10.3.2 随机模拟 （教学设计) 数学人教A版必修第二册

10.3.2 随机模拟 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第二册第十章“概率”中的10.3.2节内容。核心内容包括：随机数与伪随机数的概念；随机模拟的基本原理与主要步骤；蒙特卡洛方法的起源与应用场景；运用随机模拟方法估计简单事件的概率，包括古典概型与实际应用问题中的概率估计。 内容解析 本节是概率知识体系的重要延伸，是在学习古典概型、用频率估计概率等知识后的实际应用拓展。其核心价值在于解决大量重复试验难以手动完成的问题，通过借助计算器或计算机生成随机数，快速模拟试验过程，从而高效估计事件概率，体现了“模拟试验替代真实试验”的数学思想。 从知识关联看，本节内容承接了频率与概率的关系、古典概型的计算，同时为后续解决复杂概率问题（如几何概型、非等可能事件概率）提供了实用方法，搭建了理论概率与实际应用之间的桥梁。 从学习意义看，通过探究随机模拟的原理与步骤，学生能掌握一种高效的概率估计方法，提升数据分析、数学建模与逻辑推理素养；通过了解蒙特卡洛方法的应用，体会概率知识在多个学科领域的价值，增强数学应用意识。 教学目标 1. 理解随机数与伪随机数的概念，能准确区分二者的异同，掌握随机数的产生方式，达到数学抽象核心素养水平一的要求。 2. 掌握随机模拟的基本步骤，能根据具体概率问题构建模拟试验，选择合适的随机数表示试验结果，达到数学建模核心素养水平一的要求。 3. 了解蒙特卡洛方法的起源与应用，能运用随机模拟方法估计古典概型及实际问题中的事件概率，熟练使用计算器或电子表格软件进行模拟操作，达到数据分析核心素养水平一的要求。 4. 能结合实例解释随机模拟估计概率的实质，体会频率与概率的辩证关系，提升运用概率知识解决实际问题的能力。 目标解析 1. 能准确表述随机数与伪随机数的定义，说明彩票摇奖产生随机数与计算器产生伪随机数的区别，明确伪随机数的周期性特征。 2. 给定具体概率问题（如摸球、生日月份调查等），能按“构造概率过程—产生随机变量—建立估计量”的步骤设计模拟方案，确定随机数的范围与对应事件。 3. 能使用电子表格软件（如Excel）的RANDBETWEEN函数产生随机数，完成模拟试验并统计频率，进而估计概率，误差在合理范围内。 4. 能结合模拟结果解释“随着试验次数增加，频率稳定于概率”的规律，说明随机模拟估计概率的合理性与局限性。 达成上述目标的标志是： 1. 能独立设计简单随机试验的模拟方案，正确完成至少2个不同类型问题的模拟与概率估计。 2. 能清晰阐述随机模拟的步骤与原理，准确区分随机数与伪随机数。 3. 能运用蒙特卡洛方法解决实际应用问题，如产品抽样、比赛结果预测等，并对结果进行合理分析。 本节内容的学习对象是高一学生，学生已具备以下知识基础： 1. 掌握频率与概率的关系，理解“用频率估计概率”的核心思想。 2. 熟悉古典概型的定义与计算方法，能解决基本的等可能事件概率问题。 3. 具备基本的计算机操作能力，了解电子表格软件的简单使用方法。 4. 具有一定的逻辑推理与数据分析能力，能对试验结果进行统计与归纳。 学生的认知特点：高一学生对“模拟试验”的思路接受较快，但对随机数的本质理解存在困难，容易混淆随机数与伪随机数；在设计模拟方案时，难以准确确定随机数与试验结果的对应关系，尤其是涉及多步试验或复杂事件时；在使用软件进行模拟时，可能对函数操作不熟练；对随机模拟估计概率的实质理解不深刻，容易将频率直接等同于概率。 基于以上分析，确定本节课的：教学重点：1. 随机数与伪随机数的概念；2. 随机模拟的基本步骤；3. 运用随机模拟方法估计概率。教学难点：1. 构建概率过程并设计合理的随机数对应方案；2. 理解随机模拟估计概率的实质；3. 多步试验或非等可能事件的模拟设计。 知识点一　随机数的概念 (1)随机数：要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，把n个质地和大小相同的小球分别标上1，2，3，…，n，放入一个容器中，充分搅拌后取出一个球，这个球上的数就称为随机数． (2)伪随机数：计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数． 知识点二　蒙特卡洛方法 用频率估计概率，需要做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了．我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛(Monte Carlo)方法． 导入新知1：超市抽奖中的概率困惑 周末逛超市时，常会遇到各类抽奖活动，某超市推出的“幸运大转盘”抽奖就是其中一种。该转盘被平均分成10份，其中1份对应一等奖（免单50元），2份对应二等奖（洗衣液），7份对应参与奖（纸巾）。同学们普遍想知道自己抽中一等奖的概率，但无法通过在超市反复转动转盘几十上百次来估算；类似地，学校要从全校2000名学生中随机抽取50人参加研学活动，若想估计本班3名同学至少有1人被抽中的概率，也无法通过重复开展多次抽样来实现。这类需要大量重复试验才能估计概率的场景，在现实中缺乏可操作性，因此需要一种无需反复实操，就能快速算出概率估计值的方法。本节课我们要学习的“随机模拟”，就能轻松解决这类概率估算难题，帮助大家掌握高效估算概率的方法。 1.结合超市“幸运大转盘”的抽奖规则，为什么不能通过反复转动转盘来估算抽中一等奖的概率？ 2. 面对需要大量重复试验才能估算概率、且现实中无法实操的场景，我们可以用什么方法快速算出概率估计值？ 3.结合超市抽奖和学校研学抽样两个场景，说说“随机模拟”该如何运用，才能轻松估算出对应的概率？ 设计意图 1. 选取超市抽奖、学校抽样这两个学生高频接触的生活场景，拉近数学与现实的距离，让学生直观感受到“大量重复试验的现实困境”，激发其对替代方法的需求。 2. 