甘肃省张掖市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024一2025学年第二学期高二年级期末考试 数学参考答案及评分意见 1.C【解析】因为z=(1+i)i=一1+i,所以z=一1一i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1，一1)，该点位于第 三象限，故选C 2.A【解析】因为集合A=(x|-1<x<1},B={x|0≤x≤2}，所以A∩B={x|0≤x<1).故选A. 3.D【解析】由题意知，从6人中随机选2人，有C种结果，其中2人是1男1女的结果有C·C种，所以A路口 的志愿者是1男1女的概率为 故选D ·C8 4.B 【解析因为1ane+-5, 所以n2a-sm2(e+}-引-os2e+}-co心(+）+sm(e+) -cos ()+sin+ -1+ae+ sin (+)+cos+ 1+tare+) 专号故连以 5.D【解析】如图，过点P作PF⊥BC,交直线BC于点F. 又因为平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,PFC平面PBC,所以PF⊥平面ABCD.又因为 △PBC的面积为3，BC=2,所以2BC·PF=3,即2×2·PF=3,解得PF=3,所以三棱锥P-ACE的休积 1 1 Vp-AcE=3S△E·PF=S△AC≤SAMm=乞X2XI=L,当且仅当点E在点D时取等号，放三棱维P-ACE体 积的最大值为1.故选D. 6.C【解析因为双曲线C:石-=1a>0,6>0)的离心率为2，即e=日1+台 =2, a 解得=3，所以双曲线C的渐近线方程为y=士5x,即3x士y=0. 又圆E:(x一2)2十(y十√3)=4，所以圆心E(2,一√3)，半径r=2.所以与圆E相交的渐近线为3x十y=0.因 为68到布近线+0的E肉一得-号所以1A1-2可-2 -√13.故 2 选C. 7.D【解析】因为任意b∈R,函数g(x)最多有2个零点，且存在b∈R,函数g(x)有2个零点，所以函数f(x)的 数学答案第1页（共7页） 图象与直线y=b最多有两个交点，且存在b∈R,使得函数f(x)的图象与直线y=b有两个交点.因为f(x)= fx2-2ax+2a2,x≥1， 二次函数y=x8一2ax+2a2图象的对称轴为直线x=a,所以当a≤1时，f(x)在（一∞， x十a,x<1, 1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递增，若要函数g(x)有2个零点，则1十a>f(1),即1十a>2a2一2a十1，解得 3 0<a<2,所以0<a≤1. 当a>1时，f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，a)上单调递诚，在(a,十∞)上单调递增，f(x)在(1，十c∞)上的 最小值为f)-a若要函数g)有2个零点，则1+a<0)-。解得a<5或a≥1中5，所以a≥ 中5综上实数。的取值范是0，U[5,十故选D 2 2,A十C 8.A【解折】因为A=B十2C,A十B十C=元，所以B=元3C, 2C,且0<C< 如sinB sinc所以A如牛nC图为6+：=2，所以a 由正弦定理得 b b+c sin A sin B+sin C' C 2sin A 2sinc 2 2cos 2 所以a= sin B+sin C sin 3C 3C 2+sin C cos 2+sin C 因为-o+c-omssC-mnc-oC-2ar号nc=2 3C C C C 20s2 2c052 2 所以a= c2 3C C C 6则02手号s围 立，所以a的最小值为号，故选A 9.ABD【解析】因为a4=-5,a1o=1,所以a,十an=-5+1=一4=2a,解得a,=-2,故A正确. 设等差数列a.}的公差为d,则d=a二-1-（怎二)-1，故B正确 10-4 6 对于选项C,D,方法-：因为a1=a4-3d=-5-3=-8,所以S.=-8m+nm。一1)= 2 2n2、17 2n, 所以S=一8X5+必4-一0：庙于二次高数y—名一号：的图象开日向上，且对称精为直线工一号，所以当 n=8或n=9时，S。最小，故C错误，D正确 数学答案第2页（共7页） 方法二：因为a1=a4-3d=-5-3=-8,所以a.=a1十(n-1)d=n一9，所以a%=-6, 所以S,-a,十a)X5 2 =5×a1=5×(-6)=-30:因为a.=n-9,所以当n≤8时，a.<0,ag=0,当n>9时， a.>0,所以当n=8或n=9时，S。最小，故C错误，D正确.故选ABD. 10.ACD【解析】对于选项A,由题意，抛物线C1开口向右，顶点为坐标原点O.