第1章 有理数（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

第1章 有理数 教学目标 1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念； 2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算； 3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识。 教学重难点 1.重点 （1）有理数的有关概念及分类； （2）数轴、相反数、绝对值的认识及其应用； （3）有理数的五种运算法则；有理数运算的代数应用及实际应用。 2.难点 （1）数轴、绝对值等在有理数中综合应用，如判断符号、分类讨论求值等； （2）有理数运算的简便运算、构造方法等。 知识点1 正数与负数 1.具有相反意义的量 ①具有相反意义的量 a.零上温度和零下温度是具有相反意义的量. b.海平面以上高度和海平面以下高度也是具有相反意义的量. ②表示具有相反意义的量 在表示温度时，为了区别零上温度和零下温度，通常规定在零上温度的前面添上符号“+”(读作“正”),而在零下温度的前面添上符号“-”(读作“负”)。零上5℃,就记作+5℃,读作“正五摄氏度”;零下2℃,就记作-2℃,读作“负二摄氏度” 2.正数与负数 ①正数：像+5、+8848.86、+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数； ②负数：像－2、-154.31、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 即小于0的数，叫做负数. 3.有理数的概念 ①整数：像71、-12分别是正整数、负整数，它们和零都是整数；我们把正整数、0、负整数统称整数． ②分数：和是正分数，和是负分数，正分数和负分数都是分数。 ③所有的整数都可以用分数表示：所有的整数都可以写成分母为1的分数，如， ④有理数：能够写成分数（a，b是整数，a≠0）的数叫有理数。 2.有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：　 　　　 　　 要点： （1）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如． （2）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数. 4.自然数、整数、有理数的关系 自然数是整数的一部分、整数是有理数的一部分，它们之间的关系如图所示： 【即学即练】 1．如果珠穆朗玛峰高出海平面记作，那么某海沟低于海平面，记作 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了用正负数来表示具有意义相反的两种量：把海平面作为标准，记为米，那么超出的就记为正，不足的就记为负，直接得出结论即可，正确理解正负数来表示具有意义相反的两种量是解题的关键． 【详解】解：如果珠穆朗玛峰高出海平面记作，那么某海沟低于海平面，记作， 故答案为：． 2．在，，，0，，（每两个1之间的0个数逐次增加1）中，有理数个数共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义进行判定即可． 【详解】解：有理数为，， 0，， 故选A． 3．下列不具有相反意义的量的是（ ） A．前进米和后退米 B．身高增加厘米和体重减少千克 C．超过克和不足克 D．节约吨水和浪费吨水 【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量，理解相反意义的量是解题的关键．根据两个量是否具有相反意义逐项判定即可． 【详解】解：A、前进米和后退米是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； B、身高增加厘米和体重减少千克不是具有相反意义的量，故此选项符合题意； C、超过克和不足克是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； D、节约吨水和浪费吨水是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．下列说法中正确的有（    ） ①一个数前面加上“”号就是负数；②非负数就是正数；③0既不是正数，也不是负数；④正数和负数统称为有理数；⑤正整数与负整数统称为整数；⑥正分数与负分数统称为分数；⑦0是最小的整数；⑧最大的负数是． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类的知识，解题的关键是熟练掌握有理数的分类， 根据负数的定义可判断；根据有理数的分类可判断②③④；根据整数和分数的分类可判断⑤⑥；根据既没有最小的整数也没有最大的负数可判断⑦⑧． 【详解】解：①一个数前面加上“”号不一定是负数，如，故①不正确；； ②非负数不仅有正数还有0，故②不正确； ③0既不是正数，也不是负数，故③正确； ④正数，0和负数统称为有理数；故④不正确； ⑤正整数，0与负整数统称为整数，故⑤不正确； ⑥正分数与负分数统称为分数，故⑥正确； ⑦没有最小的整数，故不正确； ⑧没有最大的负数．故不正确． 所以，上列说法中正确的是③⑥：正确的个数是2个， 故选：． 5．下列各数填入表示它所在的数集的圈里： 【答案】见解析 【分析】根据有理数的分类，可得答案． 【详解】解：如图所示： 【点睛】本题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 知识点2 数轴 相反数 绝对值 1.数轴的画法 ①如图1-1-9,画一条直线(一般画成水平的直线),在直线上任取一点表示O,把这个点叫作原点； ②规定直线的一个方向(一般取从左往右的方向)为正方向，并用箭头表示； ③再选取适当长度作为一个单位长度.在直线上，从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示为1、2、3等；从原点向左，用类似方法依次取点，并表示为-1、-2、-3等. 2.数轴 定义：像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴． 3.用数轴上的点表示有理数 例如，2可以用数轴上位于原点右边、距离原点2个单位长度的点表示，3.4可以用数轴上位于原点右边、距离原点3.4个单位长度的点表示，-3可-3以用数轴上位于原点左边、距离原点3个单位长度的点表示. 4.数轴与有理数的关系 每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如． 5.相反数 互为相反数 ①举例：像3和-3这样，只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的的相反数；3与-3互为相反数 ②相反数的定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0． ③一般地，数a和数-a互为相反数，也就是数a的相反数是-a，数-a的相反数是a，这里的的a表示一个有理数。 6.性质： （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）． （2）互为相反数的两数和为0． 7.绝对值 一般地，数a在数轴上所对应的点到原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|, 读作“绝对值a”或“a的绝对值”. 要点： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 反过来，如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数或0;如果 一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是负数或0. （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 8.绝对值性质： （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 9.用数轴上的点表示绝对值为a（a≥0）的数 ①a=0时，绝对值为a的数只有一个，即为0，用数轴上的点表示如下图所示： ②a＞0时，绝对值为a的数有两个，分别是a和—a. 以a=为例，画出数轴上的点表示绝对值为a的数，如下图所示： 10.有理数的大小比较 ①.数轴法 每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示.用数轴上的点表示有理数时，这些点从左到右的顺序，就是有理数从小到大的顺序，即右边的点表示的数大于左边的点表示的数. 由此可知：4>0,0> -2,2>-4,...... ②.法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 【即学即练】 1．下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了化简多重符号，相反数的定义，根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，，两数相等，不是相反数； B、，，两数相等，不是相反数； C、与不满足相反数的定义，不是相反数； D、，，满足相反数的定义，与互为相反数； 故选：D 2．如图，数轴上蘑菇盖住的点表示的数，可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，熟记有理数都可以用数轴上的点表示是解题的关键． 