第08讲 导数的运算与几何意义（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第08讲 导数的运算与几何意义 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 导数的概念及其几何意义 3 知识点2 导数的运算 5 题型破译 6 题型1 导数的概念 6 题型2 导数的运算 8 题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角） 10 题型4 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 12 题型5 求过一点的切线方程 15 题型6 已知切线（斜率）求参数 16 题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 18 题型8 已知某点处的导数值求参数或自变量 22 04真题溯源·考向感知 23 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 单选题 填空题 解答题 / 第21题求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 第21题求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 考情分析： 上海高考导数部分以运算和几何意义为基础，综合考查学生的数学思维与应用能力。常作为压轴题（如第 21 题），综合考查导数的运算、几何意义、单调性、极值与不等式证明，分值约为 12-18 分。 复习目标： 1.精准把握导数定义，明晰函数在某点处导数是函数值增量与自变量增量比值在自变量增量趋于 0 时的极限，能够运用定义准确推导简单函数导数。​ 2.牢记基本初等函数导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等导数公式，做到准确无误应用。​ 3.理解函数在某点处导数就是曲线在该点处切线斜率，能依据导数几何意义，迅速写出曲线在给定点处切线方程。 4.学会利用导数几何意义解决与切线相关问题，如求曲线切线方程、确定切点坐标、处理两曲线公切线问题等。​ 5.能够将导数运算及其几何意义与其他数学知识（如函数性质、方程、不等式等）融合，解决综合性问题，增强知识迁移与应用能力。​ 6.在解题过程中，注重数学思想方法运用，如分类讨论、数形结合、转化与化归等，提升分析问题与解决问题能力。 知识点1 导数的概念及其几何意义 1.平均变化率 一般地，对于一个函数，通常将称为函数在以和为端点的区间上的平均变化率； 2.瞬时速度与瞬时变化率 （1）瞬时速度：在满足函数关系的运动中，函数在处的导数，就是时刻的瞬时速度； （2）瞬时变化率： 就是函数在处的瞬时变化率 3.导数的概念 对于函数，比值的稳定值存在，在时有极限，并把这个极限记作；称为函数在处的导数；记作；即有； 4.导数的几何意义 （1）切线：在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线称为曲线在点处的切线； （2）的几何意义：是曲线在处的切线的斜率； （3）曲线在处的切线的方程为： ； 自主检测 1.2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为 ．（用含有H、h、m、t的式子表示） 【答案】 【知识点】平均变化率 【分析】先求出第二次拍照飞船的实际上升的高度，再由实际上升的高度除以该记者连按拍照键间的反应时间为t，即可求出拍照时飞船的瞬时速度. 【详解】设第二次拍照飞船的实际上升了， 所以，解得：， 所以拍照时飞船的瞬时速度为：. 故答案为：. 2.某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当时间为时，酒杯中水升高的瞬时变化率是 【答案】 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】设时刻水面高为，水面圆半径为，由题意可得，求导即可求得时间为时，酒杯中水升高的瞬时变化率. 【详解】由题意，设时刻水面高为，水面圆半径为， 则，即， 则此时水的体积为， 又以的匀速往杯中注水， 则此时水的体积为， 即， 当时间为时，酒杯中水升高的瞬时变化率是. 故答案为：. 3.（24-25高三上·上海·期中）已知是定义在上的可导函数，若，则 . 【答案】1 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】根据导数的定义写出答案即可. 【详解】由导数定义知：. 故答案为：1 知识点2 导数的运算 1.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 2.导数的运算法则 已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)′＝. 3.复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． （2）复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积． 自主检测1．（24-25高三上·上海闵行·期中）函数在处的导数是 . 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】利用求导公式以及求导法则，求得导函数，代入数值，可得答案. 【详解】由，则，当时，. 故答案为：. 2.烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为，加热后的温度函数（是常数，表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是 . 【答案】 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、简单复合函数的导数 【分析】根据公式和已知条件直接求解即可 【详解】因为水的初始温度为，所以，解得，所以， 则，所以加热到第时，水温的瞬时变化率是. 故答案为： 题型1 导数的概念 例1-1某物体运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，则该物体在时的瞬时速度为 . 