专题02 直线的交点坐标与距离公式 的四大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题02 直线的交点坐标与距离公式 题型一：交点问题 题型二：两点间的距离 题型三：点到直线的距离 题型四：两平行直线间的距离 题型一：交点问题 1．直线与直线的交点坐标为 【答案】 【详解】联立，得， 所以交点坐标为. 故答案为： 2．已知直线，直线，则（   ） A．当时，与的交点为 B．直线恒过点 C．若，则 D．存在，使 【答案】ABC 【详解】对于A，当时，直线，直线， 联立，解得，所以两直线的交点为，故A正确； 对于B，直线，即，令，即， 所以直线恒过点，故B正确； 对于C：若，则，解得，故C正确； 对于D，假设存在，使，则，解得或， 当，，，两直线重合，舍去， 当时，，即， ，即，两直线重合，舍去， 所以不存在，使，故D错误． 故选：ABC． 3．过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 . 【答案】或 【详解】由，解得，则两直线交点. 由题意所求直线在两坐标轴上截距相等， ①当截距为0时，设直线方程为， 将点坐标代入，得， 则此时所求直线方程为，即； ②当截距不等于0时，设直线方程为，即， 将点坐标代入，得， 则此时所求直线方程为，即. 综上所述，所求直线方程为或. 故答案为：或 4．已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 直线的方程为. 由，解得，故交点坐标为. 故选：A. 5．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：D 6．过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】设直线， 设直线夹在直线，之间的线段为（在上，在上）， 设、， 因为被点平分，所以，， 于是，， 由于在上，在上，则， 即解得，， 即的坐标是，则直线的方程是， 即． 故答案为：.    7．下列选项正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量为，则与直线垂直 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．点关于直线的对称点的坐标为 D．已知，点，直线上有一动点，当取得最小值时，点的坐标为 【答案】ACD 【详解】对于A，直线的方向向量为， 由，直线与直线垂直，A选项正确； 对于B，时，直线和直线也互相垂直，B选项错误； 对于C，设点关于直线的对称点的坐标为，则有， 解得，C选项正确； 对于D，已知点和点都在直线上方， 设点关于直线的对称点为，所以，解得， 可得直线的方程为，即， 故，解得， 故当取得最小值时，P点的坐标为，故D正确. 故选：ACD. 8．已知直线与直线交于点，点关于直线对称的点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，解得，可得， 所以，即， 当时，，则无意义； 当时， ，当且仅当即等号成立； 当时， ，当且仅当即等号成立； 综上，，或. 故选：D. 9．已知直线经过直线的交点，且､两点到直线的距离相等. (1)求直线的一般式方程； (2)若点在直线的同侧，且为直线上一个动点，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由，解得，所以交点 ①当所求直线与直线平行时，直线的斜率为， 则所求直线的方程为，即； ②当所求直线过的中点时，线段的中点坐标为， 则所求直线垂直于轴，故所求直线方程为，即； 综上所述，所求直线方程为或. （2）因为点在直线的同侧，所以直线的方程为， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即点， 因为， 当三点共线时等号取到， 故的最小值为. 10．已知的顶点，的平分线AD交BC于点D，且AD所在直线方程为，记，的面积分别为，． (1)求； (2)求顶点A坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知：直线， 对于直线，令，可得，即， 可得， 所以. （2）设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 可知直线，即， 联立方程，解得， 所以顶点A坐标为. 题型二：两点间的距离 11．曲线与直线交于A、B两点，则线段AB的长度为 ． 【答案】 【详解】联立方程组得，消去得，解得或， 所以不妨设，则. 故答案为：. 12．在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（   ） A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，直线的斜率，直线的斜率， ，即，为直角三角形，A正确； 对于B，直线的斜率，点共线，B错误； 对于C，在中，，， ，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD    13．已知直线l过点，分别与直线：，：交于A，B两点，圆C：过A，B两点，则△ABC面积的最大值为 ；当△ABC面积取最大值时，直线l的方程为 【答案】 1 或 【详解】 由，则其圆心，半径，设， 易知，则当时，取得最大值为， 在等腰中， 当直线的斜率不存在时，直线， 代入直线，解得，则； 代入直线，解得，则； 所以，显然此时取得最大值为. 