第二章 直线和圆的方程（高效培优单元测试·提升卷）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

第二章 直线和圆的位置关系（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将圆通过纵向压缩得到一个焦点在x轴上的椭圆，使其过点，左、右焦点分别为，则的平分线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（    ）． A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 3．已知过点作与轴不垂直的直线与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点．若，则（   ） A． B． C． D． 4．出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 5．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 6．已知圆，过点的直线与圆交于、两点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 7．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 8．已知点A为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点，圆，则（   ） A．点在内 B．点与上的点之间的最大距离为 C．以点为中点的弦所在直线的方程为 D．过点的直线被截得弦长的最小值为 10．已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 11．若曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．曲线围成图形的面积为 B．若曲线与直线有公共点，则 C．曲线上任意两点之间距离的最大值为 D．若圆能完全包围曲线，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线与曲线交于A，B，C三点，则外接圆的面积为 . 13．若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是 . 14．在中，D是AB的中点，E在边AC上，，CD与BE交于点F，若AC=6，，则的面积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； (3)点是圆上任意一点，求的取值范围. 16．已知圆O：和点 (1)过点M作圆O的切线，求切线的方程； (2)已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值？若存在，则求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； 17．已知与只有一条公切线l，且公切点为M，点P是l上异于点M的一点，过点P作的另一条切线，切点为N． (1)求a的值及直线l的方程； (2)若是等腰直角三角形，求直线的方程． 18．已知圆和点． (1)过作圆的切线，求切线的方程； (2)过作直线l交圆于点两个不同的点，且不过圆心，再过点分别作圆的切线，两条切线交于点，求证：点在一条定直线上，并求出该直线的方程． 19．已知点和圆C：. (1)求圆C的圆心坐标及半径的大小； (2)求过点P且与圆C相切的直线方程； (3)若直线：与圆C交于O，A两点，直线：与圆C交于O，两点,且，求证：直线AB恒过定点. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的位置关系（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将圆通过纵向压缩得到一个焦点在x轴上的椭圆，使其过点，左、右焦点分别为，则的平分线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，压缩得到的椭圆长半轴长为，设椭圆方程为， 因为椭圆经过点，所以，解得，所以， 所以，则，所以， 记的平分线所在直线的倾斜角为，则， 所以， 又，解得或（舍去）， 所以，由点斜式方程得，即. 故选：A 2．已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（    ）． A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】A 【详解】对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 因为，所以，已知，，则中点坐标为. ，所以半径. 则点的轨迹是以AB为直径的圆的一部分，故点P的轨迹为， 已知圆的圆心，半径，则圆心与点轨迹圆的圆心的距离为. 的最大值为圆心加上两圆半径，即. 由于轨迹不包含点，故不存在最小值. 故选：A． 3．已知过点作与轴不垂直的直线与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可设直线的方程为，即， 圆心到的距离，又， 所以，解得， 记直线的倾斜角为，，，． 故选：B． 4．出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，的轨迹关于轴对称，也关于轴对称． 当时，， 即 画出此函数的图象，并结合对称性可得点的轨迹是如图所示的六边形． 由图可知，的最小值为图中点到直线的距离． 故选：A 5．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 6．已知圆，过点的直线与圆交于、两点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，且， 由可得，即， 将代入圆方程可得， 即，化简可得， 将代入可得，解得， 则， 所以. 故选：D 7．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离， 即所求为. 故选：B. 8．已知点A为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴. 设P点坐标为，由题意，则， ∴P点轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，记为圆， 设在轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足， 则， 化简得， 又∵，代入得， 要使等式恒成立，则，即. ∴存在定点，使圆上任意一点满足， 则， 当A，P，M三点共线（位于两侧）时，等号成立. 又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离， 由到直线距离，则. 故. 如图，过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点，圆，则（   ） A．点在内 B．点与上的点之间的最大距离为 C．以点为中点的弦所在直线的方程为 D．