第二十四讲：等式的性质（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学上册 第二十四讲：等式的性质 （知识总结梳理+2大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 如果 a＝b，那么a ± c ＝ b ± c. 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 如果 a＝b，那么ac ＝ bc；如果 a＝b(c ≠ 0)，那么 ＝ . 知识点02：知识总结 考点1：等式的基本性质 【典型例题】 把方程写成用含的代数式表示的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 根据等式的性质，下列变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练2】 已知数a，b，c满足，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 考点2：等式的基本性质的应用 【典型例题】 如图，若天平保持平衡，且每根铅笔的质量相等，每块橡皮的质量也相等，则一块橡皮的质量是一根铅笔质量的（   ） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 【变式训练1】 如图，将等式进行变形，最后得到一个明显错误的结论，则下列说法正确的是（   ） A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误 【变式训练2】 利用等式的性质解方程，并检验： (1)； (2)； (3)． 一、单选题 1．下列变形正确的是（   ） A．由，可以得到 B．由，可以得到 C．由，可以得到 D．由，可以得到 2．设x、y、c是有理数，（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．下列等式的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．小梦同学将等式根据等式性质进行了四种变形，你认为变形正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 7．下列各等式中变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，那么 C．若，那么 D．若，那么 8．若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式． （1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ； （3）如果，那么 ； （4）如果，那么 ． 10．等式变形为的依据是等式的性质 ，它是将等式的两边 ． 11．在方程中，用含的代数式表示，可得 ． 12．若，则 （填“”“”或“”）． 13．由等式变形为是依据第 条等式的基本性质得到的． 14．如果，那么 ． 15．如果，那么 ，其依据是 ． 16．若，则 ． 三、解答题 17．根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果，那么___________； (2)如果，那么___________； (3)如果，那么___________； (4)如果，那么___________． 18．利用等式性质解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4). 19．若，你能根据等式的性质比较与的大小吗？ 20．已知：， 试比较和的大小，并说明理由． 将下面的解题过程补充完整． 解：_______， 理由如下： ， _______（不等式的基本性质2）． _______（不等式的基本性质1）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学上册 第二十四讲：等式的性质 （知识总结梳理+2大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 如果 a＝b，那么a ± c ＝ b ± c. 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 如果 a＝b，那么ac ＝ bc；如果 a＝b(c ≠ 0)，那么 ＝ . 知识点02：知识总结 考点1：等式的基本性质 【典型例题】 把方程写成用含的代数式表示的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用等式的性质对等式进行变形，掌握等式的性质是解题的关键．要用含的代数式表示，就要把方程中含有的项和常数项移到方程的右边，再把的系数化为即可． 【详解】解：， 移项得：， 解得：， 故选：D． 【变式训练1】 根据等式的性质，下列变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．根据等式的性质逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、若，则，故此选项变形正确，不符合题意； B、若，则，故此选项变形正确，不符合题意； C、若，则，故此选项变形正确，不符合题意； D、若且，则，故此选项变形不正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练2】 已知数a，b，c满足，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，得到，等量代换得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 考点2：等式的基本性质的应用 【典型例题】 如图，若天平保持平衡，且每根铅笔的质量相等，每块橡皮的质量也相等，则一块橡皮的质量是一根铅笔质量的（   ） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 【答案】B 【分析】本题考查等式，设每根铅笔的重量为x克，每块橡皮的重量为y克，根据天平保持平衡得到，然后得到即可解题． 【详解】解：设每根铅笔的重量为x克，每块橡皮的重量为y克． 由题意列方程得：， 解得：． 故选：B． 【变式训练1】 如图，将等式进行变形，最后得到一个明显错误的结论，则下列说法正确的是（   ） A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质．根据等式的性质，等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式的值不变，等式的两边同时除以一个不等于0的整式，等式的值不变．据此进行作答即可． 【详解】解：第一步等式两边同时加，第二步合并同类项，都是正确的， 第三步两边同时除以a是错误的，因为a可能等于零． 正确的做法是移项得，解得， 故选：C． 【变式训练1】 利用等式的性质解方程，并检验： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）根据等式的性质1，给等式的两边同时减8即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （2）根据等式的性质2，方程两边同乘以即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （3）先根据等式的性质1，给方程两边同时加4可得，至此，再给方程两边同时除以3即可求出x的值，最后将x的值代入方程检验即可． 【详解】（1）解：两边同减8，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解； （2）解：两边同乘，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解； （3）解：两边同加4，得， 化简，得， 两边同乘，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． 一、单选题 1．下列变形正确的是（   ） A．由，可以得到 B．由，可以得到 C．由，可以得到 D．由，可以得到 【答案】B 【详解】本题考查等式的基本性质，需逐一验证各选项的变形是否符合等式变形规则，熟练掌握等式的基本性质是解此题的关键． 【分析】解：A、由，两边分别减2和加2，等式不再成立，变形错误，例如，若，则，，显然不等，故不符合题意； B、 由，两边同乘得，变形正确，故符合题意； C、由，两边同除以3得，而非，变形错误，故不符合题意； D、由，两边同乘6得，而选项D为，显然不等，变形错误，例如，取，，原式成立，但代入D选项得，矛盾，故不符合题意； 故选：B． 2．设x、y、c是有理数，（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，两边同时加应得，但选项右边为，选项错误； B、若，两边乘以同一有理数，等式仍成立，即，选项正确； C、若，当时，两边除以，成立，但题目未限定，若则无意义，选项错误； D、由，两边同乘得，而非，选项错误； 故选：B． 3．下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】本题考查了等式的基本性质2，解题关键是掌握等式的基本性质2． 根据等式性质2，逐一分析各选项，再作出判断． 【分析】解：∵， ∴， ∴两边同乘得，故A正确； ∵， ∴， ∴，解得或，故B错误。 ， ∵， ∴两边同除以，得， 故C正确； ， 两边同乘以，得， 故D正确， 故选：B． 4．