【详解】解：A、平均数是原来10位评委评分的总和，去掉最高和最低后总和减少，且除数变为8，平均数可能发生改变，不符合题意． B、原数列有10个数（按照从小到大排列），中位数为第5、6个数的平均值；去掉最高和最低后，剩余8个数（按照从小到大排列），中位数为第4、5个数的平均值．由于最高和最低分位于数列两端，原来的第5、6个数仍为剩余数列的第4、5个数，故中位数不变，符合题意． C、若原众数被去掉或出现次数减少，众数可能改变，不符合题意． D、平均数改变导致各数据与均值的差改变，方差可能会发生变化，不符合题意． 故选：B． 6. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据数轴判断式子正负，化简二次根式. 根据数轴求出的取值范围，进而得到，再化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 故选：A． 7. 在体育中考中，某校20名学生引体向上的成绩录入电脑后，计算得出这20名学生的平均成绩为10个，方差为（方差公式为，其中表示一组数据的总个数，为这组数据的平均数）．电脑录入员核对成绩时，发现两名学生成绩有误，其中一名学生成绩应为12个，错误输入为11个；另一名学生成绩应为8个，错误输入为9个，更正后实际成绩方差为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求方差和求平均数，根据原来的平均数，求出原来20名学生的总成绩，进而求出实际20名学生的总成绩，则可求出实际20名学生的平均成绩，再根据原来的方差求出实际的方差即可得到答案． 【详解】解：原来20名学生的总成绩为个， 实际20名学生的总成绩为个， ∴实际的平均成绩为个， ∵原来的方差为， ∴实际的方差为， ∴， 故选：C． 8. 如图，已知中，点是边的中点，过点作交于点，交于点，下列说法不正确的是（ ） A. 若，则四边形是菱形 B. 若平分，则四边形是菱形 C. 若，则四边形是矩形 D. 若，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形．A由三线合一可知，再由平行线的性质可知，由等角对等边可知，即可证明平行四边形是菱形；B证明同A；C根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”证明即可；D无直角，无法证明正方形． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． A．∵，点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 则平行四边形是菱形；正确； B．若平分，同A可证平行四边形是菱形；正确； C．若，则平行四边形是矩形；正确； D．无度角，无法证明平行四边形是正方形；不正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 9. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何”（丈、尺都是长度单位，1丈尺．）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（ ） A. 6尺 B. 7尺 C. 8尺 D. 9尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水深为x尺，则这根芦苇的长为尺，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设水深为x尺，则这根芦苇的长为尺， 由题意得，， 解得， ∴水深为8尺， 故选：C． 10. 已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数之间的关系，解不等式组，对于一次函数（k、b为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限，据此可得，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（共5题，每题3分，满分15分，把答案填在答题卡的相应位置上） 11. 请任意写一个二次根式：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式定义，形如的式子叫做二次根式，熟记二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，一个二次根式可写为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 为了解某校学生英语口语考试情况（口语成绩满分30分），随机抽取100名学生的口语成绩进行了统计，统计结果如表所示，则这50名学生英语口语成绩的众数是________． 口语成绩 29 28 27 26 26分以下 人数 10 20 25 35 10 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了众数的概念．一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数． 【详解】解：解：由表格可知：这组数据出现的次数最多， ∴众数是， 故答案为：． 13. 一次函数与一次函数的图象如图，两函数图象的交点的横坐标为，且直线与轴交点的横坐标为，则不等式组的解集是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所对应点的横坐标的取值范围．根据函数图象，写出一次函数在一次函数下方，且x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象得，当时，则， 故答案为：． 14. 如图，四边形、、、、都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为，，，则正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，算术平方根，由题意可知：，，代入计算正方形面积，然后利用算术平方根即可求解，熟练勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：，， ∵正方形、、的面积依次为，，， ∴， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 15. 已知中，，点、分别是、边上的一点，满足，，若、分别是、的中点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，中点坐标，两点间的距离公式，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，则，，又、分别是、的中点，故有，，然后用两点间的距离公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，， ∵，， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则和顺序进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 某小区内有一块如图所示的四边形空地，米，米，米，且，计划将这块空地建成一个花园，以美化小区环境，求花园的面积． 