安徽省合肥市庐江县2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年安徽省合肥市庐江县高二（下）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 2.设向量，，在上的投影向量为，则(    ) A. B. 0 C. 1 D. 2 3.记等差数列的前n项和为，，则(    ) A. 40 B. 20 C. 25 D. 30 4.已知复数z满足，则“”是“复数z在复平面内所对应的点的轨迹为椭圆”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知圆台的上、下底面直径分别是2和4，且该圆台的表面积为，则圆台的母线与底面所成的角的正切值是(    ) A. B. C. D. 6.已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则的外接圆的周长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，从正六边形ABCDEF的顶点和该正六边形的中心O这七个点中任意选取三个点，若选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形是等边三角形的概率是(    ) A. B. C. D. 8.已知函数其中表示不超过x的最大整数，则关于x的方程的所有实数根之和为(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列命题正确的有(    ) A. 如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内 B. 过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行 C. 如果一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与平面平行 D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 10.已知圆C：的半径为2，则下列说法正确的是(    ) A. B. 点在圆的内部 C. 圆与圆C外切 D. 当直线平分圆C的周长时， 11.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，，，则有两解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若直线是曲线的切线，则______. 13.函数的图象向左平移个单位后得到偶函数的图象，则函数在上的最小值为______. 14.在棱长为6的正四面体内部放一个正方体，使其能在该正四面体内任意转动，则正方体棱长的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 DeepSeek，全称“杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司”，2024年末DeepSeekR1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的对于人工智能公司而言，不同的客户使用需求不同，造成公司运营的技术成本不同，某调研公司对DeepSeek和OpenAI两家公司的客户使用的技术成本进行调研，随机抽取200个客户，将客户在使用时产生的技术成本分为高昂、较高，低廉三个类别进行数据统计如表，其中技术成本高昂和较高情况下都称为高成本运营，低廉称为低成本运营. 高昂 较高 低廉 总计 DeepSeek 26 14 60 100 OpenAI 42 28 30 100 请填写如下列联表，根据小概率的独立性检验，分析两家公司的运营成本是否存在差异； 高成本运营 低成本运营 DeepSeek OpenAI 已知DeepSeek公司的客户中有5个“星级客户”受邀为代表参加线下体验活动，每个客户参加活动的概率均为，求恰有3个客户参加线下体验活动的概率. 附： k 16.本小题15分 记数列的前n项和为，且， 求数列的通项公式； 记，求 17.本小题15分 已知矩形ABCD中，点E在边CD上，且现将沿AE向上翻折，使点D到点P的位置，构成如图所示的四棱锥 若点F在线段AP上，且平面PBC，求的值； 若平面平面ABCE，求平面PEC和平面ABCE夹角的余弦值. 18.本小题17分 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 求椭圆C的标准方程； 求的最小值； 记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 19.本小题17分 已知函数 若曲线在处的切线平行于直线，求t的值以及函数的最小值； 证明：对一切的a，，，都有； 当时，若曲线与曲线存在两交点A、B，记直线AB的斜率为k，证明： 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：，，， 则， 故选： 根据集合的补集和交集的定义求解． 本题考查集合的运算，属于基础题． 2.【答案】C  【解析】解：向量，，在上的投影向量为， 则，解得 故选： 结合向量垂直的性质，即可求解． 