当直线的斜率存在时，可设直线， 联立可得，解得，，则； 联立可得，解得，，则； ， 由，则，解得，即直线， 所以取得最大值为，则直线或. 故答案为：；或. 14．已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【详解】设，则， 即， 所以. 故选：A 15．函数的最大值为 . 【答案】 【详解】， 表示为点与点的距离减去点与点的距离， 所以， 又，当共线，且P在B的外侧时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 16．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【详解】 表示动点到定点和的距离之和， 因为点在直线上运动， 作关于直线的对称点，则， 故， 当且仅当三点共线时取等， 故的最小值为 故选：C 17．在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知，，，，点在矩形内（含边界）且到点，的“折线距离”相等，则点的轨迹长度为 ． 【答案】 【详解】    设，因为点在矩形内（含边界）， 则，， 因为点到点，的“折线距离”相等， 所以，即， 则， 当时，， 当时，， 设，，则点的轨迹为线段， 故点的轨迹长度为. 故答案为：. 18．已知点、、，点是线段的中点，，垂足为. (1)求直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：因为、，所以的中点为， 所以直线的方程为，即. （2）解：由（1）知，因为，所以， 所以直线方程为，即. 联立，解得，所以点的坐标为. （3）解：因为，， 所以. 19．过点作直线分别交的正半轴于两点. (1)求面积的最小值及相应的直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程. 【答案】(1)，直线的方程为. (2) 【详解】（1）依题意设， 设直线的方程为，代入得， 所以，则，当且仅当，即时取等号， 从而，当且仅当，即时取等号， 此时直线的方程为，即， 所以，此时直线的方程为. （2）依题意直线的斜率存在且，设直线， 令，解得，令，解得，所以， 则， 当且仅当，即， 即时取最小值， 此时直线的方程为. 20．已知直线的方程为，直线经过点和. (1)若，求的值； (2)若当变化时，总过定点，求. 【答案】(1)或. (2) 【详解】（1）直线经过点和,所以， 所以直线的斜率为，因为直线的斜率为，, 所以,解得或. （2）直线的方程为可以改写为, 由，解得， 所以总过定点, 根据两点间的距离公式, 题型三：点到直线的距离 21．已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 22．平面上有三点到直线（、不全为）距离之和的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】点到直线的距离分别为， ，则距离之和为， ，当且仅当，即时取等号，此时，； ，当且仅当，即时取等号，此时，； ，当且仅当，即时取等号，此时，， 而，因此，所以所求最小值为. 故答案为： 23．已知点，过点引直线l与曲线相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】曲线，得，则， 所以曲线表示圆心为，半径为的半圆（x轴及以上部分）． 由于， 故当时的面积取得最大值， 此时圆心到直线l：的距离为， 即，如图，只有才可能满足题意，得． 故选：D. 24．已知圆，圆上恰有两个点到直线的距离都等于1，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由圆的方程：，可得圆心为坐标原点，半径为3． 若圆上恰有2个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离满足， 则， 解得， 解得． 故答案为：． 25．已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】表示点到点的距离， 故的最小值为点到直线的距离 故选：C 26．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 【答案】 【详解】如图：可知折痕为点与点的中垂线， 中点坐标为， 设折痕直线的斜率为，则，得， 故折痕直线方程为，即， 由题意点与原点关于折痕对称， 故得，故. 故答案为： 27．已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【答案】(1). (2). (3) 【详解】（1）设，由已知条件得，解得所以. （2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 28．