【答案】花园的面积为平方米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 连接，利用勾股定理求出，再结合勾股定理逆定理推出，最后结合三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：连接， 米，， 米， 米，米， 且， ， 花园的面积（平方米）， 答：花园的面积为平方米． 18. 阅读下列材料 材料一：，，像与、与这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们称这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 材料二：解决利用，（，，、均为常数且）求、的值时，可以利用材料一中的方法解决，也可以建立关于，的二元一次方程组进行，但应注意二次根式成立的条件． （1）式子的有理化因式为________； （2）若关于的两个方程，都成立，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式，掌握二次根式的混合运算、平方差公式，分母有理化是解题关键． （1）根据有理化因式的定义解答即可； （2）两等式相乘可得出，然后解方程求出x值，再检验解答即可． 【小问1详解】 解：的有理化因式是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：将，两式左右分别相乘得， ， 整理得， 解得或， 经检验，不是原方程的解， ． 19. 如图，已知点是矩形边延长线上一点，，连接，点是矩形边上方一点，且． （1）请用无刻度直尺（不使用圆规）作于（只保留作图痕迹，不需要说明作图过程和证明）： （2）请在边上找一点，以、为边作矩形，使所作矩形的第四个顶点在矩形内部，并证明你所作四边形为矩形．（注：可以直接使用第（1）问中的结论） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质． （1）连接，与相交于点，连接交于点，此时； （2）延长交于点，在线段上取点，在上截取，此时四边形是所作的矩形；利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明． 【小问1详解】 解：所作图形如图所示， ； 【小问2详解】 解：如图，四边形是所作的矩形； ∵矩形，， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 20. 综合与实践 我们研究一个新函数，一般从定义、图象、性质等方面进行．函数图象的性质一般包括函数图象的对称性、自变量内函数图象所有的增减性、函数图象的最值等．教科书第108页第11题让我们画出函数的图象，这是一个绝对值函数，小明所在班级开展了数学探究，请跟随小明一起完成下列探究任务． （1）函数自变量的取值范围是________； （2）①函数中、部分对应值如下表，其中________； … 0 1 2 3 4 … … 3 1 0 1 2 3 … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； （3）结合函数图象，任意写出函数图象的两条性质： ①________________________________________； ②________________________________________； （4）已知直线，若关于的方程无解，直接写出的取值范围为________． 【答案】（1）全体实数； （2）①2；②见解析 （3）见解析 （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，求一次函数自变量的值，一次函数的性质，一次函数与一元一次方程之间的关系，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得自变量的取值范围是全体实数； （2）①求出当时的函数值即可得到答案；②先描点，再连线，画出对应的函数图象即可； （3）根据所画函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （4）求出一次函数经过定点，再根据题意可得函数和函数没有交点，据此结合函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得，函数自变量的取值范围是全体实数； 【小问2详解】 解：①在中，当时，，即； ②如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：①由函数图象可得，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； ②当时，函数有最小值0； 【小问4详解】 解：在中，当时，， ∴一次函数经过定点， ∵关于的方程无解， ∴函数和函数没有交点， ∴由函数图象可得当或时，函数和函数没有交点， ∴当或时，关于的方程无解． 21. 2024年3月，全国两会在北京顺序召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从八年级A，B两个班中各随机抽查了20名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为100分）进行收集、整理和分析（测试成绩用x表示，x都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）． 【收集数据】抽取的A班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为84，86，86，87，88，89； 抽取的B班学生的测试成绩为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 【整理数据】A，B两班的数据整理如下： A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图 B班学生对两会精神知晓程度的条形统计图 【分析数据】A，B两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示： 平均数 中位数 众数 方差 A班 88 a 86 104.8 B班 88 87.5 b 106.1 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数为________，________，________，请补全条形统计图； （2）假设该校八年级学生有1200人，请估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生人数； （3）从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 【答案】（1），88.5，98，图见解析 （2）450人 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据圆心角度数、中位数、众数定义求解即可； （2）根据样本估计总体进行计算即可； （3）根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行解答即可； 本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数，样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握平均数、中位数、众数的定义是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：抽取的A班学生对于两会精神“了解”的有6人， 非常了解： 圆心角度数： 中位数 B两班的成绩最多的数是98，所以众数为：98 补全条形统计图如图： 【小问2详解】 （人）． 