云南省丽江市第一高级中学2024-2025学年高三下学期5月月考数学试卷

丽江市第一高级中学2025届高三5月月考 数学试卷 注意事项: 1. 试卷总分 150分, 考试时间 120 分钟。 2. 答题前,考生先将自己的姓名,考号等内容填写清楚。 3. 选择题部分必须使用2B铅笔填涂,非选择题部分必须使用黑色碳素笔或钢笔书写,字迹工整、笔迹清楚。 4. 请按照题号顺序在各题目对应的区域内作答,超出答题区域书写的答案无效。 5. 保持答题卷面整洁,不要折叠、不要弄破,禁止使用涂改液、涂改胶条。 一、单选题(本题共计8题，共计40分) 1.(5分)已知集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 2.(5分)复数 满足 ,则 ( ) A. B. C. D. 3.(5分)已知向量 ,若 ,则 ( ) A.2 B.-2 C. 4 D.-4 4. (5分) 已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 4 ,则点 到 轴的距离为( ) A. B. C. D. 5. (5分) 若 是角 终边上一点,则 ( ) A.-2 B. C. 2 D. 6.(5分)法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中提出一个定理:如果函数 满足条件 ①在闭区间 上是连续不断的,②在开区间(a, b)上都有导数,那么在开区间(a, b)上至少存在一个实数 ,使得 ,其中 被称为拉格朗日中值. 函数 在区间 上的拉格朗日中值 所在的区间为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 7.(5分)已知数列 满足 ,则 ( ) A. 3 B. 2 C. D. 8.(5分)如图,正方形 的边长为2, 为边 的中点. 将 沿 所在直线进行翻折,使得二面角 为 ,则 ( ) A. B. C. D. 二、多选题(本题共计3题,共计18分) 9.(6分)一组样本数据 的平均数为 ,方差为 ,这组样本数据增加 2 个数据后得到新的样本数据 ,则这组新数据与原数据一定相同的是 ( ) A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 第10百分位数 10. (6分) 已知函数 的最小正周期为 ,且 ,则下列说法正确的是( ) A. B. C. 的图象关于点 对称 D. 若 ,则 11. (6分) 定义: 曲线 与曲线 恰有三个交点,且这三个交点恰好能组成正三角形,则称 互为 “正三角曲线”. 下列说法正确的是( ) A. 已知曲线 与曲线 恰有三个交点 ,且 关于原点对称,若 互为 “正三角曲线” ,则 的离心率的取值范围为 B. 存在正数 ,使得曲线 与曲线 互为 “正三角曲线” C. 存在实数 ,使得曲线 与曲线 互为 “正三角曲线” D. 存在正数 ,使得曲线 与曲线 互为 “正三角曲线” 三、填空题(本题共计3题,共计15分) 12. (5分) 已知函数 是在 上单调递增的奇函数,若 ,则满足 的 的取值范围是_____. 13.(5分)已知 是等差数列 的前 项和, ,则 的最大值为_____. 14. (5分) 已知某班共有40位学生,物理老师随机从该班选择10位学生参加物理竞赛,数学老师随机从该班选择 10 位学生参加数学竞赛,且两位老师的选择都是独立的. 记 为该班参加物理竞赛或数学竞赛的学生人数,则当 取得最大值时,整数 _____. 四、解答题(本题共计5题,共计77分) 15. (13分) 已知 的内角 的对边分别为 ,且 的面积为 . (1)求 . (2)若 ,求 . 16. (15分)在三棱柱 中, . ( 1 )证明:平面 平面 . (2)若 ,求直线 与平面 所成角的正弦值. 17.(15分)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中,则此人继续投篮,若未命中,则换对方投篮. 