四川省绵阳南山中学2024-2025学年高二下学期期末热身数学试题

2024-2025学年四川省绵阳市南山中学高二（下）期末数学热身试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的展开式中常数项是(    ) A. 70 B. 36 C. 28 D. 45 2.在等比数列中，，，则(    ) A. 36 B. C. D. 6 3.今年5月，绵阳南山中学以86：66战胜宜宾一中，蝉联贡嘎杯四川省总冠军.南山中学在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是(    ) 男生 女生 篮球迷 30 15 非篮球迷 45 10 附：， P k A. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 4.近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2025年上半年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费潜力.绵阳南山中学高二1班甲、乙、丙、丁四位同学打算去自贡、成都、眉山三个地方旅游，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则甲、乙都去自贡的概率为(    ) A. B. C. D. 5.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的个数是(    ) ①函数在上单调递减； ②函数在上单调递减； ③函数在处取得极小值； ④函数在处取得极大值. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6.国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国外媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为(    ) A. 306 B. 198 C. 268 D. 378 7.已知函数，数列满足，，，，则(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.若曲线与恰有2条公切线，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.以下说法正确的是(    ) A. 若，，则， B. 相关系数r用来衡量成对样本数据的线性相关程度，而决定系数可以用来比较两个模型的拟合效果 C. 已知随机变量，若，则 D. 某校高二年级的男生身高单位：近似服从正态分布若该校高二年级有1000名男生，则身高在内的男生大约有819人参考数据：， 10.设A、B为一个随机试验中的两个事件，且，，，则(    ) A. B. C. D. 11.已知数列满足首项，，是数列的前n项和，下列说法正确的有(    ) A. 是等比数列 B. 当时，恒成立，则 C. 当时，恒成立 D. 当时，数列的前n项和取最小值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某种产品的广告支出费用单位：万元与销售量单位：万件之间的对应数据如表，已知，则时，残差为______. 广告支出费用万元 1 3 4 5 7 销售量万件 13.已知…，则…______. 14.函数，若恒成立，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 随着“一带一路”的发展，中国同某国贸易频繁，现统计近5年两国交易额单位：百亿元，结果见表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 交易额y 9 12 17 21 26 统计学中常用线性相关系数r来衡量两个变量y与x之间线性关系的强弱，一般认为：若，则负相关性很强；若，则正相关性很强；若，则相关性一般；若，则相关性很弱.请用表中数据计算出r，并说明y与x的线性相关程度. 求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年两国的交易额. 参考数据：； 参考公式：；回归方程， 16.本小题15分 已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线 求的极值； 设函数，若函数在区间上有两个零点，求实数m的取值范围. 17.本小题15分 已知数列中，， 证明数列是等差数列，并求的通项公式; 设，求的前n项和 18.本小题17分 已知函数， 若恒成立，求实数m的取值范围； 设函数，讨论的单调性； 设函数，若函数的图象与的图象有，两个不同的交点，证明： 19.本小题17分 某驾校为让学员掌握交通安全法律法规，开发了一个答题APP，学员每次从题库中随机抽取若干问题，逐题依次作答，答错得0分，答对得5分；若连续答对，则从连续答对的第2题开始，每题额外奖励5分，记答题得分与奖励得分的和为已知学员甲答对每个问题的概率均为，且每题答对与否互不影响. 