【答案】 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据导数定义即可求解． 【详解】由，当时， 故该物体在时的瞬时速度为 故答案为： 例1-2（24-25高三上·上海·期中）已知函数，若，则 . 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 例1-3若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ． 【答案】2 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】直接根据导数的定义计算得到答案. 【详解】，故. 故答案为：2 【变式训练1-1】若函数在处的导数等于，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】 根据导数的定义式化简求值. 【详解】由已知得 ， 故选：C. 【变式训练1-2】物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ． 【答案】80 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】由瞬时变化速度计算公式可求当时，物体的瞬时速度. 【详解】因为. 所以该物体时，物体的瞬时速度为. 故答案为：80 【变式训练1-3】已知函数在处的切线斜率为，且，则 . 【答案】 【分析】根据导数的定义可得答案. 【详解】因为函数在处的切线斜率为， 且，则. 故答案为：. 题型2 导数的运算 例2-1求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】导数的加减法、导数的乘除法 【分析】(1) 根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案； (2) 根据复合求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案； (3) 根据分式求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案. 【详解】（1）； （2）； （3）. 例2-2（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则 . 【答案】/ 【知识点】求某点处的导数值 【分析】在等式两边求导，再令，即可得出的值. 【详解】因为，则， 所以，，故. 故答案为：. 例2-3（24-25高三上·上海·期中）设，函数在处的切线方程为，则 . 【答案】/2.75 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】求解导函数，计算处的导数值，再由切线方程得切线的斜率，由导数的几何意义列式求解出的值，再根据函数解析式求解切点坐标，并代入切线方程即可求解出的值，从而计算出的值. 【详解】由得， 因为函数在处的切线方程为， 所以， 所以， 所以， 当时，，即切点为， 将代入得， 所以. 故答案为： 【变式训练2-1】（24-25高三下·上海·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【知识点】导数的乘除法、求某点处的导数值 【分析】求出，代值计算可得的值. 【详解】因为， 则， 故. 故答案为：. 【变式训练2-2】（24-25高三上·上海·期中）已知一罐汽水放入冰箱后的温度（单位：）与时间（单位：h）满足函数关系，则大约经过 分钟，温度的瞬时变化率为（精确到1分钟） 【答案】104 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、导数的运算法则 【分析】利用导数的几何意义计算即可. 【详解】易知，则， 则分钟. 故答案为：104 【变式训练2-3】（24-25高三上·上海·期中）若，则 . 【答案】 【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】根据题意，求导可得，然后令代入计算，即可得到结果. 【详解】对函数求导得，； 令，得，整理得. 因此，，故. 故答案为： 【变式训练2-4】（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则 ． 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】求导，即可结合导数的定义求解. 【详解】，则，故， 故. 故答案为： 题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角） 例3-1（24-25高三上·上海松江·期中）已知，则曲线在点处切线的倾斜角是 . 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】对函数求导，求出在点处的切线斜率，进而得出倾斜角. 【详解】因为，所以，则 所以曲线在点处的切线斜率为，所以斜线的倾斜角为：. 故答案为： 例3-2（24-25高三·上海·随堂练习）函数，其中，函数的图像在点处的切线的斜率为 ． 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、简单复合函数的导数 【分析】先求得导函数，再令即可求得切线的斜率. 【详解】因为， 所以， 所以． 所以函数的图像在点处的切线的斜率为. 故答案为：81． 例3-3已知函数的导函数为, 记 ，则A，B，C的大小关系是 .（按从小到大的顺序排列） 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】对利用导数的几何意义，再结合的几何意义，问题转化为比较三条直线的斜率大小，利用数形结合的方法得到答案. 【详解】分别为函数在处的切线斜率， 时点两点连线的斜率， 如图，自左向右，三条直线的斜率分别为，其倾斜角从左到右，依次减小， 且均为锐角，根据正切函数单调性可知，. 故答案为： 【变式训练3-1】（24-25高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，则在点处的切线的倾斜角为 . 