根据数轴可知数轴上蘑菇盖住的点表示的数在与之间，且靠近，所以符合题意． 【详解】解：由数轴可知，数轴上蘑菇盖住的点表示数在与之间，且靠近， 数轴上蘑菇盖住的点表示的数，可能是， 故选：B． 3．比较大小（用“>” “<”或者“＝”填写）： ； 【答案】 > < 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据两个负数相比较绝对值大的反而小可得答案，再去括号，去绝对值，并比较即可． 【详解】解：因为，且， 所以； 因为，且， 所以． 故答案为：． 4．在下列各数中，负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类，多重符号化简，乘方的计算，绝对值的化简． 根据多重符号化简，乘方的计算，绝对值的化简，再根据有理数的分类判定即可． 【详解】解：， ∴负数有数：，共5个， 故选：D ． 5．已知为实数，且它们在数轴上对应的点的位置如下图所示． (1)______，______，______；（填“”，“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数轴，实数比较大小，绝对值的化简，根据数轴得到是解题的关键． （1）根据数轴得到，进而得出，，，即可得到答案； （2）去掉绝对值符号，再化简即可． 【详解】（1）解：根据数轴可知，， ，，， 故答案为：； （2）解： ，，， ． 知识点3 有理数的加法与减法 有理数的乘法与除法 1.有理数的加法法则 (1)同号两数相加，取原来加数的符号，并把绝对值相加. (2)异号两数相加，绝对值相等时和为0;绝对值不相等时，取绝对 值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. (3)任何一个数与0相加，仍得这个数. 2.有理数的加法交换律 加法交换律： a+b=b+a. 其中a、b表示有理数. 3.有理数的加法结合律 加法结合律： (a+b) +c=a+(b+c) 其中a、b、c表示有理数. 三个或三个以上的有理数相加： 三个或三个以上的有理数相加，既可以按从左到右的顺序计算，也可以根据加法交换律和结合律，任意交换加数的位置，或者先把其中的某几个数相加。 4.有理数的加法运算律小结 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c) 5.有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 有理数的减法法则可以表示成 a- b=a+(-b). 6.有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【即学即练】 1．把写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减．根据减去一个数等于加上这个数的相反数，然后去掉括号和加号即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算及运算律，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法计算即可求解； （2）利用加减法的交换律和结合律进行加减计算即可求解； （3）利用乘法的分配律进行计算即可求解； （4）先乘方，再乘除，有括号先计算括号内的，最后再加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．的倒数是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数的概念．根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解:的倒数是． 故选：D． 4．如果，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数除法，熟知绝对值为非负数是解题的关键．根据一个数的绝对值是非负数可以解题． 【详解】， 则， ， ，， 一定是负数． 故选：B． 5．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与实数，绝对值，相反数，实数运算等相关知识点和数形结合的数学思想，理解数轴上点的位置关系及绝对值的定义是解题的关键．本题根据数轴上点的位置判断出a，b，c的正负性和绝对值大小，再进行判断即可． 【详解】解：A．数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，所以，故A错误； B．点到原点的距离是绝对值，由数轴知a离原点更远，所以，故B错误； C．由数轴可知：，，所以，故C错误； D．是a的相反数，由数轴可知它在b的右边，所以，故D正确； 故答案为：D 知识点4 有理数的乘方 有理数的混合运算 1.有理数的乘方 一般地，我们将n(n为正整数)个相同乘数a相乘，即,记作“an”,读作“a的n次方”。在“an”中，a叫做底数,n称为指数(当指数n为1时可以省略不写). 求n个相同有理数的积的运算叫作有理数的乘方. 要点： （1）乘方的结果叫做幂． （2）乘方与幂不同，乘方是几个相同有理数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （3）底数一定是相同的有理数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （4）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 2..有理数的混合运算 含有有理数的加、减、乘、除、乘方运算是有理数的混合运算. 有理数的混合运算，可以按照以下顺序进行： 先算乘方，再算乘除，最后算加减.同级运算，从左到右进行.如果有括号，先进行括号内的运算. 【即学即练】 1．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则． （1）先通分计算括号里的分数加减法，在计算分数除法，化简即可； （2）先计算各部分，再进行加减运算即可； （3）先分组，提取公因数，进行合并，计算化简即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 2．下列各组数中，运算结果相同的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘方，分别计算各选项中两个表达式的值，比较是否相等． 【详解】解：A.，，结果不相等，故选项A不符合题意； B.，，结果相等，故选项B符合题意； C.，，结果不相等，故选项C不符合题意； D.，，结果不相等，故选项D不符合题意； 故选：B． 3．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握绝对值和平方数的非负性，即绝对值一定大于等于0，一个数的平方也一定大于等于0． 因为两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，据此列出方程求解的值． 【详解】解：已知 根据非负数的性质：绝对值，一个数的平方， 当两个非负数的和为0时，只能是且， 对于，解方程可得：，移项得， ∴， 故答案为：． 4．若，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，求一个数的相反数，有理数大小比较等知识点，熟练掌握有理数的运算法则和相关概念是解题的关键． 由题意可得，，，然后比较其大小即可． 【详解】解：，，， ， 故选：． 5．定义一种新运算，规定运算法则为：（均为整数，且），例如：，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义运算，有理数的混合运算．代入数值后，先计算乘方和乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解：∵（a，b均为整数，且）， ∴， 故答案为：． 题型01 有理数的分类及辨析 【典例1】．在中，负数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查相反数、绝对值和乘方的运算．掌握正负性的判断方法是解题的关键，尤其要注意符号的变化规则，避免计算错误．解题时分别计算每个式子的值，根据结果的正负性判断哪些是负数即可得出答案． 【详解】，∵，∴为正数， ，∵，∴为负数， ，∵，∴为负数， ，∵，∴为正数， 综上，，为负数，共2个． 故选：C． 【变式1】．有理数，0，1，中，正整数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查正整数，熟练掌握正整数的定义是解题的关键． 根据正整数的定义进行判断即可． 【详解】解：正整数需满足正数以及整数， 是负数不符合题意； 0既不是正数也不是负数，不符合题意； 1是正整数； 不是整数，不符合题意； 故正整数有1个． 故选：A． 【变式2】．在下列有理数中，负数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了负数，把各数进行化简是解题的关键．首先把各个数进行化简，再根据在正数前面加上“”是负数即可得到答案． 【详解】解：，是负数，符合题意； ，是负数，符合题意； ，是正数，不符合题意； ，是负数，符合题意； ，是正数，不符合题意； ，是负数，符合题意； 故负数有个． 故选：C． 【变式3】．把下列各数的序号填在适应的大括号内： ①；②；③；④；⑤2021；⑥（两个之间依次多个）；⑦；⑧；⑨；⑩． 