两个案例分别对应“等可能事件概率估计”（转盘抽奖）和“复杂事件概率估计”（多人抽样），巧妙呼应本节课核心内容，为后续随机模拟在不同类型问题中的应用做好铺垫。 3. 通过“不能反复实操”的矛盾点，直接引出本节课的核心方法，让学生带着明确的问题意识进入学习，求知欲更强烈。 导入新知2：奶茶盲盒的隐藏款挑战 现在很多同学喜欢购买奶茶盲盒，某品牌奶茶盲盒包含3种常规款和1种隐藏款，商家标注隐藏款的出现概率为1/10。小明特别想要隐藏款，纠结是否要连续购买10杯尝试，既担心花费金钱后仍无法抽到，同时也想知道连续购买5杯奶茶，至少抽到1次隐藏款的概率。要计算这个概率，若让小明实际购买几十上百组“5杯奶茶”进行试验，不仅会花费较多金钱，还会消耗大量时间，在现实中缺乏可操作性。实际上，我们可以采用一种“虚拟试验”的方法，在教室里就能快速模拟抽盲盒的过程，从而算出概率估计值。这种方法就是“随机模拟”，它能将现实中难以操作的试验，转化为简单易操作的数字游戏。本节课我们将一起学习这种方法，解决小明的困惑，同时掌握应对生活中更多概率问题的技能。 1. 结合奶茶盲盒的规则（隐藏款概率1/10），为什么不能让小明通过实际购买几十上百组“5杯奶茶”，来估算至少抽到1次隐藏款的概率？ 2. 面对抽盲盒这类现实中难操作的概率计算场景，我们可以用什么“虚拟试验”方法快速算出概率估计值？ 3.结合小明“连续买5杯至少抽到1次隐藏款”的困惑，说说“随机模拟”该如何运用，才能快速算出对应的概率估计值？ 设计意图 1. 以“奶茶盲盒”这一学生追捧的潮流现象为切入点，贴合学生兴趣点，瞬间吸引注意力，让学生感受到概率知识的生活实用性。 2. 案例中包含“单事件概率估计”（单杯抽中隐藏款）和“多步复杂事件概率估计”（5杯至少1次隐藏款），覆盖本节课重点，自然统领全文核心内容。 3. 通过“花钱耗时”的现实矛盾和“虚拟试验”的神奇对比，制造认知冲突，勾起学生对“随机模拟”原理和操作步骤的探究欲，为后续概念讲解、步骤学习埋下伏笔。 1.引入新课 用频率估计概率，需要做大量的重复试验. 有没有其他方法可以替代试验呢？ 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数. 实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了. 随机数与伪随机数 例如我们要产生1～9 之间的随机整数，像彩票摇奖那样，把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码就称为随机数．计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数． 例如，对于抛掷一枚质地均匀硬币的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合的随机数，用0表示反面朝上，用1表示正面朝上．这样不断产生0，1两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验． 又如， 2.探究新知 一个袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色不同外没有其他差别. 对于从袋中摸出一个球的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合的随机数，用1，2表示红球，用3，4，5表示白球，这样不断产生1~5之间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验. 下表是用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果，其中n为试验次数，为摸到红球的频数，为摸到红球的频率. n 10 20 50 100 150 200 250 300 6 7 20 45 66 77 104 116 0.6 0.35 0.4 0.45 0.44 0.385 0.416 0.39 画出频率折线图如下图，从图中可以看出：随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4. 利用计算器或计算机软件产生的随机数来构建随机数模拟试验，我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛(Monte Carlo)方法． 蒙特卡洛方法是在第二次世界大战期间兴起和发展起来的，它的奠基人是冯·诺依曼．这种方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生物、生态学、社会学以及经济行为等领域中都得到了广泛的应用． 随机数与伪随机数：若要产生1~n之间的随机整数，像彩票摇奖那样，把n个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码就称为随机数. 计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性（周期很长），它们具有类似随机数的性质，因此，计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数. 随机模拟解题的主要步骤： 1构造或描述概率过程； 2.按要求产生随机变量； 3.建立估计量，从中得到问题的解. 例3从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月，二月……十二月是等可能的．设事件“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件发生的概率． 解：方法1：根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验． 因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装入编号为1，2，…，12的12个球，这些球除编号外没有什么差别．