下列等式的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，熟记并理解等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】A：若，则，故该选项错误，不符合题意； B：若，则，故该选项正确，符合题意； C：若，则，故该选项错误，不符合题意； D：若，则，故该选项错误，不符合题意． 故选：B． 5．小梦同学将等式根据等式性质进行了四种变形，你认为变形正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等式的基本性质：①等式两边同时加上（减去）同一个数，等式仍然成立；②等式两边同时乘以（除以）同一个不为0数，等式仍然成立，由等式的基本性质逐项验证即可得到答案．熟记等式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：由等式基本性质，等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立，则，故①正确； 由等式基本性质，等式两边同时乘以同一个不为0数，等式仍然成立，则，故②正确； 由等式基本性质，等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立，则，故③正确； 由等式基本性质，等式两边同时除以同一个不为0数，等式仍然成立，则当时，有，故④不一定正确； 综上所述，变形正确的是①②③， 故选：C． 6．观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】考查了等式的性质的应用．性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z，根据图1列出等式，然后由等式的性质参照图2进行答题． 【详解】解：设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z， 则，即． 所以． 所以 在图2天平的右盘中需放入6个○才能使其平衡． 故选：B． 7．下列各等式中变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，那么 C．若，那么 D．若，那么 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，原变形错误，不符合题意； B、若，那么，原变形错误，不符合题意； C、若，那么，原变形正确，符合题意； D、若，那么，原变形错误，不符合题意； 故选C． 8．若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决问题的关键． 根据等式的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故选：B． 二、填空题 9．用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式． （1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ； （3）如果，那么 ； （4）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可，解题的关键是正确理解等式性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立． 【详解】解：（）如果，根据等式的性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式，那么； （）如果，根据等式的性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，那么； （）如果，根据等式的性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式，那么； （）如果，根据等式的性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，那么； 故答案为：；；；． 10．等式变形为的依据是等式的性质 ，它是将等式的两边 ． 【答案】 同时乘 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：等式变形为的依据是等式的性质，它是将等式的两边同时乘， 故答案为：，同时乘． 11．在方程中，用含的代数式表示，可得 ． 【答案】或 【分析】根据等式的性质计算判断即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握性质，正确变形是解题的关键． 【详解】解：由方程可得到 或． 故答案为：或． 12．若，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，“等式两边乘同一个数，结果仍相等”，可得结论． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13．由等式变形为是依据第 条等式的基本性质得到的． 【答案】2 【分析】根据等式的性质2，等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，等式仍成立，进而得出结论． 本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质2是解题的关键． 【详解】解：由等式变形为，其依据是等式的性质2， 故答案为：2． 14．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键掌握等式的性质：性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等．据此解答即可． 【详解】解：在等式两边同时加，得：． 故答案为：． 15．如果，那么 ，其依据是 ． 【答案】 等式的基本性质1 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等式的基本性质1，左右两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立，进行填空即可． 【详解】解： 故答案为：，等式的基本性质1 16．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，先把左右两边乘上，得，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为： 三、解答题 17．根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果，那么___________； (2)如果，那么___________； (3)如果，那么___________； (4)如果，那么___________． 【答案】(1)，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等 (2)5，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等 (3)，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等 (4)2，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等 【分析】本题考查了等式的性质，熟知等式的性质是解决本题的关键． （1）根据等式的性质1，即可解答； （2）根据等式的性质1，即可解答； （3）根据等式的性质2，即可解答； （4）根据等式的性质2，即可解答． 【详解】（1）解：如果，那么，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等； （2）解：如果，那么，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等； （3）解：如果，那么，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等； （4）解：如果，那么，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等． 18．利用等式性质解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的基本性质． （1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案； （2）根据等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （3）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （4）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案． 【详解】（1） 两边加5，得， 解得． （2）， 两边除以，得， 解得． （3） 两边减2，得， ， 两边除以，得， 得． （4）， 两边加2，得， ， 两边除以4，， 解得． 19．若，你能根据等式的性质比较与的大小吗？ 【答案】 【分析】本题考查等式的性质．利用等式的性质，把等式变形为的形式，再两边同时除以，得，得结论． 【详解】解：两边同时减去，得． 两边同时减去， 得． 两边同时除以， 得 20．已知：， 试比较和的大小，并说明理由． 将下面的解题过程补充完整． 解：_______， 理由如下： ， _______（不等式的基本性质2）． _______（不等式的基本性质1）． 【答案】＜；； 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 利用不等式的基本性质进行分析解答即可． 【详解】解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）． （不等式的基本性质1）． 学科网（北京）股份有限公司 $$