正分数集合：{____________________________…}； 整数集合：{____________________________…}； 负数集合：{____________________________…}； 非负有理数集合：{____________________________…}． 【答案】④，⑦，⑧；①，②，⑤；①，⑨，⑩；②，④，⑤，⑦，⑧ 【分析】本题考查了有理数的分类，根据正分数、整数、负数、非负有理数的定义进行分类解答即可． 【详解】解：，， 正分数集合：{④，⑦，⑧…}； 整数集合：{①，②，⑤，…}；； 负数集合：{①，⑨，⑩，…}；； 非负有理数集合：{②，④，⑤，⑦，⑧，…}；． 故答案为：④，⑦，⑧；①，②，⑤；①，⑨，⑩；②，④，⑤，⑦，⑧． 【变式4】．下列各数填入表示它所在的数集的圈里： 【答案】见解析 【分析】根据有理数的分类，可得答案． 【详解】解：如图所示： 【点睛】本题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 题型02 有理数的有关概念辨析、填空 【典例1】．某蓄水池的标准水位记作，如果高于标准水位记作，那么低于标准水位记作 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解题的关键；因此此题可根据正负数的意义进行求解即可． 【详解】解：由题意得低于标准水位记作； 故答案为． 【变式1】．下列不具有相反意义的量的是（ ） A．前进米和后退米 B．身高增加厘米和体重减少千克 C．超过克和不足克 D．节约吨水和浪费吨水 【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量，理解相反意义的量是解题的关键．根据两个量是否具有相反意义逐项判定即可． 【详解】解：A、前进米和后退米是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； B、身高增加厘米和体重减少千克不是具有相反意义的量，故此选项符合题意； C、超过克和不足克是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； D、节约吨水和浪费吨水是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】．下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．整数和分数统称为有理数 C．有理数分为正数，负数和零 D．正整数和负整数统称为整数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的基本概念． 根据有理数的基本概念逐一分析即可． 【详解】解：A：当为负数时，为正数，故原说法错误； B：根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，故原说法正确； C：有理数分为正有理数、负有理数和零，而非笼统的“正数、负数和零”，故原说法错误； D：整数包括正整数、负整数和零，选项中遗漏了零，故原说法错误； 故选：B． 【变式3】．下列结论中，正确的是（   ） A．绝对值最小的数是0 B．绝对值等于它的相反数的数一定是负数 C．有理数分为正有理数与负有理数两类 D．倒数等于它本身的数只有1 【答案】A 【分析】本题主要查了绝对值，倒数，有理数的分类．根据绝对值，倒数，有理数的分类，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、绝对值最小的数是0，正确，故本选项符合题意； B、绝对值等于它的相反数的数一定是零和负数，原说法错误，故本选项不符合题意； C、有理数分为正有理数，负有理数和零，原说法错误，故本选项不符合题意； D、倒数等于它本身的数有，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A 题型03 判断、写出相反数、绝对值、倒数等 【典例1】．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值定义即可求解，解题的关键是正确理解表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 【详解】解：根据绝对值的定义可得：的绝对值是， 故选：． 【变式1】．下列各数，互为倒数的是（    ） A．与1 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数． 分别计算各选项中两数的乘积，判断是否等于1即可． 【详解】解：A：，不互为倒数； B：，，互为倒数； C：，不互为倒数； D：，不互为倒数； 故选：B． 【变式2】．5的相反数是 ，的绝对值是 ，的倒数是 ． 【答案】 【分析】该题考查了相反数、绝对值、倒数，根据相反数、绝对值、倒数的定义解答即可． 【详解】解：5的相反数是，的绝对值是 ，的倒数是， 故答案为：，，． 【变式3】．在实数，，，中，相反数是它本身的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，正数的相反数一定是负数，负数的相反数一定是正数，相反数是它本身的数只有． 【详解】解：A选项：根据相反数的定义可知，的相反数是，故A选项不符合题意； B选项：根据相反数的定义可知，的相反数还是，故B选项符合题意； C选项：根据相反数的定义可知，的相反数是，故C选项不符合题意； D选项：根据相反数的定义可知，的相反数是，故D选项不符合题意． 故选：B． 题型04 化简符号 【典例1】．化简： 【答案】 / 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的化简，根据多重符号的化简方法及绝对值的定义化简即可． 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：，，，． 【变式1】．把写成省略括号的和的形式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，根据有理数加法法则、减法法则将括号前的符号与括号内的数结合，改写为省略括号的和的形式即可； 【详解】解： ， ， 故选D． 题型05 判断数值是否相等 【典例1】．下列各式中，值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了乘方、绝对值、符号化简、有理数的混合运算，分别计算各选项两式的值，判断是否相等． 【详解】解：A、，，即与不相等，故不符合题意； B、，，即与不相等，故不符合题意； C、，，即与相等，故符合题意； D、，，即与不相等，故不符合题意． 故选：C． 【变式1】．下列各对数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，分别计算各选项中两个表达式的值，判断是否相等． 【详解】∵，，∴，故A错误． ∵，∴，故B正确． ∵，，∴，故C错误． ∵，，∴，故D错误． 故选B． 题型06 比较有理数的大小 【典例1】．比较大小：（1） ，（2） ；（3） （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是： （1）根据正数大于负数即可判断； （2）根据两个负数比较，绝对值大的反而小即可判断； （3）先化简，然后根据正数大于负数即可判断． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2）∵，，， ∴>， 故答案为：； （3）∵，，， ∴ 故答案为：． 【变式1】．比较大小：0 ，60 ， （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握比较有理数大小的方法是解题的关键．正数0负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此进行判断即可． 【详解】解：，， ∵ ∴， 故答案为：，，． 【变式2】．下列4个数中最大的数是（　　） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，牢记正数大于0，0大于负数，是解本题的关键． 根据正数大于0，0大于负数，可确定最大的数． 【详解】解：根据正数大于0，0大于负数，可知这4个数中，最大的数为． 故选：D． 【变式3】．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了负数比较大小，熟练掌握负数的大小比较方法是解题的关键． 因为，，，所以，即可得到答案． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 题型07 数轴及其应用 【典例1】．如图所示，点M表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点的识别，熟悉掌握数轴的知识点是解题的关键． 根据数轴上点的位置作答即可． 【详解】解：由数轴得，点M表示的数是， 故选：C． 【变式1】．如图，数轴上点向右平移3个单位后表示的数是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键．根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为，再根据向右平移3个单位从而求解． 【详解】解：根据题意可知点P表示的数为， 向右平移3个单位后表示的数是2， 故选：D． 【变式2】．有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（   ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值表示数轴上的点到原点的距离，距离越大，绝对值越大，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，表示数的点到原点的距离最大， ∴绝对值最大的是； 故选A． 题型08 有理数的运算及其混合运算 【典例1】．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则进行简便计算； （2）根据分配律进行计算； （3）根据有理数的混合运算法则计算即可； （4）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算．熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方的运算法则，运算顺序，运算律，是解题的关键． （1）根据整数的加减混合运算与交换律结合律运算即可； （2）先运算分数的加法，所得结果再与125相加； （3）先用乘法分配律计算中括号内的乘法，再计算加减法，同时计算出除式结果，最后化除法为乘法计算； （4）中括号内外先算乘方，再算乘除法，最后计算加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】．怎样简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，掌握运算法则是解题的关键． （）先算乘法，然后根据加法结合律进行同分母运算，最后算加法即可； （）先算括号内的除法，再算加法，最后算减法即可； （）根据加法结合律进行同分母运算，最后算减法即可； （）分别算括号内的加法，乘法和减法，最后算除法即可； （）先算乘法，然后通过乘法分配律进行简便计算即可； （）先算括号内的加法，最后算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式3】．计算的结果为（   ） A．1 B． C．7 D．343 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，根据有理数的运算法则和运算顺序进行计算即可求解． 【详解】解： ； 故选：D． 【变式4】．在数学课上，老师让A、B、C、D四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算．根据有理数的运算法则和顺序计算后即可得到答案． 【详解】A、， 故A不符合题意； B、， 故B不符合题意； C、， 故C符合题意； D、， 故D不符合题意； 故选：C． 题型09 绝对值不大于某个数的整数问题 【典例1】．绝对值大于3且小于5的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义、相反数的性质等知识，首先根据题意得到绝对值大于3且小于5的所有整数有：和，再由互为相反数的两个数和为即可得到答案．熟记绝对值的意义及相反数的性质是解决问题的关键． 【详解】解：绝对值大于3且小于5的所有整数有：和， ， 故答案为：． 【变式1】．绝对值不大于5的整数有 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的概念，解题的关键是理解绝对值的含义，明确“不大于”的意思是小于等于，然后找出满足条件的整数． 根据绝对值的定义，找出绝对值不大于5的所有整数即可． 【详解】解：绝对值不大于5的所有整数为：， 故答案为． 题型10 绝对值的非负性 【典例1】．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握绝对值和平方数的非负性，即绝对值一定大于等于0，一个数的平方也一定大于等于0． 因为两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，据此列出方程求解的值． 【详解】解：已知 根据非负数的性质：绝对值，一个数的平方， 当两个非负数的和为0时，只能是且， 对于，解方程可得：，移项得， ∴， 故答案为：． 【变式1】．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 【变式2】．若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和非负数的性质．掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】与互为相反数， 答案为：． 【变式3】．当的值最小时， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性可知即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 此时时，的值最小，则； 故答案为：． 题型11 有理数运算的实际应用 【典例1】．一辆汽车 小时行千米，照这样的速度小时行 千米； 【答案】60 【分析】本题考查了有理数的除法，行程问题，理解行程问题的数量关系，掌握有理数的除法运算是关键． 根据行程中的数量关系可得汽车的速度为（千米/小时），由此即可求解． 【详解】解：一辆汽车 小时行千米， ∴汽车的速度为（千米/小时）， ∴（千米）， 故答案为：60 ． 【变式1】．陕西的拉面是一道美味佳肴，细腻爽滑的面条搭配上丰富的调料，令人回味无穷．某拉面馆的师傅用一根很粗的面条，拉一次变成根，拉次变成根，拉次变成根，照这样下去，拉次后，师傅手中的拉面的根数是 根． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，通过题目中拉面次数与面条根数的变化规律，巧妙的列出乘方算式并计算是本题的关键． 根据题意，每次拉面的根数都是前一次的倍，所以得到规律．根据这个规律求出拉次后面条的根数． 【详解】一根拉面拉次变成根，即根． 拉次变成根，即根． 拉次变成根，即根． 拉6次后，师傅手中的拉面的根数是根． 故答案为：． 【变式2】．如图，这是法国巴黎的埃菲尔铁塔，是世界著名的城市地标．你知道吗？它的高度并不固定，钢铁受热胀冷缩影响，长度会有细微的伸缩变化．研究表明，温度每升高，埃菲尔铁塔就会增高．据气象部门统计，巴黎一年的温差能够达到，则埃菲尔铁塔一年内的高度差可以达到 ． 【答案】12 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意，可以列出算式，然后计算，注意结果的单位最后是．解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式． 【详解】解：由题意可得， 埃菲尔铁塔一年内的高度差可以达到：， 故答案为：12． 【变式3】．一张纸的厚度为，假设连续对折始终是可能的．若要使对折后的纸的厚度超过，则至少要对折 次． 【答案】15 【分析】本题主要考查了有理数乘方的应用，根据一张纸的厚度为，对折1次后纸的厚度为，对折2次后纸的厚度为，对折次后纸的厚度为，结合，即可得出答案． 【详解】解：一张纸的厚度为，对折1次后纸的厚度为， 对折2次后纸的厚度为， 对折3次后纸的厚度为， 对折次后纸的厚度为． 因为， 所以， ， 所以． 因为， 所以至少要对折15次，纸的厚度才能超过． 故答案为：15． 【变式4】．某种细胞开始有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2个小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，请你计算经过9个小时后，细胞存活的个数为 个． 【答案】513 【分析】本题考查有理数的乘方，读懂题意，发现其中的规律是解题的关键； 根据1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，；2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，；3小时后分裂成10个并死去1个，剩9个，得出规律；按此规律，9小时后存活的个数是，求出结果即可． 【详解】解：根据题意得，细胞存活的个数依次为，，，，， 按此规律，9小时后存活的个数是个， 故答案为：513． 【变式5】．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天． 【答案】123 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的混合运算，根据题意中的计算方法，列式计算，即可． 【详解】解：由题意得，图2，计算孩子自出生后的天数， 故答案为：123． 题型12 有理数的其他应用 【典例1】．若，，且，则的值为（   ） A．5 B．5或1 C．1 D．1或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的性质及有理数的加法、乘法，解题的关键是根据，即，异号分情况讨论．由绝对值的性质，先求得x、y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴当，时，； 当，时，． 故选：D． 【变式1】．如图所示，根据程序计算，若输入的值是，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了程序流程图与有理数计算，根据程序计算图，代入即可求解，根据流程图正确计算是解题的关键． 【详解】解：第一次：， 第二次：， ∴输出的值为， 故答案为：． 【变式2】．为求的值，可令，则，然后，可以得到，则．仿照计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的规律探究并应用，通过错位相减法求解，题目给出仿照例子，需构造类似方法计算． 