答：估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生有450人． 【小问3详解】 从平均数看，A，B两班学生测试成绩的平均水平一样；从中位数看，B班学生测试成绩的中位数低于A班学生测试成绩的中位数，说明A班的整体水平好一些；从众数看，A班学生测试成绩的众数低于B班学生测试成绩的众数，说明B班学生测试成绩的高分集中趋势高一些；从方差看，A班学生测试成绩的方差低于B班学生测试成绩的方差，说明A班学生测试成绩的波动小一些． 22. 新中考实行以后，三大球（三选一）项目迎来了男生和女生的热爱．某商场准备购进篮球、足球两球出售，篮球每个售价130元，足球每个售价100元．每个篮球的进价比足球的进价贵20元，用240元单独购进篮球的数量比单独购进足球的数量少1个，现计划购进两种球共100个，其中篮球不少于68个．若这两种球全部销售完，所获总利润为元，购进篮球个． （1）篮球每个的进价是________元、足球每个的进价是________元，关于的函数解析式为________； （2）若购进这100个球的费用不得超过7600元，求商场所获总利润元的最大值，并求出此时两种球各自的购进数量； （3）在（2）的条件下，若该商场对篮球每个降价元，足球价格不变，如果这100个球全部售完，商场发现所获总利润为3864元，求的值． 【答案】（1）足球每个进价为60元，篮球每个进价为80元， （2）当购进篮球80个，足球20个时，总利润有最大值，最大值为4800元． （3）11.7 【解析】 【分析】（1）设足球每个进价为m元，则每个篮球的进价为元，根据用240元单独购进篮球的数量比单独购进足球的数量少1个列出分式方程求解并检验即可得出答案，设购进篮球个，，则足球为个，再根据利润的足球的利润加上篮球的利润列出关于的函数解析式即可． （2）根据题意列出关于x的一元一次不等式，求解x的取值范围，再利用一次函数的性质即可得出答案． （3）当篮球每个降价元，则篮球单件利润为：元，根据题意列出关于a的一元一次方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设足球每个进价为m元，则每个篮球的进价为元， 则， 解得：，（负值舍去）， 经检验是分式方程的解， 则足球每个进价为60元，篮球每个进价为80元． 设购进篮球个，，则足球为个， 根据题意有：， 整理得：． 【小问2详解】 解：根据题意可知：， 解得：， ∴， 则， ∵， ∴y随着x的增大而增大， 故当时，y取的最大值为：（元）， 此时购进篮球80个，足球20个． 【小问3详解】 解：当篮球每个降价元，则篮球单件利润为：元， 根据题意可得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，以及一元一次方程的应用，读懂题意是解题的关键． 23. 已知在中，、分别是边、上的点（、均不与任一顶点重合），连接与交于点． （1）若四边形是正方形，且，求证：； （2）如图2，若四边形是菱形，且，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，若正方形的边长为6，连接对角线交于点，连接，若点在上，且，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键。 （1）由正方形的性质可得，再证明，进而证明，即可证明； （2）在上取一点M，使得，连接，则，由菱形的性质可得，，可证明；再证明，进而可证明，则可证明，得到； （3）过点F作于H，由正方形的性质可得，证明四边形是矩形，得到，由三线合一定理得到，则；证明，得到，由勾股定理得；由角平分线的性质得到点O到和到的距离相等，设点O到的距离为h，由等面积法得到，则． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，在上取一点M，使得，连接， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 小问3详解】 解：如图所示，过点F作于H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， 在中，由勾股定理得； ∵对角线交于点， ∴， ∴点O到和到的距离相等， 设点O到的距离为h， ∴， ∴． 24. 如图1，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作，交轴于点，交轴于点． （1）若为等腰直角三角形，求直线的函数解析式； （2）在（1）的条件下，若点是直线上一点，且的面积为12，求点的坐标； （3）如图2，过点作交轴于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请在图2中画出成立的图形，并求直线的解析式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，，，由平行线的性质和已知条件可证明，得到，根据等腰直角三角形的等腰可得，则可求出，进而证明是等腰直角三角形，得到，则可求出，再求出，据此利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得点P在线段的垂直平分线上，则可求出，进而得到；根据三角形面积计算公式得到，据此可得，再把点Q纵坐标代入（1）所求解析式中计算求解即可； （3）根据题意可得四边形是平行四边形，设交于D，则，可证明四边形是矩形，得到；再证明，得到，则；同理可证明，则可证明，则，据此利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 【小问2详解】 解：∵是等腰直角三角形，， ∴点P在线段的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵的面积为12， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点Q的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图所示，过点P作轴于M， ∵，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴四边形是平行四边形， 设交于D，则， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵轴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 同理可证明， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $