第10章 整式的加减（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册

第10章 整式的加减章节压轴训练 一、单选题 1． 的不同值共有（   ） A．10个 B．7个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值、绝对值的化简，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据绝对值的性质可得的值为1或，设中有个值为1，则剩下个值为，得到，再结合不同情况的值即可解答． 【详解】解：当，；当，， ∴的值为1或， 设中有个值为1，则剩下个值为， ∴， ∵可取0到9的整数，不同的值都对应有不同的值， ∴的不同值共有个， 即的不同值共有10个． 故选：A． 2．已知整式，令，其中为自然数，为正整数，下列说法： ①若时，则满足条件的整式只有1个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有4个； ③若时，则满足条件的整式共有9个． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：①当时，则且为正整数，得，此时．对应的整式为，是单项式，故①正确． ②对于任意，当时，整式有、、，共3个； 当时，整式有、、、、、，共6个； 当时，整式有10个． 均无恰好4个的情况，故②正确． ③当时，可取1、2、3、4，对应的分别为3、2、1、0，对应的整式数依次为4、3、2、1，总数为，而非9个，故③错误． 综上，正确的说法为①和②，共2个， 故选：C． 3．关于的多项式，其中均为正整数，下列说法： ①若，且关于的方程有无数个解，则； ②若，且关于的方程有整数解，则； ③若，则这样的多项式共有3个． 其中正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】解：①：当时，，方程即，整理得， 方程有无数解需满足且，故，①正确； ②：由，方程即，解得． 因为整数，须为2的正约数，由于为正整数，仅可能，即，②正确； ③：由且均为正整数，多项式由决定，需满足（因），可能的组合为、、，对应共有3个，③正确． 综上，三个说法均正确， 故选A． 4．定义：若一个整数能表示成（,是整数）的形式，则称这个数为“奇妙数”．例如：，所以9是“奇妙数”．下列说法不正确的是（   ） A．41是奇妙数 B．（,是整数）一定是奇妙数 C．如果数,都是“奇妙数”，则也是“奇妙数” D．当时，（,是整数）是“奇妙数” 【答案】B 【详解】解：A. ，所以41是“奇妙数”，该选项正确，不符合题意； B. ，该多项式不是“奇妙数”，该选项错误，符合题意； C. ∵数,都是“奇妙数”， ∴,都是整数，则也为整数， ∴满足（,是整数）的形式，为“奇妙数”， 该选项正确，不符合题意； D. 当时， ， 满足（,是整数）的形式，为“奇妙数”， 该选项正确，不符合题意； 故选：B． 5．观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，有， 左边可化简为：． 因此，． 题目要求的和为，即缺少常数项1． 因此：． 将1通分后合并：． 故选：C． 6．依次排列的两个整式 ，将第1个整式乘以2再减去第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式 ；将第2个整式乘以2再减去第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式 ；将第3个整式乘以2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式，…以此类推，下列5个说法，其中正确的结论有（   ） ①第9个整式为 ②第个整式中与的系数和为1； ③第8次操作与第9次操作得到的两个整式所有系数绝对值之和为 ④第12次操作后得到的整式为 ⑤当时，第次操作完成后，所有整式之和为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：①第1个整式：， 第2个整式：， 第1次操作，第3个整式：， 第2次操作，第4个整式：， 第3次操作，第5个整式：， 第4次操作，第6个整式：， 第5次操作，第7个整式：， 第6次操作，第8个整式：， 第7次操作，第9个整式：，故①符合题意； 第8次操作，第10个整式：， 第9次操作，第11个整式：， ②由①可知，从第三个整式开始的系数符号相反，偶数个整式的系数为负，的系数为正，且的系数的绝对值比的系数的绝对值大1， ∴第2024个整式中与的系数和为1，故②符合题意； ③∵第8次操作与第9次操作得到第10个和第11个整式， ∴第10个整式和第11个整式的系数绝对值和是，故③不符合题意； ④第12次操作完成后，得到第14个等式， 根据①可得第12个等式为， 第13个等式为， 第14个等式为,故④符合题意； ⑤当时，每个整式的值都是，所以所有整式之和应为，其中是操作次数， 如果第次操作后，总共有个整式，和为，而题目中说，显然错误，因此结论⑤错误； 故正确的有①②④ 故选：B． 二、填空题 7．已知m，n为常数，单项式与多项式的和是一个单项式，则的值为 【答案】1或或 【详解】解：根据题意分以下两种情况： ①当单项式与单项式是同类项，且，符合题意， 此时，解得或， 当，时，， 当，时，； ②当单项式与单项式是同类项，且，符合题意， 此时，解得或， 当，时，， 当，时，； 综上，的值为1或或； 故答案为：1或或. 8．对于一个四位正整数，若它的千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2，则称正整数为“数”． （1）最小的“数”为____________； （2）一个“数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若能被8整除，则满足条件的的最大值为____________． 