无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为 ,乙每次投篮的命中率均为 . 由抽签决定第 1 次投篮的人选,第 1 次投篮的人是甲、乙的概率均为 . (1)求第 2 次投篮的人是甲的概率. (2)记 为前3次投篮中,甲总共投篮的次数,求 的分布列与期望. 18.(17分)已知椭圆 的长轴长是短轴长的3倍,且椭圆 经过点 . ( 1 )求椭圆 的方程. (2) 设 是椭圆 的右顶点, 是椭圆 上不同的两点,直线 的斜率分别为 ,且 . (i)证明: 直线 过定点. (ii)若 为 的重心,求 的取值范围. 19.(17分)已知函数 的定义域为 ,若存在某区间 ,使得 在区间 上的值域为 ,则称 是 “封闭函数” ,区间 为 的 “封闭区间”. (1)判断 是否为 “封闭函数”. 若是,求出 的所有 “封闭区间”; 若不是,请说明理由. ( 2 )已知函数 ,且关于 的方程 有两个不同的实数解. (i)求 的取值范围. ( ii ) 证明: 是 "封闭函数". ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丽江市第一高级中学2025届高三5月月考 数学参考答案 一、单选题(本题共计8题,共计40分) 1.(5分)【答案】A 【解析】因为 , ,所以 . 2. (5分)【答案】B 【解析】由 ,可得 ,所以 . 3.(5分)【答案】 【解析】由题可知 ,所以 ,解得 . 4.(5分)【答案】 【解析】由题可知抛物线 的准线方程为 . 设点 ,根据抛物线的定义可知 ,即 . 由抛物线方程可得 ,即 ,所以点 到 轴的距离为 . 5.(5分)【答案】A 【解析】由题可知 . 6.(5分)【答案】 【解析】由题可知 , , ,则 , , 即 . 易知 在 上单调递增.又 , ,所以 所在的区间为(2,3). 7.(5分)【答案】B 【解析】因为 ,所以当 时, , 故 . 8.(5分)【答案】D 【解析】过点 作 ,垂足为 ,过点 作 ,垂足为 (图略),则 与 的夹角为 . 易得 , , , ,所以 ,即 . 二、多选题(本题共计3题,共计18分) 9.(6分)【答案】AD 【解析】新数据的平均数为 ,故平均数一定相同. 因为不确定 与 之间的大小关系,所以中位数无法判断. 易得新数据的方差变小. 因为 , ,所以新数据与原数据的第 10 百分位数都是第一个数. 又 ,所以新数据与原数据的第 10 百分位数均为 . 10.(6分)【答案】ABD 【解析】 ,由 的最小正周期为 ,知 . 因为 ,所以 ,解得 , A, B正确. ,当 时, , C错误.当 时, ,因为 ,所以 ,即 , D正确. 11.(6分)【答案】AB 【解析】对于 ,设点 ,则可取 ,则 ,整理得 ,解得 ,即 ,可得 ,则 ,所以 的离心率的取值范围为 , A正确. 对于B, ,即 , ,故曲线 表示两条直线. 若 互为 “正三角曲线”,则直线 与 相切,则 , 此时 的圆心(0,0)到直线 的距离为 ,故这三个交点恰好能组成正三角形, 正确. 对于 ,由 ,可得 或 ,且 与 互为反函数,故它们的图象关于直线 对称. 曲线 表示两条直线 和 . 若 互为 “ 正三角曲线”,则曲线 与直线 相切,设切点为 ,则 ,可得 ,切点 . 设 为坐标原点,直线 与曲线 交于点 ,则 ,所以 ,无解,故 错误. 对于 ,假设 互为 “正三角曲线”,由 ,可得 或 . 如图所示,取两函数图象相邻的三个交点 , , ,由图可知,正三角形 的边 上的高 , 为 的最小正周期,即 ,所以 ,所以 ,解得 . 当 , 时, 曲线 与曲线 有四个交点, 错误. 三、填空题(本题共计3题,共计15分) 12.(5分)【答案】 【解析】因为 是奇函数,所以 . 又 是增函数, ,所以 ,则 ,解得 . 13.(5分)【答案】 3 【解析】 ,即 . 因为 ,所以当且仅当 时, , 所以 的最大值为 或 . 14.