在学员甲答了4题且答对2题前提下，求得分为10的概率； 学员甲答了3题，求X的分布列和数学期望； 学员甲答了m题，求的表达式. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：的展开式中常数项是 故选： 由二项式展开式的通项公式，结合二项式定理的应用求解即可． 本题考查了二项式展开式的通项公式，重点考查了二项式定理的应用，属中档题． 2.【答案】D  【解析】解：因为等比数列中，，， 可得，解得， 则， 又与同号，故 故选： 根据等比数列的性质求解即可． 本题主要考查等比数列的性质应用，属于基础题． 3.【答案】A  【解析】解：计算总人数，代入卡方公式， 其中，，，，计算得， 对比临界值：，对应P值在到之间， 因此，有的把握认为是否是篮球迷与性别有关对应犯错误概率不超过， A：符合计算结果，正确； B、D：需不满足； C：需，不满足． 故选： 根据独立性检验的性质即可求解． 本题考查了独立性检验，属于中档题． 4.【答案】B  【解析】解：四位同学去三个地方，每个地方至少去一人，共有种方案， 甲、乙都去自贡， 丙、丁只能在成都、眉山各自选一个，有种选法， 甲、乙都去自贡的概率为 故选： 根据四位同学去三个地方，每个地方至少去一人，求出总的方案，甲、乙都去自贡，则丙、丁只能在成都、眉山各自选一个有2种选法，根据古典概型能求出结果． 本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5.【答案】C  【解析】解：由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递减，故①正确； 当时，，所以在上单调递增，故②错误； 由函数在上单调递增，上单调递减，可得在处取得极大值， 不是极小值点，故③错误，④正确． 故选： 由导函数的图象，确定，对应区间，进而逐个判断即可． 本题考查函数的单调性与函数的极值，属于基础题． 6.【答案】A  【解析】解：由题意可得：不同的提问方式可分为两类： 第一类：国内媒体团2个，国外媒体团1个， 此时不同的选法和提问方式共有：种； 第二类：国内媒体团1个，国外媒体团2个， 此时不同的选法和提问方式共有：种； 综上，共有种． 故选： 利用分类思想进行选取和排列即可求解． 本题考查了分类加法计数原理，属中档题． 7.【答案】A  【解析】解：函数，定义域为R， 且， 即，所以在R上为奇函数， 因为在R上单调递增，可知在R上单调递增， 因为，则， 可得，即， 由可知4为数列的周期，则， 且，所以 故选： 8.【答案】A  【解析】解：设在曲线上的切点为， 由，可得过点的切线斜率为， 此时切线方程为，即， 设切线与曲线相交于点，， 则， 消去n，可得， 依题意，直线与函数的图象有两个不同的交点， 令， 解得或， 令，解得， 则函数在，上单调递增，在上单调递减， 故，且恒成立，当且仅当时等号成立，当时，， 要使直线与函数的图象有两个不同的交点， 则需，解得 故选： 设在曲线上的切点为，求出切线方程，设该切线方程与曲线相交于点，由此可得，再利用导数研究函数的性质，结合题意即可得出答案． 本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查运算求解能力，属于中档题． 9.【答案】BCD  【解析】解：选项A：根据期望与方差性质，，，故A错误； 选项B：相关系数r衡量成对样本数据的线性相关程度，决定系数用于比较模型拟合效果越大，拟合效果越好，B正确； 选项C：由，，得， 则，C正确； 选项D：，， 拆分计算，则，， 总和为，，D正确． 故选： 根据正态分布的性质即可求解． 本题考查了正态分布的性质，属于基础题． 10.【答案】AC  【解析】解：因为，， 所以，， 所以 解得，故B错误； ，故D错误； ，故A正确； 因为， 所以，故C正确． 故选： 利用全概率公式，先求出，判断B选项；再由条件概率的乘法公式求出，判断D选项；由和事件的概率加法公式求出，判断A选项；先求出，再利用条件概率公式求出，判断D选项． 本题考查对立事件的概率公式、和事件的概率加法公式、条件概率与全概率公式，属于中档题． 11.【答案】ACD  【解析】解：对于A，因为，所以， 所以，又且， 所以数列是以为首项，4为公比的等比数列，故A正确； 对于B，当时，，所以不是单调递减数列，故B错误； 对于C，当时，，由A得， 所以， 所以，， 且， 所以，，当时，， 所以当时，恒成立，故C正确； 对于D，当时，，由A得， 所以， 所以，令， 所以当时，数列的前n项和取最小值时，，故D正确． 故选： 对于A，先由题设得，将其代入计算化简即可判断；对于B，求出，即可判断；对于C，结合A求出数列通项公式，再结合和放缩法求出即可判断；对于D，结合A求出数列的通项即可以及解不等式即可求解判断． 本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解：根据残差定义，残差，当时，先求预测值， 代入回归方程，得， 再查表格，对应的实际值，因此，残差为 故答案为： 根据残差定义即可求解． 本题考查了残差定义，属于基础题． 13.