【答案】（1）6200；（2）9753 【详解】解：（1）∵千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2， ∴当个位数字和十位数字都是0时，千位数字是6，百位数字是2，此时取得最小的“数”，最小的“数”为6200， （2）一个“数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴， 由题意可知：，即， ∴， 又∵， ∴， ∴要使得取最大值，则千位数字a取9， 则若，则，不能被8整除，不合题意； 若，则，能被8整除，符合题意，此时，； ∴满足条件的的最大值为9753． 故答案是：（1）6200；（2）9753． 9．如图，7个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为32，小长方形的周长为14，则与的差为 ． 【答案】3 【详解】解：如图： 设小长方形的长为a，宽为b，则由题意得， 解得：， 设，则，， ∴， ∴， 故答案为：3． 10．已知是关于的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于的二次多项式，且关于的方程的解为负整数，则当为整数时， ． 【答案】 【详解】解：由导出整式的定义可知， ∴，解得． 由于的解为负数，则，且或， 解得或， 由于是关于x的二次多项式，则，即 综上所述，． 故答案为：． 11．数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为，，且，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏．某小组按照此方式玩了5次游戏，他们将部分数据记录如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 32 乙 22 丙 16 由此推断的值为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， ∵甲的总和乙的总和， ∴甲5次的和与乙5次的和不相同， 又， 即可得出甲、乙、丙三位同学玩了5次游戏的数据如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 b c a 32 乙 b b b 22 丙 c c b 16 ∴，即， ， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴ 故答案为：4． 12．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛尝试应用 （1）把看成一个整体，合并的结果是 ； （2）已知，求的值 ． 【答案】 【详解】解：（1）当把看成一个整体时，则有：， ， ． （2）∵， ∴原式， ， ， ． 故答案为：；． 13．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“准同类项”，例如：与是“准同类项”．已知、均为关于a，b的单项式，如果、是“准同类项”，那么可能的结果共有 种． 【答案】 【详解】解：由“准同类项”的定义可得： 或，或， 解得：、、，、、， 、、、、，共有种可能的结果， 故答案为：． 14．小明在计算多项式加上时，因误认为加上，得到答案，则原来的正确答案应是 ． 【答案】 【详解】解：∵多项式加上时，因误认为加上，得到答案， ∴ ， ∴正确答案应是 ． 故答案为： 15．一个四位正整数（其中，，，均为1～9的正整数），若，，且的值能被7整除，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵的值能被7整除， ∴能被7整除， ∵当取值越大，b的取值越大时，四位正整数取值越大， 又∵，，，均为1～9的正整数， ∴，时，能被7整除，且此时正整数最大， ∵，， ∴，， ∴满足条件的的最大值为． 故答案为：． 16．对整式A，B定义新运算“#”和“※”∶，；(n是正整数，特别地，)．若， （1） ； （2）若的计算结果中的系数大于100，则n至少是 ． 【答案】 4 【详解】解：（1）由题意得，． 故答案为：； （2）由（1）得，， ， ， ， 若的计算结果中的系数大于100，n至少是4． 故答案为：4． 17．如图，这是2025年1月的月历，其中“”形、“”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠．设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：设“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，都是正整数，由日历表，可知的最大值为，此时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 18．如图，把图1中周长为8的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A，B，C，D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为13的长方形中，则正方形A的周长与阴影部分的周长之比为 ． 【答案】/ 【详解】解：设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y， 则A号正方形的边长为，B号正方形的边长为， E号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为8，可得，， 解得：， ∴正方形A的周长为； 如图， ， ∵图2中长方形的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴没有覆盖的阴影部分的周长为：， ∴正方形A的周长与阴影部分的周长之比为． 故答案为：． 【点睛】此题考查整式加减的应用，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题． 