本题主要考查向量的投影向量，属于基础题． 3.【答案】C  【解析】解：等差数列的前n项和为，， 则，解得， 故 故选： 结合等差数列的性质，即可求解． 本题主要考查等差数列的性质，属于基础题． 4.【答案】B  【解析】解：当时，则有， 此时复数在复平面内点的轨迹为以和为端点的线段，不为椭圆； 当时，则有， 此时复数在复平面内点的轨迹为以和为焦点的椭圆； 所以“”是“复数z在复平面内所对应的点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件． 故选： 分和，分别得出复数在复平面内的轨迹，即可得答案． 本题考查了复数的几何意义、椭圆的定义及对必要不充分条件的理解，属于基础题． 5.【答案】D  【解析】解：设圆台的母线长为l，则圆台的表面积，即， 故圆台的高为， 如图可知母线与底面所成角， 所以圆台的母线与底面所成的角的正切值为 故选： 先求出圆台的母线和高，进而求出圆台的母线与底面所成的角即可． 本题考查线面角的计算，属于基础题． 6.【答案】C  【解析】解：根据，可得，即， 在中，由正弦定理得为的外接圆的半径， 所以，解得，可知的外接圆的周长为 故选： 设的外接圆半径为R，根据两角和与差的余弦公式求出，然后运用正弦定理算出，解得，结合圆的周长公式算出答案． 本题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦定理、圆的周长公式等知识，属于基础题． 7.【答案】B  【解析】解：根据题意，在7个点中任取3个，若选出的三个点能构成三角形，有种， 若构成的三角形是等边三角形，可以为，，，，，，，，共8个， 则若选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形是等边三角形的概率 故选： 根据题意，由排列组合数公式计算全部的取法，列举法分析其中等边三角形的数目，由古典概型公式计算可得答案． 本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题． 8.【答案】A  【解析】解：当时，， 此时， 令，解得； 当时，， 此时， 令，解得； 当时，， 此时， 令，解得； 当时，， 此时， 令，解得； … 所以方程只有两个根，分别为、， 所以两根之和为 故选： 分段求出方程的根，即可得答案． 本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题． 9.【答案】AD  【解析】解：对于A，由基本事实2可知， 若一条直线上有两个点在一个平面内， 则这条直线一定在这个平面内，故A正确； 对于B，过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行， 经过这条直线且不经过已知直线的平面都与已知直线平行， 过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故B错误； 对于C，一条直线平行于平面内的无数条直线， 该直线与平面平行或直线在平面内，故C错误． 对于D，由基本事实3知，若两个不重合的平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确． 综上，正确选项为 故选： 由基本事实2判断A，由基本事实3判断D，由空间中点、线、面的位置关系判断B和 本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题． 10.【答案】ACD  【解析】解：根据圆C的半径，可得，解得，故A项正确； 所以圆C的方程为， 由，可得点在圆外，所以B项不正确； 圆的圆心为，半径， 结合，可得， 结合，可知两圆的圆心距等于半径之和，两圆相外切，故C项正确； 当直线平分圆C的周长时，圆心在直线上， 可得，解得，所以D项正确． 故选： 根据圆C的半径为2求出a值，可判断出A项的正误；根据点到圆心的距离大于半径，判断出B项的正误；根据两角外切的性质判断出C项的正误；根据圆的对称性判断出D项的正误，即可得到本题的答案． 本题主要考查圆的方程及其性质、点与圆的位置关系、两圆外切的性质等知识，属于基础题． 11.【答案】ABD  【解析】解：A中，在中，因为，由正弦定理可得，所以，所以A正确； B中，在中，因为，由正弦定理可得，所以，所以B正确； C中，在中，因为，可得或，即或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形，所以C不正确； D中，因为，，，满足，所以该三角形有两个解，所以D正确． 故选： 由正弦定理分别判断所给命题的真假． 本题考查正弦定理的应用，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解：因为，所以， 设与曲线切于点， 所以，所以， 所以切点为，又该点在上， 所以，所以 故答案为： 根据导数的几何意义，即可求解． 本题考查函数的切线问题，属基础题． 13.【答案】  【解析】解：函数的图象向左平移个单位后得到偶函数的图象， 所以平移得到的图象对应的解析式为， 因为为偶函数， 所以，其中，即，， 因为， 所以，可得， 当时，， 所以， 即则函数在上的最小值为 故答案为： 根据题意可知平移得到的图象对应的解析式为，再根据正弦型三角函数的奇偶性可求的值，进而利用正弦函数的性质即可求解． 