因为抛物线C1的焦点为F(1,0), 所以号-1，解得p=2,所以抛物线C,的方程为y=4红 因为抛物线C,绕其顶点按逆时针方向旋转90°得到的抛物线开口向上，所以抛物线C:开口向上，则其方程为 =4,即y=子，故A正确 对于选项B,C,D,由题意及抛物线的对称性知，图案关于x轴、y轴、坐标原点、直线y=x、直线y=一x均对 y2=4x, x=0,/x=4, 称.由 解得或则A(4,4).由图案的对称性，得B(4,一4)，所以|AB=4一（一4）=8.由 x2=4y, y=0,y=4, 图案的对称性可知，另外两个交点分别为C(一4，一4)，D(一4,4)，连接点A,B,C,D,则四边形ABCD是边长 为8的正方形，其面积为8×8=64，所以阴影部分面积小于64.因为图案在正方形ABCD内，所以图案上任意 两点的距离小于等于|AC|=8,√2.故B错误，C正确，D正确.故选ACD. 11AC【解析】设直线l与曲线y=f(x)的切点坐标为(x1y1),与曲线y=g(x)的切点坐标为(x2,y2),直线1 的方程为y=kx十b.f(x)=e-1,∴f'(x)=e,∴.直线l的方程为y一y1=e(x-x1). 又y1=e-1,∴.直线l的方程为y=ex-ex1十e一1. :gx)=nx+1g)-子直线1的方程为y一：-.又”，=n十1直线1的方程为 y-1.x+ln. 工2 直线1为曲线y=f(z)与y=g(红)的公共切线，∴e=①，一西工十c一1=lnx,②， 由①得xe-=l,两边取自然对数，得ln(x2c)=lnx2十x1=ln1=0,.lnz=一x1. 代入②，得-ex1+e-1=-x1,即(e-1)(1-x1)=0,解得x1=1或x1=0. 当x1=0时，k=1,b=0,直线l的方程为y=x:当x1=1时，k=e,b=一1，直线1的方程为y=ex-1. 综上，直线I的方程为y=x或y=ex一1.故选AC 12.-9【解析】因为a=(1,4),b=(2,x),所以2a+b=(4,8+x).因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0, 即(1,4)·(4,8十x)=4十32十4x=0,解得x=-9. 13.0【解析】因为函数f(x十2)是偶函数，所以f(2十x)=f(2-x),所以f(x十3)=f(1-x. 因为函数f(x十1)是奇函数，所以f(1一x)--f(x十1)，所以f(x十3)-=-f(x十1)， 所以f(x十2)=一f(x),所以f(x十4)=一f(x十2)一f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数， 数学答案第3页（共7页） 所以f(-5)=f(-5+4)=f(-1).在f(1-x)=-f(x+1)中，令x=0,得f(1)=-f(1),所以f(1)=0. 在f(x+2)=-f(x)中，令x=一1，得f(1)=-f(-1)=0,所以f(-1)=0,所以f(-5)=0. 14.c<b<a【解析】令函数f(x)=e-x,则f'(x)=e-1,f(x)>0在(0，十∞)恒成立，所以函数f(x)在 (0,十o∞)上单调递增，所以f(份>f0)=1>0,即es->0,所以a=e5>}6, 令函数g(x)=ln(x十1)-x,则g'(x)= 十一1,8'(x)<0在(0，+∞)恒成立，所以函数g(x)在(0，十o)上 单调提减所以g)g0)=0,即h}-0,所以(=lh5一2h2=n<名6缘上c<<a, 15解：0因为5.-1-a),所以当=1时a:=S,=21-a),解得a1=子 1 ………2分 1 1 当n≥2时，a,=S.-S-1=21-a.)-21-a-i),整理得a,= 3am-1, …………4分 所以数列a:是以为首项，号为公比的等比数列。 所以a.= …6分 (2)由(1)得，a. ,所以6.=”1=(m十1D3. …7分 所以T.=b1+b2十b3十…+bn=2×3+3×32+4×32+…+(n+1)3", 3T.=2X32+3X33十4X3+…+(n+1)3"+1,… …10分 两式相减，得一2T.=2×3+32+33+…+3-(n十1)3+1 =3+3x一3”）-n+1)3*4=3-(2m+3 1-3 2 2 所以T,=(2m十1)3+1-3 4 …13分 16解：（们）提出统计假设H。:满意程度与性别无关。……………1分 根据列联表中的数据，计算得X:-300×(120×70一30×80)2 150×150×200×100 24.………4分 因为24>10.828，故否定假设H。,所以有99.9%的把握认为满意程度与性别有关系.…6分 (2)依题意，设事件A=“某学生答对第i道题”(=1,2,3)，B=“某学生进人下一环节”， 则P(A1)=号，P(A2)=7,P(A)=2,…8分 因为B=A1A:A,+A1A2A+A1A2A,+AA2A, P(B)=P(AA2A3)+P(AA:A:)+P(A A2A3)+P(A:A2A:) -x分×2+号××-》+号×-)×号+(-)××号-品 …12分 数学答案第4页（共7页） 依题盒X-B20,)所以ECX)-20×-要 71 …15分 17.