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、反三角函数 【分析】利用导数求出切线斜率，然后由反三角表示即可. 【详解】因为，所以， 记在点处的切线的倾斜角为，则，则， 所以. 故答案为： 【变式训练3-2】曲线在点处的切线的倾斜角为 ． 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求出函数在1处的导数值，再利用导数的几何意义求出切线的倾斜角. 【详解】设曲线在点处的切线的倾斜角为，则该切线的斜率， 由求导得，则有，即，而， 所以， 故答案为： 题型4 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 例4-1（24-25高三下·上海·阶段练习）函数在处的切线斜率为 ． 【答案】/0.5 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由，得， 则函数在处的切线斜率为. 故答案为：. 例4-2（24-25高三上·上海·阶段练习）函数在点处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据题意，由导数的几何意义代入计算，结合直线的点斜式方程，即可得到结果. 【详解】因为，所以切点坐标为， 又，则切线的斜率， 由直线的点斜式方程可得，即， 所以切线方程为. 故答案为： 例4-3（24-25高三上·上海宝山·期中）设点P在直线上，点Q在曲线上，线段的中点为M，O为坐标原点，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、求点到直线的距离 【分析】通过转化可得的最小值为到距离平方的最小值，利用导数求出切线即可得． 【详解】由题可设，， 则 则 即， 即的最小值为到距离平方的最小值， 其中点在曲线上，在直线上， 的最小值为在曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离， 设切点为， 因为曲线的导函数为，则，解得，所以切点为， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将问题转化到距离平方的最小值，从而结合导数的意义即可得解. 【变式训练4-1】（2025·上海金山·二模）若直线是曲线在处的切线，则的斜率为 . 【答案】/ 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出斜率. 【详解】函数，求导得，则， 所以的斜率为. 故答案为： 【变式训练4-2】（24-25高三上·上海松江·期中）曲线在点处的切线方程是 ． 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】直接求导得，代入求得斜率即可. 【详解】由，则，所以， 所以在点处的切线方程为，即． 故答案为：. 【变式训练4-3】（24-25高三上·上海·期中）设斜率为3的直线是曲线的切线，则直线的方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设切点，根据斜率可得切点坐标，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】设切点为， 则,故，则， 故切点为，所以切线方程为，即， 故答案为： 题型5 求过一点的切线方程 例5-1（2025·上海·三模）抛物线中，以为切点的切线方程为 【答案】 【知识点】求抛物线的切线方程、求过一点的切线方程 【分析】先对抛物线方程求导，得到切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程. 【详解】已知抛物线方程，将其变形为. 因为点在抛物线上，所以在点处切线的斜率可对求导完成. ，切线过点，则斜率. 根据点斜式方程可得切线方程为，即. 故答案为：. 例5-2若直线与曲线相切，则的值为 . 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、求过一点的切线方程 【分析】设切点为，利用导数的几何意义结合条件即得. 【详解】设切点为，则，， ，， ， 所以，. 故答案为：. 【变式训练5-1】经过点且与曲线相切的直线方程为 . 【答案】或 【知识点】求过一点的切线方程、基本初等函数的导数公式 【分析】设切点为，然后利用导数的几何意义求解即可. 【详解】设切点为，由，得， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 化简得，解得或， 所以切线方程为或， 即切线方程为或. 故答案为：或 【变式训练5-2】已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、求过一点的切线方程 【分析】设切点坐标为，根据切线所过的点得到的方程，解出后可得所求的切线方程. 【详解】设切点坐标为，,则切线的斜率， 故切线方程为，又因为点在切线上， 所以，整理得到， 解得，所以切线方程为． 故答案为: . 题型6 已知切线（斜率）求参数 例6-1（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数的图像在处的切线与直线垂直，则实数 ． 【答案】1 【知识点】已知切线（斜率）求参数、已知直线垂直求参数 【分析】根据导数的几何意义及两直线垂直的斜率关系即可求出的值． 【详解】由，得， 因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，则． 故答案为：1 例6-2已知为实数，函数在处的切线方程为，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】求解导函数，计算处的导数值，再由切线方程得切线的斜率，由导数的几何意义列式求解出的值，再根据函数解析式求解切点坐标并代入切线方程即可求解出的值，从而计算出的值. 【详解】因为，所以， 则，由处的切线方程为， 得切线的斜率为，所以，得， 所以，当时，，所以切点为， 将代入切线方程得：， 解得，所以. 故答案为： 【变式训练6-1】已知函数的图象在点处的切线斜率为，则实数 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】对函数求导，利用导数的几何意义可得即可求得实数的值. 