三、解答题 19．已知a，b，c满足，． (1)________，________（请用含c的代数式表示a，b）． (2)若代数式的值与c的取值无关，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：∵①，②， ∴，得：，故； ，得：，故； （2）∵，， ∴， ∵代数式的值与c的取值无关， ∴， ∴． 20．已知多项式A，B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)求； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： ， （3）当时，． 21．已知代数式是关于的二次多项式 (1)若关于的方程的解是，求的值； (2)若关于的方程的解是正整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)整数的值为2或或或或或 【详解】（1）解：代数式是关于x的二次多项式， ，即， 把与代入方程，得： 解得：； （2）∵ ∴， ∴， ∵关于的方程的解是正整数 ∴或或或15或或 ∴整数的值为2或或或或或． 22．已知，是两个多项式，其中，． (1)求多项式； (2)若为最大的负整数，的平方等于本身，先化简，再求的值． 【答案】(1) (2)，或 【详解】（1）解： （2）解：为最大的负整数，的平方等于本身， ，或， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为或． 23．数轴上两点所表示的数分别为，且满足． (1)当时，求数轴上两点所表示的数； (2)若，求的值； (3)若点在原点的左边，点在原点的右边，线段上有一动点，试说明无论点在线段上怎么运动，的值不会发生改变，并且与无关． 【答案】(1)和 (2) (3)见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴当时， ∴数轴上两点所表示的数为和； （2）由（1）可知：， ∴， 解得：． （3）由（1）可知，数轴上两点所表示的数分别为， 设点表示的数为，则：， ∴ ； 故的值不会发生改变，并且与无关． 24．1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰好能被分割成10个大小不同的正方形，如图所示，其中标注为1号和2号的正方形边长分别为x，y． 请你计算： (1)第3个正方形的边长是______；第5个正方形的边长是______；第5个正方形的面积是______．（用含x，y的代数式表示） (2)当时，求第6个正方形的面积． (3)当x，y均为正整数时，这个完美长方形的最小周长是______． 【答案】(1)；； (2)64 (3)224 【详解】（1）解：根据图形及标注为1号和2号的正方形边长分别为，， 所以第3个正方形的边长是1号和2号的正方形边长之和为， 所以第4个正方形的边长是2号和3号的正方形边长之和为， 所以第5个正方形的边长是2号和4号的正方形边长之和为， 所以第5个正方形的面积为． 故答案为：；；． （2）解：根据图形及1号和2号的正方形边长分别为，，第5个正方形的边长是， 所以第6个正方形的边长是2号和5号的正方形边长之和减去1号的正方形边长为， 所以第6个正方形的面积． 当时，． 所以当时，第6个正方形的面积为64． （3）根据图形及1号和2号的正方形边长分别为，，第6个正方形的边长是， 所以第7个正方形的边长是6号正方形的边长减去1号正方形的边长为， 所以第10个正方形的边长是7号正方形的边长减去1号正方形的边长减去3号正方形的边长为， 所以第8个正方形的边长是7号正方形的边长加10号正方形的边长为， 所以第9个正方形的边长是8号正方形的边长加10号正方形的边长为． 因为第5个正方形的边长与第6个正方形的边长之和等于第8个正方形的边长与第9个正方形的边长之和， 所以， 化简得． 因为完美长方形的长为，完美长方形的宽为， 所以完美长方形的周长为． 因为，，均为正整数， 所以，时，完美长方形的周长最小，最小值为． 故答案为：224． 25．定义：已知M，N都是关于x的多项式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的多项式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)M不是N的“平移式”，理由见解析 (2)，； (3)当，时，M是N的“平移式”，“平移值”是5 【详解】（1）解： M不是N的“平移式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴M不是N的“平移式”； （2）解：∵M是N的“平移式”，且“平移值”为3， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当，则或， ①若， 时，，， ∴，则M是N的“平移式”，“平移值”是5； ②当，时，， ∴，则M不是N的“平移式”， 综上，当， 时，M是N的“平移式”，“平移值”是5． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 整式的加减章节压轴训练 一、单选题 1． 的不同值共有（   ） A．10个 B．7个 C．4个 D．3个 2．已知整式，令，其中为自然数，为正整数，下列说法： ①若时，则满足条件的整式只有1个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有4个； ③若时，则满足条件的整式共有9个． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．关于的多项式，其中均为正整数，下列说法： ①若，且关于的方程有无数个解，则； ②若，且关于的方程有整数解，则； ③若，则这样的多项式共有3个． 其中正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．