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，CD=2,AD=22,M为BC的中点， 所以ADAB B-品-E,∠DAB=∠ABM= 2 所以△DBA∽△AMB,所以∠DBA=∠AMB. 因为∠MBD+∠DBA=,所以∠MBD+∠AMB=交，所以AMLDB..4分 因为PD⊥平面ABCD,AMC平面ABCD,所以PD⊥AM. 因为DB∩PD=D,DB,PDC平面PBD,所以AM⊥平面PBD.…7分 (2)解：因为PD⊥平面ABCD,AD,DCC平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥DC. 因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥DC. 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),P(0,0,2),A(2√2,0,0)，M(√2,2,0)， 所以DP=(0,0,2),PA=(2√2,0，一2)，MA=(2,-2,0).…10分 因为PD⊥平面ABCD,所以平面ABCD的一个法向量为DP=(0,0,2), 设平面APM的法向量为n=(x,y,z), [n·PA=0,{22x-2z=0, 则 即 n·Mi=0,2x-2y=0, 令x=2,则y=1,2=2,所以n=(W2,1,2).…13分 设平面ABCD与平面APM的夹角为0，则cos0= |DP·n 2×2 2√7 1DP1nl2×√/W2)+1+2 7 所以平面ABCD与平面APM的夹角的余弦值为2，， 7· ……15分 18解：1当a=时，f)=7-hz+2x∈0，+6o), 则f'(x)=江一nx一1……2分 令m(x)=x-nx-1,则m'(z)=1-1=x-1 ……3分 当x∈(0,1)时，m'(x)<0,则m(x)在(0,1)上单调递减， 数学答案第5页（共7页） 当x∈(1，十∞)时，m'(x)>0,则m(x)在(1，十∞)上单调递增， 所以m(x)≥m(1)=0, 所以∫'(x)≥0，当且仅当x=1时等号成立，… …6分 所以f(x)在(0，十∞)上单调递增。 故∫(x)的单调递增区间是(0，十0∞)，无单调递诚区间，……8分 (2)因为f(x)=ax2一xlnx+2(a≠0)，定义域为(0，+o∞)， 所以f'(x)=2ax-lnx一1.…10分 若f(x)有两个极值点x1,x2,则方程lnx十1一2ax=0有两个根x1,x2, 即函数y=血工十中的图象与直线y=2a有两个交点.… ……12分 令gx)血x+中1，则g)=-n三 当x∈(0,1)时，g'(x)>0,则g(x)在(0,1)上单调递增， 当x∈(1，+o∞)时，g'(x)<0,则g(x)在(1，十o∞)上单调递减， 所以g(x)m=g(1)=ln1+1=1. In 又因为当x∈(1，十∞)时，g(x)>0,g e 一=0， 1 所以当x∈（日，+∞时，gc)>0,当x∈0，)时，gc)<0 …15分 要使函数g(x)的图象与直线y=2a有两个交点，则0<2a<1,解得0<a<, 即实数a的取值范围是 . ………17分 9,解：)因为点B(0,一1D在椭圆C:无+分1上，所以行1，解得6。……心……………2分 因为椭圆C的离心率为 2,即a-8- 乞，解得a=2.…4分 所以椭圆C的标准方程为十y21.………………5分 (2)D如图，设直线PA的倾斜角为0，则∠APB=+0. …6分 数学答案第6页（共7页） 因为tan∠APB= cos0-- =-2√2， -sin 0 tan 0 所以tan9=2 所以直线PA的斜率为 · …10分 ②由题意得直线1的斜率存在，且不为0，设为t 又直线1过点B(0,一1)，则直线l的方程为y=tx一1.… …11分 =tx-1, 由 8t x2+4y2=4 消去y,整理得(42+1)x2-81x=0,解得x1=0,x:一40+ 因为-0，所以7则4-1-则点Au年》 8t 4………4………4…12分 因为tan∠APB=-2√2，所以sin∠APB=-2√瓦cos∠APB,结合sin2∠APB+cos'∠APB=1,∠APB∈ (侵解得cos∠PB=一子 因为P,》Bo,一.所以F-()历-6-)所以F,座=-音· 又因为i,-io∠aPB-一台制++<0， 所以一 8t 8-4 =-4.83-4 9N(42+1 3(4r2+1) 942+,且8影2-4>0.… …15分 2t2-1>0, 整理得 解得t=土√2， 8t-17t2+2=0, 所以直线l的方程为y=士√2x一1.… …17分 数学答案第7页（共7页）2024一2025学年第二学期高二年级期末考试 数学试卷 注意事项： 1养卷前，考生务必将自己的幢名，准考证号，考场号.南位号填写在答题卡上。 之回答透怀题时，选出每小题容案后：用暂笔把容驱卡上对应思日的答案标号豫黑：如需政动 用像应擦干净后，再透徐德答累标号。