【详解】由， 则，解得， 故答案为：. 【变式训练6-2】若曲线在点处的切线方程为，则 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】根据导数的几何意义结合题意直接求解 【详解】因为在点处的切线方程为， 而切线的斜率就是函数在处的导数， 所以. 故答案为： 【变式训练6-3】已知直线是曲线的切线，求常数的值． 【答案】或 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】设切点为，利用导数几何意义和切点在切线上可构造方程组求得，进而得到的值. 【详解】设直线与曲线相切于点， ，，又点在上， ， 则由得：，解得：或， 或. 题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 例7-1若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设在曲线上的切点为，求出切线方程，设该切线方程与曲线相交于点，由此可得，再利用导数研究函数的性质，结合题意即可得出答案． 【详解】设在曲线上的切点为， 由，可得过点的切线斜率为， 此时切线方程为，即， 设切线与曲线相交于点，， 则， 消去，可得， 依题意，直线与函数的图象有两个不同的交点， 令， 解得或， 令，解得， 则函数在，上单调递增，在上单调递减， 故，且恒成立，当且仅当时等号成立，当时，， 要使直线与函数的图象有两个不同的交点， 则需，解得． 故选：B． 例7-2已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则 . 【答案】2 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设函数在点和处的两条切线互相垂直，，，由题意分别表示出，，两直线相互垂直可得，进而根据切线方程求出A，B坐标，进而求解即可. 【详解】设函数在点和处的两条切线互相垂直， 如图，可得的零点为1，故不妨设，， 则，， 当时，，， 当时，，， 则，． 所以，即． 因为：，即， ：，即， 则，，因为，且， 故. 故答案为：2. 【变式训练7-1】若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 【答案】C 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设直线与曲线切于点，与曲线切于点，再由切点处的导数值等于斜线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解，即可得出答案. 【详解】设直线与曲线切于点， 与曲线切于点． 对于函数，则， 解得或（舍去）． 所以，即． 对于函数， 则， 整理得，所以，故． 故选：C. 【变式训练7-2】设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 . 【答案】2 【知识点】求某点处的导数值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】根据两曲线在有公切线，则是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出的值，则答案可求. 【详解】由已知得，解得， 又， 所以得， 所以， 所以. 故答案为：2 【变式训练7-3】（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）设，，为曲线上两点，为曲线上两点，且四边形为矩形，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求曲线切线的斜率（倾斜角）、简单复合函数的导数 【分析】分讨论，并寻找其极限位置即可. 【详解】解：因为的图象是由的图象向右平移2个单位，再向上或向下平移个单位得到的， 当时，如图所示： 取，当的纵坐标趋向于正无穷大的时候，可以无限接近为一个矩形； 当时，若能成为一个矩形，则必有：∥， 因为， 上的点处切线的斜率比上的点处切线的增长率大， 所以必有，这与矛盾； 当时，取此时在处切线的斜率为4，取临界， 设解得， 即当时，可以看成极限时候的矩形； 当时，若能成为矩形， 必有∥， 上的点处切线的斜率比上的点处切线的增长率大， 所以必有，这与矛盾； 所以实数的取值范围为. 故答案为： 题型8 已知某点处的导数值求参数或自变量 例8-1已知函数，其中，若，则的值为 . 【答案】2 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】求出代入可得答案. 【详解】因为，所以， 故答案为：2. 例8-2函数，若，则 ． 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】利用基本初等函数的导数公式及导数值即可求解. 【详解】因为， 所以， 又， 所以，解得. 故答案为：. 【变式训练8-1】已知，其中，且，则 ． 【答案】2 【知识点】简单复合函数的导数、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】利用可得答案. 【详解】因为， 所以，所以. 故答案为：2． 【变式训练8-2】已知，若，则 ． 【答案】 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、简单复合函数的导数 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】，由于，所以，所以， 故答案为：3 【变式训练8-3】若直线是指数函数（且）图象的一条切线，则底数 . 【答案】或 【知识点】已知切线（斜率）求参数、基本初等函数的导数公式、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】设切点坐标为，根据题意只需满足，，然后求解方程组得出的值. 【详解】设切点坐标为，函数，求导， 切线方程化成斜截式为 由题设知，显然，即 由，得，即， 即， 即，化简得， 令，即，利用指数函数与一次函数的性质，可知或 即或，解得或 故答案为：或 1．