【详解】解：令，两边同乘5，得： 将两式相减： 右边展开后，中间项全部抵消，仅剩，左边化简为，即： ， 解得：； 故选：D 【变式3】．若都是不为零的数，则的结果为（      ） A．3或 B．3或 C．或1 D．3或或 【答案】B 【分析】本题考查化简绝对值，涉及代数式化简求值，根据的正负性，分情况讨论去绝对值后化简即可得到答案，由正负分类讨论去绝对值是解决问题的关键． 【详解】解：情况1：当时， ，，， 则； 情况2：当时， ，，， 则； 情况3：当时， ，，， 则； 情况4：当时， ，，， 则； 综上所述，的结果为或， 故选：B． 题型13 解答题 【典例1】．已知下列各有理数：，，，． (1)请在数轴上标出这些数表示的点； (2)用“”号把这些数连接起来． 【答案】(1)在数轴上标出见解析； (2)． 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴的应用，解题的关键是求出各个数的大小和在数轴上把各个数表示出来，注意：在数轴上右边的数总比左边的数大． （）先化简，再在数轴上确定表示各数的点的位置，然后在数轴上表示即可； （）右边的数总比左边的数大用“”连接起来即可． 【详解】（1）解：，， 在数轴上标出这些数如图， （2）解：由右边的数总比左边的数大， ∴． 【变式1】．画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”连接， 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查有理数与数轴，先根据有理数的乘方，绝对值的意义，进行计算，然后在数轴上表示出各数，最后根据数轴上的数，右边比左边的大，进行连接即可． 【详解】解：，，，，数轴上表示各数如图： 由图可知：． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，化简多重符号，化简绝对值，有理数的乘方，根据数轴比较有理数的大小，数形结合是解题的关键． 【变式2】．有理数在数轴上的位置如图所示： (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 【答案】(1)画数轴见解析 (2) 【分析】本题考查在数轴上表示有理数、利用数轴比较有理数大小，涉及相反数的性质等知识，熟练掌握数轴性质是解决问题的关键． （1）由相反数性质，互为相反数的两个数关于原点对称，直接根据有理数在数轴上的位置即可得到的位置； （2）利用数轴性质：数轴上的有理数，右边的数大于左边的数比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：是有理数的相反数， 根据互为相反数的两个数关于原点对称，在数轴上表示如图所示： （2）解：如图所示： 由数轴性质比较有理数大小得到 【变式3】．已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查利用根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值意义，绝对值性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据数轴的特点即可判断的正负，再结合绝对值意义，即可判断的正负； （2）根据数轴判断式子，的正负，再结合绝对值性质化简，即可解题． 【详解】（1）解：由数轴可知，，，， 且， 所以， 故答案为：；； （2）解：因为，， 所以． 【变式4】．有理数，在数轴上的位置如图所示． (1) ；   ；    ；（用“”填空） (2)化简：______；______；______． 【答案】(1)；； (2)；；． 【分析】本题主要考查数轴上的特点，绝对值的化简，理解数轴的特点，掌握绝对值的化简是解题的关键． （1）根据数轴的特点可得，由此判定式子的正负号； （2）根据（1）中的判定，绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∴， 故答案为：；；； （2）解：∵， ∴，，， 故答案为：；；． 【变式5】．随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他记录了连续7天中每天行驶的路程（如下表，单位：），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少千米？ (2)请求出这七天中平均每天行驶多少千米； (3)若行驶需用汽油，汽油价为元/L，请估计小明家一个月（按30天计算）的汽油费用是多少元？ 【答案】(1)行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了千米 (2)这七天中平均每天行驶千米 (3)估计小明家一个月（按30天计）的汽油费用是元 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，有理数的加减乘除法的应用，熟练掌握题意，正确列出各运算式子是解题关键． （1）用多于50千米最多的减去不足50千米最少的； （2）50加上将表格中数字的和除以7的商即可得； （3）用（2）中的结果乘以30求出一个月行驶的总里程，再乘以平均每千米耗油量，最后乘以油价8，即得小明家一个月的汽油费用． 【详解】（1）（千米）， 答：行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了千米； （2） （千米）， 答：这七天中平均每天行驶千米； （3）（元）， 答：小明家一个月的汽油费用约为元． 【变式6】．某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过件记为正，不足件记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） (1)求工厂当周一共加工的零件总数； (2)若每件零件的加工成本为元，求该工厂当周的加工总成本； (3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳元罚金，求该工厂当周的奖励总额． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算、正数和负数，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． （1）先把表格中的数据相加，再加上，即可求解； （2）用（1）中求得的工厂当周一共加工的零件总数乘以每件零件的加工成本求解即可； （3）用工人该周一共加工的总数乘以10，再加上奖金，减去缴纳的罚金，即可求出该周的工资总额． 【详解】（1）解：根据题意得：（件）， 答：工厂当周一共加工件零件； （2）解：根据题意得：（元）， 答：该工厂当周的加工总成本为元； （3）解：根据题意得：元， 答：该工厂当周的奖励总额为元． 【变式7】．我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据※，可以计算出所求式子的值； （2）根据※，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：由题意可得，※4； （2）解：由题意可得，※． 【变式8】．阅读解题：，，，… 计算：理解以上方法的真正含义，计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）（2）根据例题中所给出的式子列式计算即可； （3）先将分母变形，再根据例题中的规律列式计算即可． 【详解】解：（1） = = =； （2） = = =； （3） = = = = 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解答此题的关键． 【变式9】．观察下列等式，，，将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______． ②______． (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）根据题中的信息直接得出答案； （2）①先根据题中的规律将乘法化为加减法，再计算即可；②仿照①计算； （3）先提出，再仿照（2）计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知； 故答案为：； （2）解：①原式= = =； 故答案为：； ②原式= = =； 故答案为：； （3）解：原式= = =． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算和数字变化规律，解题的关键是根据数字变化和拆项的特点得出规律来求解． 一、单选题 1．在这五个数中，最小的数为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵-2＜＜0＜＜1， ∴在这五个数中，最小的数为-2． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2．下列各组数中，互为相反数是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据绝对值与相反数的定义进行解答． 【详解】解：A. =，=，两数相等，不互为相反数，此选项不符合； B. =，=，两数不互为相反数，此选项不符合； C. =，=，两数互为相反数，选项符合； D. =，=，两数不互为相反数，此选项不符合； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，相反数定义，关键是正确理解绝对值的性质与相反数的定义． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出各项结果，即可做出判断． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项正确； D、，故选项错误； 故选C． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．下列说法中错误的有（    ）个． ①是绝对值最小的有理数；②绝对值等于本身的数是正数；③数轴上原点两侧的数互为相反数；④两个数相互比较绝对值大的反而小．⑤若，则；⑥若两个有理数的差是负数，则被减数和减数中必有一个负数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查判断说法正误，涉及绝对值意义、有理数定义、数轴性质、相反数定义、比较数的大小方法、有理数乘法运算法则、有理数加减运算法则等知识．熟记相关定义与性质是解决问题的关键． 根据绝对值意义和有理数定义判断①；由绝对值的意义判定②；由数轴性质、相反数定义判断③；由绝对值意义、比较数的大小方法判断④；由有理数乘法运算法则、有理数加法运算法则判定⑤；由有理数加减运算法则判定⑥，确定所有说法的正确性，统计错误个数即可得到答案． 【详解】解： ①的绝对值最小，任何有理数的绝对值非负，故是绝对值最小的有理数，说法正确； ②绝对值等于本身的数是非负数（包括和正数），而说法限定为“正数”，说法错误； ③原点两侧的数需满足“符号相反且绝对值相等”才是相反数，仅两侧无法保证互为相反数，说法错误； ④绝对值大的数反而小仅适用于负数，说法未限定条件，说法错误； ⑤由知同号，结合，得必为同负，说法正确； ⑥差为负数仅说明被减数小于减数，如，被减数和减数两数均为正数，说法错误； 综上所述，错误的说法为②、③、④、⑥，共4个， 故选：C． 二、填空题 5．比较大小： 【答案】 【分析】本题考查了两个负数比较大小，根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，由此即可求解． 【详解】解：， ∴， 故答案为： ． 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数除法法则，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数成为解题的关键． 根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．绝对值小于的正整数是 ． 【答案】1，2，3 【分析】根据绝对值的意义解答即可． 【详解】解：绝对值小于的正整数有1，2，3， 故答案为：1，2，3． 【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=-a． 8．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且|c|＝1，则＋c2－cd的值为 ． 【答案】0 【分析】据倒数与互为相反数的定义，分别得出a+b=0，cd=1，代入求出即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴a＋b＝0． ∵c，d互为倒数， ∴cd＝1． ∵|c|＝1， ∴c2＝1． ∴＋c2－cd＝0＋1－1＝0． 故答案为：0． 【点睛】此题主要考查了倒数与互为相反数的概念及性质．根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．相加和为0的叫互数是互为相反数，求出是解决问题的关键． 9．已知点A和点B都在同一条数轴上，点A表示3，又知点B和点A相距5个单位长，则点B表示的数是 ． 【答案】﹣2或8/8或﹣2 【分析】根据题意分两种情况，一种是点B在点A的左边，一种是点B在点A的右边，分别进行求解即可． 【详解】解：当点B在点A的左边时，点B表示的数是3﹣5＝﹣2， 当点B在点A的右边时，点B表示的数是3+5＝8， 故点B表示的数是﹣2或8， 故答案为：﹣2或8． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，利用分类讨论的思想是解题的关键． 10．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），二进制是逢2进1的计数制，两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：（，，按此方式，则 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是弄清二进制数转化为十进制数的计算方法．根据题意可知，，再计算出结果即可． 【详解】解：由题意可得， ， 即将化为十进制数为15， 故答案为：15． 三、解答题 11．认真阅读材料后，解决问题： 计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：原式的倒数是 ＝ ＝ ＝20﹣3+5﹣12＝10， 故原式＝． 仿照阅读材料计算：． 【答案】 【分析】仿照阅读材料，先求原数的倒数，进而求解即可． 【详解】解：原式的倒数是 ， 故原式． 【点睛】本题主要考查了求一个数的倒数，有理数除法，有理数乘法的分配律，正确理解题意是解题的关键． 12．10月1日这一天下午，警车司机小张在东西走向的江北大道上值勤．如果规定向东为正，警车的所有行程如下（单位：千米）： ，，，，，，， （1）最后，警车司机小张在距离出发点的什么位置？ （2）若警车每行驶10千米的耗油量为升，那么这一天下午警车共耗油多少升？ （3）如现在油价为每升元，那么花费了多少油钱？ 【答案】（1）距离出发点以西4千米；（2）3.2升；（3）23.5元 【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据单位耗油量乘以行车距离，可得答案； （3）根据油的单价乘耗油量，可得答案． 【详解】解：（1）5-4+3-6-2+10-3-7=-4， 答：小张在距离出发点以西4千米． （2）5+|-4|+3+|-6|+|-2|+10+|-3|+|-7|=40， 40÷10×0.8=3.2（升）， 答：这一天下午警车共耗油3.2升； （3）3.2×7.34≈23.5（元） 答：那么花费了23.5元油钱． 【点睛】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加法运算，有理数的乘法运算． 13．探索研究： （1）比较下列各式的大小（用“<”“>”或“=”连接） ①_________； ②_______； ③________． （2）通过以上比较，请你归纳出当a，b为有理数时与的大小关系．（直接写出结果） （3）根据（2）中得出的结论，当时，x的取值范围是________．若，，则________． 【答案】（1）①>；②=；③>；（2）；（3），10或或5或 【分析】（1）根据有理数绝对值的化简方法分别化简、计算后进行比较即可； （2）根据（1）的规律即可得到答案； （3）根据（2）的规律即可得到答案. 【详解】（1）①因为， 所以. ②因为， 所以. ③因为， 所以. 故答案为>，=，>； （2）当a，b异号时，， 当a，b同号时，， 所以； （3）由（2）中得出的结论可知，x与同号， 所以x的取值范围是. 因为， 所以与异号， 则或或5或， 故答案为，10或或5或. 【点睛】此题考查了有理数绝对值的化简：正数的绝对值等于它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值等于它的相反数，以及绝对值的化简方法的应用. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数 教学目标 1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念； 2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算； 3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识。 教学重难点 1.重点 （1）有理数的有关概念及分类； （2）数轴、相反数、绝对值的认识及其应用； （3）有理数的五种运算法则；有理数运算的代数应用及实际应用。 2.难点 （1）数轴、绝对值等在有理数中综合应用，如判断符号、分类讨论求值等； （2）有理数运算的简便运算、构造方法等。 知识点1 正数与负数 1.具有相反意义的量 ①具有相反意义的量 a.零上温度和零下温度是具有相反意义的量. b.海平面以上高度和海平面以下高度也是具有相反意义的量. ②表示具有相反意义的量 在表示温度时，为了区别零上温度和零下温度，通常规定在零上温度的前面添上符号“+”(读作“正”),而在零下温度的前面添上符号“-”(读作“负”)。零上5℃,就记作+5℃,读作“正五摄氏度”;零下2℃,就记作-2℃,读作“负二摄氏度” 2.正数与负数 ①正数：像+5、+8848.86、+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数； ②负数：像－2、-154.31、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 即小于0的数，叫做负数. 3.有理数的概念 ①整数：像71、-12分别是正整数、负整数，它们和零都是整数；我们把正整数、0、负整数统称整数． ②分数：和是正分数，和是负分数，正分数和负分数都是分数。 ③所有的整数都可以用分数表示：所有的整数都可以写成分母为1的分数，如， ④有理数：能够写成分数（a，b是整数，a≠0）的数叫有理数。 2.