定义：若一个整数能表示成（,是整数）的形式，则称这个数为“奇妙数”．例如：，所以9是“奇妙数”．下列说法不正确的是（   ） A．41是奇妙数 B．（,是整数）一定是奇妙数 C．如果数,都是“奇妙数”，则也是“奇妙数” D．当时，（,是整数）是“奇妙数” 5．观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（   ） A． B． C． D． 6．依次排列的两个整式 ，将第1个整式乘以2再减去第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式 ；将第2个整式乘以2再减去第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式 ；将第3个整式乘以2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式，…以此类推，下列5个说法，其中正确的结论有（   ） ①第9个整式为 ②第个整式中与的系数和为1； ③第8次操作与第9次操作得到的两个整式所有系数绝对值之和为 ④第12次操作后得到的整式为 ⑤当时，第次操作完成后，所有整式之和为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 7．已知m，n为常数，单项式与多项式的和是一个单项式，则的值为 8．对于一个四位正整数，若它的千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2，则称正整数为“数”． （1）最小的“数”为____________； （2）一个“数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若能被8整除，则满足条件的的最大值为____________． 9．如图，7个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为32，小长方形的周长为14，则与的差为 ． 10．已知是关于的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于的二次多项式，且关于的方程的解为负整数，则当为整数时， ． 11．数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为，，且，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏．某小组按照此方式玩了5次游戏，他们将部分数据记录如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 32 乙 22 丙 16 由此推断的值为 ． 12．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛尝试应用 （1）把看成一个整体，合并的结果是 ； （2）已知，求的值 ． 13．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“准同类项”，例如：与是“准同类项”．已知、均为关于a，b的单项式，如果、是“准同类项”，那么可能的结果共有 种． 14．小明在计算多项式加上时，因误认为加上，得到答案，则原来的正确答案应是 ． 15．一个四位正整数（其中，，，均为1～9的正整数），若，，且的值能被7整除，则满足条件的的最大值为 ． 16．对整式A，B定义新运算“#”和“※”∶，；(n是正整数，特别地，)．若， （1） ； （2）若的计算结果中的系数大于100，则n至少是 ． 17．如图，这是2025年1月的月历，其中“”形、“”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠．设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的最大值为 ． 18．如图，把图1中周长为8的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A，B，C，D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为13的长方形中，则正方形A的周长与阴影部分的周长之比为 ． 三、解答题 19．已知a，b，c满足，． (1)________，________（请用含c的代数式表示a，b）． (2)若代数式的值与c的取值无关，求m的值． 20．已知多项式A，B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)求； (3)当时，求的值． 21．已知代数式是关于的二次多项式 (1)若关于的方程的解是，求的值； (2)若关于的方程的解是正整数，求整数的值． 22．已知，是两个多项式，其中，． (1)求多项式； (2)若为最大的负整数，的平方等于本身，先化简，再求的值． 23．数轴上两点所表示的数分别为，且满足． (1)当时，求数轴上两点所表示的数； (2)若，求的值； (3)若点在原点的左边，点在原点的右边，线段上有一动点，试说明无论点在线段上怎么运动，的值不会发生改变，并且与无关． 24．1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰好能被分割成10个大小不同的正方形，如图所示，其中标注为1号和2号的正方形边长分别为x，y． 请你计算： (1)第3个正方形的边长是______；第5个正方形的边长是______；第5个正方形的面积是______．（用含x，y的代数式表示） (2)当时，求第6个正方形的面积． (3)当x，y均为正整数时，这个完美长方形的最小周长是______． 25．定义：已知M，N都是关于x的多项式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的多项式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$