有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验．如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了．重复以上模拟试验20次，就可以统计出事件A发生的频率． 方法2：利用电子表格软件模拟试验．在Al，Bl，Cl，DI，El，Fl单元格分别输入“＝RANDBETWEEN(1，12)”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟试验．选中Al，Bl，Cl，DI，El，Fl单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第20行，相当于做20次重复试验．统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值． 表10.3-4是20次模拟试验的结果．事件A发生了14次，事件A的概率估计值为0.70，与事件A的概率(约0.78)相差不大． 【变式】盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球. （1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？ （2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ （3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？ （4）设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100次，估计“取出的球是白球”的概率. 【答案】(1)答案见解析.(2)答案见解析.(3)答案见解析.(4)答案见解析. 【知识点】判断事件是否是随机事件、用频率估计概率、利用计算器（机）产生整数值随机数 【解析】(1)"袋中没有黄球,故摸出的球是黄球"是不可能事件; (2)"摸出的球是白球"是不确定事件,根据概率公式即可求解; (3)"摸出的球是白球或黑球"是必然事件,故它的概率为; (4)利用计算机生成随机数表,即可估计估计“取出的球是白球”的概率. 【详解】(1)从中任意取出一个球,“取出的球是黄球”是不可能事件,它的概率为. (2)“取出的球是白球”是随机事件事件,它的概率是. (3)“取出的球是白球或是黑球”是必然事件,它的概率是 (4)用计算机产生1-9的随机数,规定1-4代表白球,5-9代表黑球. 7 6 8 4 1 3 8 1 6 4 8 6 8 4 8 8 4 6 2 1 5 1 5 5 2 2 8 3 6 5 9 4 3 5 7 9 7 9 5 3 3 4 4 3 4 4 8 4 9 2 4 9 2 1 1 6 4 5 5 2 7 8 4 3 4 9 6 9 8 4 6 7 5 8 9 9 4 8 6 8 7 3 7 1 3 8 3 2 6 6 4 3 1 7 7 2 2 4 9 5 从表中可以查1-4数据有46个, 5-9数据有54个. “取出的球是白球”的概率为: 【点睛】本题考查了计算事件的概率和用随机数表估计事件的频率,掌握概率的基础知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 【感悟提升】整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑： ①当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件； ②研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数； ③当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复. 例4在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率． 分析：奥运会羽毛球比赛规则是3局2胜制，甲获得冠军的结果可能是2：0或2：1．显然，甲连胜2局或在前2局中赢一局输一局，并赢得第3局的概率，与打满3局，甲胜2局或3局的概率相同．每局比赛甲可能胜，也可能负，3局比赛所有可能结果有8种，但是每个结果不是等可能出现的，因此不是古典概型，可以用计算机模拟比赛结果． 解：设事件“甲获得冠军”，事件“单局比赛甲胜”，则．用计算器或计算机产生1〜5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组．例如：产生20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 相当于做了20次重复试验，其中事件A发生了13次，对应的数组分别是423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，用频率估计事件A的概率的近似为． 用随机模拟的方法得到的是20次试验中事件A发生的频率，事件A的概率的精确值为0.648． 【变式】将一枚质地均匀的硬币连掷次,设事件“恰好两次正面朝上”, （1）直接计算事件的概率; （2）利用计算器或计算机模拟试验80次,计算事件发生的频率. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】计算频率、计算古典概型问题的概率、利用计算器（机）产生整数值随机数 【解析】(1)依据题意列出所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率,即可求得答案. (2)利用计算器或计算机生成随机数表,即可求得事件发生的频率. 