【答案】5120  【解析】解：将等式左右两边分别取导， 则…， 令， 则… 故答案为： 由导数的应用，结合二项式定理的应用求解即可． 本题考查了导数的应用，重点考查了二项式定理的应用，属中档题． 14.【答案】  【解析】解：因为，， 又因为恒成立， 即恒成立， 当时，， 所以，所以， 因为函数在上无最值， 所以此时不满足题意； 当时， 要使恒成立， 则和的根相同， 所以， 所以， 所以， 令，， 则， 令， 解得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以 所以 即 故答案为： 化简得，，从而得和的根相同，则有，令，利用导数求出函数的值域即可得答案． 本题考查了导数的综合运用及转化思想，属于中档题． 15.【答案】y与x的正相关性很强；   故；预测2025年两国的交易额为百亿元．  【解析】由题意可得，， 故，，， 故， 即y与x的正相关性很强； 由可得方程，， 故，则当时，， 所以预测2025年两国的交易额为百亿元． 根据表中数据求出r，再与比较大小即可分析； 利用中数据求出，，再将代入回归方程即可． 本题考查相关系数与一元线性回归方程，属于中档题． 16.【答案】极大值为0，极小值为；     【解析】， 由题意知：； 由定义域为R，，令，得或， ，随x的变化情况如下表所示： x 0 2 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，取得极大值，当时，取得极小值； 令，令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，，， 因为函数在区间上有两个零点， 所以直线与函数的图象有两个交点， 故有，即实数m的取值范围为 求出的导函数，结合已知可得关于b，c，d的方程组，求解可得的解析式，再利用导数即可求解函数的极值； 令，令，利用导数可得函数的极值与端点值，从而可得m的取值范围． 本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数零点个数问题，考查运算求解能力，属于中档题． 17.【答案】证明：当时， ， ， 又，， 故是以2为首项，3为公差的等差数列， ， 解：， ， 令，① 则，② ①-②得：， ，   【解析】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，属中档题． 利用已知条件转化推出是以2为首项，3为公差的等差数列，然后求解通项公式． 化简，然后利用错位相减法求和求解即可． 18.【答案】；   答案见解析；   证明见解析．  【解析】解：根据题目；已知函数， 易知 令，得，所以在上单调递增； 令，得，所以在上单调递减． 所以的最小值为， 由恒成立知，， 故 由题知，定义域为， 所以； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得， 所以在，上单调递增； 令，得，所以在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，令，得， 所以在，上单调递增； 令，得，所以在上单调递减； 综上可知，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 证明：由题函数， 函数的图象与的图象有，两个不同的交点， 显然， 因为函数的图象与的图象有两个不同的交点． 所以关于x的方程，即有两个不同的根． 由题知①，②， ①+②得③， ②-①得④， 由③④得， 不妨设，记 令，则， 所以在上单调递增，所以 则，即， 所以 因为， 所以，即 令，则在上单调递增． 又， 所以， 即，所以； 两边同时取对数可得，得证． 利用导数求出函数单调性，求得函数的最小值，解不等式即可得出结论； 对函数求导，对参数a进行分类讨论，利用导函数符号即可得出其单调性； 根据交点坐标满足的关系式，构造函数，再利用导数和基本不等式证明即可得出结论． 本题考查利用导数求解函数的单调性和单调区间，属于难题． 19.【答案】；   分布列见解析，；    【解析】设事件A为“学员甲答了4题且答对2题”，事件B为“”， 则，事件AB共3种情形，即答题情况为“对错对错”，“对错错对”，“错对错对”，所以， 所以 的所有可能取值为0，5，10，15，25， ； ； ； ； 所以X的分布列为： X 0 5 10 15 25 P 所以 情形一，答对了2题，且2题相邻； 情形二，答对了3题，且任意2题都不相邻． 当时， 当时，情形二不可能发生， 当，4时，情形二不可能发生， 当时，对情形一，采用捆绑法，所求事件发生的概率为， 对情形二，采用插空法，将个答错的题排成一列，共有个空位， 将答对的3题插入上述空位，所求事件发生的概率为：， 故 综上 设出基本事件，分析所求事件包含的情况，利用古典概型的概率公式求解； 先求出X的所有可能取值，再求出每个取值对应的概率，然后写出X的分布列并计算其期望； 对m分类讨论，分别求出的表达式，再总结． 本题考查离散型随机变量的均值数学期望及分布列，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$