过点的直线被截得弦长的最小值为 【答案】AC 【详解】对于A，因为，所以点在内，故A正确； 对于B，由，知点与上的点之间的最大距离为，故B错误； 对于C，由，可知弦所在直线斜率为，故弦所在直线为， 即，故C正确； 对于D，由圆的性质可知，当与过的弦垂直时，所得弦长最短，此时弦长为，故D错误. 故选：AC 10．已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 【答案】BD 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为2， 由题意可得， 所以， ， 所以，故A错误； 对于B，， 所以四边形面积的最小值为4，故B正确； 对于C，当最小时，，则直线的斜率为， 又，所以直线的斜率为， 的直线方程为，即， 由，解得，，即， 因为当最小时，，所以为等腰直角三角形， 所以中点即为中点， 因为的中点为，所以弦的中点为， 所以弦所在的直线方程为，即，故C错误； 对于D，设， 则以为直径的圆的方程为， 展开得①， 圆C的方程为，即②， ①②得弦所在直线方程为，即， 令，解得， 所以弦所在直线必过定点，故D正确； 故选：BD． 11．若曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．曲线围成图形的面积为 B．若曲线与直线有公共点，则 C．曲线上任意两点之间距离的最大值为 D．若圆能完全包围曲线，则的最小值为 【答案】BCD 【详解】由，得，易知曲线位于四个象限的图象分别是以，，，为圆心，为半径的半圆弧，如图所示. 选项A：曲线围成图形的面积为，（提示：通过观察图形，可得曲线围成的图形由一个边长为的正方形和四个半径均为的半圆组成） 故A错误； 选项B：若直线与曲线在第四象限相切，则，，（提示：直线与曲线在第四象限相切，即直线与圆心为，半径为的圆在第四象限相切） 得，由对称性可得直线与曲线在第二象限相切时，，数形结合可知若曲线与直线有公共点，则，故B正确； 选项C：连接，则曲线上任意两点之间距离的最大值为，故C正确； 选项D：若圆能完全包围曲线，则的最小值为，D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线与曲线交于A，B，C三点，则外接圆的面积为 . 【答案】 【详解】联立方程，消去可得， 设过交点的圆的方程为， 将代入圆的方程，可得， 即， 再将代入，即可得到， 对比， 可得，解得， 所以圆的方程为， 配方可得， 则圆的半径为， 所以外接圆的面积为. 故答案为：. 13．若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【详解】曲线即, 如图所示，当即时，直线与曲线有两个公共点， 直线向左上移动，当直线与曲线相切时，有一个公共点， 原点到直线的距离为半径，即，解得， 所以，当有两个公共点时. 故答案为：. 14．在中，D是AB的中点，E在边AC上，，CD与BE交于点F，若AC=6，，则的面积的最大值为 【答案】 【详解】在中，D是AB的中点，E在边AC上，， ，令， 则，又点共线，于是，解得， 则，的面积， 由，得，以直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 点，设，则， 整理得，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除圆与轴的交点外）， 则点到边的距离的最大值为， 所以的面积的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； (3)点是圆上任意一点，求的取值范围. 【答案】(1). (2)或. (3). 【详解】（1）设圆心的坐标为，已知圆与直线相切于点，则直线（）与直线垂直. 直线的斜率，可得直线的斜率， 即，解得，所以圆心. 圆的半径. 则圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离. 根据垂径定理，满足题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 圆心到直线的距离. 由垂径定理可得， 即，，，解得. 则直线的方程为，即. 综上，直线的一般式方程为或. （3）设，则，即. 的几何意义是圆上的点与点连线的斜率. 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，即， .由图形知道， 所以的取值范围是. 16．已知圆O：和点 (1)过点M作圆O的切线，求切线的方程； (2)已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值？若存在，则求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； 【答案】(1)和 (2)存在，定点，定值或定点，定值 【详解】（1）当切线斜率不存在时，显然与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， 所以，解得， 则，整理得， 综上，切线的方程为和； （2）设，由得， 即， 若存在，使为定值， 又，， 则， 整理得， 将代入得， 整理得， 要使为定值，则， 解得，，或，，， 综上，存在定点，定值或定点，定值. 17．已知与只有一条公切线l，且公切点为M，点P是l上异于点M的一点，过点P作的另一条切线，切点为N． (1)求a的值及直线l的方程； (2)若是等腰直角三角形，求直线的方程． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）可化为，圆心，半径， 可化为，圆心，半径． 因为与只有一条公切线，所以两圆内切，，即，解得． 两圆相减，得公切线l的方程为，即． （2）由题意，得，若是等腰直角三角形，所以，故，          由（1）可知直线的斜率，所以直线的斜率． 设直线的方程为， 所以点到直线的距离，解得或． 所以直线的方程为或． 18．已知圆和点． (1)过作圆的切线，求切线的方程； (2)过作直线l交圆于点两个不同的点，且不过圆心，再过点分别作圆的切线，两条切线交于点，求证：点在一条定直线上，并求出该直线的方程． 【答案】(1)和； (2)证明见解析，. 【详解】（1）当斜率不存在时，显然与圆相切； 当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， ∴，解得，则，整理得 综上，切线方程为和． （2）设，，，，， ∴由，则，即，又，故, 同理，∴直线为，又在上， ∴，故恒在直线上． 19．已知点和圆C：. (1)求圆C的圆心坐标及半径的大小； (2)求过点P且与圆C相切的直线方程； (3)若直线：与圆C交于O，A两点，直线：与圆C交于O，两点,且，求证：直线AB恒过定点. 【答案】(1)圆心为，半径为 (2)， (3)证明见解析 【详解】（1）由题可知， 所以圆的圆心为，半径为. （2）当过点直线斜率不存在时，为，显然此时与圆相切； 当过点直线斜率存在时，设为，若与圆相切， 则有 所以过点P且与圆C相切的直线方程为，. （3）由题可知， 显然可以竖直，但是不能水平，故设的直线方程为， 联立 得 所以有 所以 由题可知， 所以有 所以此时 此时的直线方程为 故过定点. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$