【详解】(1)随机掷一枚质地均匀的普通硬币两次,出现的情况如下, (正,正,正,正),(正,正,正,反),(正,正,反,正),(正,反,正,正), (反,正,正,正),(反,反,正,正),(反,正,反,正),(反,正,正,反), (正,反,反,正),(正,反,正,反),(正,正,反,反),(正,反,反,反), (反,正,反,反),(反,反,正,反),(反,反,反,正),(反,反,反,反). 共有种等可能的结果 其中恰好两次正面朝上情况共有:种 则事件的概率为: (2)利用计算机生成随机数表,如下: 8894 1305 9455 9299 1890 7619 2076 7048 7022 8041 2892 7711 9075 3766 4052 5979 1374 9553 4833 3330 7594 6371 1849 9742 1351 8025 3978 8410 5836 3081 4112 5590 8555 3376 1550 1239 9441 6182 6348 7098 3841 7536 8273 3350 6865 9801 1870 4863 2680 9120 7359 6230 5705 6075 4309 3813 9029 7765 7137 7122 6117 1963 4802 7182 3442 7848 6566 8963 1073 2339 6003 8962 5823 1921 9173 5964 9676 1216 1879 6356 数表中共有80组数据,每组数据有4个随机数, 规定:数据是奇数代表硬币的反面,数据的偶数代表硬币的正面 由数表可得恰好两次正面朝上的组数有:26 事件发生的频率: 【点睛】本题考查了计算事件的概率和用随机数表估计事件的频率,掌握概率的基础知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 【感悟提升】随机模拟方法是通过将一次试验所有等可能发生的结果数字化，由计算机或计算器产生的随机数，来替代每次试验的结果，其基本思想是用产生整数值随机数的频率估计事件发生的概率，这是一种简单、实用的科研方法，在实践中有着广泛的应用. 1.（2024高一下·全国·课后作业）已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8，现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为（    ） 7527     0293     7140     9857 0347     4373     8636     6947 1417     4698     0371     6233 2616     8045     6011     3661 9597     7424     7610     4281 A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75 【答案】D 【知识点】用随机模拟法估算几何概率 【解析】因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610,共5组, 所以射击4次,即可求得至少击中3次的概率. 【详解】 射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610,共5组, 射击4次,至少击中3次的概率为. 故选：D 【点睛】本题考查了概率计算,掌握概率的基本知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 2.（23-24高二上·湖北荆门·期末）在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为 ． 【答案】 【知识点】用频率估计概率 【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据15组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解. 【详解】由计算机产生的15组数据中，甲获得冠军的数据有421，231，114，522，123，232，122，共7组， 据此估计甲获得冠军的概率为． 故答案为：. 3.（25-26高二上·湖北孝感·期中）下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．频率是概率的稳定值，概率是频率的近似值 C．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地均匀 D．通过设计模拟实验的方法研究某地下雨概率.由计算机产生的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为 【答案】D 【知识点】计算古典概型问题的概率、其他问题中的概率解释、抽奖、彩票的概率解释、辨析概率与频率的关系 【分析】由概率的定义及概率与频率的关系判断A、B，根据描述分析判断C，应用列举法求古典概型的概率判断D. 【详解】A：中奖概率为，并不是买1000张这种彩票一定能中奖，错误； B：概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，错误； C：由10次掷骰子都出现1点，说明骰子的质地可能不均匀，错误； D：由题意，满足条件的随机数有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9种情况，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为，正确. 故选：D 4.（24-25高一下·河南漯河·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】由题意可知：共20个随机数，其中随机数1，3，5出现2次的有9次，结合古典概型运算求解. 