可容非选择题时，将容案写在答驱卡上，写在本试程 上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回。 考试时间120分钟，满分150分 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个法项中，只 有一项是符合题目要求的。 复数一1十i,则在复平面内夏的共死复数：对成的点位于 A,第一象限 且第二象网 C,第三象刷 卫第因象限 2已知集合A=〈r1一1<x1》,B=(x10x2),则A门日= A.[rlo<1) Br0r2 C,fz-1<x<2 D.t|-1<x82} 3.现有5名学生志恩者作交通协管员，其中男生有2人，女生有4人现从这6人中随机或2人 到A路口，网A降口的围者是1男1女的反率为 A号 暗 哈 4已知um+-5.则3m2a- A号 醋 c-号 5.如图，平面PC⊥平面ABCD,因边形ACD为额形，且AB一1，BC一2，△PBC的面积为 3,若点E是线段AD上一点，属三校锥P一ACE体颗的最大算为 号 吗 C D.1 第1页（共4置） 已每双庙线C,号-1(a>,b>0)的离七事为2，其中一条素近战与圆E:红一2+ (y十3=4相交于A,B两点，期AB= 丹 a受 C13 h,W15 7.已知函数f(x)- -2u+2,x31, 函数x(x)-f)-6.者任意bEk,函数g)量多 有2个零点，且存在&E鼠.雨数g(x)有2个零点，侧实数。的取值旅围为 A.0.17 到 c+ o.u5+】 8在△ABC中，内角A,B,C的对边分期为b,c若A-B十2C,b十e一2，期a的数小值为 号 a号 ns 二，选择题：本墨共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的进项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 数列{@，)为等象数列，S,为其前n项和.已知a。一一580-1，则下列结论正端的有 Aar■-g B公墓d=1 C,5,=30 D当程=8或n=9时，5.最小 10.如图，抛物线C,:y=2pr《p>0).烧其顶点按逆时所方病分满旋转90°，180,270得到抛物 线C:,C,C,四条能物线周成的图案如图中阴影民域，A,B分斜是第一，四象限的交点.若 荒物线C,的焦点为F(1,O),则下列说法正确的有 A,验物线C,的方程为y一工 B阴影区城的面积为64 C.IABI=8 D.图紫上任意两点距离的最大值为8v反 11已知直线！为由线/《士)一e一1与g(红)一n工+1的公共切线，则直线！的方程可以为 Ay-不 By=x十I C.y-er-1 Dy=er十1 第2菊（共4置） 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a■(1,4).hm(2,x),若a⊥(2e+b},则x= 13.已知两数fx)的定文域是R,f(x+2)是属两数，f(x十1)是音雨数，则f《一5)= 6设="=片=n5一32，测的大小关系是 〔用<”连接) 四、解答原：本鬣共5小丽，共77分。解答应写出文学说明，证用过程或演算步翼。 15,(1分儿知数州.的前项和5，潮足5.=1- (1)求数列a,}的通项公式： 2看6.中，求数到6.的敢。项和下 d. 16.(15分)某学校择办了“课外阅读知识竞赛“，为了到查学生对这次活动的满意程度，在所有参 加课外阅读知识竞赛的学生中拍取容量为0的样本进行调查，并得到如下2×2列联 表：（单位：人） 桂别 清童程庄 合计 男生 女生 浅意 129 30 150 不满意 BO 70 150 合计 200 100 300 (1)是否有99,9%的把据认为满意程度与性别有关系？ (2)有20名学生连人竟赛的某环节，该环节共授置3道试题，且每一道试蓝必须依次作答， 至少布对2道才能进人下一环节若相人新对这3道达世的板率分别为号子·宁小道试道 答对与否互不影响，用X表示衡进人下一环节的人数，求X的数学用望， n(ed一e)2 附：X-a+bC+a十+兆中na+6+e+ P(xr.》 0.1 Q.05 Q.01001 2706 841 663510.828 第3页（共4置） 7.(15分)如图，西棱能P一ABCD的靠0ABCD是里形，PD⊥平图ACD,PD=CD=2, AD=2w区，M为BC的中点 (1)求证，AM⊥平面PBD: (2)求平面ABCD与平面APM的类角的余弦值 1&.(17分)已知函数fx)=au-xn:+2(a*0. (1)当a一宁时，米f)的单藕区间： (2)君了(x》有两个殷值点#，士：，求实数a的取值范偶， 设.分已知B0,-山为m周C吉+景-1a>6>0上一众，精图C的商6率为停 (1)求柄图C的标准方型 (2)心知P0,）若让点B的直线！交椭明C平月一点A,且m∠Pg=-2点， ①看点A在第一象限，求直线AP的斜率： ②求直线1的方程. 第4页（共4置）