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)存在， 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究方程的根、等差中项的应用 【分析】（1）由导数的几何意义得切线方程后证明， （2）构造函数后由导数证明不等式， （3）由等差数列的性质，根据导数判断单调性与方程根的个数后求解， 【详解】（1），则在处的切线为， 当时，，即， 所以当正整数时，； （2）作差得， 令，， 当时，，当时，， 故在单调递增，在上单调递减， ，故， 所以当正整数时，； （3），令， 与单调性相同，由（2）得， 当时，，当时，， 故至多有两解， 若成等差数列，则， 故最多项成等差数列，此时，． 而，， 令，，显然时，， 故在上单调递增， 而，，，故有唯一解， 存在使得，此时，故存在最多项成等差数列， 2．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． (1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； (2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； (3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)严格单调递减 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）代入，利用基本不等式即可； （2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可； （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性. 【详解】（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”． （2）由题设可得， 则，因为均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而，故在点处的切线方程为. 而，故，故直线与在点处的切线垂直． （3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在,使得， 即① ② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域R上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 导数的运算与几何意义 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 导数的概念及其几何意义 3 知识点2 导数的运算 4 题型破译 5 题型1 导数的概念 5 题型2 导数的运算 5 题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角） 6 题型4 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 6 题型5 求过一点的切线方程 6 题型6 已知切线（斜率）求参数 6 题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 7 题型8 已知某点处的导数值求参数或自变量 7 04真题溯源·考向感知 8 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 单选题 填空题 解答题 / 第21题求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 第21题求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 考情分析： 上海高考导数部分以运算和几何意义为基础，综合考查学生的数学思维与应用能力。常作为压轴题（如第 21 题），综合考查导数的运算、几何意义、单调性、极值与不等式证明，分值约为 12-18 分。 复习目标： 1.精准把握导数定义，明晰函数在某点处导数是函数值增量与自变量增量比值在自变量增量趋于 0 时的极限，能够运用定义准确推导简单函数导数。​ 2.牢记基本初等函数导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等导数公式，做到准确无误应用。​ 3.理解函数在某点处导数就是曲线在该点处切线斜率，能依据导数几何意义，迅速写出曲线在给定点处切线方程。 4.学会利用导数几何意义解决与切线相关问题，如求曲线切线方程、确定切点坐标、处理两曲线公切线问题等。​ 5.能够将导数运算及其几何意义与其他数学知识（如函数性质、方程、不等式等）融合，解决综合性问题，增强知识迁移与应用能力。​ 6.在解题过程中，注重数学思想方法运用，如分类讨论、数形结合、转化与化归等，提升分析问题与解决问题能力。 知识点1 导数的概念及其几何意义 1.平均变化率 一般地，对于一个函数，通常将称为函数在以和为端点的区间上的平均变化率； 2.瞬时速度与瞬时变化率 （1）瞬时速度：在满足函数关系的运动中，函数在处的导数，就是时刻的瞬时速度； （2）瞬时变化率： 就是函数在处的瞬时变化率 3.导数的概念 对于函数，比值的稳定值存在，在时有极限，并把这个极限记作；称为函数在处的导数；记作；即有； 4.导数的几何意义 （1）切线：在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线称为曲线在点处的切线； （2）的几何意义：是曲线在处的切线的斜率； （3）曲线在处的切线的方程为： ； 自主检测 1.2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为 ．（用含有H、h、m、t的式子表示） 2.某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当时间为时，酒杯中水升高的瞬时变化率是 3.（24-25高三上·上海·期中）已知是定义在上的可导函数，若，则 . 知识点2 导数的运算 1.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 2.导数的运算法则 已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)′＝. 3.