【详解】由题意可知：共20个随机数， 其中随机数1，3，5出现2次的有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9次， 所以这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：C. 5.（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整数值随机模拟问题、计算古典概型问题的概率 【分析】求出基本事件的个数以及符合条件的事件的个数，进而结合古典概型概率公式即可求出结果. 【详解】在20个不重复的数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有633，309，016，543，247，062共6个， 所以据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A 6.利用计算机产生0~1之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为 . 【答案】 【知识点】用随机模拟法估算几何概率、几何概型-长度型 【分析】本题先化简得到，再求事件发生的概率即可. 【详解】解：事件“”，即事件“”， 而是之间的随机数，故事件发生的概率为：， 故答案为： 【点睛】本题考查随机事件的概率，是基础题. 7.（2024高一·全国·课后作业）从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.2，是不可能事件的概率为0.3，则这10个事件中随机事件的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【解析】分别求出必然事件、不可能事件的个数，总数减去这两种事件的个数即可求得随机事件的个数. 【详解】这10个事件中，必然事件的个数为，不可能事件的个数为.而必然事件、不可能事件、随机事件是彼此互斥的事件，且它们的个数和为10，故随机事件的个数为. 故选C. 【点睛】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的定义，互斥事件，属于基础题. 8.（2024高二上·湖北孝感·期中）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题,现有类似的题：粮仓开仓收粮，有人送来532石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得54粒内夹谷6粒，则这批米内夹谷约为（ ） A．59石 B．60石 C．61石 D．62石 【答案】A 【知识点】用频率估计概率 【分析】运用抽样结果得到米内夹谷的概率，然后估算这批米内夹谷的结果 【详解】由题中54粒内夹谷6粒可得其概率为：， 则这批米内夹谷为，约为59石 故选 【点睛】本题主要考查了抽样调查的实际运用，由抽样结果得到概率后然后估算其结果，较为简单． 9.（2024高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（      ） A．甲、乙两人做游戏：甲、乙两人各写一个数字，若都是奇数或都是偶数则甲胜，否则乙胜，这个游戏公平 B．做次随机试验，事件发生的频率就是事件发生的概率 C．某地发行福利彩票，回报率为47%，某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报 D．有甲、乙两种报纸可供某人订阅，事件“某人订阅甲报纸”是必然事件 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率、抽奖、彩票的概率解释、辨析概率与频率的关系、判断事件是否是随机事件 【解析】对于A,利用列举法,写出所有可能,计算两个人胜的概率是否相等,即可判断游戏是否公平;利用频率与概率的定义可判断B;利用概率的意义可判断C;利用随机事件的定义,可判断D. 【详解】对于A,甲、乙两人各写一个数字,所有可能的结果为（奇,偶）,（奇,奇）,（偶,奇）,（偶,偶）,则都是奇数或都是偶数的概率为,故游戏是公平的； 对于B,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率,故事件发生的频率就是事件发生的概率是不正确的； 对于C,某人花100元买福利彩票,中奖或者不中奖都有可能,但事先无法预料,故C不正确； 对于D,事件可能发生也可能不发生,故事件是随机事件,故D不正确 综上可知,正确的为A. 故选:A. 【点睛】本题考查了随机事件概率的概念和意义,频率与概率的关系,古典概型概率的求法,属于基础题. 10.（2024高一下·全国·课后作业）对于总数的一批零件，抽取一个容量为30的样本.若每个零件被抽到的可能性均为25%，则（      ） A．120 B．150 C．200 D．240 【答案】A 【知识点】简单随机抽样估计总体、简单随机抽样的概率 【解析】根据每个个体被抽到的概率及样本容量,即可求得总体个数. 【详解】∵对于总数为的一批零件,抽取一个容量为30的样本,每个零件被抽到的可能性均为25%, ∴, 解得. 故选:A. 【点睛】本题考查了样本容量与抽样概率的关系,属于基础题. 1.（2022·河南·模拟预测）在圆内随机地取一点，则该点坐标满足的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何概型-面积型 【分析】由目标式得或，结合画出符合要求的可行域，根据圆的性质及直线、的位置关系确定可行域与圆面积的比例，即可得概率. 【详解】由或，如下图阴影部分所示： 由图知：在圆内随机取在阴影部分，而过圆心，且与相互垂直， 所以阴影部分为圆面积的，故概率为. 故选：A 2.