本题考查正弦型三角函数的图像与性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 14.【答案】  【解析】解：由题意可知，正方体在正四面体内部任意旋转， 当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球即为正四面体的内切球， 将正四面体放到正方体中，作出图形如图， 因为正四面体的棱长为6，则图中正方体的棱长为， 所以正四面体的体积为， 侧面积为， 设正四面体的内切球的半径为r， 则， 解得， 设放置进去的正方体的棱长最大值为a， 则， 解得 故答案为： 将所求问题转化为正方体的外接球，即为正四面体的内切球，作出图形，利用等体积法求得内切球的半径，利用正方体的体对角线等于正方体的外接球的直径即可求解． 本题考查几何体的切接关系，属于中档题． 15.【答案】存在差异；    【解析】根据题意可得列联表： 高成本运营 低成本运营 DeepSeek 40 60 OpenAI 70 30 设零假设；两家公司的运营成本没有差异，得， 因为，所以根据小概率的独立性检验，有充分的理由说明两家公司的运营成本存在差异； 能参加线下活动的“星级客户”为X，则， 能参加线下活动的“星级客户”3个，即 根据独立性检验的性质即可求解； 根据古典概型即可求解． 本题考查了独立性检验，属于中档题． 16.【答案】；  ，  【解析】由，，可得， ， 当时，由，可得， 相减可得，即， 上式对不成立， 则； ， ， 相减可得， 化简可得，对也成立， 则， 运用数列的通项与前n项和的关系、等比数列的通项公式，可得所求； 由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和． 本题考查数列的通项与前n项和的关系、等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 17.【答案】解：作，交PB于点M，连接CM， 因为，所以， 所以M，F，E，C四点共面， 因为平面PBC，平面平面， 所以， 所以四边形EFMC是平行四边形， 所以， 所以， 由，知∽， 所以， 所以 由题意知，翻折前是等腰直角三角形， 取AE的中点O，连接OD，则，即，，， 因为平面平面ABCE，平面平面，平面APE， 所以平面ABCE， 取AB的靠近点B的三等分点H，连接OH，则， 在中，由余弦定理知，， 所以，即， 故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面PEC的法向量为，则， 令，则，，所以， 由平面ABCE，知平面ABCE的一个法向量为， 设平面PEC和平面ABCE夹角为， 则，， 故平面PEC和平面ABCE夹角的余弦值为  【解析】作，交PB于点M，连接CM，利用线面平行的性质定理知，从而知四边形EFMC是平行四边形，再利用相似三角形的性质，求解即可； 取AE的中点O，连接OD，由面面垂直的性质定理知平面ABCE，再取AB的靠近点B的三等分点H，连接OH，结合余弦定理与勾股定理证明，然后以O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角，即可得解． 本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行、面面垂直的性质定理，利用向量法求平面与平面的夹角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 18.【答案】；   ；证明见解析．  【解析】因为的周长为8，由椭圆的定义可得：，即， 又椭圆离心率为，所以，则， 所以椭圆C的方程为： 由椭圆方程得，，设， 因为点M在椭圆C上，所以，即， 所以， 所以， 当，即M为椭圆上下顶点时，， 所以求的最小值为； 证明：依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：， 联立，消去x得， 设，，则由韦达定理得， 则， 注意到，即， 所以， 所以 依题意由椭圆定义及性质求出a，b，c的值，即可求解椭圆方程； 设点M的坐标为，表示出，由二次函数性质即可求解；设出直线l的方程及点M、N的坐标，并与椭圆方程联立，结合韦达定理及斜率公式即可证明． 本题考查了直线与椭圆的综合，考查了方程思想，属于中档题． 19.【答案】，；   证明详见解析；   证明详见解析．  【解析】解：由题意，，，所以，则， 又，当且仅当时取等号， 所以； 证明：先证，则， 设， 则， 因为，所以，即在上单调递增， 又，所以当时，， 当，则，所以， 同理，当，则也成立； 综上，对一切的a，，，都有； 证明：如图， 设，，其中， 由知，若a，，，则， 令，，得， ， 所以①， 将和相减，得， ，将代入①， 所以，即 根据已知条件可得，求出后，可得t，代入，由基本不等式可求出的最小值； 构造函数，将要证不等式转化为，利用的单调性和取值情况可证得时不等式成立，时同理可证得； 设，，其中，由中所证不等式，令，，代入不等式中，变形可得关于k的不等式，再由点在抛物线上，利用点差法，可得要证不等式． 本题主要考查导数的综合应用，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$