有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：　 　　　 　　 要点： （1）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如． （2）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数. 4.自然数、整数、有理数的关系 自然数是整数的一部分、整数是有理数的一部分，它们之间的关系如图所示： 【即学即练】 1．如果珠穆朗玛峰高出海平面记作，那么某海沟低于海平面，记作 ． 2．在，，，0，，（每两个1之间的0个数逐次增加1）中，有理数个数共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．下列不具有相反意义的量的是（ ） A．前进米和后退米 B．身高增加厘米和体重减少千克 C．超过克和不足克 D．节约吨水和浪费吨水 4．下列说法中正确的有（    ） ①一个数前面加上“”号就是负数；②非负数就是正数；③0既不是正数，也不是负数；④正数和负数统称为有理数；⑤正整数与负整数统称为整数；⑥正分数与负分数统称为分数；⑦0是最小的整数；⑧最大的负数是． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．下列各数填入表示它所在的数集的圈里： 知识点2 数轴 相反数 绝对值 1.数轴的画法 ①如图1-1-9,画一条直线(一般画成水平的直线),在直线上任取一点表示O,把这个点叫作原点； ②规定直线的一个方向(一般取从左往右的方向)为正方向，并用箭头表示； ③再选取适当长度作为一个单位长度.在直线上，从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示为1、2、3等；从原点向左，用类似方法依次取点，并表示为-1、-2、-3等. 2.数轴 定义：像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴． 3.用数轴上的点表示有理数 例如，2可以用数轴上位于原点右边、距离原点2个单位长度的点表示，3.4可以用数轴上位于原点右边、距离原点3.4个单位长度的点表示，-3可-3以用数轴上位于原点左边、距离原点3个单位长度的点表示. 4.数轴与有理数的关系 每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如． 5.相反数 互为相反数 ①举例：像3和-3这样，只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的的相反数；3与-3互为相反数 ②相反数的定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0． ③一般地，数a和数-a互为相反数，也就是数a的相反数是-a，数-a的相反数是a，这里的的a表示一个有理数。 6.性质： （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）． （2）互为相反数的两数和为0． 7.绝对值 一般地，数a在数轴上所对应的点到原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|, 读作“绝对值a”或“a的绝对值”. 要点： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 反过来，如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数或0;如果 一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是负数或0. （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 8.绝对值性质： （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 9.用数轴上的点表示绝对值为a（a≥0）的数 ①a=0时，绝对值为a的数只有一个，即为0，用数轴上的点表示如下图所示： ②a＞0时，绝对值为a的数有两个，分别是a和—a. 以a=为例，画出数轴上的点表示绝对值为a的数，如下图所示： 10.有理数的大小比较 ①.数轴法 每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示.用数轴上的点表示有理数时，这些点从左到右的顺序，就是有理数从小到大的顺序，即右边的点表示的数大于左边的点表示的数. 由此可知：4>0,0> -2,2>-4,...... ②.法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 【即学即练】 1．下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．如图，数轴上蘑菇盖住的点表示的数，可能是（   ） A． B． C． D． 3．比较大小（用“>” “<”或者“＝”填写）： ； 4．在下列各数中，负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．已知为实数，且它们在数轴上对应的点的位置如下图所示． (1)______，______，______；（填“”，“”或“”） (2)化简：． 知识点3 有理数的加法与减法 有理数的乘法与除法 1.有理数的加法法则 (1)同号两数相加，取原来加数的符号，并把绝对值相加. (2)异号两数相加，绝对值相等时和为0;绝对值不相等时，取绝对 值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. (3)任何一个数与0相加，仍得这个数. 2.有理数的加法交换律 加法交换律： a+b=b+a. 其中a、b表示有理数. 3.有理数的加法结合律 加法结合律： (a+b) +c=a+(b+c) 其中a、b、c表示有理数. 三个或三个以上的有理数相加： 三个或三个以上的有理数相加，既可以按从左到右的顺序计算，也可以根据加法交换律和结合律，任意交换加数的位置，或者先把其中的某几个数相加。 4.有理数的加法运算律小结 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c) 5.有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 有理数的减法法则可以表示成 a- b=a+(-b). 6.有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【即学即练】 1．把写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．的倒数是（    ） A．6 B． C． D． 4．如果，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 5．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点4 有理数的乘方 有理数的混合运算 1.有理数的乘方 一般地，我们将n(n为正整数)个相同乘数a相乘，即,记作“an”,读作“a的n次方”。在“an”中，a叫做底数,n称为指数(当指数n为1时可以省略不写). 求n个相同有理数的积的运算叫作有理数的乘方. 要点： （1）乘方的结果叫做幂． （2）乘方与幂不同，乘方是几个相同有理数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （3）底数一定是相同的有理数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （4）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 2..有理数的混合运算 含有有理数的加、减、乘、除、乘方运算是有理数的混合运算. 有理数的混合运算，可以按照以下顺序进行： 先算乘方，再算乘除，最后算加减.同级运算，从左到右进行.如果有括号，先进行括号内的运算. 【即学即练】 1．计算 (1) (2) (3) 2．下列各组数中，运算结果相同的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．已知，则 ． 4．若，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．定义一种新运算，规定运算法则为：（均为整数，且），例如：，则的值为 ． 题型01 有理数的分类及辨析 【典例1】．在中，负数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】．有理数，0，1，中，正整数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．在下列有理数中，负数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】．把下列各数的序号填在适应的大括号内： ①；②；③；④；⑤2021；⑥（两个之间依次多个）；⑦；⑧；⑨；⑩． 正分数集合：{____________________________…}； 整数集合：{____________________________…}； 负数集合：{____________________________…}； 非负有理数集合：{____________________________…}． 【变式4】．下列各数填入表示它所在的数集的圈里： 题型02 有理数的有关概念辨析、填空 【典例1】．某蓄水池的标准水位记作，如果高于标准水位记作，那么低于标准水位记作 ． 