（20-21高一下·全国·课后作业）假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 93 28 12 45 85 69 68 34 31 25 73 93 02 75 56 48 87 30 11 35 据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为 ． 【答案】/0.5 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据随机数以及古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】解：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一. 它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个， 因此所求的概率为=0.5. 故答案为：. 3.（2024高一·全国·课后作业）一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20000辆汽车的信息,时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日,发现共有600辆汽车的挡风玻璃破碎,则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似为 . 【答案】 【知识点】用频率估计概率、计算频率 【解析】因为实验次数较大,可用频率估计概率,根据频率的计算公式,即可求得答案. 【详解】 实验次数较大,可用频率估计概率 概率. 故答案为:. 【点睛】本题考查了用频率估计概率,解题关键是掌握频率和概率的定义和二者之间的关系,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 4.（23-24高二·上海·课堂例题）甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，各个球的大小与质地相同．从两个盒子中各取1个球． (1)求取出的2个球颜色不同的概率； (2)设计一个随机试验，计算（1）中取出的2个球是不同颜色的经验概率． 【答案】(1) (2)答案见解析. 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、利用抽签法产生整数值随机数、整数值随机模拟问题 【分析】（1）设“取出的两球是相同颜色”，“取出的两球是不同颜色”，进而分析可得取出的两球是相同颜色，则两球的颜色均为黑色或白色，由等可能事件的概率可得事件A的概率，由对立事件的概率性质可得答案; （2）根据模拟实验原则:必须保证实验在相同条件下进行，设计随机模拟即可. 【详解】（1）设“取出的两球是相同颜色”，“取出的两球是不同颜色”. 则事件A的概率为： 由于事件A与事件B是对立事件， 所以事件B的概率为 （2）随机模拟的步骤： 第1步：利用抓阄法或计算机（计算器）产生和两组取整数值的随机数，每组各有N个随机数． 用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球 第2步：统计两组对应的N对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n 第3步：计算的值,则就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值 1.知识清单： （1）核心概念：随机数（真正随机，如彩票摇奖）、伪随机数（算法生成，有周期性，如计算器产生）、蒙特卡洛方法（随机模拟的核心方法）。 （2）随机模拟步骤：构造概率过程→产生随机变量→建立估计量。 （3）关键原理：用频率估计概率，试验次数越多，估计越准确。 （4）事件分类：必然事件（概率1）、不可能事件（概率0）、随机事件（概率0~1）。 2.方法归纳： （1）随机数设计技巧：等可能事件按基本事件个数确定随机数范围，非等可能事件按概率比例分配随机数。 （2）模拟工具选择：简单试验可用抽签法，大量重复试验推荐用电子表格软件（Excel）或计算器，高效便捷。 （3）结果分析：模拟结果是频率，需结合理论概率分析，解释误差原因（试验次数、随机误差等）。 3.常见误区： （1）混淆随机数与伪随机数，认为计算器产生的是真正随机数。 （2）设计模拟方案时，随机数范围与试验结果对应错误，如将非等可能事件按等可能分配随机数。 （3）忽略试验的放回与不放回，导致随机数是否允许重复的判断错误。 （4）将模拟得到的频率直接等同于概率，未考虑试验次数的影响。 4.知识拓展： 蒙特卡洛方法在金融领域可用于风险评估，在工程领域可用于可靠性分析，在医学领域可用于药物疗效模拟等，是一种跨学科的重要工具。 · 第257页练习 第 2,3题 · 第257页习题10.3 第 2,3题 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 练习（第257页） 1．将一枚质地均匀的硬币连掷4次，设事件“恰好两次正面朝上”， （1）直接计算事件A的概率； （2）利用计算器或计算机模拟试验80次，计算事件A发生的频率． 1．解析：（1）抛掷4次硬币，有16个等可能的样本点，其中“恰好两次正面朝上”包含 6 个样本点．由古典概型概率计算公式，得． （2）利用电子表格软件模拟试验．在A1，B1，C1，D1单元格分别输入“” 在单元格输入“”，按Enter键，选中A1，B1，C1，D1，E1单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第80行．数出中“2” 出现的次数，则就是事件A发生的频率． 2．盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球． （1）“取出的球是黄球是”什么事件？它的概率是多少？ （2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ （3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？ （4）设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100次，估计“取出的球是白球”的概率． 2．解析：（1）“取出的球是黄球”是不可能事件，概率为0； （2）“取出的球是白球”是随机事件，概率为； （3）“取出的球是白球或黑球”是必然事件，概率为1； （4）用1，2，3，4表示摸到白球，用5，6，7，8，9表示摸到黑球．在A1单元格输人 “＝ RANDBETWEEN(1，9) ”，按Enter键，选中A1单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到A100．数出A1-A100 单元格中1，2，3，4出现的次数，为白球出现的频率．据此估计“取出白球” 的概率约为． 3．（1）掷两枚质地均匀的骰子，计算点数和为7的概率； （2）利用随机模拟的方法，试验120次，计算出现点数和为7的频率； （3）所得频率与概率相差大吗？为什么会有这种差异？ 3．解析：（1）掷两枚质地均匀的骰子，共有36种可能的结果，其中点数之和为7的结果有6个，所以“点数之和为7”的概率是． （2）利用电子表格软件模拟试验．在A1，B1单元格内分别输入 “＝ RANDBETWEEN(1，6) ”，在C1单元格输入“＝A1+B1”，按Enter键，选中A1，B1，C1单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第120行．输出C1-C120中“7”出现的次数，则就是“点数之和为7”的频率． （3）重复试验次数为120，不够多，频率与概率可能有比较大的差异．由于频率的不确定性，频率和概率会有一定的差异． 习题10.3（第257页） 复习巩固 1．在一个试验中，把一种血清注射到500只豚鼠体内．被注射前，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞；被注射后，没有一个具有圆形细胞的豚鼠被感染，50个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据试验结果，估计具有下列类型的细胞的豚鼠被这种血清感染的概率： （1）圆形细胞；（2）椭圆形细胞；（3）不规则形状细胞． 1．解析：根据实验结果，圆形细胞的豚鼠感染的频率为 0，怕圆形细胞的豚鼠感染的频率为，不规则形状细胞的豚鼠感染的频率为．用频率估计概率，得 (1) 圆形细胞的豚鼠感染的概率约为0； (2) 椭圆形细胞的豚鼠感染的概率约为0.2； (3) 不规则形状细胞的豚鼠感染的概率约为1． 2．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4．重复抛掷这个四面体100次，记录：每个面落在桌面上的次数(如下表)．如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率． 四面体的面 1 2 3 4 频数 22 18 21 39 2．解析：标记3的面落在桌面上的概率的近似值为0.21． 3．在英语中不同字母岀现的频率彼此不同且相差很大，但同一个字母的使用频率相当稳定．有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率，结果如下表所示： 元音字母 A E I O U 频率 7.88% 12.68% 7.07% 7.76% 2.80% （1）从一本英文(小说类)书里随机选一页，统计在这一页里元音字母出现的频率； （2）将你统计得出的频率与上表中的频率进行比较，结果是否比较接近？你认为存在差异的原:因是什么． 3．（1）略．（提示：可以使用计算机软件进行统计） （2）如果统计的字母个数较少，与表格中的频率差距较大；如果统计的字母个数足够多，与表格中的频率比较接近．差异是由频率的不确定性引起的． 4．人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab．其中a和b是显性基因，i是隐性基因． 一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，请确定他们的子女的血型是O，A，B或AB型的概率，并填写下表： 父母血型的基因类型组合 子女血型的概率 O A B AB ai×bi ai×bb aa×bi aa×bb 4．解析：当父母血型的基因类型组合为ai×bi时，字母的基因为ii，ai，bi，ab是等可能的，概率各是0.25，同理可以分析其他的父母基因类型组合．结果如下表： 父母血型的基因类型组合 子女血型的概率 O A B AB ai×bi 0.25 0.25 0.25 0.25 ai×bb 0 0 0.5 0.5 aa×bi 0 0.5 0 0.5 aa×bb 0 0 0 1 综合运用 5．“用事件发生的频率估计概率，重复试验次数越大，估计的就越精确”，判断这种说法是否正确，并举例说明． 5．说法不确切．反例：抛掷一枚硬币，正面超上的概率为0.5．抛掷两次硬币，正面朝上的频率可能为0.5，抛掷99次硬币，正面朝上的频率不可能为0.5． 6．在一个袋子中放6个白球，4个红球，摇匀后随机摸球3次，采用放回和不放回两种方式摸球． 设事件“第次摸到红球”，． （1）在两种摸球方式下分别猜想事件，，发生的概率的大小关系； （2）重复做10次试验，求事件，，发生的频率，并填入下表 放回摸球 不放回摸球 （3）在两种摸球方式下，第3次摸到红球的频率差别大吗？在不放回摸球方式下，事件，，的频率差别大吗？请说明原因． （1）当有放回摸球时，，， ； 当不放回摸球时，，，． （2）略．