3.1.2椭圆的简单几何性质 (第一课时)课件-2025-2026学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

基础教育精品课 §3.1.2 椭圆的简单几何性质（第一课时） 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 定义 焦点位置 图形 方程 特点 共同点 不同点 焦点在x轴上 焦点在y轴上 F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O a>b>0,且a2=b2+c2 焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) 方程中的a2是x2的分母 焦点坐标 F1(0,-c),F2(0,c) 方程中的a2是y2的分母 复习回顾：椭圆的标准方程 |MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|) “太阳系八大行星”的运行轨迹是什么？ 问题导入 HELLO (H) - “太阳系八大行星”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现，你知道椭圆有什么样的性质吗？如何研究？ 问题导入 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质. 探究新知 HELLO (H) - 1.方程4x2+25y2=100表示什么样的曲线？ 2.你认为画出第1题的图形要考虑哪些因素？ 范围大小 对称性 特殊点位置 圆扁情况 问题 通过对椭圆的范围、形状、大小、对称性及特殊点等的讨论,可以从整体上把握椭圆的形状、大小和位置. O y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b x 1.范围 观察上图，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内. 为确定其具体的边界，我们利用方程（代数方法）进行研究. 探究新知 O y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b x 1.范围 这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b围成的矩形框内。 y=b y=-b x=-a x=a 即 同理可得 探究新知 2. 对称性 问题：观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，如何利用方程说明椭圆的对称性？ 探究新知 2. 对称性 这说明当点P(x, y)在椭圆上时，点P1(x, -y), P2(-x, y),P3(-x, -y)也在椭圆上. 所以椭圆关于x轴、y轴成轴对称，且关于原点成中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 探究新知 同理，令 y=0，得 x=±a，因此A1(-a, 0)， A2(a, 0)，是椭圆与x轴的两个交点： 3、顶点：几何上，称对称轴与图像的交点为顶点；椭圆有两条对称轴，它们与椭圆共有四个交点，这四个点就是椭圆的顶点。 B1(0, -b), B2(0, b) , 是椭圆与y轴的两个交点. 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b. a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 思考：椭圆 上哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？ 尝试画出下列椭圆的草图： (1) (2) (3) 合作探究 4、离心率： 观察上图，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同 . 扁平程度是椭圆的重要形状特征，如何用适当的量来定量刻画椭圆的扁平程度呢？ 探究新知 4、离心率： 保持长半轴长a不变,改变椭圆的半焦距c,可以发现？ 类似地,保持c不变,改变a的大小,则a越接近c,椭圆越扁平;而当a,c扩大或缩小相同倍数时,椭圆的形状不变. 这样，利用a和c这两个量，可以刻画椭圆的 扁平程度。 探究新知 可以发现,c越接近a,椭圆越扁平. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 4、离心率： x 定义： (1) 离心率的取值范围： 因为a > c > 0，所以0 < e < 1. (2) 离心率对椭圆形状的影响： 探究新知 4、离心率 ——离心率对椭圆形状的影响： 探究新知 ④ 特例：e = 0，则 a = b，则 c = 0，两个焦点重合，椭圆变成圆. ③离心率越小，椭圆越圆，离心率越大，椭圆越扁. ② e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆； ① e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁； O y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b x 4、离心率 想一想：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？ 不是，离心率是比值，比值相同不代表a,c值相同，它反映的是椭圆的扁圆程度. 探究新知 焦点位置 x轴 y轴 方程 图形 范围 对称性 顶点 离心率 关于x轴、y轴成轴对称，且关于原点成中心对称. e越接近1，椭圆越“扁”；e越接近0，椭圆变“圆”. 探究新知 题型一　椭圆的简单几何性质 例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6； 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)． 注：“定义、方程、图像、性质”是椭圆的全部基础内容，实现四者之间的相互转化是解决椭圆问题的基本方法。 由标准方程研究性质时应注意： (1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型． (2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c. 方法归纳 题型二　由几何性质求椭圆的标准方程 解:(1)若焦点在x轴上，则a＝3， (2)若焦点在y轴上，则b＝3， 解得a2＝27. 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． ①确定焦点位置； ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有： 方法归纳 题型三　求椭圆的离心率 M 求椭圆离心率及范围的两种方法 若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． (2)方程法：建立关于a，c的齐次方程或不等式求解。 方法归纳 小结： 回顾一下本节课学习了哪些新知识呢？ 课堂小结 本节课我们研究了椭圆的哪些性质？这些性质是通过怎样的方法得到的？通过方程研究曲线的几何性质有怎样的特点呢？ 椭圆的几何性质 范围 对称性 顶点 离心率 方程的性质 椭圆的几何性质 研究圆锥曲线几何性质的一般思路与方法 课堂小结 1. 椭圆的基本要素： （1）基本量：a、b、c、e（共四个量） （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） 几何意义： 相互关系： a 长半轴长, b 短半轴长, c 半焦距, e 离心率； 课堂小结 2. 数学思想方法： （1）数形结合 （2）分类讨论 紧抓“定义↔方程↔图像↔性质”这条主线，着力实现四者之间的相互转化。 课堂小结 （3）类比推理 （4）转化与化归 （5）方程法(不等式法) 达标训练 夯实基础: 习题3.1第3、4、5、6题 能力提升: 学案 1~8 课后作业 感谢大家的聆听 同学们，再见！ EVCapture4.1.7软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $$