3.1.2椭圆的简单几何性质 (1)教学设计-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 课题 3.1.2椭圆的简单几何性质（第一课时） 教学目标 1.利用直观想象和数学抽象能力，观察椭圆的形状初步得出其简单几何性质。 2.在直观认识椭圆图形特点的基础上，能通过椭圆的标准方程推导出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质，并能用它们解决简单的问题。 3.体会用方程研究曲线的性质的方法，发展直观想象、数学运算、逻辑推理等素养。 教学重难点 教学重点： 1. 椭圆的简单几何性质。 2. 进一步理解、运用、感悟从代数角度研究几何问题的思想和方法。 教学难点： 1. 椭圆离心率的理解。 2.代数角度研究几何的思想和方法。 教学过程 一、情境导入，明确方向 问题1 前面我们已经学习了椭圆的定义与椭圆的标准方程。根据解析几何研究几何图形的内在逻辑，接下来我们应该研究什么呢？ 对！内在逻辑是先研究曲线的定用定义研究曲线的方程再研究曲线的简单几何性质。那么我们这节课就研究椭圆的几何性质。 追问 那你觉得应该研究椭圆的哪些简单几何性质呢？如何研究呢？ 我们应该研究椭圆的形状、大小、范围、对称性、特殊的点等。从形和数两个角度来研究，先用几何的眼光来观察几何问题再用代数方程证明。 接下来我们以焦点在X轴上的椭圆为例，我们来研究它的范围。 二、问题驱动，合作探究 问题2 观察平面直角坐标系中的椭圆，你能从图中看出它的范围吗？ “形”的角度 容易发现椭圆上的点都在一个特定的矩形框内，它是一个封闭的曲线。 追问 那你能利用方程确定出它的具体边界吗？你能利用它的方程给出证明吗？ “数”的角度 由方程 可知所以, 椭圆上点的横坐标都适合不等式即 同理有即 这说明椭圆位于直线 和 围成的矩形框里 。 再来看对称性 问题3 观察椭圆的形状，它有怎样的对称性呢？请同学们看动画视频，你看到了什么？ 我们发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，它关于X轴、Y轴对称，关于原点对称。 追问 那么在平面直角坐标系中要证明一个图形关于坐标轴或原点对称，就是要证明什么呢？你能利用椭圆的方程来证明它的对称性吗？ 我们知道，由于图形的对称性本质上是图形上点的对称性，因而只需要证明椭圆上任一点P（x,y）关于坐标轴或原点的对称点也在椭圆上即可。 在椭圆的标准方程 中,以 代 ,方程不变,这说明当点 在椭圆上时,它关于 轴的对称点 也在椭圆上,所以椭圆关于 轴对 称。 同理,以 代 ,方程也不变,所以椭圆关于 轴对称. 以 代 ,以 代 ,方程 也不变,这说明椭圆关于原点对称. 这时,坐标轴是椭圆的对称轴, 原点是椭圆的对称中心, 我们把椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.所以椭圆既是轴对称图形又是中心对称图形。 接下来看特殊点。 问题4 研究曲线上某些特殊点的位置, 可以确定曲线的位置. 你觉得焦点在x轴上的椭圆 上会有哪些特殊点?你能通过方程给出证明吗 “形”的角度，发现椭圆与坐标轴有四个交点。 “数”的角度 在椭圆的标准方程中,令,得.因此是椭圆与轴的两个交点.同理,令,得.因此是椭圆与轴的两个交点.因为轴、轴是椭圆的对称轴,所以椭圆与它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆的顶点.椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点. 顶点坐标: .线段 称为椭圆的长轴,线段 称为椭圆的短轴,它们的长分别等于 和 和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长, 是椭圆的半焦距. 追问 已知焦点在x轴的椭圆，请你用圆规作出图中椭圆焦点的位置，并说明依据。 依据a,b，c的几何意义，我们可以以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以OA1(或OA2 ）为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点。 问题5 观察下面两幅图，你有什么发现？ 我们发现不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆扁平程度相同。扁平程度是椭圆的重要形状特征，如何用一个适当的量来刻画椭圆的扁平程度呢？ “形”的角度 从第一幅图发现，保持a不变，b越大，椭圆越圆，b越小，椭圆越扁。当a,b扩大或缩小相同的倍数时，扁平程度不变。所以可以用 来刻画椭圆的扁平程度。 追问1 那么我们思考，根据椭圆的定义，保持绳长2a不变，改变焦点的位置，也可以改变椭圆的扁平程度。那么请同学们看动画，若保持绳长不变，拖动焦点，若焦距2c增大时，你发现了什么？减小时呢？将a,c同时放大或缩小相同的倍数时，你又发现了什么？由此你能想到刻画椭圆扁平程度的量吗？ 我们发现，在椭圆的长轴长不变的前提下，焦点离开椭圆中心越远，即c越大,椭圆越扁平，焦点离开中心位置越远，即c越小，椭圆越接近于圆。所以我们可以用 这个量来刻画椭圆的扁平程度,即刻画了焦点离开中心的远近程度,我们命名为离心率。即椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用e来表示. 你能说出离心率的取值范围吗？ 因为,所以0<e<1. 追问2 既然 可以用来刻画椭圆的扁平程度，为什么还要引入离心率e呢？ 随着学习的不断深入，你将会发现离心率e不仅有效的刻画了椭圆的扁平程度，而且还蕴含了圆锥曲线几何特征的统一性。而且a和c都是椭圆的基本量，b是椭圆方程推导过程中衍生出来的量.但是它们又是一致的， e越接近越接近,就越小,因此椭圆越扁平;反之,越接近0,越接近越接近,这时椭圆就越接近于圆. 当且仅当 时, ,这时两个焦点重合,图形变 为圆,它的方程为 .此时离心率e=0. 追问3 你能运用三角函数的知识解释,为什么e越大,椭圆越扁平?e越小，椭圆越接近于圆吗? 三 、典例剖析，深化理解 例4 求椭圆 的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点的坐标. 请同学们在练习本上完成。 我们来看解题过程。 解: 把原方程化成标准方程, 得 于是 . 因此,椭圆的长轴和短轴的长分别是 和 8,离心率 , 两个焦点坐标分别是 和 , 四个顶点坐标分别是 和 . 追问 那么如何在平面直角坐标系中画出椭圆的简图呢？ 1. 以椭圆的长轴长、短轴长为邻边长, 以原点为中心 画矩形. 2. 以矩形与坐标轴的四个交点为椭圆的四个顶点. 3. 用光滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆. 4. 画图时要注意它们的对称性及顶点附近的光滑性. 四、引导建构，完善认知 问题6 类比研究椭圆 几何性质的方法,你能得出焦点在 轴上的椭圆的简单几何性质吗？ 标准方程 图像 范围 对称性 关于坐标轴和原点对称 顶点 焦点 离心率 五、总结提升，形成体系 本节课采用数形结合的方法，借助信息技术手段学习了椭圆的简单几何性质。重点探究了椭圆的离心率与扁平程度的关系。运用了数形结合、化归与转化、特殊与一般等数学思想方法，提升了直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养。请同学们用数学的眼光欣赏椭圆带给我们的生活之美。 六、布置作业，课后巩固 请同学们完成课后作业。课本第112页1、2、3、4、题 阅读课本第116页，用信息技术探究点的轨迹：椭圆,进一步理解离心率e的统一性。 这节课就上到这里！我们下节课再见！ 学科网（北京）股份有限公司 $$