（提示：可以用电子表格软件模拟有放回摸球试验，而用电子表格软件模拟不放回摸球试验较难．） （3）在两种摸球方式下，事件的概率都是0.4，频率可能与0.4有较大的差别．在不放回摸球方式下，虽然事件，，的概率相等，但频率可能差别较大，主要原因是重复试验次数较少． 复习参考题10（第263页） 复习巩固 1．在一个盒子中有3个球，蓝球、红球、绿球各1个，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放 回，然后再随机取出1个球． （1）用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； （2）用集合表示“第一次取出的是红球”的事件； （3）用集合表示“两次取出的球颜色相同”的事件． 1．解析：（1）用表示“取出红球”，表示“取出蓝球”，表示“取出绿球”，样本空间 ； （2）事件“第一次取出的是红球”； （3）事件“两次取出的球颜色相同”． 2．如图是一个古典概型的样本空间和事件A和B，其中，，，，那么 （1） ， ， ， ． （2）事件A与B互斥吗？事件A与B相互独立吗？ 2．答案：（1）4；；；． 解析：（1），，， ． （2）因为，所以A与B不互斥．因为，，，所以A与B相互独立． 3．某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下： 体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加 人数 276 144 80 如果另有一人服用此药，估计下列事件发生的概率: （1）这个人的体重减轻了； （2）这个人的体重不变； （3）这个人的体重增加了． 3．解析：（1）事件“体重减轻”的概率约为； （2）事件“体重不变”的概率约为； （3）事件“体重增加”的概率约为． 4．某中学有教职工130人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下： 本科 研究生 合计 35岁以下 50 35 85 35～50岁 20 13 33 50岁以上 10 2 12 从这130名教职工中随机地抽取一人，求下列事件的概率： (1)具有本科学历；(2)35岁及以上；(3)35岁以下且具有研究生学历． 4．解析：（1），（2），（3）． 综合运用 5．一个袋子中有4个红球，6个绿球，釆用不放回方式从中依次随机地取岀2个球． （1）求第二次取到红球的概率； （2）求两次取到的球颜色相同的概率； （3）如果是4个红球，个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么是多少？ 5．解：从10个球中依次不放回取出2个球，共有（种）等可能的结果． （1）如图（1），设“第一次取到红球”，“第二次取到红球”，则，且和互斥，所以； （2）如图（1），“两次取到的球颜色相同”，且和互斥， 所以； （3）如图（2），样本点总数为，两个球都是红球的样本点个数为，则 ，解得． 6．有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的． (1)求这两个人在不同层离开电梯的概率； (2)求这两个人在同一层离开电梯的概率． 6．解析：第一个人离开电梯有 6 种等可能的结果，第二个人离开电梯也有6种等可能的结果, 所以 共有36种等可能的结果. (1) 设 “两个人在不同层离开电梯”，那么包含种可能结果，所以； (2) 因为“两个人在同一层离开电梯” ，所以． 7．柜子里有3双不同的鞋，分别用表示6只鞋．如果从中随机地取出2只，那么 （1）写出试验的样本空间； （2）求下列事件的概率，并说明它们的关系： ①“取出的鞋不成双”； ②“取出的鞋都是左脚的”； ③“取出的鞋都是一只脚的”； ④“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”． 7．解析：（1）从6只鞋中任取2只，共有15种等可能的结果，样本空间为 ， （2）①因为，所以 ②因为，所以； ③因为，所以； ④因为，所以． 事件之间的关系是，和互斥，和互斥，． 拓广探索 8．某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么 （1）在右侧的树状图中填写样本点，并写出样本空间； （2）求李明第二次答题通过面试的概率； （3）求李明最终通过面试的概率． 8．解析：（1）样本空间为； （2）因为对抽到的不同题目能否答对是独立的，所以第二次答题通过面试的概率为 ； （3）李明最终通过面试的概率为， 或． 9．有两个盒子，其中1号盒子中有95个红球，5个白球；2号盒子中有95个白球，5个红球．现在从两个盒子中任意选择一个，再从中任意摸出一个球．如果摸到的是红球，你认为选择的是哪个盒子？ 做出你的推断，并说说你的想法．你认为能否做出完全正确的判断？ 9．解析：推断选到的是1号盒子． 推断过程为：如果选择的是1号盒子，摸到红球的概率为0.95 ；如果取到的是2号盒子，摸到红球的概率为0.05 ．利用概率进行推断，一般我们认为先发生的事件概率大．现在已知摸到的是红球，所以认为它发生的概率最大，由此判断选择的是1号盒子． 1. 本节课通过实例导入、问题探究、应用拓展的环节，学生基本掌握了随机模拟的步骤与方法，能独立设计简单的模拟方案，但在非等可能事件的随机数分配上仍存在困难，后续需增加针对性练习。 1. 学生对电子表格软件的操作不够熟练，部分学生在生成随机数、统计频率时出现失误，课前可简要介绍RANDBETWEEN函数的使用方法，课堂上预留足够的操作时间。 1. 对随机模拟估计概率的实质理解不够深入，部分学生仅关注操作步骤，忽略了“频率稳定于概率”的核心思想，后续教学中应通过更多模拟结果对比，强化这一规律。 1. 课堂实例与生活联系紧密，能激发学生兴趣，但可增加更多跨学科应用案例（如科学实验模拟、经济预测等），进一步拓宽学生视野，体现数学的实用性。 学科网（北京）股份有限公司 $