已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点， (1)求反射光线所在的方程； (2)在直线上求一点，使；若点在直线上运动，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）如图所示： 设线段中点，点关于直线的对称点，直线与直线交于， 因为直线与直线垂直，并且过点， 所以其方程为，即， 由，，解得，，即坐标为， 因为、两点关于直线对称，所以关于点对称， 所以，， 点坐标为， 根据光线反射定律，反射光线经过、两点， 由直线的两点式方程得： 直线方程为， 即反射光线所在直线的方程为 （2）线段的垂直平分线为，因为， 所以点在直线上，又因为点在直线上， 所以点为直线与交点， 由，的坐标可知， 线段中点，直线斜率为， 所以其垂直平分线斜率， 因其经过点，由直线的点斜式方程得直线的方程为 ，即， 与直线的方程联立 解方程组得点坐标为 设点坐标为，令， 则 ， 要使最小，则当且仅当最小， 可表示为点到点的距离的平方， 当，即计算点到直线的距离时取到最小值， 此时是点到直线的距离，由点到直线距离公式得 ， 所以． 29．已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若，求直线关于直线对称的直线方程. (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)； 【详解】（1）因为直线， 即， 所以直线恒过定点. （2）由题知，直线方程为， 设直线关于直线对称的直线为，如图， 联立，解得， 即直线过， 在直线上取，设其关于的对称点为， 则，解得， 即直线过， 所以直线方程为， 即直线方程为. （3）由题知，， 则， 且，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 此时直线的方程为， 即， 综上，的最小值为， 且此时直线的方程为. 30．已知的顶点坐标为． (1)在中，求边上的高所在直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1)． (2)4. 【详解】（1）直线AB的斜率，边上的高线所在直线的斜率为 故中，边上的高线所在直线的方程为，即为． （2），， 直线的方程为，即为， 点C到直线的距离为， ． 的面积为4. 题型四：两平行直线间的距离 31．直线过点，且与直线平行，则直线，间的距离为 ． 【答案】 【详解】因为直线与直线平行，所以设直线的方程为． 又因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为． 所以直线，间的距离为． 故答案为： 32．设直线l：，则（    ） A．直线l的纵截距为m B．当时，直线l与直线垂直 C．直线l过定点 D．原点到直线l的距离的最大值为 【答案】BCD 【详解】对于A，在方程中取，得， 所以直线l在y轴上的截距为，即纵截距等于，故A项错误； 对于B，当时，直线l方程为，其斜率， 而直线的斜率，结合，可知直线l与直线垂直，故B项正确； 对于C，直线l方程可化为， 所以直线l经过直线与的交点，故C项正确； 对于D，设直线l经过的定点为，结合点到直线的距离的定义， 可知：当时，原点O到l的距离等于，达到最大值，故D项正确． 故选：BCD. 33．已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】表示两点与之间的距离， 表示两点与之间的距离， 又点是直线上的动点，点是直线上的动点， 且直线与直线平行， 所以的最小值即为直线与直线之间的距离， 所以的最小值为. 故选：B. 34．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知直线与直线平行，则，解得. 直线化为；直线为直线. 它们之间的距离为. 故选：A. 35．已知直线与直线平行，则与之间的距离是 ． 【答案】/0.8 【详解】因为直线与直线平行， 所以且， 解得， 所以两平行线间的距离， 故答案为： 36．已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 37．已知平行直线和的距离为，则 . 【答案】6或8 【详解】因为直线和平行， 所以， 又，解得或， 故答案为：6或8 38．已知直线：与：，则（   ） A．当时， B．当时，与重合 C．当时， D．当时，与间的距离为 【答案】BC 【详解】对于A，当时，对于直线即，直线即.根据两直线平行的判定条件，，所以与不平行，A选项错误. 对于B，当时，直线，直线. 因为且，所以与重合，B选项正确. 对于C，当时，直线，直线. 根据两直线垂直的判定条件， 成立，所以与垂直，C选项正确. 对于D，当时，由，对于直线和，有，即，解得. 当时两直线重合， 当时，即，. 根据两平行直线间的距离公式，则，D选项错误. 故选：BC. 39．已知为直线上的动点，下列结论正确的是（   ） A．若，则点的轨迹是一个圆 B．若，则点的轨迹是一条直线 C．若，则点到的距离为 D．是的一个方向向量 【答案】BC 【详解】因为点为直线上的动点， 设，，若， 则，即， 因为，所以， 显然点的轨迹是由点确定， 当确定时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故A错误； 若，则，所以， 又点在直线上，所以， 即点的轨迹方程为，它是一条直线，故B正确； 若，则点到的距离即为直线与直线的距离， 即为，故C正确； 直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量为，所以不是的一个方向向量，故D错误. 故选：BC 40．已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线的交点坐标与距离公式 题型一：交点问题 题型二：两点间的距离 题型三：点到直线的距离 题型四：两平行直线间的距离 题型一：交点问题 1．直线与直线的交点坐标为 2．已知直线，直线，则（   ） A．