复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． （2）复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积． 自主检测1．（24-25高三上·上海闵行·期中）函数在处的导数是 . 2.烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为，加热后的温度函数（是常数，表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是 . 题型1 导数的概念 例1-1某物体运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，则该物体在时的瞬时速度为 . 例1-2（24-25高三上·上海·期中）已知函数，若，则 . 例1-3若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ． 【变式训练1-1】若函数在处的导数等于，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【变式训练1-2】物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ． 【变式训练1-3】已知函数在处的切线斜率为，且，则 . 题型2 导数的运算 例2-1求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 例2-2（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则 . 例2-3（24-25高三上·上海·期中）设，函数在处的切线方程为，则 . 【变式训练2-1】（24-25高三下·上海·阶段练习）若，则 ． 【变式训练2-2】（24-25高三上·上海·期中）已知一罐汽水放入冰箱后的温度（单位：）与时间（单位：h）满足函数关系，则大约经过 分钟，温度的瞬时变化率为（精确到1分钟） 【变式训练2-3】（24-25高三上·上海·期中）若，则 . 【变式训练2-4】（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则 ． 题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角） 例3-1（24-25高三上·上海松江·期中）已知，则曲线在点处切线的倾斜角是 . 例3-2（24-25高三·上海·随堂练习）函数，其中，函数的图像在点处的切线的斜率为 ． 例3-3已知函数的导函数为, 记 ，则A，B，C的大小关系是 .（按从小到大的顺序排列） 【变式训练3-1】（24-25高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，则在点处的切线的倾斜角为 . 【变式训练3-2】曲线在点处的切线的倾斜角为 ． 题型4 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 例4-1（24-25高三下·上海·阶段练习）函数在处的切线斜率为 ． 例4-2（24-25高三上·上海·阶段练习）函数在点处的切线方程为 ． 例4-3（24-25高三上·上海宝山·期中）设点P在直线上，点Q在曲线上，线段的中点为M，O为坐标原点，则的最小值为 . 【变式训练4-1】（2025·上海金山·二模）若直线是曲线在处的切线，则的斜率为 . 【变式训练4-2】（24-25高三上·上海松江·期中）曲线在点处的切线方程是 ． 【变式训练4-3】（24-25高三上·上海·期中）设斜率为3的直线是曲线的切线，则直线的方程为 . 题型5 求过一点的切线方程 例5-1（2025·上海·三模）抛物线中，以为切点的切线方程为 例5-2若直线与曲线相切，则的值为 . 【变式训练5-1】经过点且与曲线相切的直线方程为 . 【变式训练5-2】已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 题型6 已知切线（斜率）求参数 例6-1（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数的图像在处的切线与直线垂直，则实数 ． 例6-2已知为实数，函数在处的切线方程为，则的值为 ． 【变式训练6-1】已知函数的图象在点处的切线斜率为，则实数 ． 【变式训练6-2】若曲线在点处的切线方程为，则 ． 【变式训练6-3】已知直线是曲线的切线，求常数的值． 题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 例7-1若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 例7-2已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则 . 【变式训练7-1】若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 【变式训练7-2】设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 . 【变式训练7-3】（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）设，，为曲线上两点，为曲线上两点，且四边形为矩形，则实数的取值范围为 . 题型8 已知某点处的导数值求参数或自变量 例8-1已知函数，其中，若，则的值为 . 例8-2函数，若，则 ． 【变式训练8-1】已知，其中，且，则 ． 【变式训练8-2】已知，若，则 ． 【变式训练8-3】若直线是指数函数（且）图象的一条切线，则底数 . 1．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 2．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． (1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； (2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； (3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$