(5分)【答案】 18 【解析】两位老师都随机选择 10 人,共有 种情况,当 时,同时参加物理竞赛和数学竞赛的学生人数为 ,仅参加物理竞赛、仅参加数学竞赛的学生人数均为 ,所以 . 令 ,则 ,解得 ; 令 ,则 ,解得 . 故 ,整数 . 四、解答题(本题共计5题,共计77分) 15.(13分) ( 1 )【答案】由题可知 , 由余弦定理可知 , 所以 , 化简可得 . (2)【答案】由 和正弦定理,可得 , 所以 , 即 ,则 . 由( 1 )可知 ,所以 . ,解得 . 16.(15分) (1)【答案】证明:设 为 的中点,连接 , 因为 ,所以 为等边三角形,故 . 因为 ,所以 ,故 ,所以 . 因为 ,所以 平面 , 因为 平面 ,所以平面 平面 . (2)【答案】解:因为 ,所以 , , 两两垂直,故以 为坐标原点, , , 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系, 则 , , , , 则 . 设平面 的法向量为 , 则 ,令 ,则 . 设直线 与平面 所成的角为 , 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 第(2)问另解:设点 到平面 的距离为 为 的中点,连接 ,所以 , 因为 ,所以 平面 ,故 . 易得 , 所以 . 设直线 与平面 所成的角为 , 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 17.(15分) (1)【答案】记“第 次投篮的人是甲”为事件 ,“第 次投篮的人是乙”为事件 , 所以 (2)【答案】 的所有可能取值为0,1,2,3. 则 的分布列为 0 1 2 3 18.(17分) ( 1 )【答案】解:由题意得 . 因为椭圆 经过点 ,所以 , 解得 ,故椭圆 的方程为 . (2)【答案】(i)证明:易知 ,设 , ,直线 的方程为 ,且 . 联立 ,消去 得 . 由 ,得 . 因为 , 所以 , 化简得 , 所以 , 又 ,所以 ,即直线 过定点(0,0). (ii) 解:由(i)可知直线 过原点,则 , . 设 ,则 , 令 .①； 方程①对应的曲线是以 为焦点, 为长轴的椭圆. 当方程①对应的曲线过点(0,1),(0, - 1)时,由椭圆的定义,知方程①可化为 . 此时,椭圆 上的任意一点 满足 , 当且仅当 时,上式等号成立,即椭圆 上的其他点均在椭圆 外, 所以当方程①对应的曲线过椭圆 上的其他点时, 增大. 故 . 当方程①对应的曲线过点 时,由椭圆的定义,知方程①可化为 . 此时,椭圆 上的任意一点 满足 , 当且仅当 , 时,上式等号成立,即椭圆 上的其他点均在椭圆 内, 所以当方程①对应的曲线过椭圆 上的其他点时, 减小. 故 . 又等号成立时, 中有一点会与点 重合,所以等号不成立. 综上,当方程①对应的曲线经过椭圆 上的其他点时,可知 故 的取值范围是 . 19.(17分) (1)【答案】解:假设 是“封闭函数”,区间 为 的“封闭区间”. 因为 ,所以 , 则 在 上单调递减, 所以 ,两式相减可得 ,化简可得 . 令 ,则 ,当且仅当 时, ,所以 在 上是增函数, 所以 ,与题意矛盾,故 不是“封闭函数”. ( 2 )【答案】( i )解:由题意可知, 有两解,即 有两解. 设 ,则 ,令 ,解得 , 则 在 上单调递增,在 上单调递减, . 因为 有两个零点,所以 ,解得 , 所以 的取值范围为 . (ii) 证明: 由(i) 可设存在 ,使得 ,且 . 设 ,令 ,解得 在 上单调递增,在 上单调递减. ① 若 ,则 在 上单调递增,所以 , ,由上可知取 , ,此时 ,所以当 时,存在一 组 符合题意; ②若 ,则 在 上单调递减,所以 , , 所以 ,即 ,不符合题意； ③ 若 ,则 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 ,由 得 ,又因为 , 所以 ,即 ,所以当 时,存在一组 符合题意. 综上, 是 "封闭函数". 学科网（北京）股份有限公司 $$