【变式1】．下列不具有相反意义的量的是（ ） A．前进米和后退米 B．身高增加厘米和体重减少千克 C．超过克和不足克 D．节约吨水和浪费吨水 【变式2】．下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．整数和分数统称为有理数 C．有理数分为正数，负数和零 D．正整数和负整数统称为整数 【变式3】．下列结论中，正确的是（   ） A．绝对值最小的数是0 B．绝对值等于它的相反数的数一定是负数 C．有理数分为正有理数与负有理数两类 D．倒数等于它本身的数只有1 题型03 判断、写出相反数、绝对值、倒数等 【典例1】．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列各数，互为倒数的是（    ） A．与1 B．与 C．与 D．与 【变式2】．5的相反数是 ，的绝对值是 ，的倒数是 ． 【变式3】．在实数，，，中，相反数是它本身的数是（   ） A． B． C． D． 题型04 化简符号 【典例1】．化简： 【变式1】．把写成省略括号的和的形式是（  ） A． B． C． D． 题型05 判断数值是否相等 【典例1】．下列各式中，值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】．下列各对数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型06 比较有理数的大小 【典例1】．比较大小：（1） ，（2） ；（3） （填“”、“”或“”）． 【变式1】．比较大小：0 ，60 ， （填“”“”或“”）． 【变式2】．下列4个数中最大的数是（　　） A． B． C．0 D． 【变式3】．比较大小： ． 题型07 数轴及其应用 【典例1】．如图所示，点M表示的数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．如图，数轴上点向右平移3个单位后表示的数是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】．有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（   ）．    A． B． C． D． 题型08 有理数的运算及其混合运算 【典例1】．计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1】．计算： (1) (2) (3) (4) 【变式2】．怎样简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式3】．计算的结果为（   ） A．1 B． C．7 D．343 【变式4】．在数学课上，老师让A、B、C、D四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（   ） A． B． C． D． 题型09 绝对值不大于某个数的整数问题 【典例1】．绝对值大于3且小于5的所有整数的和是 ． 【变式1】．绝对值不大于5的整数有 题型10 绝对值的非负性 【典例1】．已知，则 ． 【变式1】．若，则 ． 【变式2】．若与互为相反数，则的值为 ． 【变式3】．当的值最小时， ． 题型11 有理数运算的实际应用 【典例1】．一辆汽车 小时行千米，照这样的速度小时行 千米； 【变式1】．陕西的拉面是一道美味佳肴，细腻爽滑的面条搭配上丰富的调料，令人回味无穷．某拉面馆的师傅用一根很粗的面条，拉一次变成根，拉次变成根，拉次变成根，照这样下去，拉次后，师傅手中的拉面的根数是 根． 【变式2】．如图，这是法国巴黎的埃菲尔铁塔，是世界著名的城市地标．你知道吗？它的高度并不固定，钢铁受热胀冷缩影响，长度会有细微的伸缩变化．研究表明，温度每升高，埃菲尔铁塔就会增高．据气象部门统计，巴黎一年的温差能够达到，则埃菲尔铁塔一年内的高度差可以达到 ． 【变式3】．一张纸的厚度为，假设连续对折始终是可能的．若要使对折后的纸的厚度超过，则至少要对折 次． 【变式4】．某种细胞开始有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2个小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，请你计算经过9个小时后，细胞存活的个数为 个． 【变式5】．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天． 题型12 有理数的其他应用 【典例1】．若，，且，则的值为（   ） A．5 B．5或1 C．1 D．1或 【变式1】．如图所示，根据程序计算，若输入的值是，则输出的值为 ． 【变式2】．为求的值，可令，则，然后，可以得到，则．仿照计算的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．若都是不为零的数，则的结果为（      ） A．3或 B．3或 C．或1 D．3或或 题型13 解答题 【典例1】．已知下列各有理数：，，，． (1)请在数轴上标出这些数表示的点； (2)用“”号把这些数连接起来． 【变式1】．画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”连接， 【变式2】．有理数在数轴上的位置如图所示： (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 【变式3】．已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 【变式4】．有理数，在数轴上的位置如图所示． (1) ；   ；    ；（用“”填空） (2)化简：______；______；______． 【变式5】．随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他记录了连续7天中每天行驶的路程（如下表，单位：），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少千米？ (2)请求出这七天中平均每天行驶多少千米； (3)若行驶需用汽油，汽油价为元/L，请估计小明家一个月（按30天计算）的汽油费用是多少元？ 【变式6】．某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过件记为正，不足件记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） (1)求工厂当周一共加工的零件总数； (2)若每件零件的加工成本为元，求该工厂当周的加工总成本； (3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳元罚金，求该工厂当周的奖励总额． 【变式7】．我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 【变式8】．阅读解题：，，，… 计算：理解以上方法的真正含义，计算： （1） （2） （3） 【变式9】．观察下列等式，，，将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______． ②______． (3)探究并计算：． 一、单选题 1．在这五个数中，最小的数为（    ） A． B．0 C． D． 2．下列各组数中，互为相反数是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法中错误的有（    ）个． ①是绝对值最小的有理数；②绝对值等于本身的数是正数；③数轴上原点两侧的数互为相反数；④两个数相互比较绝对值大的反而小．⑤若，则；⑥若两个有理数的差是负数，则被减数和减数中必有一个负数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 5．比较大小： 6．计算： ． 7．绝对值小于的正整数是 ． 8．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且|c|＝1，则＋c2－cd的值为 ． 9．已知点A和点B都在同一条数轴上，点A表示3，又知点B和点A相距5个单位长，则点B表示的数是 ． 10．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），二进制是逢2进1的计数制，两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：（，，按此方式，则 ． 三、解答题 11．认真阅读材料后，解决问题： 计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：原式的倒数是 ＝ ＝ ＝20﹣3+5﹣12＝10， 故原式＝． 仿照阅读材料计算：． 12．10月1日这一天下午，警车司机小张在东西走向的江北大道上值勤．如果规定向东为正，警车的所有行程如下（单位：千米）： ，，，，，，， （1）最后，警车司机小张在距离出发点的什么位置？ （2）若警车每行驶10千米的耗油量为升，那么这一天下午警车共耗油多少升？ （3）如现在油价为每升元，那么花费了多少油钱？ 13．探索研究： （1）比较下列各式的大小（用“<”“>”或“=”连接） ①_________； ②_______； ③________． （2）通过以上比较，请你归纳出当a，b为有理数时与的大小关系．（直接写出结果） （3）根据（2）中得出的结论，当时，x的取值范围是________．若，，则________． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$