10.3.1 频率的稳定性 教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.3.1频率的稳定性 一、教材分析 本节是《普通高中教科书·数学》（人教A版）必修第二册第十章第三节第一课时的内容。频率的稳定性是概率论的理论基础，它说明了随机现象的规律性是客观存在的。事件发生的可能性的大小是可以度量的[1]。在现实生活中，有很多随机事件不能像古典概型那样，能够直接计算事件发生的概率，这时候就需要用频率来估计。 二、学生分析 在初中的时候，学生已经对频率和概率的意义有了初步的了解和认识。事件的概率越大，意味着事件发生的可能性也就越大，在重复性实验当中，相应的频率一般也就越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性也就越小，在重复性实验当中，相应的频率一般也就越小[1]。 3、 实验教学目标 1. 通过实验，让学生体会试验的随机性； 2. 让学生经历重复试验、收集、整理试验的数据，利用表格、折线图分析实验数据，通过观察、比较发现频率的特征，提升直观想象和数据分析素养[1]； 四、实验教学重难点 教学重点：通过实验，让学生理解并掌握：在进行重复试验时，重复实验的进行的次数队频率的影响。进行的重复实验次数较少时，频率的波动会比较大。当试验次数较大时，实验频率的波动会越来越小，并且逐渐稳定在一个常数附近。以此就能估计出某一事件发生的频率； 教学难点：对频率的稳定性规律的理解； 五、实验教学内容 （1） 实验器材：每人两枚质地均匀的硬币，计算机. （2） 实验分组：全班45人，5人一组，分为9组. （3） 实验内容：重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的实验，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，统计事件A出现的次数并计算事件A发生的频率，在与其概率进行比较，同学们有什么发现？ （4） 实验目的：分步实施试验，考察随着试验次数的增加，事件A发生的频率的变化情况，以及频率与概率的关系； （5） 实验过程 1.实验活动： 第一步：每位同学做20次试验，并且记录事件A发生的次数，并计算出它的频率； 第二步：每5名同学为一组，小组内比较试验结果； 第三步：各组组内统计事件A发生的次数，并计算出事件A发生的频率； 第四步：小组派学生代表汇报自己组内的结果，并填入表1中； 表1 小组序号 试验总次数 事件A发生的次数 事件A发生的频率 1 100 2 100 3 100 4 100 5 100 6 100 7 100 8 100 9 100 合计 900 第五步：计算全班试验的总次数，事件A发生的次数，以及事件A发生的频率，完成表1的填写； 2. 实验思考：比较在自己试验20次，小组试验100次和全班试验总次数的情况下，事件A发生的频率. (1) 各小组的试验结果一样吗?为什么会出现这种情况？ (2) 随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化频率？ 3. 学生小组讨论，分享猜想结果； 4. 计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，验证猜想； （1） 实验过程： ①使用python的随机模块，来模拟抛掷硬币实验； ②在重复实验次数20，100，500，1000，10000.每个小组各做一组实验，每一组的学生都来体会一下计算机模拟的过程，并记录事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数和频率，再填入表2中. 表2 序号 n=20 n=100 n=500 n=1000 n=10000 频数 频率 频数 频率 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ③分别画出折线图表示n=20，n=100，n=500，n=1000，n=10000时频率的波动情况； ④根据实验结果，回答问题：随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化频率？小组内先交流，然后全班展示分享实验结果。 （6） 实验结果 1. 试验次数n相同，频率可能不同，这说明了随机事件发生的频率具有随机性； 2. 从整体来看，频率在概率0.5附近波动。当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较多时，波动幅度较小。但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动的幅度小的可能性更大。 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率来估计概率P(A). 6、 实验效果评价 在此次实验中，学生经历重复试验、收集、整理试验的数据,利用表格、折线图分析实验数据，通过观察、比较发现频率的稳定性规律，提升直观想象和数据分析素养；在计算机模拟过程中，体会计算机文化。 七、实验教学反思 本节课中，由于条件有限，不能让每一个学生都去经历计算机模拟的过程。用频率估计概率，需要大量的实验，我们在教材第九章第一节中介绍了随机数法产生的方式，可以使用计算器、电子表格软件、R软件生成随机数等其它的计算机程序来完成抛掷硬币实验的结果生成。对于今天的抛掷两枚质地均匀的实验，我们也可以利用计算器或计算机生成两组取值在集合{0，1}的随机数，用0表示硬币反面朝上，用1表示硬币正面朝上.这样就可以不断产生两组由0，1，两个随机数构成的样本点，就相当于不断地做抛掷两枚硬币的实验.只是这种方法要和第九章第一节中的简单随机抽样方法中的随机数法区分开，随机数法读数时，重复的编号要剔除。我们这里是产生的随机数来代表硬币的正反. 参考文献 [1] 章建跃, 数学必修二[M] 北京: 人民教育出版社, 2019: 254-255. 学科网（北京）股份有限公司 $$