当时，与的交点为 B．直线恒过点 C．若，则 D．存在，使 3．过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 . 4．已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ）． A． B． C． D． 6．过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为 . 7．下列选项正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量为，则与直线垂直 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．点关于直线的对称点的坐标为 D．已知，点，直线上有一动点，当取得最小值时，点的坐标为 8．已知直线与直线交于点，点关于直线对称的点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知直线经过直线的交点，且､两点到直线的距离相等. (1)求直线的一般式方程； (2)若点在直线的同侧，且为直线上一个动点，求的最小值. 10．已知的顶点，的平分线AD交BC于点D，且AD所在直线方程为，记，的面积分别为，． (1)求； (2)求顶点A坐标． 题型二：两点间的距离 11．曲线与直线交于A、B两点，则线段AB的长度为 ． 12．在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（   ） A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 13．已知直线l过点，分别与直线：，：交于A，B两点，圆C：过A，B两点，则△ABC面积的最大值为 ；当△ABC面积取最大值时，直线l的方程为 14．已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 15．函数的最大值为 . 16．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 17．在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知，，，，点在矩形内（含边界）且到点，的“折线距离”相等，则点的轨迹长度为 ． 18．已知点、、，点是线段的中点，，垂足为. (1)求直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的面积. 19．过点作直线分别交的正半轴于两点. (1)求面积的最小值及相应的直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程. 20．已知直线的方程为，直线经过点和. (1)若，求的值； (2)若当变化时，总过定点，求. 题型三：点到直线的距离 21．已知在直线上，则的最小值为 ． 22．平面上有三点到直线（、不全为）距离之和的最小值为 ． 23．已知点，过点引直线l与曲线相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（   ） A． B． C． D． 24．已知圆，圆上恰有两个点到直线的距离都等于1，则的取值范围为 ． 25．已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 26．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 27．已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 28．已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点， (1)求反射光线所在的方程； (2)在直线上求一点，使；若点在直线上运动，求的最小值． 29．已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若，求直线关于直线对称的直线方程. (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 30．已知的顶点坐标为． (1)在中，求边上的高所在直线的方程； (2)求的面积. 题型四：两平行直线间的距离 31．直线过点，且与直线平行，则直线，间的距离为 ． 32．设直线l：，则（    ） A．直线l的纵截距为m B．当时，直线l与直线垂直 C．直线l过定点 D．原点到直线l的距离的最大值为 33．已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 34．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 35．已知直线与直线平行，则与之间的距离是 ． 36．已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．已知平行直线和的距离为，则 . 38．已知直线：与：，则（   ） A．当时， B．当时，与重合 C．当时， D．当时，与间的距离为 39．已知为直线上的动点，下列结论正确的是（   ） A．若，则点的轨迹是一个圆 B．若，则点的轨迹是一条直线 C．若，则点到的距离为 D．是的一个方向向量 40．已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$